TRƯỜNG THCS CÙ CHÍNH LAN ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm hoc 2018-2019 Mơn thi: TỐN Câu (5 điểm) a c = c b 1) Cho với a a + c2 = b b2 + c2 a) a, b, c ≠ Chứng minh rằng: b − a b2 − a2 b) = 2 a a +c 2) Tổng ba phân số tối giản 25 63 Các mẫu chúng tỉ lệ thuận với 1;3;7 x, y Câu (3 điểm) Tìm số nguyên Câu (3 điểm) Tìm số nguyên A= biết: x để A tử chúng tỉ lệ nghịch với Tìm ba phân số y + = x có giá trị số nguyên biết: x +1 ( x ≥ 0) x −3 Câu (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − 2013 + x − 2014 + x − 2015 20;4;5 Câu (7 điểm) Cho tam giác thuộc cạnh BC Kẻ BH , CH ABC vng cân A có trung tuyến AE ( H , K vng góc với BH = AK a) Chứng minh MHK b) Cho biết tam giác ? Vì ? thuộc AE) AM E điểm ĐÁP ÁN Câu 2 a c a c a c = ⇒ = ÷ = ÷ c b c b c b 1) a) Từ a a2 c2 a2 + c2 a a2 + c2 ⇒ = = 2= ⇒ = b c b c + b2 b b2 + c2 a (đpcm) b) Áp dụng chứng minh phần ta có: a c a a + c2 b b2 + c2 b b2 + c2 = ⇒ = 2⇒ = ⇒ − = −1 c b b b +c a a + c2 a a2 + c2 b a b2 + c2 a2 + c2 b − a b2 + c2 − a − c ⇒ − = 2− ⇒ = a a a +c a + c2 a a2 + c2 b − a b2 − a ⇒ = ( dfcm) a a + c2 a , b, c 2) Gọi ba phân số cần tìm 25 a+b+c=5 63 Theo ta có: 1 1 1 a : b : c = 20 = = = = = = 21: 35 :12 20 12 35 25 a b c a+b+c ⇒ = = = = 63 = 21 35 12 21 + 35 + 12 68 63 5 25 20 ⇒ a = 21 = ; b = 35 = ; c = 12 = 63 63 63 21 25 20 ; ; 21 Vậy ba phân số cần tìm Câu y y 1− 2y + = ⇒ = − ⇒ = ⇒ x ( − y ) = 40 x x x Từ ⇒1− 2y ∈ 1− 2y ước lẻ 40 -5 x -8 y Vậy ta có cặp số A= ±1; ±5 -1 -40 40 ( x; y ) = { ( −8;3) ; ( −40;1) ; ( 40;0 ) ; ( 8; −2 ) } x +1 =1+ x −3 -2 x −3 Câu Ta có: A∈¢ ⇔ ∈ ¢ ⇔ x − ∈U (4) = { ±1; ±2; ±4} x −3 Lập bảng: -4 x −3 -2 -1 x 16 25 49 Loại x ∈ { 1;4;16;25;49} Vậy Câu A = x − 2013 + x − 2014 + x − 2015 A = ( x − 2013 + x − 2015 ) + x − 2014 Vi : x − 2015 = 2015 − x ⇒ A = ( x − 2013 + 2015 − x ) + x − 2014 x − 2013 + 2015 − x ≥ x − 2013 + 2015 − x = Mà ⇒ A = ( x − 2013 + 2015 − x ) + x − 2014 ≥ + x − 2014 ⇒ A≥2 x − 2014 ≥ Dấu Vậy "=" ( x − 2013) ( 2015 − x ) ≥ ⇔ ⇔ x = 2014 x − 2014 xảy Amin = ⇔ x = 2014 Câu ∆CAK ∆ABH a) Xét có: ·AHB = CKA · = 900 ; AB = AC ( ∆ABC cân A), ⇒ ∆ABH = ∆CAK (ch − gn) ⇒ BH = AK ·ABH = CAE · · BAH ) (cùng phụ với MA = MB = MC b) Ta có: (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) ∆ABC ⇒ AM cân A vừa trung tuyến vừa đường cao · ⇒ AM ⊥ BC ⇒ ∆AMB ∆AMC ⇒ BAM = ·ACM = 450 vuông cân M · ∆ABH = ∆CAK (cau a ) ⇒ BAH = ·ACK Ta có: (hai góc tương ứng) Mà: · · · · · BAH BAH = BAM + MAH = 450 + MAH · · ⇒ ⇒ MAH = MCK ·ACK = ·ACM + MCK · · ·ACK = 45 + MCK Xét ∆AMH ∆CMK có: ·AMH = CMK · ( phụ với · HMC · · MA = MC (cmt ); MAH = MCK (cmt ) ⇒ ∆AMH = ∆CMK ( g c.g ) ⇒ MH = MK ⇒ ∆MHK ·AMH + HMC · = 90 ·AMH = CMK · cân M · · · ⇒ CMK + HMC = HMK = 90 ⇒ ∆HMK vuông cân M ...Câu (7 điểm) Cho tam giác thuộc cạnh BC Kẻ BH , CH ABC vng cân A có trung tuyến AE ( H , K vng góc với... = CKA · = 900 ; AB = AC ( ∆ABC cân A), ⇒ ∆ABH = ∆CAK (ch − gn) ⇒ BH = AK ·ABH = CAE · · BAH ) (cùng phụ với MA = MB = MC b) Ta có: (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) ∆ABC ⇒ AM cân