TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Bài (4 điểm) 1 1 1 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 Rút gọn Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 3.23 4.24 n 1 2n 1 n.2n 2n34 A Bài (5 điểm) xy yz zx x2 y2 z x , y , z y x z y z x 42 62 Tìm số biết: Chứng minh khơng thể tìm số ngun x, y, z thỏa mãn : x y y z z x 2017 Bài (3 điểm) 99 100 Chứng minh rằng: chia hết cho 31 Bài (3 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y 15 y x xy 90 2 Bài (5 điểm) Cho ABC có góc nhọn, AB AC BC Các tia phân giác góc A góc C cắt O Gọi F hình chiếu O BC; H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI AH Gọi K giao điểm FH AI a) Chứng minh FCH cân b) Chứng minh AK KI c) Chứng minh điểm B, O, K thẳng hàng ĐÁP ÁN Bài 1 1 1 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 1 A 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1.1) A A 1 1 100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100 A 1 1 1 1 1 100 2 97 98 98 99 99 100 49 1 100 100 50 n 1 n n 34 1.2) 2.2 3.2 4.2 n 1 n.2 (1) A B 2.22 3.23 4.24 n 1 2n 1 n.2n B 2. 2.22 3.23 4.24 n 1 n1 n.2 n B 2.23 3.24 4.25 n 1 2n n.2n1 B B 2.23 3.24 4.25 n 1 2n n.2n1 2.22 3.23 4.24 n 1 n1 n.2 n B 23 24 25 2n n.2 n1 2.2 Đặt 23 24 25 2n n.2n1 23 C 23 24 25 2n 2C 2. 23 24 25 2n 25 26 2n 1 2C C 24 25 26 2n1 23 25 2n n 1 Đặt C B 2n1 23 n.2n1 23 Khi 2n1 23 n.2n1 23 2n1 n.2 n1 n 1 2n 1 n 1 n 34 Vậy từ (1) ta có: n 1 2n34 n 1 2n1 2n1 233 n 1 233 n n 233 33 Vậy n Bài Xét x y 0, z y z (vô lý) Suy x 0; y 0; z Khi từ đề suy : y x z y x z 22 42 62 xy yz zx x y2 z2 4 6 22 42 62 x y y z z x x y2 z2 x 22 42 62 k 0 2 x y z k x y z k Đặt 2 Suy : x 2k ; y 4k ; z 6k x y z 28k (3) Thay x 2k , y 4k , z 6k vào (3) ta được: 2 2k 4k 6k 28k k 0( ktm) 56k 28k k (tm) k x 1; y 2; z Với Vậy x 1, y 2, z 2.2 Ta có: x y y z z x x y x y y z y z z x z x x0 2 x x x x0 0 Với số nguyên x ta lại có Suy x x số chẵn với số nguyên x x y x y y z y z z x z x Từ ta có: số chẵn với số nguyên x, y, z Suy x y x y y z y z z x z x số chẵn với số nguyên x, y , z Hay x y y z z x số chẵn với số nguyên x, y , z Do đó, khơng thể tìm số ngun x, y, z thỏa mãn: x y y z z x =2017 Bài 3 99 100 Đặt D (có 100 số hạng) 22 23 24 25 26 27 28 29 210 296 297 298 299 2100 (có 20 nhóm) D 2. 26 22 23 24 296 2 23 D 2.31 26.31 296.31 D 31. 26 296 chia hết cho 31 99 100 Vậy D chia hết cho 31 Bài 2 P x y 15 y x xy 90 Ta có: x y x 15 y xy 90 2 x y 9. x y xy 90 2 8. x y xy 90 Ta thấy x y với x, y nên 8. x y với x, y xy 90 với x, y 2 Khi 8. x y xy 90 với x, y 8. x y xy 90 Suy với x, y Hạy P với x, y x y x y 5 xy 90 xy 90 Dấu " " xảy x y k Đặt ta x 5k , y 2k k 5k 2k 90 k k 3 Mà xy 90 nên Nếu k x 15, y Nếu k 3 x 15, y 6 x 15; y MaxP x 15; y 6 Vậy Bài a) Chứng minh · · Ta có CHO CFO 90 ( OH AC , OF BC ) · · µ Xét CHO vng CFO vng có: OC chung; HCO FCO(OC phân giác C ) Vậy CHO CFO (cạnh huyền – góc nhọn) CH CF (hai cạnh tương ứng) Vậy FCH cân C b) Qua I vẽ IG / / AC G FH · · Ta có FCH cân C (cmt) CHF CFH (1) · · Mà CHF FGI (đồng vị, IG / / AC ) (2) · · · · Từ (1) (2) CFH FGI hay IFG IGF , Vậy IFG cân I FI GI , mặt khác : FI AH nên GI AH ( FI ) · · · · Ta lại có : IGK AHK ; HAK GIK (so le , IG / / AC ) · · · · Xét AHK IGK có: IGK AHK (cmt ); GI AH (cmt ); HAK GIK (cmt ) AHK IGK ( gcg ) AK KI (dfcm) · c) Vẽ OE AB E, Chứng minh BO tia phân giác ABC (*) Chứng minh AB BI · · Chứng minh được: ABK IBC (c.c.c) ABK IBK · Từ suy BK lầ tia phân giác ABC ** Từ (*) (**) suy tia BK , BO trùng Hay B, O, K ba điểm thẳng hàng ... thỏa mãn: x y y z z x =20 17 Bài 3 99 100 Đặt D (có 100 số hạng) 22 23 24 25 26 27 28 29 210 296 2 97 298 299 2100 (có 20 nhóm)... 100 100.99 99.98 98. 97 3.2 2.1 1 1 A 100 100.99 99.98 98. 97 3.2 2.1 1.1) A A 1 1 100 1.2 2.3 97. 98 98.99 99.100 A 1 1 1 1 ... 233 n n 233 33 Vậy n Bài Xét x y 0, z y z (vô lý) Suy x 0; y 0; z Khi từ đề suy : y x z y x z 22 42 62 xy yz zx x y2 z2 4 6 22 42