TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (4,0 điểm) 2 1 − 0, 25 + 0, − + 11 ÷: 2012 1) M = − ÷ 1, − + 1 − 0,875 + 0, ÷ 2013 11 x2 + x −1 = x2 + 2) Tìm x, biết : Câu (5,0 điểm) 1) Cho a,b,c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện a+b−c b+c−a c+a−b = = c a b b a c B = + ÷1 + ÷1 + ÷ a c b Hãy tính giá trị biểu thức 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5;6;7, sau chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) A = x − + x − 2003 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình Câu (6,0 điểm) · xAy = 600 với x số nguyên x + y + z = xyz Cho có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vuông góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) ∆KMC c) Cho tam giác BK = cm Tính cạnh ∆AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 , chứng minh a b c + + ≤2 bc + ac + ab + ĐÁP ÁN HSG TOÁN LÝ TỰ TRỌNG 2018-2019 Câu 1) Ta có: 2 1 − 0, 25 + 0, − + 11 ÷: 2012 M = − ÷ 7 1, − + − 0,875 + 0, ÷ 2013 11 2 2 − + 11 = − 7 − + 11 1 − + ÷: 2012 7 ÷ 2013 − + ÷ 10 1 1 1 − + − + 11 ÷ ÷ − ÷: 2012 = − + − + ÷ 2013 11 ÷ ÷÷ 2 2012 = − ÷: =0 7 2013 x2 + x −1 > 2) Vì +) Nếu +)Nếu Câu 1) Nếu x ≥1 x a '; b = b '; c < c ' So sánh (1) (2) ta có 6x x x − =4⇒ = ⇒ x = 360 15 18 90 c−c' = đầu , Vậy hay Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu nên lớp 7C nhận nhiều lúc 1) Ta có: A = x − + x − 2013 = x − + 2013 − x ≥ x − + 2013 − x = 2011 ( x − ) ( 2013 − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Dấu “=” xảy 2013 1≤ x ≤ y ≤ z 2) Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử 1= 1 1 1 + + ≤ + + = ⇒ x2 ≤ ⇒ x = yz yx zx x x x x Theo + y + z = yz ⇒ y − yz + + z = Thay vào đầu ta có : ⇒ y (1 − z ) − (1 − z ) + = ⇔ ( y − 1) ( z − 1) = y −1 = ⇒ y = TH1: TH2: z −1 = ⇒ z = y −1 = ⇒ y = z −1 = ⇒ z = Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn ( 1; 2;3) ; ( 1;3; ) Câu a) ( · · CAB = ·ACB = MAC ∆ABC ⇒ BK cân B đường trung tuyến b) ∆ABH = ∆BAK ) BK đường cao ⇒K trung điểm AC (cạnh huyền – góc nhọn) AK = ⇒ BH = AK (hai cạnh tương ứng ) mà 1 AC ⇒ BH = AC 2 Ta có : BH = CM (tính chất cặp đoạn chắn) mà CK = BH = AC ⇒ CM = CK ⇒ ∆MKC tam giác cân (1) · MCB = 90 Mặt khác ·ACB = 300 ⇒ MCK · = 600 (2) ⇒ ∆MKC Từ (1) (2) tam giác · KAB = 300 ⇒ AB = BK = 2.2 = cm ∆ABK c) Vì vng K mà AK = AB − BK = 16 − = 12 ∆ABK Vì vng K nên theo Pytago ta có: KC = AC ⇒ KC = AK = 12 Mà ∆KCM ⇒ KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC =4; AH =BK=2 HM = BC (HBCM hình chữ nhật) ⇒ AM = AH + HM = Câu ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 Vì nên : ( a − 1) ( b − 1) ≥ ⇔ ab + ≥ a + b ⇔ 1 c c ≤ ⇔ ≤ (1) ab + a + b ab + a + b a a b b ≤ (2) ; ≤ (3) bc + b + c ac + a + c Tương tự: a b c a b c + + ≤ + + (4) bc + ac + ab + b + c a + c a + b Do đó: a b c 2a 2b 2c 2(a + b + c) + + ≤ + + = = (5) b+c a+c a+b a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c Mà a b c + + ≤2 bc + ac + ab + Từ (4) (5) suy (đpcm) ... ĐÁP ÁN HSG TOÁN LÝ TỰ TRỌNG 2018- 2019 Câu 1) Ta có: 2 1 − 0, 25 + 0, − + 11 ÷: 2012 M = − ÷ 7 1, − + − 0, 875 + 0, ÷ 2013 11 2 2 − + 11 = − 7 − + 11 1 − + ÷: 2012 7 ÷ 2013... b Vậy 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x (x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu a, b, c a b c a +b+c x 5x 6x x 7x = = = = ⇒ a = ;b = = ;c = (1) 18 18 18 18 18... ÷ − ÷: 2012 = − + − + ÷ 2013 11 ÷ ÷÷ 2 2012 = − ÷: =0 7 2013 x2 + x −1 > 2) Vì +) Nếu +)Nếu Câu 1) Nếu x ≥1 x