TRƯỜNG THCS GIAO TÂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN Bài (4 điểm) A= Rút gọn 1 1 1 − − − − − − 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 n Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: 2.22 + 3.23 + 4.24 + + ( n − 1) 2n −1 + n.2n = 2n+34 Bài (5 điểm) x, y , z Tìm số biết: xy yz zx x2 + y2 + z = = = y + x z + y z + x 22 + 42 + 62 x, y , z Chứng minh khơng thể tìm số nguyên x − y + y − z + z − x = 2017 thỏa mãn : Bài (3 điểm) Chứng minh rằng: + 22 + 23 + 24 + 25 + + 299 + 2100 chia hết cho 31 Bài (3 điểm) P = ( x − y ) − ( 15 y − x ) − xy − 90 Tìm giá trị lớn biểu thức: Bài (5 điểm) AB < AC < BC C A có góc nhọn, Các tia phân giác góc góc O AC F H cắt O Gọi hình chiếu BC; hình chiếu O Lấy FC FI = AH AI I K FH điểm đoạn cho Gọi giao điểm Cho ∆ABC a) Chứng minh b) Chứng minh ∆FCH cân AK = KI c) Chứng minh điểm B, O , K thẳng hàng ĐÁP ÁN Bài 1 1 1 − − − − − − 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 1 A= − + + + + + ÷ 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1.1) A = A= 1 1 − + + + + + ÷ 100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100 A= 1 1 1 1 − 1 − + − + + − + − + − ÷ 100 2 97 98 98 99 99 100 A= −49 − 1 − ÷= 100 100 50 1.2) 2.22 + 3.23 + 4.24 + + ( n − 1) 2n −1 + n.2n = 2n +34 B = 2.2 + 3.2 + 4.2 + + ( n − 1) 2 n −1 + n.2 (1) n ⇒ B = 2.( 2.22 + 3.23 + 4.24 + + ( n − 1) n−1 + n.2 n ) B = 2.23 + 3.24 + 4.25 + + ( n − 1) 2n + n.2n+1 B − B = ( 2.23 + 3.24 + 4.25 + + ( n − 1) 2n + n.2n+1 ) − ( 2.22 + 3.23 + 4.24 + + ( n − 1) n−1 + n.2 n ) B = −23 − 24 − 25 − − 2n + n.2 n+1 − 2.2 Đặt = − ( 23 + 24 + 25 + + 2n ) + n.2n+1 − 23 C = 23 + 24 + 25 + + 2n ⇒ 2C = 2.( 23 + 24 + 25 + + 2n ) = + 25 + 26 + + 2n +1 2C − C = ( 24 + 25 + 26 + + 2n+1 ) − ( 23 + + 25 + + 2n ) Đặt C = 2n+1 − 23 B = − ( 2n+1 − 23 ) + n.2n+1 − 23 Khi = −2n+1 + 23 + n.2n +1 − 23 = −2n+1 + n.2 n+1 = ( n − 1) 2n +1 Vậy từ (1) ta có: ( n − 1) 2n+1 = 2n+34 2n+34 − ( n − 1) 2n+1 = 2n+1 233 − ( n − 1) = ⇒ 233 − n + = ⇒ n = 233 + n = 233 + Vậy Bài x = ⇒ y = 0, z = ⇒ y + z = Xét (vô lý) x ≠ 0; y ≠ 0; z ≠ Suy Khi từ đề suy : y + x z + y x + z 22 + 42 + = = = xy yz zx x + y2 + z2 4 6 22 + 42 + 62 ⇒ + = + = + = = x y y z z x x + y2 + z2 x Đặt = = = ( k ≠ 0) x y z k x = 2k ; y = 4k ; z = k 2 + 42 + 62 = x2 + y + z k x + y + z = 28k (3) Suy : x = 2k , y = 4k , z = k Thay vào (3) ta được: 2 ( 2k ) + ( 4k ) + ( 6k ) = 28k k = 0( ktm) ⇒ 56k − 28k = ⇒ k = (tm) 2 k= Với Vậy ⇒ x = 1; y = 2; z = x = 1, y = 2, z = 2.2 Ta có: x − y + y − z + z − x = x − y + ( x − y) + y − z + ( y − z) + z − x + ( z − x) 2 x x +x= 0 x x≥0 x