087 đề hsg toán 7 trường tam hưng 2016 2017

THCS TAM HƯNG ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP Năm học 2016-2017 Bài (3đ) Tìm x sao cho: a) x  2 b)  x  20   x  15   x  10   x    Bài (4đ) Tìm tất cặp số nguyên  m, n  thỏa mãn: m n a)  2048 b) 3m  4n  mn 16 Bài (4d) a) Cho x, y, z , t số khác thỏa mãn điều kiện sau: y  z  x3 x  y xz, z  yt y  z  t 0 Chứng minh: y  z  t t b) Cho x  y  z a  b; x  y  z b  c;  x  y  z c  a Chứng minh : x  y  z 0 Bài 4.(4đ) a) Cho đa thức f  x  x 2015  2000 x 2014  2000 x 2013  2000 x 2012   2000 x  Tính giá trị đa thức x 1999 b) Cho đa thức f  x  ax  bx  c Chứng tỏ rằng: f    f  3 0 13a  b  2c 0 Bài (5đ) a) Cho tam giác ABC , đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác ABC   tam giác vuông cân ABD, ACE , ABD  ACE 90 1) Qua C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt đường thẳng AH K Chứng minh CD vng góc với BK 2) Chứng minh ba đường thẳng AH , BE , CD đồng quy b) Cho điểm B C nằm đoạn thẳng AD cho AB CD Lấy điểm M tùy ý mặt phẳng Chứng minh rằng: MA  MD MB  MC ĐÁP ÁN Bài a) Chỉ rõ x    0,1,2 x  0  x   x 1   x  1    x     x    x  2    x 2   2 2 b) Lý luận để có x  20  x  15  x  10  x  Xét đủ trường hợp: - Trường hợp có số âm tính x 4 - Trường hợp có số âm tính được: x 3 Bài a)2m11 11  2n11 11  211 0  211. 2m 11  2n 11  1 0  m 12  2m 11  2n 11  0    n 11 b) Biến đổi   n   m   4 1.4 4.1 2.2       Giải trường hợp, suy kết luận  m, n    8,2  ;  0,4  ;  5;  1 ;  3,7  ;  6,1 ;  2,5   Bài x y z   y z t a) Từ giả thiết suy Lập phương tỉ số áp dụng tính chất dãy tỉ số để có: x3  y  z x3 x3 x x x x y z x     y  z  t y , mặt khác ta có: y y y y y z t t Suy điều phải chứng minh b) Cộng vế với vế suy điều cần chứng minh Bài a) f  x  x 2015   1999  1 x 2014   1999  1 x 2013   1999  1 x 2012    1999  1 x  Thay 1999 x, ta được: f ( x) x 2015  x 2015  x 2014  x 2014  x 2013  x 2013   x  x  Tính kết kết luận f  1999  1998 f     f  3 13  b  2c  f     f  3  f    f  3  f  3 f  3   f  3  0 b) Bài a) E D A K B H C 1) Vẽ hình chứng minh đến hết 2) Chỉ AH , BE , CD ba đường cao BCK b) Xét trường hợp A M B C D *Trường hợp điểm M  AD ta có: MA  MD  MB  MC *Trường hợp M  AD M A B I C D N Gọi I trung điểm BC Trên tia đối tia IM lấy điểm N cho IM IN ; IB IC Vì AB CD  AB  IB IC  CD  AI ND Chứng minh IMA IND (c.g c)  MA ND Điểm C nằm MDN chứng minh ND  MD  NC  MC Chứng minh IBM ICN (c.g c)  MA  MD  MB  MC