100 đề hsg toán 7 trường nguyễn chích 2017 2018

PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 MƠN THI: TỐN Câu (4,0 điểm) 1    A   3,5  :      7,5 7    a) Tính giá trị biểu thức 2.84  4.69 B 7  27.40.94 b) Rút gọn biểu thức 2 M  x  xy  x  xy  y   c) Tìm đa thức M biết rằng: Tính giá trị M 2018 2020   y  4 0 x, y thỏa mãn  x   Câu (4,0 điểm) Tìm x biết: 15 a)  x  x 12 1 1 49 b)      1.3 3.5 5.7  x  1  x  1 99 c) Tìm x, y nguyên biết xy  x  y 2 Câu (6,0 điểm) a) Tìm hai số nguyên dương x y biết tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ với 35;210;12 x y z t    b) Cho y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z x  y y  z z t t  x    z  t t  x x  y y  z có giá tri nguyên Chứng minh biểu thức a  b3 2  c3  8d  a , b , c , d   c) Cho thỏa mãn Chứng minh a  b  c  d chia hết cho Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC , M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME MA Chứng minh rằng: a) AC EB AC / / BE b) Gọi I điểm AC; K điểm EB cho AI EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng     c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  Biết HBE 50 , MEB 25 Tính HEM BME P Câu (1,0 điểm) 15 24 2499 B      16 25 2500 Chứng tỏ B số nguyên Cho ĐÁP ÁN Câu 1     7   25 15  15 a) A   3,5  :      7,5    :     7 7     2  35  85 15 35  42 15  49 15 157  :       42 85 17 34 3 9 2.84.27  4.69 2.     2 213.36  211.39 b) B  7    27.40.94 27.27.37  27.23.5. 32  214.37  210.38.5  211.36. 22  33    3.5  10  c) M   x  xy  6 x  xy  y  M 6 x  xy  y   x  xy   M 6 x  xy  y  x  xy x  11xy  y  x   2018 0 2018 2020  x   y  0      2020 y      Ta có:  Mà  x   2018   y  4  x   2018 0    2020 0  y   2020 0   x   2018   y  4 2020   x    y   , thay vào ta được:  4  4 25 110 16  1159  5 M    11 .           3   36  2 Câu 15 6 a)  x  x  x x  12 5 13 49 13 130  5    x  x  x 14 20 14 343  4 0 b)  1 1 49      1.3 3.5 5.7  x  1  x  1 99 1 1 1 1  49           2 3 5 x  x   99 1  49 98 1    1     1  x   99 x  99 x  99  x  99  x 49 c) xy  x  y 2  xy  x  y 4   y  1  x  1 5  x; y    1;3 ;  3;1 ;   2;0  ;  0;    Học sinh xét trường hợp tìm  x; y    1;3 ;  3;1 ;   2;0  ;  0;    Vậy  Câu a) Do tổng, hiệu tích x y tỉ lệ nghịch với 35,210,12 Ta có:  x  y  35  x  y  210 12.xy x y x y x  y x  y 2x 2y       x  y  35  x  y  210  210 35 210 35 245 175 Từ  x y 7y   x 5 thay vào đẳng thức  x  y  35 12 xy ta  y  y 0  y  y   0  y   0;5 mà y   y 5 Với y 5 x 7 x y z t b)    y  z t z t  x t  x  y x  y  z y  z t z t  x t  x  y x  y  z     x y z t y  z t z t  x tx y x yz 1  1  1  1 x y z t x  y  z t z t  x  y t  x  y  z x  y  z t     x y z t Nếu x  y  z  t 0  P   Nếu x  y  z  t 0  x  y z t  P 4 Vậy P nguyên c) Ta có: a  b3 2  c  8d   a  b3  c  d 3c  15d 3 3 3 Mà 3c  15d 3 nên a  b  c  d 3 (1) Dư phép chia a cho  0; 1 suy dư phép chia a cho  0; 1 hay a a  mod 3 3 b  b mod , c  c (mod3), d  d (mod 3)   Tương tự ta có:  a  b  c  d a  b3  c  d (mod3) (2) Từ (1) (2) suy a  b  c  d chia hết cho Câu A I M H B C K E   a) Xét AMC EMB có: AM EM ( gt ); AMC EMB (đối đỉnh); BM MC ( gt )  AMC EMB(c.g.c)  AC EB (hai cạnh tương ứng)   Vì AMC EMB  MAC MEB mà góc vị trí so le nên AC / / BE b) Xét AMI EMK có: AM EM ( gt );   MAI MEK  AMC EMB  ; AI EK ( gt )   Nên AMI EMK (c.g c )  AMI EMK   Mà AMI  IME 180 (tính chất hai góc kề bù)    EMK  IME 1800  Ba điểm I , M , K thẳng hàng   900 BHE H   c) Trong tam giác vuông có HBE 50       HBE 900  HBE 900  500 400  HEM HEB  MEB 400  250 150  BME góc đỉnh M HEM     BME HEM  MHE 150  900 1050 Câu 15 24 2499 B      16 25 2500 Ta có: 15 24 2499   B 49        1      16 25 2500     1 1 B 49        49  M 50  2   1 1 M       50  2 Trong 1  2  n  1 n Áp dụng tính chất  n  1 n n Ta có:   1 1   1 1               50   2.1 3.2 4.3 5.4 50.49  2 1 1 1 1 1 M            1  1 2 3 4 49 50 50 Ta lại có: 1 1 1 1 1 1               2.3 3.4 4.5 5.6 50.51 3 4 50 51 1 49 M   0 51 101 Từ suy  M   B 49  M số nguyên M