Toán Tài liệu dạy học Bài DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Dấu hiệu 1: Nếu đường thẳng qua điểm thuộc đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Dấu hiệu 2: Nếu khoảng cách từ tâm đường trịn đến đường thẳng bán kính đường trịn đường thẳng tiếp tuyến đường trịn B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn O; R tiếp điểm C, ta có Để chứng minh đường thẳng a tiếp tuyến đường tròn thể làm theo hai cách Cách 1: Chứng minh C nằm (O) OC a C Cách 2: Kẻ OH a H chứng minh OH OC R Ví dụ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH , vẽ đường tròn ( A; AH ) Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn ( A) Lời giải Do H ( A) AH BC H nên BC tiếp tuyến đường tròn ( A) Ví dụ Cho tam giác ABC có BC 5 cm, CA 4 cm, AB 3 cm Vẽ đường tròn (C ; CA) Chứng minh BA tiếp tuyến đường tròn (C ) Lời giải 2 Do BC CA AB nên ABC vng A (theo định lí Pi-ta-go đảo) Suy BA CD mà A (C ) nên BA tiếp tuyến đường tròn (C ) ˆ Ví dụ Cho tam giác ABC , đường phân giác Bˆ , C cắt I Gọi H hình chiếu I BC , vẽ đường trịn tâm I , bán kính IH Chứng minh AB , AC tiếp xúc với ( I ) Lời giải Kẻ ID AC D , IE AB E IE ID IH ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Suy E , D ( I ) mà ID , IE vng góc với AC , AB nên AC , AB tiếp tuyến (I ) Ví dụ Cho tam giác ABC cân A có đường cao AH BK cắt I Chứng minh a) Đường tròn tâm O đường kính AI qua K ; b) HK tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải a) Do BK đường cao ABC nên AKI vuông K Mà O trung điểm AI nên AO IO KO kéo theo K (O) b) KBC vng K có H trung điểm BC HK HB HC Suy HKC cân H Do OKA HKC OAK HCK 90 Dẫn tới HKO 90 HK OK Suy HK tiếp tuyến đường tròn (O) Dạng 2: Bài tốn liên quan đến tính độ dài Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý tính chất tiếp tuyến sử dụng công thức hệ thức lượng tam giác vuông để tính độ dài Ví dụ Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC cho CAB 30 Trên tia đối tia BA lấy điểm M cho BM R Chứng minh a) MC tiếp tuyến (O) ; b) MC R Lời giải AB C O; nên ABC vuông C a) Do Suy CBA 90 CAB 90 60 30 Xét ABC có AB BC R CAB 60 ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học ABC A Suy BC OB R Xét OMC có BC BO BM OMC vng C MC OC C Suy MC tiếp tuyến (O) b) Do B OM nên OM BM OB 2 R 2 Xét MCO vng O có MC CO OM 2 2 2 Suy MC OM CO MC (2 R ) R 3R MC R Ví dụ Cho đường trịn tâm O có bán kính OA R , dây BC vng góc với OA trung điểm M OA a) Tứ giác OCAB hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn B , cắt đường thẳng OA E Tính độ dài BE theo R Lời giải a) Do OB OC nên OBC cân O Mà OA đường cao (do OC AB ), suy OA đường trung trực BC Tứ giác OCAB có OA đường trung trực BC; M trung điểm OA Suy OCAB hình thoi b) Ta có M trung điểm OA suy OM OA R 2 Mà BE tiếp tuyến (O) B OBE 90 Do OBE vng B có BM đường cao nên OE OM OB OE OB R 2 R R OM 2 2 2 2 Mà BE BO EO , suy BE EO BO (2 R) R 3R ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy hoïc Kéo theo BE R C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho hình vng ABCD Vẽ đường trịn tâm A , bán kính AB Chứng minh a) CB tiếp tuyến đường tròn ( A) ; b) CD tiếp tuyến đường tròn ( A) Lời giải a) Do BA bán kính ( A) CBA 90 nên CB tiếp tuyến đường tròn ( A) b) Ta có AD BA R D ( A) mà CDA 90 Suy CD tiếp tuyến đường tròn ( A) Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC H hình chiếu vng góc M AB Vẽ đường tròn ( M ; MH ) Chứng minh AC tiếp xúc với ( M ) Lời giải Kẻ MK AC K Do MKC vuông K MHB vuông H nên MC MB KCM HBM MKC MHB (ch gn) MK MH mà MK AC K Kéo theo AC tiếp xúc với ( M ; MH ) K Bài Cho tam giác ABC vng A Vẽ đường trịn ( B; BA) đường tròn (C ; CA) , chúng cắt điểm D ( D khác A ) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn ( B) Lời giải Ta có ABC DBC (c c c) suy BAC BDC 90 Kéo theo D ( B ) CD tiếp tuyến ( B) ĐT: 0344 083 670 Toång hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Bài Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi (O) Kẻ tiếp tuyến AB với (O) ( B tiếp điểm) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với OA , cắt (O) C Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải Do OBC cân O OA BC nên AO đường trung trực BC AB AC Suy OAB OAC (c c c) ACO ABO 90 ( ABO 90 AB tiếp tuyến (O) ) Kéo theo AC tiếp tuyến (O) Bài Cho đường tròn tâm (O) , đường kính AB 2 R d tiếp tuyến B (O) Trên (O) lấy điểm C cho BC R , tia AC cắt d E a) Tính số đo góc tam giác ABC ; b) Tính độ dài BE theo R ; c) Gọi M trung điểm BE Chứng minh MC tiếp tuyến (O) Lời giải a) Do OC OB BC R nên OBC Từ đó, ta tính ABC 60 , ACB 90 , BAC 60 b) Xét ABE vng B có BE BA tan 30 2R 3 c) Ta có CBE vng C có M trung điểm BE Suy CM BM BE Kéo theo OCM OBM (c c c) OCM 90 Dẫn tới MC tiếp tuyến (O) ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Bài Cho đường trịn (O, R ) điểm A nằm ngồi (O) Kẻ tiếp tuyến AB , AC ( B , C tiếp điểm) đường kính BOD (O) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt AC E Chứng minh a) ABO ACO ; b) OE tia phân giác COD ; c) ED tiếp tuyến (O) Lời giải a) Ta có CAO BAO (ch cgv) b) CAO BAO BOA COA nên OA tia phân giác BOC , mà OE OA Suy OE tia phân giác COD c) Từ phần b) ta chứng minh OCE ODE (c g c) ODE 90 , suy ED tiếp tuyến (O) D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho tam giác ABC vng A , vẽ đường trịn ( B; BA) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ( B) Lời giải Do A ( B ) AC BA A nên CA tiếp tuyến đường tròn ( B) Bài Cho hình chữ nhật ABCD , vẽ đường trịn tâm O , đường kính AB Chứng minh DA , BC tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải AB A O; AD OA A nên AD tiếp tuyến đường Do tròn (O) AB B O; BC OB B nên BC tiếp tuyến Tương tự, đường tròn (O) ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Bài Cho tam giác ABC vơng B , tia phân giác góc A cắt BC D Vẽ đường tròn tâm D , bán kính DB Chứng minh AC tiếp xúc với đường tròn ( D) Lời giải Kẻ DE AC E , DE DB Suy E ( D ) mà DE vng góc với AC nên AC tiếp tuyến ( D) Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A , kẻ đường cao AD Gọi M trung điểm AB Chứng minh a) Đường trịn tâm O đường kính AC qua D ; b) MD tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải a) Xét ADC vng D có O trung điểm AC OD OA OC D (O) b) Xét ADB vng D có M trung điểm AB MD MA MB Xét OAM ODM có OA OD AM DM OM cạnh chung Suy OAM ODM (c c c) Kéo theo OAM ODM 90 dẫn tới MD tiếp tuyến (O) Bài 11 Cho đường trịn (O, R ) có dây AB khơng đường kính Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB , cắt tiếp tuyến A (O) điểm C a) Chứng minh CB tiếp tuyến (O) ; b) Cho bán kính (O) 15 cm dây AB 24 cm Tính độ dài đoạn thẳng OC ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học Lời giải a) Do OA OB nên OAB cân O Mà OC đường cao (do OC AB ) OC đường trung trực AB Suy CA CB Xét AOC BOC có OA OB CA CB OC caïnh chung Suy AOC BOC (c c c) CBO CAO 90 CB OB B Kéo theo CB tiếp tuyến O b) Gọi H giao điểm OC AB Khi đó, OC đường trung trực AB nên H trung điểm AB Suy AH AB 24 12 2 cm 2 2 Mà OAH vuông H nên AH HO OA , suy HO OA AH 9 cm OAC vuông A có AH đường cao nên OC OH AO Do OC AO 152 25 CH cm Bài 12 Cho đường tròn tâm O có bán kính OA R , vẽ dây AB cho AB R Gọi K điểm đối xứng với O qua A a) Chứng minh KB tiếp tuyến (O) ; b) Tính độ dài đoạn thẳng KB theo R Lời giải a) Do KA BA OA R nên KBO vuông B Suy KB BO B hay KB tiếp tuyến (O) b) Áp dụng Định lí Pi-ta-go cho KBO vng B , ta có ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa Toán Tài liệu dạy học K B = K O - OB = (2R )2 - R = 3R Þ K B = R - HẾT - ĐT: 0344 083 670 Tổng hợp: Thầy Hóa