Bài 5 dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

CHUYÊN ĐỀ BÀI DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết tiếp tuyến đường tròn + Nắm vững vận dụng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn  Kĩ + Vẽ tiếp tuyến đường tròn + Chứng minh đường thằng tiếp tuyến đường tròn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn Nếu đường thẳng đường trịn có điểm chung đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Định lý Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Phương pháp giải Để chứng minh đường thẳng a tiếp tuyến Ví dụ: Cho tam giác ABC biết đường trịn  O; R  tiếp điểm C ta làm AB 3, AC 4, BC 5 Vẽ đường tròn  B, BA  theo cách sau: Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn Hướng dẫn giải Cách OC  a C   O  Xét tam giác ABC ta có BC 25, AB  AC 25  AB  AC BC Trang Theo định lý Py-ta-go đảo ta có tam giác ABC vng A Vì A thuộc đường trịn  B, BA  AC  AB nên ta có AC tiếp tuyến đường tròn Cách Vẽ OH  a Chứng minh OH OC R Cách Vẽ tiếp tuyến a  O  Ta chứng minh a a Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, d tiếp tuyến đường tròn  O  A Các tiếp tuyến đường tròn  O  B, C cắt đường thẳng d theo thứ tự điểm D, E Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE Hướng dẫn giải Vì tam giác ABC vng A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm BC Vì BD CE tiếp tuyến đường tròn  O  nên BD //CE  C  90 hình thang vng Tứ giác BCED có BD //CE B Gọi I trung điểm DE , O trung điểm BC nên OI đường trung bình hình thang BCED Suy OI //BD //CE OI   BD  CE  Xét tam giác BOD tam giác AOD có DO cạnh chung   A 90 B OA OB R Do BOD AOD (cạnh huyền – cạnh góc vng)  DA DB Trang Chứng minh tương tự ta EC EA Khi BD  CE DA  EA DE Suy OI  1  BD  CE   DE ID IE 2 Vậy ba điểm D, O, E thuộc đường trịn đường kính DE Ta có OI  BC (vì IO //DB DB  BC ) Suy khoảng cách từ tâm đường trịn đường kính DE đến đường thẳng BC DE Vậy BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho đường tròn  O; R  , dây AB khơng đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB , cắt tiếp tuyến A đường tròn điểm C Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn Câu 2: Cho đường trịn  O  đường kính AB Gọi Ax, By tia tiếp tuyến  O  ( Ax, By nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB ) Trên tia Ax lấy điểm C , tia By lấy điểm D cho góc COD 90 Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn  O  Bài tập nâng cao Câu 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB Trên đoạn AB lấy điểm M , gọi H trung điểm AM Đường thẳng qua H vng góc với AB cắt  O  C Đường trịn đường kính MB cắt CB I Chứng minh IH tiếp tuyến đường trịn đường kính MB Câu 4: Cho đường trịn  O  đường kính AB Gọi d d  tiếp tuyến A B đường tròn, C điểm thuộc d Đường thẳng vng góc với OC O cắt d  D Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn  O  Dạng 2: Tính độ dài đoạn tiếp tuyến Phương pháp giải Nối tâm với tiếp tuyến để vận dụng Ví dụ Cho đường trịn tâm O bán kính R 6 cm định lý tính chất tiếp tuyến điểm A cách O khoảng 10 cm Từ A vẽ tiếp tuyến AB hệ thức lượng tam giác vuông ( B tiếp điểm) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB Hướng dẫn giải Trang Vì AB tiếp tuyến đường tròn  O  nên AB  OB Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng OAB có OA2 OB  BA2  102 62  AB  AB 8 (cm) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường trịn  O;15 , dây AB khác đường kính AB 24 Qua O kẻ đường vng góc với AB , cắt tiếp tuyến A đường tròn điểm C Gọi H giao điểm OC AB Tính CH Hướng dẫn giải Vì OH  AB nên H trung điểm AB  AH  AB 12 Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng OAH có OA2  AH  HO  152 122  OH  OH 9 Vì AC tiếp tuyến đường tròn  O  nên CA  OA Xét tam giác OAC vuông A , đường cao AH có OA2 OH OC  152 9.OC  OC 25 Vậy CH OC  OH 25  16 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho đường trịn  O  có bán kính OA R , dây BC vng góc với OA trung điểm M OA a) Tứ giác OCAB hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn B , cắt đường thẳng OA E Tính độ dài BE theo R Câu 2: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 60 cạnh AB = cm Gọi O giao điểm hai đường chéo Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AD BC Trang a) Tính bán kính đường trịn  O  b) Tính độ dài tiếp tuyến xuất phát từ A đến đường tròn  O  Bài tập nâng cao Câu 3: Tam giác ABC có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường trịn  O  Tiếp tuyến đường tròn  O  song song với BC bị AB, AC cắt thành đoạn thẳng MN 2, cm Tính độ dài BC Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , biết HB 20 cm, HC 45 cm Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH Kẻ tiếp tuyến BM , CN với đường tròn ( M N tiếp điểm , khác H ) a) Tính diện tích tứ giác BMNC b) Gọi K giao điểm CN HA Tính độ dài AK , KN c) Gọi I giao điểm AM BC Tính độ dài IM , IB ĐÁP ÁN Dạng 1: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Câu Gọi I giao điểm AB OC Xét tam giác OIA OIB có OI cạnh chung;   OIA OIB 90 ; OA OB R Do OIA OIB (cạnh huyền – cạnh góc vng)   AOI BOI Xét tam giác OAC OBC có OC cạnh chung;  BOC  AOC (chứng minh trên) ; OB OA R Do OAC OBC (c.g.c)    OBC OAC 90 hay CB  OB Vậy CB tiếp tuyến đường tròn  O  Câu Xét tam giác vuông ACO tam giác vuông BOD có ACO BOD  (cùng phụ góc AOC ) Suy ACO BOD (g.g) AC CO AC CO    BO OD AO OD Trang Xét tam giác vng ACO tam giác vng OCD có AC OC  AO OD  ACO OCD (c.g.c)   ACO OCD Dựng OI  CD Xét tam giác vng CAO CIO có CO cạnh chung; ACO OCD  (chứng minh trên) Do CAO CIO (cạnh huyền – góc nhọn)  OA OI R Vậy CD tiếp tuyến đường tròn  O  (định lý) Bài tập nâng cao Câu Xét tam giác ABC có OA OB OC R nên ABC tam giác vuông C Tương tự tam giác MIB vuông I Suy tứ giác ACIM hình thang vng C , I Dựng HK  BC K  AC //HK //MI (cùng vng góc với BC ) Vì H trung điểm AM nên K trung điểm CI Xét tam giác HCI có HK vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên HCI cân H    HCI HIC  Tam giác BIJ cân J nên I IBM   Ta có I  I HCI  IBM 90    180  I  I 90 Khi HIJ Vậy HI  IJ hay HI tiếp tuyến đường trịn đường kính MB Câu Dựng OH  CD gọi K giao điểm OD với đường thẳng d Xét tam giác vuông OAK OBD có OA OB (cùng bán kính); AOK BOD  (đối đỉnh)  OAK OBD  OK OD Trang Xét tam giác CKD có CO vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên tam giác CKD cân C CO đường phân giác  C  C  C  OC cạnh chung Xét tam giác vng CAO CHO có C Suy CAO CHO  OA OH Vì OH bán kính đường trịn  O  OH vng góc với CD H nên CD tiếp tuyến đường trịn  O  Dạng 2: Tính độ dài đoạn tiếp tuyến Câu a) Theo giả thiết M trung điểm OA Vì OA  BC M nên M trung điểm BC Xét tứ giác OCAB có hai đường chéo OA BC cắt trung điểm M đường Suy OCAB hình bình hành Mặt khác OA  BC Vậy tứ giác OCAB hình thoi b) Vì OCAB hình thoi nên OC OB  AB  AC Suy OC OB  AB R Do tam giác OAB cạnh R AOB 60 Vì EB tiếp tuyến đường tròn  O  nên EB  OB   Xét tam giác vng OBE có tan EOB EB   EB OB.tan EOB R.tan 60 R OB Câu a) Dựng OM  AB  OM R  Vì tam giác ABD có AB  AD 2 cm BAD 60 nên tam giác ABC Suy BD 2 cm AO  cm Xét tam giác vng AOB có đường cao OM 1 1 (cm)  2     OM  2 OM OA OB 3 Vậy bán kính đường trịn  O  R  cm b) Ta có AM tiếp tuyến đường tròn  O  Xét tam giác vng AOB có AO  AM AB   AM  AM 1,5 (cm) Trang Vậy AM 1,5 (cm) Bài tập nâng cao Câu Gọi D, E , F tiếp điểm  O  với AB, AC , BC Suy OD  AB, OE  AC , OF  BC Xét tam giác vng BOD BOF có BO cạnh chung; OD OF R Suy BOD BOF  BD BF Tương tự ta có AD  AE , CE CF Gọi I tiếp điểm MN với đường tròn  O  Chứng minh tương tự suy MD MI , NE NI Ta có AD  BF  CF  1  AB  AC  BC   20 10 (cm) 2 Đặt BC x, AD  y ta có x  y 10 (1) Chu vi tam giác AMN AM  MN  AN  AM  MI  IN  AN  AD  AE 2 AD 2 y Vì MN //BC nên AMN ABC Suy MN chu vi AMN 2, y     xy 24 BC chu vi ABC x 20 (2) Từ (1) (2) suy x  10  x  24  x  10 x  24 0   x    x   0  x 6 x 4 Vậy BC 4 cm BC 6 cm Câu a) Vì BM , CN tiếp tuyến đường tròn  A; AH  nên AM  BM , AN  CN Xét hai tam giác vng AHC ANC có AC cạnh chung; AH  AN (cùng bán kính đường trịn tâm A )    AHC ANC (cạnh huyền – cạnh góc vng)  HAC CN CH 45 cm CAN   Chứng minh tương tự ta có ABM ABH  MAB BM BH 20 cm BAH           MAB  BAH  HAC  CAN 2 BAH  HAC 2BAC 180 Ta có MAN Trang Vậy M , A, N thẳng hàng Tứ giác BMNC có BM //CN (cùng vng góc với MN ) nên tứ giác BMNC hình thang vng M,N Ta có S BMNC S AMB  S AHB  S AHC  S ACN 2  S ABH  S AHC  2S ABC Xét tam giác vuông ABC với đường cao AH có AH BH CH 20.45 900  AH 30 (cm) 1 Diện tích tam giác ABC S ABC  BC AH   BH  CH  AH   20  45  30 975 (cm ) 2 2 Vậy diện tích hình thang vng BMNC S BMNC 2 S ABC 1950 (cm ) b) Đặt AK  x, KN  y Xét hai tam giác vng ANK CHK có góc HKC góc chung Suy ANK CHK (g.g)  AK KN AN x y      CK KH CH y  45 x  30  x  y  45   Khi ta có hệ phương trình:   y 2  x  30 3 x  y 90    x  y  60  x 78   y 72 Vậy AK 78 cm, KN 72 cm c) Đặt IM u, IB v Xét hai tam giác vuông IMB INC có góc MIB góc chung Suy IMB INC (g.g)  IM IB MB u v      IN IC NC u  60 v  65 Trang 10  u  u  60   Khi ta có hệ phương trình:   v 4  v  65 u 48  v 52 Vậy IM 48 cm, IB 52 cm Trang 11