Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG A Tóm tắt lý thuyết Cho ABC vng A, có BC a, AB c, AC b , ta có: A   + b a.sinB a.cosC b c   + b c.tanB c.cosC   + c a.sinC a.cosB a B C   + c b.tanC b.cot B Giải tam giác vuông Trong tam giác vuông, biết trước hai yếu tố (trong có yếu tố cạnh khơng kể góc vng) ta tìm tất yếu tố lại tam giác vng (Bài tốn gọi tốn: Giải tam giác vng) B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Giải tam giác vuông Cách giải: Để giải tam giác vuông ta dùng hệ thức cạnh góc tam giác vng - Chú ý: Các tốn giải tam giác vng bao gồm: +) Gải tam giác vuông biết độ dài cạnh số đo góc nhọn +) Giải tam giác vuông biết độ dài cạnh Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Gọi BC a A AC b, AB c Giải tam giác ABC , biết a) b c  300 b 10  cm  ; C  b) a 20cm, B 35 B c) a 15cm, b 10cm d) b = 12cm, c = 7c Lời giải a C 20 10  600  a (cm); c  (cm); B   cosC , sinC 3 a) Sử dụng tỉ số 0 b) Ta có: b 20.sin35 11, 47(cm); c 20.cos35 16,38(cm)  10  B  41,80 , C  48, 20 c 5 5(cm); SinB 15 c) Ta có:  12  B  59, , C  30,30 a  193(cm), tanB d) Ta có: Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A Gọi A BC a, AC b, AB c Giải ABC , biết: b c  a) c 3,8cm; B 51  b) a 11cm, C 60 B a C d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải a) Xét tam giác ABC vuông A Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng,   AB  cos510  3,8  BC 6cm; AC 4, 6cm cosB AC BC ta có: 0   b) Ta có: C 60  B 30  AB sin60 11 8, 6cm; AC 4,3cm Dạng 2: Tính cạnh góc tam giác Cách giải: Làm xuất tam giác vuông để áp dụng hệ thức cách kẻ thêm đường cao Bài 1: Cho tam giác ABC BC 11cm hạ từ A  38 , C  300 B , có A Gọi N chân đường vng góc xuống cạnh BC Hãy tính a) Độ dài đoạn thẳng AN 38° 30° B b) Độ dài đoạn thẳng AC C N Lời giải a) Cách 1: Sử dụng tỉ số lượng giác tam giác vuông NAB NAC , ta có: BN tanB NC tanC Chú ý: BN  NC BC  BN 4, 67cm; AN 3, 65cm Cách 2: Gợi ý: Kẻ CH  AB H b) Xét tam giác ANC vng, có AC  AN  AC 7,3cm SinC Bài 2: Cho tam giác ABC có BC 11cm , H A  380 , C  300 B Gọi N chân đường vng góc hạ từ A xuống cạnh BC Hãy tính a) Độ dài đoạn thẳng AN 38° B b) Độ dài cạnh AC 30° N 11 c) Tính diện tích tam giác ABC d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải C  0  Kẻ BH  AC  BHC vuông H  HBC 60 ; HBA 60  38 22 1 BH  BC  11 5,  cm  2 Do (trong tam giác vng cạnh đối diện với góc 30 nửa cạnh huyền) a) Tam giác BHA vuông H, cạnh huyền BA cạnh BH 5,5cm kề với  220  cos 220  BH  AB  5,5 5,932  cm  B AB cos 220 Kẻ AN  BC Trong tam giác vuông ABN vng N có AN đối diện với góc 38 nên sin380  AN AB  AN  AB.sin380 5,932.sin380 3, 652  cm   300  AC  AN  3, 652 7,304  cm  N,C sin300 0,5 b) Tam giác ANC vuông 1 S ABC  AN BC  3, 652.11 20, 086  cm  2 c) Ta có: Bài 3:   Cho tam giác ABC có B 60 , C 50 , AC 35cm A Tính diện tích tam giác ABC 60° B d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải 0     Xét tam giác ABC , có: A  B  C 180  A 70 Vẽ đường cao AH  H  BC    AH  AH sinC  AC sin500.AC 26,8(cm) SinC AC Ta có:   26,8  AB  26,8 38,5(cm) SinB AB Sin600 50° H C Xét tam giác ABH vng H, có: BH 15,8(cm)  CH 22, 7(cm)  BC 38,5(cm) 1 S ABC  BC AH  26,8.38,5 510(cm ) 2 Bài 4:    Cho tứ giác ABCD , có: A D 90 , C 40 A B AB 4cm, AD 3cm.S ABCD ? 30° H D C d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải Kẻ BH  CD  H  CD  , ta có tứ giác ABHD hình chữ nhật (tứ giác có góc vng)  BH 3cm, DH 4cm  tan400  BH  HC  3,58  cm  tanC HC 0,839 Xét tam giác BHC vng H , có: S ABCD  ( AB  CD) AD (4  7,58).3  17,37(cm ) 2 Bài 5: AH  H  BC  Cho tam giác ABC , đường cao , A  420 , AB 12cm, BC 22cm B Tính cạnh 12 góc tam giác ABC 42° B H C 22 d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải Xét tam giác ABH vuông H, 0   có: B 42  A1 48  Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng, ta có: AH  AB.sinB 12.sin42 8cm  8, 916  cm   HC 13  cm  BH  AB.cosB   AH 0, 614  C  31030 '  A  58030 '  BAC  tanC 106 030 ' HC Ta lại có:   AC  AH 15,350(cm) AH  AC.sinC  sinC Bài 6: AH 5  cm  Cho tam giác ABC , đường cao , A  700 , C  350 B Tính cạnh ABC 35° C d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải   AB  AH  5,32  cm  H  AH  AB.sinB  sin700 sinB Tam giác AHB vuông   AC  AH  8, 72  cm  H  AH  AC.sinC  sin350 sinC Tam giác AHC vuông  Ta lại có: BH  AH cot B  AH cot 70 5.0, 3640 1,82  cm    AH cot 350 5.1, 4281 7,14  cm  CH  AH cotC Vậy BC BH  HC 1,82  7,14 8,96  cm  Bài 7: 70° H B Cho tam giác ABC , có AB 16cm, AC 14cm A  600 B a) Tính BC 16 14 d) b = 12cm, c = 7cm b) Tính S ABC 60° C H B Lời giải a) Trong tam giác vuông AHB , Trong hai tam giác vuông AHB  ta có: BH  AB.cosB 16.cos 60 16.0, 8  cm  AHC , theo định lý pytago ta có: AH  AB  HB ; AH  AC  HC  AB  HB  AC  HC 2 2 2 Hay 16  14  HC  HC 4  HC 2  cm  Vậy BC BH  HC 8  10  cm    16.10.sin600 69, 28  cm  S ABC  BA.BC.sinB 2 b) Cách 1: Ta có Cách 2: Trong tam giác vng AHB , ta có:  16.sin600 69, 28  cm  AH  AB.sinB Bài 8:  Cho hình bình hành ABCD , có: A 45 , C B AB BD 18(cm) a) Tính AB 45° A b) Tính S ABCD b Tính H D d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải a) Xét tam giác ABD , có AB  AD nên tam giác Kẻ BH  AD  H trung điểm Xét tam giác AHB vuông H ABD cân B AD Áp dụng hệ thức liên hệ cạnh góc tam giác vng ta có:  450 9 2(cm)  BH  AB.sinA  AD 2 AH 18 2(cm)   AH  AB.cos A 9  cm  S ABCD 2.S ABD 2 AD.BH 342(cm ) b) Bài 9:  Cho ABC cân A có A 30 , đường trung tuyến BM A  Tính góc CBM (làm trịn kết đến độ) M O b Tính B d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải Vẽ đường cao AH ABC cắt BM O H C Do ABC cân O A nên AH cũnglà đường trung tuyến, đồng thời đường phân giác A   trọng tâm ABC A1  A2 15 Trong AHB vng H ta có: tan A1  BH AH   OH tanB BH Trong OHB vng H ta có:  1  2   BH OH OH 1 tan A1.tanB AH BH AH (vì O trọng tâm) Nhân (1) (2) vế theo vế ta được:    tanB 1 3.tan A1  1  510  1, 2442  B 3.tan15 3.0.2679 Dạng 3: Toán ứng dụng thực tế Cách giải: Dùng hệ thức cạnh góc tam giác vng để giải tình thực tế Bài 1: Một cột đèn có bóng mặt đất dài 7,5cm Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 420 Tính chiều cao cột đèn? B b Tính 42° 7,2cm A C d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải Gọi chiều cao cột đèn AB , bóng cột đèn mặt đất AC Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác ABC vuông A, ta tính được: AB 6, 75cm Một cột đèn điện AB Bài 2: cao 6m có bóng in  mặt đất AC dài 3,5m Hãy tính BCA (làm tròn đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất B b Tính A d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng ABC , ta có: 10 3,5 C   C   tanC 3,5 Bài 3: Một cầu trượt cơng viên có độ dốc 28 có độ cao 2,1cm Tính độ dài mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) B 2,1 28° A b Tính d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải 2,1 4,5m Ta có độ dài cầu trượt là: Sin28 11 C Dạng 4: Toán tổng hợp Cách giải: Vận dụng linh hoạt số hệ thức cạnh góc tam giác vng để giải tốn Bài 1: Cho tam giác ABC vuông đường cao chiếu H AH A, có: AC  AB B Gọi D, E hình D H AB, AC a Chứng minh AD AB  AE AC tam giác ABC đồng dạng tam giác AED A C E b Cho BH 2cm, CH 4,5cm - Tính độ dài đoạn thẳng DE - Tính số đo góc ABC (làm trịn đến độ) - Tính diện tích tam giác ADE Lời giải a) Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng AHC AHB , ta có: AE AC  AH  AD.AB  ABC #AED (c.g c ) b) Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng ABC , ta có: AH 3cm  DE 3cm +) Xét tam giác tan ABC  AHB vuông H, có: AH 27  ABC 560  S ADE   cm  HB 13 Cho hình chữ nhật ABCD Qua B Bài 2: kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC B C H Gọi E , F , G theo thứ tự trung điểm F AH , BH , CD a Chứng minh tứ giác EFCG E hình bình A hành 12 G H D  b Chứng minh BEG 90  c Cho biết BH 4cm; BAC 30 Tính S ABCD , S EFCG Lời giải a) Xét tam giác ABH ,  EF / / AB  EF / / CG  EFCG có EF đường trung F sin A  vng H, có: BH   BH  AH  BH 6,9  cm   BA  8  cm  ; tanA BA sin30 AB tan30 + Xét ABC vng B, có tam giác trực tâm tam giác BEC  CF  BE  EG  BE  BEG 900 ABH hình bình hành b Xét tam giác BEC , có: BH  EC ; FE  BC  c) Xét tam giác vng bình tan300  BC  BC 8.tan300 4,6  cm  AB +) S ABCD  AB.BC 8.4, 36,8(cm ) 13 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Giải tam giác ABC vuông A  Cho biết AB 14cm, C 30  a) AC 15cm, BC 26cm, B 60  b) AC 12 3cm, BC 14 3cm, B 60  c) AC 14 3cm, BC 28cm, B 60 14  600 AC  cm, BC 14cm, B d) Chọn đáp án C B Giải thích: Ta có ABC   vuông A  B  C 90 14 0   Mà C 30  B 60 + 30° A  14.tan600  AC 14  cm  AC  AB.tanB C   AB  BC  AB  AB 28  cm  cosB  BC 0,5 cosB +  Vậy B 60 ; AC 14  cm  ; BC 28  cm  Câu 2: Giải tam giác ABC vuông B  Cho biết AC 15cm, A 52 (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ nhất)  b) C 38 , AB 9, 2cm, BC 11,8cm  a) C 38 , AB 8, 4cm, BC 10,5cm  c) C 38 , AB 9,8cm, BC 12, 4cm Chọn đáp án B d) Một kết khác A Giải thích: Ta có ABC 52°   vuông B  A  C 90 15cm 0   Mà A 52  C 38 B  + AB  AC.sinC 15.sin38 9, 2cm C  + BC  AC.sin A 15.sin52 11,8cm Câu 3: Giải tam giác ABC vuông A Cho biết AB 7 2cm, AC 11cm (cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, góc làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai, góc làm trịn đến độ)   b) B 51 , C 39 , BC 14, 08cm   a) B 48 , C 42 , BC 14, 08cm 14   c) B 53 , C 37 , BC 16, 09cm Chọn đáp án A d) A, B, C sai B Giải thích:   AC  11 1,1145  B  480 tanB AB Ta có: 0    Lại có: B  C 90  C 42 11 A C Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng ABC , ta có:  BC  AB  AC    BC  219 14,80  cm  Câu 4: Giải tam giác  112 219 MNP   có N 70 ; P 38 , đường cao MI 8cm Diện tích MNP bằng? (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai) a) 42, 65cm 2 b) 48, 08cm 2 d) 52, 68cm c) 51,54cm Chọn đáp án D M Giải thích:  Ta có: NI MI cot N 8.cot 70 2, 91 cm   8.cot 380 8 10, 26  cm  PI MI cot P 0, 78 + 70° N  NP  NI  IP 2,91  10, 26 13,17  cm  38° I P  S MNP  8.13,17 52, 68  cm  Câu 5: Giải tam giác ABC có AB 12cm, AC 12cm, BC 20cm Tính góc tam giác (làm trịn đến độ)    a) A 80 ; B 62 ; C 38    b) A 90 ; B 53 ; C 37    c) A 90 ; B 58 ; C 32 d) Một kết khác 15 ABC Chọn đáp án B B Giải thích: Ta có 20  AB  AC 122  162 400  1   2  2   BC 20 400  ABC vuông  sin A  AC 16  530  0,8  B BC 20 12 A 16 A C 0 0   Ta có: C 90  B 90  53 37  Câu 6: Cho hình thang ABCD cho AB  AD 10cm, BC 14cm, A 120 , BC vng góc với đường chéo a) 48cm BD Chu vi ABCD b) 54cm c) 62cm Chọn đáp án C d) 68cm Giải thích: Ta có: 120° ABD B cân A  AB  AD 10cm  14cm 0   D  180  A1 180  120 300  B 1 2  B  300  D (so le trong) BCD 10cm A vng B, C D có:   BC  CD  BC  14 28  cm  sinD  CD 0, sinD P  AB  BC  CD  DA 62 cm   Do ABCD Câu 7: Hình vẽ cho biết ABC tam giác cạnh 8cm AMB 42 Tính AM kết đến chữ số thập phân thứ hai) a) AM 10,34cm b) AM 10,83cm c) AM 11, 05cm d) AM 12, 43cm 16 (làm trịn Chọn đáp án A A Giải thích: 8cm Vẽ đường cao AH  H  BC  Do ABC nên AH đường trung 42° tuyến  HB HC 4cm Từ ABH M B C vuông H , ta có: AH  AB  BH 82  42 48  AH 4  cm  Từ AHM vng H, ta có:   AH  AM  AH  10,34  cm  sinM  AM 0,669 sinM Câu 8: Với hình vẽ cho Tính diện tích tam giác OMN (làm tròn kết đến chữ số hàng đơn vị) a) SOMN 7cm 2 b) SOMN 8cm 2 d) SOMN 11cm c) SOMN 9cm Chọn đáp án D O Giải thích: OPN vng P nên ta có: 9cm  + OP ON sinN 9.sin38 5, 54  cm  + OPM + vuông MP  Ta có: P 38° 60°  9.cos 380 7, 09  cm  NP ON cos N P M N nên ta có: OP 5,54 5,54   3,  cm   tan60 tanM MN NP  MP 7, 09  3, 3,89  cm  1 SOMN  OP.MN  5,554.3,89 11 cm  2 Do Câu 9: Cho ABC cân A  có A 30 , đường trung tuyến 17 BM  Tính số đo CBM (làm tròn kết đến độ) 0 b) 51 0 d) 60 a) 45 c) 58 Chọn đáp án D A Giải thích: Vẽ đường cao AH Do ABC cân A ABC nên AH cắt BM O M đường trung tuyến, đường phân giác O O   trọng tâm ABC A1  A2 15 B BH tan A1   1 AH ABH vng H , ta có H C   OH   tanB OHB vuông H , ta có BH Nhân (1) (2) vế với vế, ta được:   BH OH  OH  tan A1.tanB AH BH AH (O trọng tâm ABC )    tanB 1  3.tanA  1  1, 2442 3.tan15 3.0, 2679  51012 ' 510  B Câu 10: Cho ABC vng A có AB c, AC b, BC a Tia phân giác B cắt AC Tính tan  B a b tan  b c a) c) tan  B b)  B b  a c d) 18 tan  B b  a c tan  B b  a c D Chọn đáp án D B Giải thích: Ta có: BD phân giác B , ta có: AD AB c AD c bc      AD  DC BC a AD c  a a c DC    b A AC ABD vuông A, a c ta có: bc    AD  a  c  b  tan B  b tanB AB c a c a c BÀI TẬP VỀ NHÀ 19 D C Cho tam giác ABC vng A, Bài 1: có B BC a, AC b, AB c Hãy giải tam giác ABC , biết:  a) b 5, 4cm; C 30 A C  b) c 10cm; C 45 Lời giải   AB  tan300  AB  AB  BC  B  tanC ABC AC A a) Xét tam giác vng , có:   AB  tan 450   AC  AB  B  tanC ABC AC AC b) Xét tam giác A , có: Cho tam giác ABC vng Bài 2: A , có B BC a, AC b, AB c Hãy giải tam giác ABC , biết: a) a 15cm, b 10cm A C b) b 12cm, c 7cm Lời giải a) Dùng định lý pytago tính  C  AB  B   b) Dùng định lý pytago tính BC  B  C Bài 3: Cho tam giác ABC   có B 60 ; C 50 ; AC 35 B Tính S ABC 60° H 50° A Lời giải - Kẻ đường cao AH  H  BC   S ABC 509,08cm Bài 4: 20 35 C