Phân thức đại số PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phép nhân phân thức đại số Quy tắc nhân hai phân thức: Muốn cộng hai phân thức ta nhân tử thức nhân mẫu thức với A C A C B D BD ; Chú ý: Kết phép nhân hai phân thức gọi tích Ta thường viết tích dạng rút gọn *** Tính chất phép nhân thức: A C C A Giao hoán : B D D B ; A C M A C M Kết hợp : B D N B D N ; A C M B Phân phối phép cộng : D N A C A M B D B N ; A A A B B; Nhân với số 1: B Chú ý: Nhờ tính chất kết hợp nên số dãy phép tính nhân nhiều phân thức, ta không cần đặt dấu ngoặc Phép chia phân thức đại số *** Phân thức nghịch đảo : B A Phân thức A gọi phân thức nghịch đảo phân thức B với A, B đa thức khác đa thức *** Quy tắc chia hai phân thức : A C A Muốn chia phân thức B cho phân thức D khác 0, ta nhân B với phân thức nghịch C đảo D A C A D C : ; 0 B D B C D B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Thực phép nhân, chia phân thức Ví dụ Thực phộp tớnh sau: 6x ổ 5y2 ữ ỗ ữ ìỗ ữ ỗ 15y3 ỗ ố 3x ữ ứ a) b) x + x2 - × x - (x + 1)2 ĐS: 3xy x +2 ĐS: x + - 3x x - × c) x - x - - ĐS: x + 6x + x2 - 2x × d) x - 3x + 2x ĐS: x + Ví dụ Thực phép tính sau: 1- x2 x + : x a) x - 2x 1- x ĐS: x - x3 - : x +x +1 x + b) ( x- ĐS: x + ) ổ x + 1ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ x - 1ứ ố S: x2 - x2 - 2x + : 2 c) x + x - x + 3x + x- y ĐS: x + 2y x + 2y x2 + 4xy + 4y2 : 2 x3 - y3 d) x + xy + y Dạng 2: Rút gọn biểu thức Phân tích tử mẫu thức thành nhân tử Triệt tiêu biểu thức tử mẫu (ưu tiên tối giản phân thức từ đầu) Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: x - 2x2 - 5x - × a) x + x - 5x + 2x + ĐS: x + 2x - x3 - 3x2 + 3x - × x- x b) 2(x - 1)2 ĐS: x + x2 2x - x2 - x × + × c) x + x - x + x - x2 ĐS: x - x2 - 3x + x2 - x - ×2 d) x - 5x + x - 2x + x +2 ĐS: x - Ví dụ Rút gọn biểu thức: a) x4 + 2x2 + x - 2x2 - × × 2x + x2 + x2 - ( ) x- ĐS: x + 1- x ỉ x3 ữ ỗ ữ ì x + x + ç ÷ ç ÷ ç x - 1ø x è b) ĐS: x Ví dụ Rút gọn biểu thức: A= x2 2x 2x : : (y + 1) y + y + B= x2 (y + 1)2 a) b) S: ổ2x 2x ữ ữ :ỗ : ç ÷ ÷ ç èy + y + 1ø x2 ĐS: (y + 1) Ví dụ Rút gọn biểu thức P = xy , biết (2a3 + 2b3)x + b = a (2a - 2b)y = 3(a + b)2 (a ¹ b, a ¹ - b) P = ĐS: 3(a + b) 4(a - ab + b2) C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Thực phép tính sau: x2 - 1 × a) x + 1- x ĐS: - x +1 x + x + 1- x3 ×3 x x + b) ĐS: x + x2 + x - 12 ×2 c) x - x + 5x + x2 + x + x2 - 2x + x+4 ĐS: x + x2 ×(8 - 2x) d) x - 4x ĐS: - 2x Bài Thực phép tính sau: x3 - ổ x +1 ữ ỗ ữ ì ỗ ỗx - x2 + x + 1÷ ÷ ø a) x - è ĐS: x - x3 + 10 - 2x x3 + x - × + × x- x +2 b) x - x + 2 ĐS: - (x - 2x + 4) x2 - 2x + x2 - ×2 c) x - x - x + x - x- ĐS: x + ö x- ổ x3 ữ ỗ ữ ìỗ + x + x + ữ ỗ ữ 2- x ç 1- x è ø d) ĐS: x - Bài Thực phép tính sau: a) ( ) x2 - : (x - 3)2 ĐS: 2x + x- -2 ĐS: xy xy x2y2 : b) 2x - - 4x x2 ĐS: (x - 1)(x - 2) x2 + 2x x2 - : 2 c) x - 2x + x - x 2x + 3y 4x2 + 12xy + 9y2 : x3 - d) - x ĐS: x2 + 2x + 2x + 3y Bài Rút gọn biểu thức: ỉ x + 4ữ ỗ ữ ỗ ỗx + 5ữ ữ ứ S: è x +4 x +5 x +6 : : a) x + x + x + x- ỉ x - x + 8ư ữ ữ :ỗ : ỗ ữ ữ ỗ x + èx - x - 9ø b) ĐS: Bài Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức sau: x2 + 3x x2 - :P = x - 4x a) x - ĐS: x- 4x2 + 12x + Q: = 2x + x2 - b) ĐS: P = Q= x2 x - 2x + x +2 Bài Thực phép tính sau: 1- x2 - 2x : 3x a) x + 2x x +1 × ĐS: x + x3 + : x2 - x + b) x - x +1 ĐS: x - x2 - x - x2 - 4x + : x2 + 2x c) x + 3x + x ĐS: x - ( ) x +y ĐS: x - 2y x - 2y x2 - 4xy + 4y2 : 2 x3 + y3 d) x - xy + y Bài A= Cho (6a + 15b)x = 3a + (a3 + 1)y = 4a2 - 25b2 Rút gọn biểu thức 2a - 5b ĐS: a - a + x2 - x 2y × x - theo a b Bài Rút gọn biếu thức sau: 4x2 æ 3y3 ữ ỗ ữ ìỗ ữ ỗ ữ ỗ 9y è 2x ø a) ĐS: 2x 3y x2 x2 - × b) x - x x +2 ĐS: x 2x - 2 - x × c) x - x - - ĐS: x + 6x - x2 - 3x + × 3x - d) x - 2(x - 1) ĐS: x + Bài Rút gọn biểu thức sau: x - x2 - 3x + ×2 x x + x - 12 a) x- ĐS: x + - x x3 + × b) x - x - ĐS: x2 - x + x- - x2 - x x2 2x - × + × c) x - x + x - x + x2 ĐS: x + x2 - 3x + x2 - 2x - × x x (x - 1)2 d) x- ĐS: x - Bài 10 Thực phép tính sau: a) x4 - 2x2 + x + 2x2 - × × 2x - x2 - x2 - ( ) x +1 ĐS: x - x +1 æ x3 ữ ỗ ữ ì x x + ç ÷ ç ÷ ç x + 1ø x è b) ĐS: x Bài 11 Rút gọn biểu thức P = xy , biết (3a3 - 3b3)x - 4b = 4a (4a + 4b)y = 3(a - b)2 (a + b ¹ 0, a - b ¹ 0) P = ĐS: a- b a + ab + b2 Bài 12 Rút gọn biểu thức: A= a) x2 3x 3x : : 4y2 2y 2y x2 B= 4y b) S: ổ3x 3x ữ :ỗ : ữ ç ÷ ç ÷ è2y 2y ø x2 ĐS: 4y Câu 13 Thực phép tính x2 - 25 x2 + 5x : 2 x x x - ; a) 25x2y5 : 15xy2 3x b) ; x +1 x +2 x + : : Câu 14 Thực phép tính: x + x + x + c) ( ) x2 + y2 : x3y + xy3 x4y R= Câu 15 Rút gọn biểu thức: 3a2 - 2ab - b2 3a2 - 4ab + b2 : 2a2 + ab - b2 3a2 + 2ab - b2 Câu 16 Cho x ¹ 0, x ¹ ±2 Rút gọn tính giá trị biểu thức: ỉ4 x + 14 ữ ữ A =ỗ : v?i x = - ỗ ữ ỗ ữ x2 ốx - x + 2ø Câu 17 Tìm x biết a +1 a2 - ×x = , a +2 a + 2a với a số; a ¹ 1; a ¹ - 1; a ¹ 0; a ¹ - Câu 18 Thực phép tính 5x2 + 10xy x + 2y : 2 b) x + 2xy + 4y x - 8y 3x + x + : a) x - x - ; Câu 19 Thực phép tính 4x2 + : (1- 2x) x a) ; (x + y) : b) y2 + xy x- y x - 2y x2 - 2xy ×B = 3 x - xy + y2 Tìm biểu thức B Bài 20 Cho đẳng thức x + y Câu 21 Thực phép tính sau: 18x2y2 5z3 × a) 15z 9x y ; 5x + 5y 6x - 6y × b) 4x - 4y 25x + 25y ; æ x + x - x2 - 4x K = ỗ + ỗ ỗ ç x - x +1 x2 - è Cõu 22 Cho 1ử x + 2003 ữ ữ ì ÷ ÷ x ø a) Rút gọn K b) Tìm số nguyên x để K nhận giá trị nguyên Câu 23 Thực phép tính sau a) b) P = 12x + 4x + 12x + - 3x × + × x + 360x + 150 x + 360x + 150 ; P = x + 3y 4x - 2y x + 3y x - 3y × × 3x + y x - y 3x + y x - y ổ 7z ữ ỗ ữ 3x3y4 ìỗ 5ữ ữ ç xy è ø c) ĐS: x(x + y) Câu 24 Tìm biểu thức x , biết: x: a2 + a + a + = 2a + a - Câu 25 Cho ab + bc + ca = Chứng minh tích sau khơng phụ thuộc vào biến số (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 A= × × + a2 + b2 + c2 Câu 26 Cho a + b + c = Chứng minh tích sau khơng phụ thuộc vào biến số M = a) 4bc - a2 4ca - b2 4ab - c2 × × bc + 2a2 ca + 2b2 ab + 2c2 ; Câu 27 Tính: ỉ ổ bử ổ cử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ N =ỗ + ì + ì 1+ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ÷ ÷ ÷ b c aø è ø è ø ố b) 3x2 ổ - 10y3 ữ ỗ ữ ì ỗ ỗ ữ ữ 5y ỗ 9x ø è b) 3x + - 2x × x 16 x +2 ; a) Câu 28 Thực phép tính sau M = x5 + 2x2 + 4x 5x3 + × × 3x3 + x2 - x5 + 2x2 + ; A= x2 + 2x 2x - ×2 3x - x + 4x + a) b) Câu 29 Rút gọn tính giá trị biểu thức P = x2 - 2x + 10 × x + x2 - x với x = 99 Câu 30 Hãy điền phân thức thích hợp vào đẳng thức sau x x +1 x + x + x + × × × × × ¼ = x x +1 x + x + x + x + Câu 31 Cho x + y + z = Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến số P = (x + y)2 (y + z)2 (z + x)2 × × xy + z yz + x zx + y HD: xy + z = xy + z(x + y + z) = (z + x) ×(z + y) tương tự Câu 32 Thực phép tính A= a) 14 + 54 + 94 + 174 + ì ì ẳ 34 + 74 + 114 + 194 + ; 4 1 + + 294 + 4ì 4ì 4ẳ B= 1 1 24 + 44 + 64 + 304 + 4 4 b) 14 + Câu 33 Thực phép chia A= x +y +z x2 + y2 - z2 + 2xy : 2x + 2y (x + y)2 - (x + y)z ; B= 6x - 4x2 - : x 3x2 ; a) b) C = b) x2 - 12xy + 36y2 3x - 18y : x2 + 12xy + 36y2 3x + 18y Câu 34 Hãy điền phân thức thích hợp vào đẳng thức sau x x +1 x + x + x + : : : : : ¼ = x +1 x +2 x + x + x + Câu 35 Tìm x biết 3a 4a ìx = vi a a) Câu 36 Tính A= a +2 a2 - ×x = a +1 a + a với a ¹ b) 52 - 92 - 132 - 572 - : : : ¼ : 32 - 72 - 112 - 552 - {- 1;0;- 2}