PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Phân thức đại số A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Phép cộng các phân thức đại số Quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộ[.]
Phân thức đại số PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phép cộng phân thức đại số Quy tắc cộng hai phân thức có mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức, ta cộng tử thức với giữ nguyên mẫu thức A B AB M M M ; Quy tắc cộng hai phân thức không mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức đưa quy tắc cộng hai phân thức có mẫu thức Giống phép cộng phân số, phép cộng phân thức có tính chất sau : giao hốn; kết hợp; cộng với số Chú ý: Nhờ tính chất kết hợp nên dãy phép cộng nhiều phân thức, ta không cần đặt dấu ngoặc Phép trừ phân thức đại số Quy tắc trừ hai phân thức có mẫu thức: Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức, ta trừ tử phân thức bị trừ giữ nguyên mẫu : A B A B M M M ; Quy tắc cộng hai phân thức không mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức đưa quy tắc trừ hai phân thức có mẫu thức Phân thức đối phân thức A B kí hiệu A B A A 0 Ta có : B B A -A A Phân thức đối phân thức B B hay B A A B B ; B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Cộng , trừ phân thức đại số thơng thường Ví dụ Thực phép tính sau: x - 6x + + a) ĐS: x x + x - 10 x + + + b) x - x - x - ĐS: Ví dụ Thực phép tính sau: x- ĐS: 2(x + 1) x +1 - 2x + a) 2x - x - 2x x +1 2- x + + b) x + 4x + x + (x + 2) ĐS: 2x - x - c) x - x - x +1 ĐS: x - 2(2xy - 1) xy - 2 x y 3x2y2 d) ĐS: xy x3 - x3 + - 2 x x x +x e) ĐS: x2 + y2 y2 x2 2 2 f) x - y xy - y x - xy ĐS: - 2xy (x - y)(x + y) Dạng 2: Cộng , trừ phân thức đại số kết hợp quy tắc đổi dấu Áp dụng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung: -A A = ; -B B A -A A = =-B B B Thực theo quy tắc cộng, trừ hai phân thức có mẫu thức Ví dụ Thực phép tính sau: 2x2 - x x + - x2 + + a) x - 1- x x - ĐS: x - 2 5x + + b) x + 1- x 1- x ĐS: x - Ví dụ Thực phép tính sau: y 4x + a) 2x - xy y - 2xy - 2x - y ĐS: xy x x - 3y x + + 2 b) x + xy y - x xy - x - ĐS: x + y Dạng 3: Rút gọn phân thức tính giá trị biểu thức Bước 1: Áp dụng kiến thức học để rút gọn phân thức Bước 2: Tính giá trị biểu thức sau rút gọn Ví dụ Cho biểu thức: P = 2 4x + + x - x x + x + 1- x3 với x ¹ 0; x ¹ P = a) Rút gọn biểu thức P ; ĐS: x(x - 1) ĐS: b) Tính giá trị biểu thức P x = Dạng 4: Tốn có nội dung thực tế Bước 1: Thiết lập biểu thức theo yêu cầu toán Bước 2: Sử dụng kiến thức học để giải tốn Ví dụ Một đội máy xúc nhận nhiệm vụ xúc 11600 m Giai đoạn đầu, đội xúc 3 5000 m với suất trung bình máy xúc x m /ngày Giai đoạn sau, suất làm việc máy xúc tăng 25 m /ngày Khi đó: a) Hãy biểu diễn: i) Thời gian xúc 5000 m giai đoạn đầu tiên; ii) Thời gian làm nốt phần việc lại giai đoạn sau; 5000 ĐS: x ngày 6600 ĐS: x + 25 ngày 5000 6600 + x + 25 ngày ĐS: x iii) Tổng thời gian hồn thành cơng việc 3 b) Giả sử suất trung bình máy xúc 250 m /ngày tổng thời gian hồn thành cơng việc ngày? ĐS: 44 ngày Ví dụ Cơng ty da giày Hải Phịng nhận sản xuất 10000 đơi giày cho đối tác nước ngồi với thời hạn x ngày Do cải tiến kĩ thuật, cơng ty khơng hồn thành trước kế hoạch đề ngày mà sản xuất thêm 200 đôi giày a) Hãy biểu diễn qua x : 10000 i) Số lượng đôi giày công ty phải sản xuất ngày theo kế hoạch ĐS: x ii) Số lượng đôi giày thực tế công ty sản xuất ngày iii) Số lượng đôi giày làm thêm ngày 10200 ĐS: x - 200x + 10000 ĐS: x(x - 1) b) Tính số lượng đôi giày mà công ty làm thêm ngày với x = 25 ĐS: 25 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Thực phép tính sau: 11x - 10x + + - 2x a) x - ĐS: + b) x + 2x + 3x - ĐS: 2x - - 3x2 1 + + c) x + x - x + x + - 2(x - 1) ĐS: x - x + 1 + + + d) 1- x + x 1+ x + x 8 ĐS: 1- x Bài Thực phép tính sau: x + 4y x +y + 2 a) x - 2xy 2y - xy - x - 2y ĐS: xy 1 + + b) (x - y)(y - z) (y - z)(z - x) (z - x)(x - y) ĐS: Bài Thực phép tính sau: 2x - 3x + 14 + a) ĐS: x + x + x - 18 x + + + b) x - x - x - ĐS: Bài Thực phép tính sau: + a) x + 4x 2x + ĐS: 2x x + x - x - 14 + + x x + x - b) ĐS: Bài Thực phép tính sau: - x2 2x - 2x2 - 4x + + 3- x x- a) x - ĐS: x - - 5x + + + b) x + 2 - x - x ĐS: x - Bài Thực phép tính sau: y x + a) x - xy y - xy - x- y ĐS: xy 2 + + 2 b) x + xy y - x xy - x - ĐS: x(x - y) Bài Cho biểu thức: P = x2 + x + x + x + x +1 x +1 a) Rút gọn biểu thức P ĐS: P = x +1 x2 + b) Tính giá trị biểu thức P x = ĐS: Bài Cho biểu thức: P = x2 2(x - 1) x +2 + + x +1 x x + x với x ¹ 0; x ¹ - ĐS: P = x + a) Rút gọn biểu thức P ; b) Tính giá trị biểu thức P x = ĐS: Bài Thực phép tính sau: 3x + 4 - x - 3 x y xy a) ĐS: x y x2 + b) x + x + ĐS: x - x + 5x - - c) x - x - x - ĐS: x 2 x y - 2x 2 d) xy - y xy - x x- y ĐS: xy Bài 10 Tìm phân thức P (x) thỏa mãn đẳng thức sau: x 6x - + - P (x) = x - a) x - x + ĐS: 2x + x +2 - P (x) = - x - x + x +1 b) x - P (x) = x- x + -x ĐS: x + x + Bài 11 Thực phép tính sau: 3x - 2x - a) x + x + x- ĐS: x + 2(xy - 1) xy - 2 x y x2y2 b) ĐS: xy x - c) x - x - x x +1 ĐS: x 1 - 2 d) xy - y x - xy ĐS: xy Bài 12 Tìm phân thức Q(x) + x- x- x- = x - x - x - 5x + Q(x) thỏa mãn đẳng thức sau: ĐS: x - Bài 13 1 a) Chứng tỏ hiệu phân thức có tử 1: x x + ĐS: x(x + 1) b) Tính nhanh biểu thức sau: Q(x) = 1 + +L + x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 99)(x + 100) 100 ĐS: x(x + 100) Bài 14 Đầu tháng năm 2017 , toàn giới ghi nhận hàng chục ngàn máy tính bị nhiễm loại virus mang tên WannaCry Theo ước tính, có 150000 thiết bị điện tử trở thành nạn nhân công mạng Trong thời gian đầu virus phát tán, trung bình ngày ghi nhận x thiết bị nhiễm virus giai đoạn khiến 60000 thiết bị bị thiệt hại Sau tốc độ lan truyền gia tăng 500 thiết bị nhiễm virus ngày a) Hãy biểu diễn: 60000 ĐS: x i) Thời gian 60000 thiết bị nhiễm virus; ii) Thời gian số thiết bị lại bị lây nhiễm; iii) Thời gian để 150000 thiết bị nêu bị nhiễm virus 90000 ĐS: x + 500 90000 60000 + x ĐS: x + 500 b) Tính thời gian để 150000 thiết bị nêu bị nhiễm virus với x = 4000 ĐS: 35 Bài 15 Một tàu du lịch từ Hà Nội tới Việt Trì, sau nghỉ lại Việt Trì trước quay trở lại Hà Nội Quãng đường từ Hà Nội tới Việt Trì 70 km Vận tốc dòng nước km/h Gọi vận tốc thực tàu x km/h a) Hãy biểu diễn: i) Thời gian tàu ngược dịng từ Hà Nội tới Việt Trì; 70 ĐS: x - (giờ) ii) Thời gian tàu xi dịng từ Việt Trì tới Hà Nội; 70 ĐS: x + (giờ) iii) Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến tàu quay trở Hà Nội ĐS: 70 70 + +2 x- x +5 (giờ) b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến tàu tới Hà Nội, biết vận tốc lúc ngược dòng tàu 20 km/h ĐS: 50 phút Bài 16 Nếu mua lẻ giá bút bi x đồng Nhưng mua từ 10 bút trở lên giá rẻ 100 đồng Cô Dung dùng 180000 đồng để mua bút cho văn phòng Hãy biểu diễn qua x : 180000 ĐS: x a) Tổng số bút mua mua lẻ b) Tổng số bút mua mua lúc, biết giá tiền bút không 1200 đồng 180000 ĐS: x - 100 c) Số bút lợi mua lúc so với mua lẻ 18000000 ĐS: x(x - 100) Bài 17 Một công ty may mặc phải sản xuất 10000 sản phẩm x ngày Khi thực làm xong sớm ngày mà làm thêm 80 sản phẩm a) Hãy biểu diễn qua x : i) Số sản phẩm phải sản xuất ngày theo kế hoạch 10000 ĐS: x ii) Số lượng sản phẩm thực tế làm ngày 10080 ĐS: x - 80x + 10000 ĐS: x(x - 1) iii) Số sản phẩm làm thêm ngày b) Tính số sản phẩm làm thêm ngày với x = 25 ĐS: 20 Bài 18 Tính nhanh biểu thức sau: Q(x) = 1 1 + + + x - x + 4x + x + 8x + 15 x + 12x + 35 ĐS: Q(x) = E BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Thực phép tính sau: x2 + 4x + b) x - 2 - x x + y x - 2y + 3x ; a) 3x Câu Rút gọn biểu thức sau ( ) x2 - x2 - x2(x - 1)2 - A= + + 2 x2 + - x2 x (x + 1) - x - (x + 1) x - (x - 1) ( Câu Cho a,bc , ) thõa mãn abc = Tính M = a b c + + ab + a + bc + b + ac + c + Câu Thực phép tính sau 5x + + a) 4xy 2y z 6yz ; x2 3 + + b) x + 3x x + x Câu Rút gọn biểu thức B= 1 2a 4a3 8a7 + + + + a - b a + b a + b2 a4 + b4 a8 + b8 Câu Cho a + b + c = Rút gọn biểu thức (x - 1)(x + 7) Câu Tìm x biết: A= a2 b2 c2 + + a2 - b2 - c2 b2 - a2 - c2 c2 - a2 - b2 ; B= 1 + + 2 2 b +c - a c +a - b a + b2 - c2 x- 2 = a + a - ( a số) Câu Chứng minh đẳng thức a2 + 3ab 2a2 - 5ab - 3b2 a2 + ab + ac + bc + = a2 - 9b2 6ab - a2 - 9b2 3bc - a2 - ac + 3ab Câu Tính: 5x - 2x + + 15 ; a) 15 - 2x + 2y 2x - + + 6x3y 6x3y ; b) 6x y x2 y2 - y2 - z2 + + + c) x + y y + z x + y y + z Câu 10 Tính: 4x - x + + xy 7xy2 ; a) 1 + + b) x 2x 3x ; 2x - x + + c) x Câu 11 Thực phép tính sau: xy 2x2 b) 2x - y y - 2x 3x + x - 2 xy 2xy ; a) Câu 12 Thực phép tính sau 3x x a) 5x + 5y 10x - 10y ; Câu 13 Rút gọn biểu thức: 3x - b) 3x - 3x + - 9x A= x +2 2x2 + x2 + x + x - 1- x3 Câu 14 Rút gọn biểu thức 10 A= 20x2 + 120x + 180 5x2 - 125 (2x + 3)2 - x2 + (3x + 5)2 - 4x2 9x2 - (2x + 5)2 x2 + 8x + 15 ( ) Câu 15 Rút gọn tính giá trị biểu thức P = 6x2 + 8x + x + v?i x = x - x + x +1 x - Câu 16 Tính giá trị biểu thức P = 10 12 ; x = - 0,75 (x + 2)(3 - x) (3 - x)(3 + x) (x + 3)(x + 2) Câu 17 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x A= Câu 18 Tìm x biết: x+ x +1 x - + - ; x ¹ 1; x ¹ - x - x +1 x - 1 a = a - a a - ; ( a số) (a X + Câu 19 Tìm phân thức X biết: ) + ×a a - - 1= a +a +1 Câu 20 Tính: 7x + 2 - 2x a) 5x - 5x - ; 5x - x - 2 4x2y b) 4x y Câu 21 Tính: xy x2 - 2 2 a) x - y y - x ; x+4 - 2 b) x - x + 2x 1 - + Câu 22 Tính x + x + x - x + Câu 23 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x A= x+4 x- - 2x + x - 1 Câu 24 Thực phép tính x x + Câu 25 Thu gọn biểu thức: A= 1 1 + + + x + x x + 3x + x + 5x + x + 11 P = Câu 26.Viết phân thức thức có tử thức số 4x2 - 2x + 2x - dạng tổng đa thức phân P = 4x2 - 2x + 2x - Tìm giá trị nguyên x để giá trị Câu 27 Cho phân thức phân thức P số nguyên Câu 28 Cho biểu thức P P = 25x2 - 5xy - 15x + y - + x ¹ ; y ¹ 1- 5x y- với Tính giá trị 2 2 Câu 29 Cho (a + b + c) = a + b + c Rút gọn biểu thức P = a2 b2 c2 + + a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 12