10/ 10 PHIẾU SỐ - HỌC KÌ I – TUẦN 16 - TIẾT 31 – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN O I qua A tiếp xúc với Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường tròn BC B C Gọi M trung điểm BC Chứng minh: a) O I tiếp xúc với O I b) AM tiếp tuyến chung hai đường tròn c) Tam giác OMI tam giác vuông d) BC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OMI Bài 2: Cho O, R O ', r O ', r B O ,C O ' O, R tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung Tiếp tuyến chung O, R O ', r cắt BC I a) Chứng tỏ BAC 90 ; OIO ' 90 O Chứng minh ba điểm A,C, D thẳng hàng b) Kẻ đường kính BD c) Tính theo R r độ dài BC , BA,CA O Chứng minh SABC SADE d) Kẻ đường kính CE Bài 3: Cho hai đường tròn O O ' cắt hai điểm A, B Gọi C đối xứng với A qua O , D đối xứng với A qua O ' Một đường thẳng d qua A cắt O O ' thứ tự M , N a) Chứng minh C , B, D thẳng hàng b) AC cắt tròn O O ' F Chứng minh bốn điểm C , D, E, F thuộc đường E , AD cắt c) Chứng minh trung trực MN qua trung điểm CD d thay đổi, từ suy trung điểm MN ln di động đường trịn cố định d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn Bài 4: Cho O, R DE đường tròn O ', r có R r tiếp xúc ngồi A Vẽ đường kính O vng góc với BC trung điểm K BC AOC AO 'C Dây a) Chứng minh BDCE hình thoi Nhóm chun đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 10/ 10 O ' Chứng minh D, A.I thẳng hàng b) Gọi I giao điểm EC O ' c) Chứng minh KI tiếp tuyến O ' AD O ' tiếp xúc với O Bài 5: Cho hai đường tròn O O tiếp xúc với O ' cắt A, B Dây AC A Dây A Gọi K điểm đối xứng với A qua trung điểm I OO ' , E đối xứng với A qua B Chứng minh: a) AB KB b) Bốn điểm A, C , E.D thuộc đường tròn ĐÁP ÁN PHIẾU SỐ - HỌC KÌ I – TUẦN 16 - TIẾT 31 – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN O I qua A tiếp xúc với Bài 1: Cho tam giác ABC vng A Vẽ đường trịn BC B C Gọi M trung điểm BC Chứng minh: a) O I tiếp xúc với O I b) AM tiếp tuyến chung hai đường trịn c) Tam giác OMI tam giác vng d) BC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OMI Giải: I K A O B 2 M C Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 10/ 10 a) O tiếp xúc với BC B OB BC I tiếp xúc với BC C IC BC Suy OB / / IC (từ vuông góc đến song song) OBC ICB 180 B1 B2 C1 C2 1800 1 Có B A OAB cân O 1 ; C A IAC cân I 2 suy A A B C 2 1 Từ (1) (2) suy A A B C 180 2 A1 A2 1800 B2 C2 BAC 900 A1 A2 BAC 90 900 180 OAI 180 O, A, I thẳng hàng OI OA AI O vaø I tiếp xúc A b) ABC vng A có AM đường trung tuyến AM MB MC BC Chứng minh OAM OBM c c c OAM OBM (hai góc tương ứng) O ) Mà OBM 90 (vì BC tiếp xúc với OAM 900 OA AM A O A mà O Suy AM tiếp tuyến A I Chứng minh tương tự AM tiếp tuyến A O I Do AM tiếp tuyến chung c) Xét O có MA, MB hai tiếp tuyến cắt M Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 10/ 10 MO phân giác AMB Chứng minh tương tự MI phân giác AMC Mà AMB AMC hai góc kề bù nên MO MI OMI vng M d) Gọi K trung điểm OI Xét OMI vng M có K trung điểm cạnh huyền OI K tâm đường tròn ngoại tiếp OMI Xét tứ giác OBCI có OB / / IC OBIC hình thang Lại có M , K trung điểm hai cạnh bên OI , BC MK đường trung bình hình thang OBIC MK / / O B mà OB BC MK BC M mà M K BC tiếp tuyến M đường tròn K ngoại tiếp OMI Bài 2: Cho O, R O ', r O ', r B O ,C O ' O, R tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung O, R Tiếp tuyến chung O ', r cắt BC I a) Chứng tỏ BAC 90 ; OIO ' 90 O Chứng minh ba điểm A,C, D thẳng hàng b) Kẻ đường kính BD c) Tính theo R r độ dài BC , BA,CA O Chứng minh SABC SADE d) Kẻ đường kính CE B Giải: I C O O' A E Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ D 10/ 10 a) Xét đường trịn O có IA, IB hai tiếp tuyến cắt I IA IB 1 IO phân giác AIB Chứng minh tương tự IA IC IO ' làphân giác củaAIC IA IB IC BC BAC Từ (1) (2) suy vuông A BAC 90 Vì IO làphân giác AIB IO ' làphân giác AIC Mà AIB AIC hai góc kề bù nên IO IO ' OIO ' 90 O ngọai tiếp ABD ABD vuông A BAD 900 b) Vì BD đường kính 0 mà BAC 90 DAC 180 A,C , D thẳng hàng IA BC BC 2 IA c)+ Có O , O ' ) Xét OIO ' vuông I có IA OO ' ( Vì IA tiếp tuyến chung IA OA.O ' A ( hệ thức lượng tam giác vuông) IA R.r IA Rr BC 2 Rr + Áp dụng Pi – ta – go vào BDC vuông B DC BD BC 2R Rr 2 R Rr + Xét BDC vuông B có BA DC Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 10/ 10 AB.DC BD.BC AB BD.BC R.2 Rr 2R R DC R r ( hệ thức lượng tam giác vuông) R Rr + Xét BDC vng B có BA DC BC CA.CO ( hệ thức lượng tam giác vuông) Rr CA.2 R Rr CA Rr R Rr 2r R R r d) Có OB / / O ' C CE / / BD Xét tam giác ABD có CE / / BD AC AE 1 AC AB AD.AE AC AB AD AE S ABC S ADE AD AB 2 Bài 3: Cho hai đường tròn O O ' cắt hai điểm A, B Gọi C đối xứng với A qua O , D đối xứng với A qua O ' Một đường thẳng d qua A cắt O O ' thứ tự M , N a) Chứng minh C , B, D thẳng hàng b) AC cắt tròn O O ' F Chứng minh bốn điểm C , D, E, F thuộc đường E , AD cắt c) Chứng minh trung trực MN qua trung điểm CD d thay đổi, từ suy trung điểm MN ln di động đường trịn cố định d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn Giải: F E M I A N O' O C K B Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ D 10/ 10 O a) C đối xứng với A qua O suy O trung điểm AC suy AC đường kính D đối xứng với A qua O ' suy O ' trung điểm AD suy AD đường kính O ' O Vì ABC nội tiếp có cạnh AC đường kính suy ABC vuông B ABC 90 CMTT ta có ABD 90 Suy CBD 180 suy C , B, D thẳng hàng O ' có cạnh AD đường kính suy AED vng E b) Vì AED nội tiếp AED 90 CED vuông E C , E , D đường trịn đường kính CD (1) CMTT ta có C ,F, D đường trịn đường kính CD (2) Từ (1) (2) suy bốn điểm C , D, E , F thuộc đường tròn đường kính CD c) Giả sử đường trung trực MN cắt MN I cắt CD K IK MN IM IN CMTT ta CMA 90 CM MN AND 90 DN MN Suy IK / / CM / / DN (cùng vng góc với MN ) Tứ giác CMND có CM / / DN CMND hình thang Lại có I trung điểm MN IK / / CM / / DN K trung điểm CD ( định lí đường trung bình hình thang) Vậy d thay đổi đường trung trực MN ln qua trung điểm CD Vì A cố định nên CD cố định suy trung điểm K CD cố định suy AK cố định Mà AIK 90 AIK nội tiếp đường trịn đường kính AK cố định suy trung điểm I MN ln di động đường trịn đường kính AK cố định d) Có MN CD Dấu ”=”xảy MN / / CD max MN CD MN / / CD Vậy d qua A song song với CD MN có độ dài lớn CD Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 10/ 10 O ', r có R r tiếp xúc ngồi A Vẽ đường kính DE đường trịn O vng góc với BC trung điểm K BC Bài 4: Cho O, R AOC AO 'C Dây a) Chứng minh BDCE hình thoi O ' Chứng minh D, A.I thẳng hàng b) Gọi I giao điểm EC O ' c) Chứng minh KI tiếp tuyến D Giải: O B O' K A C a) Xét O có AB DE K I E suy K trung điểm DE ( quan hệ vng góc đường kính dây) Xét tứ giác BDCE có hai đường chéo BC; DE vng góc với trung điểm đường BDCE hình thoi O có cạnh AB đường kính b) Xét ABD nội tiếp ABD vuông D ADB 900 AD BD Mà BD / / CE suy AD CE (1) O ' có cạnh AC đường kính Xét AIC nội tiếp AIC vuông I AIC 90 AI EC (2) Từ (1) (2) suy D, A.I thẳng hàng d) Vì DI EC suy DIE vng I có IK đường trung tuyến IK KE KD DE Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 10/ 10 KIE cân K I1 E1 (3) O ' I C1 Vì O ' C O ' I O ' IC cân (4) Mà E C 900 ( EKC vuông K) 1 Từ (3), (4), (5) suy (5) I I 900 KIO ' 90 KI O ' I mà I O ' KI tiếp tuyến I O ' O ' cắt A, B Dây AC O tiếp xúc với O ' A AD O ' tiếp xúc với O A Gọi K điểm đối xứng với A qua trung điểm I Bài 5: Cho hai đường tròn O Dây OO ' , E đối xứng với A qua B Chứng minh: a) AB KB b) Bốn điểm A, C , E.D thuộc đường tròn Giải: A I O F K O' B D C E a) Hai đường tròn O O ' cắt A, B OO ' đường trung trực AB OO ' AB trung điểm F AB Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 10/ 10 Xét AKB có I trung điểm AK F trung điểm AB Suy IF đường trung bình AKB IF / / KB mà IF AB OO ' AB KB AB (từ vng góc đến song song) b) Có KB AB BA BE ( E đối xứng với A qua B ) KB đường trung trực AE KA KE (1) I trung điểm AK I trung điểm OO ' Tứ giác AOKO ' có Suy AOKO ' hình bình hành O ' A / / OK mà O ' A AC ( AC tiếp xúc với O ' A ) OK AC Mà AOC cân O OK đồng thời đường trung trực AC KA KC (2) CMTT ta có KA KD (3) K , KA Từ (1),(2),(3) suy KA KC KE KD A, C , E , D thuộc đường tròn Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/