Bài tập về Vị trí tương đối và đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn Hình học 9

+ là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh kia + Đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A có tâm là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc B [r]

CHỦ ĐỀ: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG TRỊN

HÌNH HỌC LỚP 9

A/ LÝ THUYẾT

Gọi khoảng cách từ tâm O đến đƣờng thẳng OH

1 Đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn hai điểm phân biệt:

 đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O)  OH < R

2 Đƣờng thẳng  đƣờng trịn (O) khơng giao

 Đường thẳng  đường trịn (O) khơng có điểm chung  OH R

3 Đƣờng thẳng tiếp xúc với đƣờng trịn

 đường thẳng  có điểm chung Hvới đường tròn (O)  OH = R

Δ H

4 Tiếp tuyến đƣờng tròn

 tiếp tuyến đường tròn (O) điểm H  ∆ tiếp xúc với đường tròn H

Điểm H gọi tiếp điểm tiếp tuyến với đường tròn (O) Ta có OH R

* Nếu  tiếp tuyến (O)  vng góc với bán kính qua tiếp điểm * Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm

+ Điểm cách hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đến tâm O tia phân giác góc tạo tiếp tuyến

+Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm

+ Tia kẻ từ tâm qua điểm vng góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm trung điểm đoạn thẳng

4 Đƣờng tròn nội tiếp tam giác

+ đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác

+ có tâm giao điểm đường phân giác tam giác 5 Đƣờng tròn bàng tiếp tam giác

+ đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác phần kéo dài hai cạnh + Đường tròn bàng tiếp tam giác góc A có tâm giao điểm hai đường phân giác ngồi góc B góc C

+ Mỗi tam giác có đường tròn bàng tiếp

O H

M

B A

O

B/ BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN

I/ Phƣơng pháp: Xét (O, R) đƣờng thẳng d

* Bài toán khoảng cách OH từ tâm O tới đƣờng thẳng d d cắt (O) hai điểm Xét OHABOH R,HA HB   R2OH2 Theo định lý Pitago ta có: OH2MO2MH2

Mặt khác ta có: OH2R2AH2

=> MO2MH2 R2AH2 MH2AH2MO2R2 (MH AH) MH AH   MO2R2

CÁC KẾT QUẢ THU ĐƢỢC

+ Nếu M nằm đoạn AB  2

MA.MB MO R

+ Nếu Mnằm đoạn AB  2

MA.MB R MO

+ Mối liên hệ khoảng cách dây cung:  

2 2 AB

R OH

4

* Để chứng minh đƣờng thẳng d tiếp tuyến (tiếp xúc) với đƣờng tròn (O, R):



Đường trịn bàng tiếp góc A Đường tròn nội tiếp ΔABC

O

O B

C A

P

N M

F

E D

C B

A

H

M B

A

O

H O

B A

tiếp góc tạo tiếp tuyến dây) II/ BÀI TẬP MẪU

Ví dụ Cho hình thang vng ABCD (A B 90 )0 có O trung điểm AB góc 

COD 90

Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn đường kính AB

Giải

Kéo dài OC cắt BD E 

COD 90 suy 

EOD 90 Vì COD nên xét ∆vngCOD ∆vngEOD ta có

OD chung

   

OC OA

1 OC OD OD OB

 COD EOD => DC DE => ∆ECD cân D Kẻ OHCD OBD OHDOH OB

mà OB OA OH OB OA  hay A,H, B thuộc đường tròn (O) Do CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB

Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M,N hai điểm cạnh AB,AD

cho chu vi tam giác AMN 2a Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định

Giải

Trên tia đối BA ta lấy điểm E cho BE ND Ta có BCE DCNCN CE

Theo giả thiết ta có:

    

MN AM AN AB AD AM MB AN DN    AM AN MB BE  

Suy MN MB BE ME  

Từ ta suy MNC MECCMN CMB Kẻ CHMN CH CB CD a  

Vậy D,H, B thuộc đường tròn tâm C bán kính CB a suy MN ln tiếp xúc với đường trịn tâm C bán kính a



Bx BA cắt đường tròn tâm B bán kính BH D Chứng minh CD tiếp tuyến (B)

Giải

Vì tam giác ABC cân A nên ta có: B C  

Vì BxBAB2  900

Mặt khác ta có B1  900B1B2

Hai tam giác BHC BDC có BC chung, B1B2, BH BD R  suy BHC BDC(c.g.c) suy   

BHC BDC 90

Nói cách khác CD tiếp tuyến đường trịn (B)

Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A (AB AC) đường cao AH Gọi E điểm đối xứng với

B qua H Đường trịn tâm O đường kính ECcắt AC K Chứng minh HK tiếp tuyến đường tròn (O)

Giải

Vì tam giác EKC có cạnh EC đường kính (O) nên



EKC 90

Kẻ HIACBA / /HI / /EK suy AI IK từ ta có tam giác

AHK cân H

Do K1B (cùng phụ với góc hai góc BAH,IHK) Mặt khác ta có: K2 C3 (do tam giác KOC cân O)

Mà B C 3900 K1K2900 suy HKO 90 0 hay HK tiếp tuyến (O) Ví dụ Cho tam giác ABCvng Ađường cao AH Vẽ đường trịn

tâm A bán kính AH kẻ tiếp tuyến BD,CE với (A) (D,E tiếp điểm khác H) Chứng minh DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC

Giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhu có:  

Gọi O trung điểm BC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác AD AE nên OA đường trung bình hình thang vng BDEC

Suy OADE A Nói cách khác DE tiếp tuyến đường trịn (O) Đường kính

BC

III/ LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) C cắt AB D.Qua O vẽ đường thẳng vng góc với phân giác góc ODC, đường cắt CD M Chứng minh đường thẳng d qua M song song với AB tiếp xúc với (O) C thay đổi

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC E F BF CE cắt I Gọi M trung điểm AI Chứng minh: MF tiếp tuyến (O) Bài 3: Cho đường trịn (O;R) có đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O) cho AB = R

a Chứng minh tam giác ABC vng tính độ dài BC theo R

b Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M Trên (O) lấy điểm D cho MD = MA (D khác A) Chứng minh MD tiếp tuyến (O)

Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), AB = 4 Đường kính AD cắt BC H Đường thẳng BO cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm E

a Chứng minh AH vng góc với BC, tính độ dài AH bán kính đường trịn (O) b Chứng minh EC tiếp tuyến (O) tứ giác ABCE hình thoi

Bài 5: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A B) Gọi D giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến A nửa đường tròn tâm O I trung điểm AD

a Chứng minh BC.BD = 4R2

b Chứng minh IC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O

Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt nhai H Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID, IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho góc COD 90^0 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O)

a Chứng minh AM.AN = AC2

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia