Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG (2m 1) x (m 1) y m Bài Cho mặt phẳng (P): 2x – y + = đường thẳng d m : mx (2m 1) z 4m Tìm m để ( P) / / d m Lời giải (2 m) x (m 1) y ( P) Giả sử d m : x z ( P ') Ta có véc tơ phương đường thẳng cho là: udm nP , nP ' (2m2 m 1; 4m2 4m 1; m2 m) y 1 ( P) / / d m udm nP 2m2 m 1) (4m2 4m 1) 0(m2 m) m (d ) : x Khi với điểm A(0;1; z ) dm không thuộc (P), ( P) / / d m Bài x 3ky z Cho đường thẳng d : Tìm k để d vuông góc với (P): x – y - 2z + = kx y z Lời giải: x 3ky z ( P1 ) Giả sử d : , đường thẳng d có véc tơ phương là: kx y z ( P2 ) ud nP , nP ' (3k 1; k 1; 1 3k ) d ( P) ud / / nP (3k 1; k 1; 1 3k ) / /(1; 1; 2) 3k k 1 3k k 1 1 Vậy k = x az a ( P1 ) ax y ( P2 ) ; d2 : Bài Cho đường thẳng d1 : y z ( P1 ') x 3z ( P2 ') Tìm a để đường thẳng cắt Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Lời giải: Ta có: ud1 nP1 , nP1 ' (0;1;1); M (a; 1;0) d1 ud2 nP2 , nP2 ' (9; 3a; 3); N (0;1; 2) d MN (a; 2; 2); ud1 , ud2 (3a 3;9; 9) Để đường thẳng cắt ta cần có: ud , ud2 MN 3a 3a a1 0; a2 Thử lại với giá trị m ta thấy ud1 , ud2 không phương, tức đường thẳng cho cắt Bài x 1 y z x 5 y z 5 , d2 : 3 5 Tìm điểm M thuộc d 1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách (P) khoảng Cho mặt phẳng P : x y z đường thẳng d1 : Lời giải: Gọi M 1 2t;3 3t;2t , N 6t ';4t '; 5 5t ' d M ; P 2t t 0; t Trường hợp 1: t M 1;3;0 , MN 6t ' 4;4t ' 3; 5t ' 5 MN nP MN nP t ' N 5;0; 5 Trường hợp 2: t M 3;0;2 , N 1; 4;0 Bài 2 x y x y 1 z Cho đường thẳng d : Tìm m để d d ' ; d ': 2m m9 mx z Lời giải: 2 x y ( P1 ) x y 1 z ; d ': Giả sử: d : 2m m9 mx z ( P2 ) Ta có véc tơ phương đường thẳng d là: ud nP1 , nP2 ud (1; 2; m) Và véc tơ phương đường thẳng d’ là: ud ' (2m;3; m 9) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian m Ta có: d d ' ud ud ' 1.2m 2.3 m(m 9) m m Vậy có giá trị cần tìm là: m (2 m) x (m 1) y Bài Cho mặt phẳng (P) x+y-z+5=0 đường thẳng d m : x z Tìm m để ( P) / / d m Hướng dẫn giải: d ( P) ud / / nP (m 1; m 1; m 3) / /(1;1; 2) m 1 m 1 m m Giả sử 1 (2 m) x (m 1) y (d ) x z (d ') Ta có: uM d , d ' (1 m; m;1 m) 3 y ( P) / / d m um nP m m 2 (d ) : x z Với m = -2, điểm A(0; ; 2) không thuộc (P), ( P) / / d m x my (m-1)x y Bài Cho đường thẳng d1 : ; d2 : my z mx y 3z Tìm m để đường thẳng cắt Hướng dẫn giải: d ( P) ud / / nP (m 1; m 1; m 3) / /(1;1; 2) m 1 m 1 m m Ta có: 1 ud1 (m;1; m); M (1;0;1) d1 ud2 (9;3m 3; 2m 1); N (0;1;0) d MN (1;1; 1); ud1 , ud2 (3m m 1; 2m 8m; 3m 3m 9) Để đường thẳng cắt ta cần có: ud1 , ud2 MN m2 3m m1 4; m2 1 Thử lại với giá trị m ta thấy ud , ud2 không phương, tức đường thẳng cho cắt Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Bài x (m 1)t Cho đường thẳng d : y (m 1)t Tìm m để đường thẳng d vuông góc với (P): x + y + 2z + = z (m 3)t Hướng dẫn giải: d ( P) ud / / nP (m 1; m 1; m 3) / /(1;1; 2) m 1 m 1 m m 1 Vậy m = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian BÀI TẬP BỔ SUNG Bài Trong không gian cho hai mặt phẳng P Q có phương trình là: P : x my 3z m Q : m 3 x y 5m 1 z 10 Với giá trị m thì: a Hai mặt phẳng song song? b Hai mặt phẳng trùng nhau? c Hai mặt phẳng cắt nhau? d Hai mặt phẳng vuông góc nhau? Lời giải a Để hai mặt phẳng song song thì: m 1; m 4 m 3m m 6m 5m m m 1; m vô nghiệm m 5m 10 10m 12 2m m Vậy không tồn giá trị m để hai mặt phẳng P Q song song b Để hai mặt phẳng trùng thì: m 3m m 6m 5m m m m 5m 10 10m 12 2m Vậy với m hai mặt phẳng P Q trùng c Để hai mặt phẳng cắt 5m m nP , nQ 5m m 6; 7 m 7; m 3m 7 m m Vậy với m m 3m hai mặt phẳng cắt d Gọi nP nQ VTPT hai mặt phẳng P Q nP 2, m, 3 nQ m 3, 2, 5m 1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Để P Q vuông góc thì: nP nQ m 3 m 2 5m 1 19m 9 m Vậy với m 19 hai mặt phẳng vuông góc 19 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 : x y z x 1 , d2 : y z mặt phẳng P : x y z Tìm tọa độ hai điểm 1 2 M d1, N d2 cho MN song song P MN Lời giải Gọi M d1 M t; t; 2t , N d N 1 2t '; t ';1 t ' t t ' MN nP t 2t ' t 11 2 MN (1 2t ' t ) (t ' t ) (1 t ' 2t ) 13 12 t ' 13 11 11 22 11 12 Vậy M ; ; , N ; ; M (1;1;2), N (1;0;1) 13 13 13 13 13 13 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = hai x 2t x 1 y z đường thẳng : (d) (d’) y t Viết phương trình tham số đường 1 z t thẳng ( ) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng Lời giải Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình : x t y 8t z 15t Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) có VTCP u 1;1; Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) có VTCP u ' 2;1;1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Ta có : MM ' 2; 1;3 MM ' u, u ' 2; 1;3 11 12 ; 12 12 ; Do (d) (d’) chéo (Đpcm) 1 8 MM ' u, u ' Khi : d d , d ' 11 u, u ' Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương trình : d : y2 x2 z5 x z d’ : y 3 1 1 Chứng minh hai đường thẳng chéo Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua d vuông góc với d’ Lời giải Đường thẳng d qua điểm M (0;2;0) có vectơ phương u (1;1;1) Đường thẳng d’ qua điểm M ' (2;3;5) có vectơ phương u '(2;1;1) Ta có MM (2;1;5) , u ; u ' (0; 3; 3) , u; u ' MM ' 12 d d’ chéo Mặt phẳng ( ) qua điểm M (0;2;0) có vectơ pháp tuyến u '(2;1;1) nên có phương trình: x ( y 2) z hay x y z Bài 5.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z = hai đường thẳng d1: x y3 z 1 x y z3 = = , = = Chứng minh d1 d2 chéo Viết phương trình 1 1 đường thẳng nằm (P), đồng thời cắt d1 d2 Lời giải Các em tự chứng minh đường chéo Toạ độ giao điểm d1 (P): A(–2;7;5) Toạ độ giao điểm d2 (P): B(3;–1;1) Phương trình đường thẳng : x2 y 7 z 5 8 4 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : x t (d) y 2t z 5t x t (d’) y 1 2t z 3t a CMR hai đường thẳng (d) (d’) cắt Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian b Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo (d) (d’) Lời giải a) Đường thẳng (d) qua M(0 ;1 ;4) có VTCP u 1; 2;5 Đường thẳng (d’) qua M’(0 ;-1 ;0) có VTCP u ' 1; 2; 3 3 Nhận thấy (d) (d’) có điểm chung I ;0; hay (d) (d’) cắt (ĐPCM) 2 u 15 15 15 b) Ta lấy v u ' ; 2 ; 3 7 u' 15 15 15 Ta đặt : a u v 1 ;2 ;5 7 15 15 15 b u v 1 ;2 ;5 7 Khi đó, hai đường phân giác cần tìm hai đường thẳng qua I nhận hai véctơ a, b làm VTCP chúng có phương trình : 15 x 1 t 15 t y z 15 t 15 x 1 t 15 t y z 15 t Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : x t x y2 z d1 : y t ;d2: 3 3 z 1 2t d3: x 1 y 1 z 1 Chứng tỏ d1 ; d hai đường thẳng chéo nhau,tính khoảng cách hai đường thẳng d1 ; d Viết phương trình đường thẳng , biết cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 điểm A, B, C cho AB = BC Lời giải Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian x t Đường thẳng d1 : y t suy d1 qua điểm A(0;4;-1) có vtcp u1 (1; 1; 2) Đường thẳng d2: z 1 2t x y2 z suy d qua điểm B(0;2;0) có vtcp u2 (1; 3; 3) Ta có AB (0; 2;1) 3 3 u1 , u2 9;5; 2 suy AB u1 , u2 9.0 (2).5 1.(2) 12 Vậy d1 d hai đường thẳng AB u1 , u2 12 chéo Khoảng cách d1 d : d d1 , d 2 55 u1 , u2 (2) Xét ba điểm A, B, C nằm ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Ta có A (t, – t, -1 +2t) ; B (u, – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, + 2v, - +v) A, B, C thẳng hàng AB = BC B trung điểm AC t (1 5v) 2u 4 t (1 2v) 2.(2 3u ) 1 2t (1 v) 2(3u ) Giải hệ được: t = 1; u = 0; v = Suy A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) Đường thẳng qua A, B, C có phương trình x y2 z 1 Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 đường x t thẳng d có phương trình y 2 t Tìm tọa độ điểm A thuộc d tọa độ điểm B trục Oz cho z t AB//(P) độ dài đoạn AB nhỏ Lời giải A(1+t;-2+t;-t)d, B(0;0;b)Oz, AB(1 t ;2 t ; b t ) , n( P ) (2;0;1) AB / /( P) AB.n( P ) b t AB đạt giá trị nhỏ t B(P) b≠0 , AB2=6t2+6t+9 ; b 2 Vậy A( ; ; ), B (0;0; ) 2 2 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -