087 toán vào 10 chuyên vĩnh phúc 2016 2017

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x  3x3  mx  x  0 ( m tham số) a) Giải phương trình m  b) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm dương Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình x  x x   x  0 2 b) Tìm tất nghiệm nguyên x, y phương trình x  y  x  y  y  Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c 3 Chứng minh  a  b  c    a  b3  c  9 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  với AB  AC Gọi M trung điểm BC , AM cắt  O  điểm D khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC E khác C Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB F khác B a) Chứng minh hai tam giác BDF , CDE đồng dạng ba điểm E , M , F thẳng hàng b) Chứng minh OA  EF    c) Phân giác góc BAC cắt EF điểm N Phân giác góc CEN BFN cắt CN , BN P Q Chứng minh PQ song song với BC Câu (1,0 điểm) Tập hợp A  1;2;3; ;3n  1;3n ( n số nguyên dương) gọi tập hợp cân đối chia A thành n tập hợp A1 , A2 , , An thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Ai  i 1,2, , n  gồm ba số phân biệt có số tổng hai số lại ii) Các tập hợp A1 , A2 , , An đôi phần tử chung a) Chứng minh tập A  1;2;3; ;92;93 không tập hợp cân đối b) Chứng minh tập A  1;2;3; ;830;831 tập hợp cân đối —— Hết—— Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh:…………………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016-2017 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm, học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày a Với m  , phương trình cho trở thành: x  x  x  x  0 Ta thấy x 0 , chia hai vế phương trình cho x ta được: 3  x    x    0 x x  Đặt t x  , ta phương trình: t  3t  0  t 1; t  x Với t 1 x  1  x  x  0 (vô nghiệm) x Với t  x    x  x  0  x  1; x  x Vậy phương trình có hai nghiệm x  1; x  b Trong trường hợp tổng qt ta có phương trình: t  3t   m 0 (1) Điểm 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25  x  tx  0 (2) x Từ suy điều kiện để (2) có nghiệm dương t 2 Ta có t  x  0,25 Vậy PT cho có nghiệm dương (1) có nghiệm t 2 33   4m  33 Khi t1,2  Xét PT (1) có  4m  33 0  m  0,25   4m  33 2  m 6  Vậy giá trị cần tìm m m 6   Do (1) có nghiệm t 2 khi:   0,25 0,25  3,0 a ĐKXĐ : x  0,25  Phương trình cho tương đương: x   x  3x   x  x x  0    x  3 x   x 0 x  x    x 1; x 3 4 x   x  x 0  x 0 x  3 x    (vô nghiệm)  2 4 x  9 x 9 x  x  0 Kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm x 1; x 3 b 2 2 Ta có x  y  x  y  y   x  y x  y  y   0 (1) 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Coi (1) PT bậc hai ẩn x, ta có   y  y      y y  (1) có nghiệm nguyên nên y  số phương, đặt y  k (k  ) Khi  k  y   k  y  9 0,25 Xét trường hợp ý k   ta  k , y     5;  ;  5;   ;  3;0   0,25 Với y 2 ta được: x  x  96 0  x 12; x  Với y 0 ta được: x 0 Vậy nghiệm cần tìm  x, y     0;0  ;  12;  ;  12;   ;   8;  ;   8;    0,25 1,0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:  a  b  c   a  b  c    a  b3  c  27   a  b  c   a  b  c    a  b  c   a  b  c    a  b3  c3    a 2b  b2 c  c a  ab  bc  ca   a  b  c  Ta có đẳng thức  a  b  c 0,25 0,25 (1)  a  b3  c    a 2b  b 2c  c 2a  ab  bc  ca   6abc Do (1) tương đương với a 2b  b 2c  c a  a c  b a  c 2b 6abc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a 2b  b 2c  c a  a 2c  b a  c 2b a  b  c   b  c  a   c  a  b    0,25 0,25 2a bc  2b ca  2c ab 2 a bc  b ca  c ab 6abc Vậy BĐT (1) chứng minh Đẳng thức xảy a b c 1 (Chú ý: Học sinh sử dụng BĐT AM-GM với số BĐT Schur’s để chứng minh) A A x B O E O C M E 3,0 M B Q P N C D F D F a b    Do tứ giác MECD, MBFD nội tiếp nên DEC DMC DFB (1)    Tứ giác ABDC nội tiếp nên DCE (2) DCA DBF Từ (1) (2) suy BDF CDE ( g  g )       Từ BDF CDE  EDC BMF BDF Mà EMC EDC BDF 0,25   Vậy E , M , F thẳng hàng EMC BMF tứ giác MECD, MBFD nội tiếp nên AB AF  AM AD  AE AC , suy tứ giác nội tiếp Do AFE  ACB   Vẽ tiếp tuyến Ax  O  ACB BAx Do BAx  AFE , suy Ax || EF 0,25 Suy Từ hai BECF Vậy OA  EF c Ta có BDF CDE nên S BDF BF  SCDE CE 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Ta có  MB S DAB S DAB S BDF SCDE AB BF CE AB.BF     MC S DAC S BDF SCDE S DAC BF CE AC CE.AC 0,25 BF AC AF NF EN FN      (3) CE AB AE NE EC FB QN FN PN EN   Theo tính chất phân giác ta có (4) QB FB PC EC PN QN  Từ (3) (4) suy Do PQ song song với BC PC QB Từ 0,25 0,25 1,0 a   Giả sử A  1;2;3; ;93 tập hợp cân đối , tập Ai i 1,31 có dạng  xi ; yi ; xi  yi  , tổng ba phần tử Ai số chẵn Do tổng phần tử 0,25 tập A số chẵn Mặt khác tổng phần tử A bằng:     93  93.94 93.47 (là số lẻ) Mâu 0,25 thuẫn A tập không cân đối b Nhận xét: Nếu tập S n  1;2;3; ; n , với n chia hết cho tập hợp cân đối tập S n  1;2;3; ;4n S n 3  1;2;3; ;4n  3 tập hợp cân đối Chứng minh Từ tập S 4n ta chọn tập ba phần tử sau:  1;2n  n;2n  n  1 ; 3;2n  n  1;2n  n  2 ; 5;2n  n  2;2n  n  3 ; ;  2n  1;2n 1;4n Rõ ràng tập thỏa mãn có phần tử tổng hai phần tử lại Còn lại số sau tập S 4n 2,4,6, ,2n Tuy nhiên tập Sn cân đối nên tập  2;4;6; ;2n 0,25 cân đối Vậy S 4n tập cân đối Tương tự từ tập S n 3 ta chọn tập ba phần tử sau:  1;2n  n  2;2n  n  3 ;  3;2n  n  1;2n  n  4 ;…;  2n  1;2n  2;4n  3 Và lại số 2,4,6, ,2n , suy S n 3 tập cân đối Trở lại tốn Ta có 831 4.207  207 4.51  51 4.12  12 4.3 Chú ý tập  1;2;3 cân đối nên theo nhận xét ta xây dựng tập hợp cân đối theo quy trình sau:  1;2;3   1;2; ;12   1;2; ;51   1;2; ;207   1;2; ;831 Do tập A  1;2;3; ;831 tập hợp cân đối (đpcm) Hết 0,25