SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a b 29 12 Tính giá trị biểu thức: A a (a 1) b (b 1) 11ab 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy (1 x )(1 y ) 1 Chứng minh x y y x 0 Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x x x 2 x x x y xy x y y x x 2) Giải hệ phương trình x y x y x y Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x y y 20 0 2) Tìm số nguyên k để k 8k 23k 26k 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 1 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK AB AC 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện ( a b)3 4ab 12 1 2015ab 2016 Chứng minh bất đẳng thức 1 a 1 b -Hết Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a b 29 12 Tính giá trị biểu thức: A a (a 1) b (b 1) 11ab 2015 a b 29 12 32 5 3 A a b3 a b 11ab 2015 (a b)(a b ab) a b 11ab 2015 3(a b ab) a b 11ab 2015 4(a 2ab b ) 2015 4(a b) 2015 2051 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy (1 x )(1 y ) 1 Chứng minh x y y x 0 xy (1 x )(1 y ) 1 (1 x) (1 y ) 1 xy (1 x )(1 y ) (1 xy ) x y x y 1 xy x y x y xy 0 ( x y ) 0 y x x y y x x x x x 0 Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x x x 2 x x 1 Pt x ( x 2)(4 x 1) 2 x x ĐK: x t 9 Đặt t 8 x ( x 2)(4 x 1) x ( x 2)(4 x 1) PTTT t 4t 0 t 1 t = TH1 t = giải vô nghiệm kết hợp với ĐK t bị loại TH t 3 x x 3 Giải pt tìm x (TM) Vậy pt có nghiệm x x y xy x y y x 2) Giải hệ phương trình x y x y x y ĐK: y x 0, x y 0, x y 0, x 1 y x 0 x 1 0 0 TH (Không TM hệ) 3 3x 0 y 1 10 TH x 1, y 1 Đưa pt thứ dạng tích ta x y ( x y 2)(2 x y 1) y x 1 3x Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 3x ( x y 2) y x 1 0 Do y x 0 y x x y x x y 0 nên y x 1 3x Thay y 2 x vào pt thứ ta x x 3x x x x 3x x 3x 2x ( x 2)( x 1) 3x x ( x 2) x 0 3x 1 x 1 x Do x 1 nên 3x x Vậy x 0 x y 4 (TMĐK) Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x y y 20 0 (1) Ta có (1) x x 20 y y Ta thấy x x x x 20 x x 20 x x ( x 1) y ( y 1) ( x 4)( x 5) Vì x, y ∈ nên ta xét trường hợp sau + TH1 y ( y 1) ( x 1)( x 2) x x 20 x 3x x 18 x 9 x 3 Với x 9 , ta có y y 92 20 y y 110 0 y 10; y 11(t.m) + TH2 y ( y 1) ( x 2)( x 3) x x 20 x x x 14 x (loại) 2 2 + TH3 y ( y 1) ( x 3)( x 4) x 8 x (loại) 2 2 + TH4 y ( y 1) ( x 4)( x 5) x 0 x 0 x 0 Với x 0 , ta có y y 20 y y 20 0 y 5; y 4 Vậy PT cho có nghiệm nguyên (x;y) : (3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4) 2) Tìm số nguyên k để k 8k 23k 26k 10 số phương Đặt M k 8k 23k 26k 10 Ta có M (k 2k 1) 8k (k 2k 1) 9k 18k (k 1) 8k (k 1) 9(k 1) (k 1) (k 3) 1 M số phương ( k 1) 0 ( k 3) số phương TH ( k 1) 0 k 1 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt TH ( k 3) số phương, đặt (k 3) m (m ) m (k 3)2 1 (m k 3)(m k 3) 1 Vì m, k m k , m k nên m k 1 m k m 1, k 3 k 3 m k 1 m k m 1, k 3 Vậy k = k = k 8k 23k 26k 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường trịn IA tia phân giác góc MIN Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90o = > điểm A, O, M, N, I thuộc đường trịn đường kính AO 0,25 => AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp chắn cung) AM = AN => ∆AMN cân A => AMN = ANM => AIN = AIM => đpcm 1 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK AB AC 1 AB AC AK ( AB AC ) AB AC AK AI AK AB AC (Do AB+ AC = 2AI) ∆ABN đồng dạng với ∆ANC => AB.AC = AN2 ∆AHK đồng dạng với ∆AIO => AK.AI = AH.AO Tam giác ∆AMO vng M có đường cao MH => AH.AO = AM2 => AK.AI = AM2 Do AN = AM => AB.AC = AK.AI 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Ta có AN NO, MP NO, M AN => AN // MP Do AMPN hình bình hành AN = MP = 2x AN NO 2x2 Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM => NE NE EM R 2x TH 1.NE = NO – OE => R R x x R R R x R Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Đặt R x t , t 0 x R t 2t R 2 2 PTTT 2( R t ) R R t 2t Rt R 0 t R Do t 0 t R R x R x 0 A B (loại) TH NE = NO + OE => Đặt 2x2 R R x x R R R x R R x t , t 0 x R t 2t R 2 2 PTTT 2( R t ) R Rt 2t Rt R 0 t R R Do t 0 2t R R x R x AO 2 R (loại) Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hbh Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện ( a b)3 4ab 12 1 2015ab 2016 Chứng minh bất đẳng thức 1 a 1 b Ta có 12 ( a b)3 4ab ab 4ab Đặt t ab , t 12 8t 4t 2t t 0 (t 1)(2t 3t 3) 0 Do 2t 3t 0, t nên t 0 t 1 Vậy ab 1 1 , a, b thỏa mãn ab 1 Chứng minh a b ab 1 1 0 Thật vậy, BĐT a ab b ab b a a ab a ab b b 0 (1 a )(1 ab ) (1 b)(1 ab ) ab a b ( b a ) ( ab 1) 0 Do ab 1 nên BĐT (1 ab )(1 a)(1 b) 2015ab 2016, a, b thỏa mãn ab 1 Tiếp theo ta CM ab 2015t 2016 Đặt t ab , t t ta 1 t 2015t 2015t 2016t 2014 0 (t 1)(2015t 4030t 2014) 0 BĐT t : t 1 1 2015ab 2016 Đẳng thức xảy a = b = Vậy 1 a 1 b Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt