SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a − b = 29 + 12 − Tính giá trị biểu thức: A = a ( a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy + (1 + x )(1 + y ) = Chứng minh x + y + y + x = Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x + + x + x + = x + + x + x − y + xy − x + y + = y − x + − − x 2) Giải hệ phương trình x − y − = x + y + − x + y − Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + x − y − y + 20 = 2) Tìm số nguyên k để k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường trịn (O; R) dây BC cố định khơng qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 1 = + 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK AB AC 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a + b)3 + 4ab ≤ 12 1 + + 2015ab ≤ 2016 Chứng minh bất đẳng thức 1+ a 1+ b -Hết Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a − b = 29 + 12 − Tính giá trị biểu thức: A = a ( a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 a − b = 29 + 12 − = ( 3+ 5) −2 =3 A = a − b3 + a + b − 11ab + 2015 = (a − b)( a + b + ab) + a + b − 11ab + 2015 = 3(a + b + ab) + a + b − 11ab + 2015 = 4(a − 2ab + b ) + 2015 = 4(a − b) + 2015 = 2051 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy + (1 + x )(1 + y ) = Chứng minh x + y + y + x = xy + (1 + x )(1 + y ) = ⇔ (1 + x) (1 + y ) = − xy ⇒ (1 + x )(1 + y ) = (1 − xy ) ⇔ + x + y + x y = − xy + x y ⇔ x + y + xy = ⇔ ( x + y ) = ⇔ y = − x ⇒ x 1+ y2 + y 1+ x2 = x 1+ x2 − x 1+ x2 = Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x + + x + x + = x + + x + 1 Pt ⇔ x + + ( x + 2)(4 x + 1) = x + + x + ĐK: x ≥ − t −9 Đặt t = x + ( x + 2)(4 x + 1) + ⇔ x + ( x + 2)(4 x + 1) = PTTT t − 4t + = ⇔ t = t = TH1 t = giải vô nghiệm kết hợp với ĐK t ≥ bị loại TH t = ⇒ x + + x + = Giải pt tìm x = − (TM) Vậy pt có nghiệm x = − x − y + xy − x + y + = y − x + − − x 2) Giải hệ phương trình x − y − = x + y + − x + y − ĐK: y − x + ≥ 0, x + y + ≥ 0, x + y − ≥ 0, x ≤ y − 2x +1 = x = 0 = ⇔ ⇒ TH (Không TM hệ) 3 − x = y = −1 = 10 − TH x ≠ 1, y ≠ Đưa pt thứ dạng tích ta x+ y−2 ( x + y − 2)(2 x − y − 1) = y − x + + − 3x Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ( x + y − 2) + y − x + 1 = Do y − x + ≥ y − x + + − x + y − 2x +1 > ⇒ x + y − = nên y − x + + − 3x Thay y = − x vào pt thứ ta x + x − = 3x + − − x ⇔ x + x − = 3x + − + − − x 3x + 2+ x ⇔ ( x + 2)( x − 1) = + 3x + + + − x ⇔ ( x + 2) + +1− x = 3x + + + − x + +1− x > Do x ≤ nên 3x + + + − x Vậy x + = ⇔ x = −2 ⇒ y = (TMĐK) Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + x − y − y + 20 = (1) Ta có (1) x + x + 20 = y + y Ta thấy x + x < x + x + 20 ≤ x + x + 20 + x x ( x + 1) < y ( y + 1) ≤ ( x + 4)( x + 5) Vì x, y ∈ ¢ nên ta xét trường hợp sau + TH1 y ( y + 1) = ( x + 1)( x + 2) ⇔ x + x + 20 = x + 3x + ⇔ x = 18 ⇔ x = ⇔ x = ±3 Với x = , ta có y + y = 92 + + 20 ⇔ y + y − 110 = ⇔ y = 10; y = −11(t.m) + TH2 y ( y + 1) = ( x + 2)( x + 3) ⇔ x + x + 20 = x + x + ⇔ x = 14 ⇔ x = (loại) 2 2 + TH3 y ( y + 1) = ( x + 3)( x + 4) ⇔ x = ⇔ x = (loại) 2 2 y ( y + 1) = ( x + 4)( x + 5) ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x=0 + TH4 Với x = , ta có y + y = 20 ⇔ y + y − 20 = ⇔ y = −5; y = Vậy PT cho có nghiệm nguyên (x;y) : (3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4) 2) Tìm số nguyên k để k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Đặt M = k − 8k + 23k − 26k + 10 Ta có M = (k − 2k + 1) − 8k (k − 2k + 1) + 9k − 18k + = (k − 1) − 8k (k − 1) + 9(k − 1) = (k − 1) ( k − 3) + 1 M số phương (k − 1) = (k − 3) + số phương TH (k − 1) = ⇔ k = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt TH (k − 3) + số phương, đặt (k − 3) + = m (m ∈ ¢ ) ⇔ m − (k − 3) = ⇔ (m − k + 3)(m + k − 3) = Vì m, k ∈ ¢ ⇒ m − k + ∈ ¢, m + k − ∈ ¢ nên m − k + = m − k + = −1 m = 1, k = ⇔ ⇒k =3 m + k − = m + k − = −1 m = −1, k = Vậy k = k = k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90o = > điểm A, O, M, N, I thuộc đường trịn đường kính AO 0,25 => AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp chắn cung) AM = AN => ∆AMN cân A => AMN = ANM => AIN = AIM => đpcm 1 = + 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK AB AC 1 = + ⇔ AB AC = AK ( AB + AC ) ⇔ AB AC = AK AI AK AB AC (Do AB+ AC = 2AI) ∆ABN đồng dạng với ∆ANC => AB.AC = AN2 ∆AHK đồng dạng với ∆AIO => AK.AI = AH.AO Tam giác ∆AMO vng M có đường cao MH => AH.AO = AM2 => AK.AI = AM2 Do AN = AM => AB.AC = AK.AI 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Ta có AN ⊥ NO, MP ⊥ NO, M∉ AN => AN // MP Do AMPN hình bình hành AN = MP = 2x AN NO 2x2 Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM => = => NE = NE EM R 2x TH 1.NE = NO – OE => = R − R2 − x2 ⇔ x2 = R2 − R R2 − x2 R Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Đặt R2 − x2 = t, t ≥ ⇒ x2 = R2 − t 2t = − R 2 2 PTTT 2( R − t ) = R − R t ⇔ 2t − Rt − R = ⇔ t = R Do t ≥ ⇒ t = R ⇔ R − x = R ⇔ x = ⇒ A ≡ B (loại) TH NE = NO + OE => Đặt x2 = R + R − x2 ⇔ x2 = R2 + R R2 − x2 R R2 − x2 = t, t ≥ ⇒ x2 = R2 − t 2t = R 2 2 PTTT 2( R − t ) = R + Rt ⇔ 2t + Rt − R = ⇔ t = − R R Do t ≥ ⇒ 2t = R ⇔ R − x = R ⇔ x = => AO = R (loại) Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hbh Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a + b)3 + 4ab ≤ 12 1 + + 2015ab ≤ 2016 Chứng minh bất đẳng thức 1+ a 1+ b ( Ta có 12 ≥ (a + b)3 + 4ab ≥ ab ) + 4ab Đặt t = ab , t > 12 ≥ 8t + 4t ⇔ 2t + t − ≤ ⇔ (t − 1)(2t + 3t + 3) ≤ Do 2t + 3t + > 0, ∀t nên t − ≤ ⇔ t ≤ Vậy < ab ≤ 1 + ≤ , ∀a, b > thỏa mãn ab ≤ Chứng minh + a + b + ab 1 1 − + − ≤0 Thật vậy, BĐT + a + ab + b + ab b − a a ab − a ab − b b + ≤ ⇔ − ÷ ÷ ÷ ÷ (1 + a )(1 + ab ) (1 + b)(1 + ab ) + ab + a + b ( b − a ) ( ab − 1) ⇔ ≤ Do < ab ≤ nên BĐT (1 + ab )(1 + a )(1 + b) + 2015ab ≤ 2016, ∀a, b > thỏa mãn ab ≤ Tiếp theo ta CM + ab + 2015t ≤ 2016 Đặt t = ab , < t ≤ t ta 1+ t 2015t + 2015t − 2016t − 2014 ≤ ⇔ (t − 1)(2015t + 4030t + 2014) ≤ BĐT ∀t : < t ≤ 1 + + 2015ab ≤ 2016 Đẳng thức xảy a = b = Vậy 1+ a 1+ b Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... có nghiệm nguyên (x;y) : (3 ;10) , (3;-11), (-3; 10) , (-3;-11), (0; -5), (0;4) 2) Tìm số nguyên k để k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Đặt M = k − 8k + 23k − 26k + 10 Ta có M = (k − 2k + 1) − 8k... x + x + 20 = x + 3x + ⇔ x = 18 ⇔ x = ⇔ x = ±3 Với x = , ta có y + y = 92 + + 20 ⇔ y + y − 110 = ⇔ y = 10; y = −11(t.m) + TH2 y ( y + 1) = ( x + 2)( x + 3) ⇔ x + x + 20 = x + x + ⇔ x = 14 ⇔ x =... ≥ 0, x + y − ≥ 0, x ≤ y − 2x +1 = x = 0 = ⇔ ⇒ TH (Không TM hệ) 3 − x = y = −1 = 10 − TH x ≠ 1, y ≠ Đưa pt thứ dạng tích ta x+ y−2 ( x + y − 2)(2 x − y − 1) = y − x + + − 3x Website