107 đề vào 10 chuyên quảng nam 2015 2016

Sở giáo dục đào tạo tỉnh Quảng Nam ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC: 2015 – 2016 Thời gian: 150 phút Câu (2 điểm) a) Cho biểu thức A = x x +1 x −1 − (với x ≠ 1; x ≥ 0) Rút gọn A, sau tính giá trị A – x −1 x +1 x = 2016 + 2015 2015 2015 2015 b) Cho A = ( + + + n ) với n số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho n(n + 1) Câu (2 điểm) + − − =0 a) Giải phương trình sau: x − x − 11 x − x − 12  x ( x + 4)(4 x + y ) = b) Giải hệ phương trình:   x + x + y = −5 Câu (1 điểm) Cho parabol (P): y = ax2 đường thẳng (d): y = bx + c với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác vng a độ dài cạnh huyền Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có 2 hoành độ x1 x2 thỏa mãn x1 + x2 < Câu (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Các tia phân giác góc EHB, DHC cắt AB, AC I K Qua I K vẽ đường vng góc với AB, AC chúng cắt M a) Chứng minh AI = AK b) Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động Chứng minh đường thẳng HM qua điểm cố định Câu (2 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB Qua A B vẽ tiếp tuyến d1 d2 với (O) Từ điểm M (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 C cắt d2 D Đường tròn đường kính CD cắt đường trịn (O) E F (E thuộc cung AM), gọi I giao điểm AD BC a) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD b) Chứng minh MI vng góc với AB ba điểm E, I, F thẳng hàng Câu (1 điểm) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx) Doc24.vn ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a) Với x ≥ 0, x ≠ ta có ( x ) + − ( x − 1) ( x + 1) = x − x + − A= ( x +1 x −1 ( x + 1) ( x − 1) x − x + − ( x − 1) x = = ) x −1 x −1 x− ( x −1 )= x −1 x −1 x −1 Ta có x = 2016 + 2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ x ≠ A −1 = Có x = 2015 + 2015 + = ( ) 2015 + ⇒ x = 2015 + Thay vào biểu thức A – ta được: 2015 A −1 = b) Với số nguyên dương a, b ta có: a 2015 + b 2015 = (a + b)( a 2014 + a 2013b + + ab 2013 + b 2014 ) ⇒ a 2015 + b 2015 M(a + b) + Xét trường hợp n số lẻ Áp dụng khẳng định ta có: 12015 + (n − 1) 2015  Mn  22015 + (n − 2) 2015  Mn  n −  2015  n +  2015   ÷ + ÷  Mn      Suy A=n 2015 + 1 2015 + (n − 1) 2015  +  2015 + (n − 2) Tương tự 2015  n −  2015  n +  2015   + +  ÷ + ÷  Mn       n −  2015  n + 2015   n + 2015  n +  2015  2015 2015   A = 2(1 + n ) +  + (n − 1)  + +  ÷ + ÷  +  ÷ + ÷  M(n + 1)           Mặt khác n n + nguyên tố nên A ⋮ n(n + 1) Tương tự với trường hợp n chẵn ta có A ⋮ n(n + 1) 2015 2015 Câu a) Điều kiện: x ≠ 8; x ≠ 9; x ≠ 11; x ≠ 12 Phương trình cho tương đương với Doc24.vn     − −  ÷+  ÷=  x − x −   x − 11 x − 12  ⇔ ⇔ ( x − 8) − ( x − ) (x − 9) ( x2 − 8) + ( x − 12 ) − ( x − 11) (x − 11) ( x − 12 ) =0 − x + 15 x − 15 + =0 ( x − ) ( x − 8) ( x − 11) ( x − 12 )  x − 15 = 0(2)  1 − + = 0(3) 2  ( x − ) ( x − ) ( x − 11) ( x − 12 )  Phương trình (2) ⇔ x = ± 15 (thỏa mãn) 2 2 Phương trình (3) ⇔ ( x − ) ( x − ) = ( x − 11) ( x − 12 ) ⇔ x − 60 = ⇔ x = 10 ⇔ x = ± 10 (thỏa mãn) { Vậy tập nghiệm phương trình cho ± 15; ± 10 } b) Hệ cho tương đương với ( x + x ) ( x + y ) =   ( x + x ) + ( x + y ) = −5 Suy x + 4x 4x + y nghiệm phương trình  t = −2 t + x + = ⇔ (t + 2)(t + 3) = ⇔   t = −3  x + x = −2  x + x = −3 ( I )  ( II ) Vậy hệ cho tương đương với   x + y = −3  x + y = −2  x = −2 + ⇒ y = − − x = − 2 Giải (I): x + x = −2 ⇔ ( x + 2) = ⇔   x = −2 − ⇒ y = −3 − x = +  x = −1 ⇒ y = −2 − x = 2 Giải (II): x + x + = ⇔ ( x + 1)( x + 3) ⇔   x = −3 ⇒ y = −2 − x = 10 ( )( ) Vậy hệ cho có nghiệm −2 + 2;5 − , −2 − 2;5 + , ( −1; ) , ( −3;10 ) Câu Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): ax = bx + c ⇔ ax − bx − c = 0(1) Vì a, b, c cạnh tam giác vuông với cạnh huyền a nên a, b, c > 0, a = b + c (d) cắt (P) điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = b + 4ac > (luôn ∀ a, b, c > 0) Gọi giao điểm có hồnh độ x , x , nghiệm (1) Theo Viét ta có: Doc24.vn 2 b   x1 + x2 = a  x x = − c  a c b − 2ac − 2a b Xét P = x12 + x22 − = ( x1 + x2 ) − x1 x2 − =  ÷ + − = a a2 a Có b + 2ac − 2a = b + 2ac − (b + c ) − a = 2ac − c − a = −(c − a ) < 0, ∀a, c, < c < a Suy P < ⇒ đpcm Câu a) Vì HI, HK phân giác góc EHB góc DHC nên 1 EHI = EHB; DHK = CHK = DHC Mà EHB = DHC (đối đỉnh) => EHI = DHK = CHK (1) 2 o Có AIH = 90 – EHI ; AKH = 90o – DHK => AIH = AKH (2) Từ (1) suy EHI + EHK = CHK + EHK = 180o => I, H, K thẳng hàng (3) Từ (2) (3) ⇒ ∆ AIK cân A ⇒ AI = AK b) Gọi giao IM BH P, giao KM CH Q, giao HM PQ J, giao HM BC N Ta có: HE EI = ∆HEI ~ ∆HDK (g.g) => HD DK HE EB = ∆HEB ~ ∆HDC (g.g) => HD DC EI EB EI DK ⇒ = ⇒ = (4) DK DC EB DC EI HP DK HQ = (5) Tương tự = (6) Vì IP ⊥ AB, HE ⊥ AB ⇒ IP // HE ⇒ EB HB DC HC HP HQ = ⇒ PQ // BC Từ (4), (5), (6) ⇒ HB HC Doc24.vn PJ HJ JQ PJ BN = = ⇒ = BN HN NC JQ NC Vì HP // MQ, HQ // PM nên HQMP hình bình hành ⇒ J trung điểm PQ ⇒ PJ = JQ ⇒ BN = NC ⇒ N trung điểm BC Vậy HM qua trung điểm BC điểm cố định Suy Câu a) Vì AC ⊥ AB, BD ⊥ AB ⇒ AC // BD ⇒ ACDB hình thang Vì CM, CA tiếp tuyến (O) nên CM = CA Tương tự DM = DB Gọi J trung điểm CD JO đường trung bình hình thang ACDB suy JO // BD AC + BD CM + MD CD OJ = = = = IC = ID (1) 2 Vì BD ⊥ AB nên JO ⊥ AB O (2) Từ (1) (2) suy AB tiếp tuyến đường trịn (J) đường kính CD CI CA CM = = ⇒ IM // BD b) Vì CA // BD nên theo định lý Talét ta có: IB CD MD Mà BD ⊥ AB nên MI ⊥ AB Gọi P, Q giao AD (O), BC (J) Có APB = CQD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => DPB = BQD = 90o Suy BQPD tứ giác nội tiếp => PDB = PQI Vì AC // BD nên PDB = IAC PI QI = => IP.IA = IC.IQ => PQI = IAC => ∆PQI ~ ∆CAI (g.g) => CI AI Suy phương tích điểm I đường tròn (O) (J) Suy I nằm trục đẳng phương EF đường tròn Vậy I, E, F thẳng hàng Doc24.vn Câu Ta có: ( x + y + z) = ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) ≤ + ( xy + yz + zx ) ( x + y + z) ⇒ xy + yz + zx ≥ −9 − ( x + y + z)2 ⇒ P ≤ x+ y+z+ − t2 t − 2t + 1 Đặt x + y + z = t ⇒ P ≤ t + =− + = − (t − 1) + ≤ 2 x + y + z =  Dấu xảy  chẳng hạn x = 1, y = 2, z = –2 2  x + y + z = 9, Vậy giá trị lớn P Doc24.vn ... (3) ⇔ ( x − ) ( x − ) = ( x − 11) ( x − 12 ) ⇔ x − 60 = ⇔ x = 10 ⇔ x = ± 10 (thỏa mãn) { Vậy tập nghiệm phương trình cho ± 15; ± 10 } b) Hệ cho tương đương với ( x + x ) ( x + y ) =   (... (II): x + x + = ⇔ ( x + 1)( x + 3) ⇔   x = −3 ⇒ y = −2 − x = 10 ( )( ) Vậy hệ cho có nghiệm −2 + 2;5 − , −2 − 2;5 + , ( −1; ) , ( −3 ;10 ) Câu Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): ax = bx... 2016 + 2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ x ≠ A −1 = Có x = 2015 + 2015 + = ( ) 2015 + ⇒ x = 2015 + Thay vào biểu thức A – ta được: 2015 A −1 = b) Với số nguyên dương a, b ta có: a 2015 + b 2015 = (a +