SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi mơn: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ Câu ( a 1)2 a 5 P Với a 0, a 1 a a a a a 1 a 1) Rút gọn: P 2) Đặt Q (a a 1).P Chứng minh Q Câu Cho phương trình x 2(m 1) x m2 0 (1) Tìm m để pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn ( x1 m)2 x2 m (2) Câu 1) Giải pt ( x 1) 2( x 4) x x (1) x x xy y (1) y 2) Giải hpt x ( x y )(1 x x ) 3 (2) Câu Giải pt tập số nguyên x 2015 y( y 1)( y 2)( y 3) (1) Câu Cho tam giác ABC nhọn AB AC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: AH 2.OM 2) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng: OI OJ R 3) Gọi N giao điểm AH đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm O (D kác N C ) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh rằng: ACH ADK Câu 1) Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (1 a)(1 b) 1 ab 2) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P (1 a2 )(1 b2 ) 2 a 2a b 2b ( vế phải pt (1) ta thường hay gặp toán giải hệ pt ta cần ý) SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN BÌNH PHƯỚC 2015-2016 Nội dung Câu 2) Đặt Q (a a 1).P Chứng minh Q Ta có: Q (a a 1).P a a 1 a a 1 ( a 1)2 1, a 0; a 1 a a a (Cách khác: tách sử dụng bđt côsi xét thấy dấu không xảy suy Q ) Cho phương trình x 2(m 1) x m2 0 (1) Tìm m để pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn ( x1 m)2 x2 m (2) Khi theo vi-ét ta có: x1 x2 2m 2; x1x2 m 2 2(m 1) x1 m thay vào (2) ta x1 x2 m Pt (1) có hai nghiệm ' 0 m Vì x1 nghiệm pt (1) nên x12 m 0 (thỏa mãn) Từ vi-ét giả thiết, ta có m(3m 2) m m m 0 thỏa mãn ycbt Vậy m 1) Giải pt ( x 1) 2( x 4) x x (1) ĐK: x R Pt (1) ( x 1) 2( x 4) ( x 2) 0 x x 2 x x Vậy pt có cnghiệm x x x xy y (1) y 2) Giải hpt x ( x y )(1 x x ) 3 (2) ( vế phải pt (1) ta thường hay gặp toán giải hệ pt ta cần ý) x (*) ĐK: y y x 0 x y 0 Từ pt (1) suy ( y x ) x y y x y x y x +) Với thay vào (2) ta ( x 3 x )(1 x 3x ) 3 x 3x x x ( x 1)( x 1) 0 ( nhân hai vế pt với x x ) ( Ta đặt t x x bình phương hai vế ) x 1 x x (L ) x 1 y 1 +) Vì x 0; y nên x y y x 0 vô nghiệm Vậy nghiệm hpt là: x; y 1;1 Giải pt tập số nguyên x 2015 y( y 1)( y 2)( y 3) (1) ĐK: y( y 1)( y 2)( y 3) 0 Pt (1) x 2015 ( y 3y 1)2 Đặt: y 3y a (a Z ) Vì x nguyên nên x 2015 nguyên, suy a2 k (k Z ) a2 k 1 (a k )(a k ) 1 k 0 y 0 x 1 y x 1 ( thỏa mãn) y x y x 1 Vậy pt có nghiệm nguyên x; y : 1; , 1; 1 , 1; , 1; ( Ta thường hay gặp chứng minh biểu thức dấu cộng số phương) y 3y 1 ( y 3y 1)2 1 y 3y 1) Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (1 a)(1 b) 1 ab Ta chứng minh phép biến đổi tương đương 2) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P (1 a2 )(1 b2 ) 2 a 2a b 2b 1 ( Ta cần sử dụng hai bđt phụ sau (1 x )(1 y ) 1 xy phải chứng minh x y xy hai bđt điểm tối đa) 4 ab ab ab Cách1: P a 2a b2 2b (a b)2 2ab 2(a b) a2b2 ab ab 7ab 1 7ab 7ab 3.3 1 2 16 16 16 16 8 a b Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab a b 2 ab ab 4 7.4 21 21 Do P a b 2 Vậy giá trị nhỏ P 4 Bình luận: khơng có bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-nhia-copxki cho biểu thức dấu Còn tổng hai biểu thức nghịch đảo rõ, sau dùng ppháp dồn biến) Cách 2: 1 1 1 P (1 a2 )(1 b2 ) ab a b 1 2 2 a(a 2) b(b 2) a 2a b 2b a 2a b 2b a a 2 b b 29 ( a b) a(a 2) 16 32 b(b 2) 16 32 32 3.3 1 1 29 13 29 3.3 ( a b) ( a b) 16 32 16 32 32 8 32 (a b)2 a b 4 13 29 13 29 21 Do P (a b) 32 32 21 Vậy giá trị nhỏ P a b 2 Cách 3: Ta có a b ab (a 1)(b 1) 1 Đặt a x a x 1; b y b y 1; x.y 1 Mặt khác: từ giả thiết, ta có: a b ab Khi P ab 1 a b 1 a(a 2) b(b 2) a 2a b 2b 1 x y 3 ( x 1)( x 3) ( y 1)( y 3) Cho tam giác ABC nhọn AB AC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: AH 2.OM 2) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng: OI OJ R 3) Gọi N giao điểm AH đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm O (D kác N C ) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh rằng: ACH ADK Quá trình làm đánh máy khơng tránh khỏi sai sót, độc giả tự chỉnh sửa! Tiếp tục cập nhật!