064 toán vào 10 chuyên bình phước 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi mơn: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ Câu     ( a  1)2 a 5 P     Với a  0, a 1    a  a a  a  a 1   a      1) Rút gọn: P 2) Đặt Q (a  a  1).P Chứng minh Q  Câu Cho phương trình x  2(m  1) x  m2 0 (1) Tìm m để pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn ( x1  m)2  x2 m  (2) Câu 1) Giải pt ( x  1) 2( x  4)  x  x  (1)  x   x  xy  y (1)  y 2) Giải hpt  x  ( x   y )(1  x  x ) 3 (2) Câu Giải pt tập số nguyên x 2015  y( y  1)( y  2)( y  3)  (1) Câu Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: AH 2.OM 2) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng: OI OJ R 3) Gọi N giao điểm AH đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm O (D kác N C ) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh rằng: ACH ADK Câu 1) Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (1  a)(1  b) 1  ab 2) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P   (1  a2 )(1  b2 ) 2 a  2a b  2b ( vế phải pt (1) ta thường hay gặp toán giải hệ pt ta cần ý) SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN BÌNH PHƯỚC 2015-2016 Nội dung Câu 2) Đặt Q (a  a  1).P Chứng minh Q  Ta có: Q (a  a  1).P  a a 1 a a 1 ( a  1)2   1, a  0; a 1 a a a (Cách khác: tách sử dụng bđt côsi xét thấy dấu không xảy suy Q  ) Cho phương trình x  2(m  1) x  m2 0 (1) Tìm m để pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn   ( x1  m)2  x2 m  (2) Khi theo vi-ét ta có: x1  x2 2m  2; x1x2 m 2 2(m  1) x1  m thay vào (2) ta x1  x2 m  Pt (1) có hai nghiệm   ' 0  m  Vì x1 nghiệm pt (1) nên x12  m 0 (thỏa mãn) Từ vi-ét giả thiết, ta có  m(3m  2) m    m    m 0 thỏa mãn ycbt Vậy   m   1) Giải pt ( x  1) 2( x  4)  x  x  (1) ĐK: x  R   Pt (1)  ( x  1)  2( x  4)  ( x  2) 0     x    x 2  x     x  Vậy pt có cnghiệm x   x   x  xy  y (1)  y 2) Giải hpt  x  ( x   y )(1  x  x ) 3 (2) ( vế phải pt (1) ta thường hay gặp toán giải hệ pt ta cần ý) x  (*) ĐK:   y   y x    0   x  y  0 Từ pt (1) suy ( y  x )  x  y  y x  y x  y  x +) Với thay vào (2) ta ( x 3  x )(1  x  3x ) 3   x  3x  x   x  ( x   1)( x  1) 0 ( nhân hai vế pt với x   x ) ( Ta đặt t  x   x bình phương hai vế )  x  1   x    x  (L )  x 1  y 1  +) Vì x  0; y  nên x  y  y x 0 vô nghiệm Vậy nghiệm hpt là:  x; y   1;1 Giải pt tập số nguyên x 2015  y( y  1)( y  2)( y  3)  (1) ĐK: y( y  1)( y  2)( y  3) 0 Pt (1)  x 2015   ( y  3y  1)2  Đặt: y  3y  a (a  Z ) Vì x nguyên nên x 2015  nguyên, suy a2  k (k  Z )  a2  k 1  (a  k )(a  k ) 1  k 0  y 0  x 1  y   x 1 ( thỏa mãn)  y   x    y   x 1 Vậy pt có nghiệm nguyên  x; y  :  1;  ,  1;  1 ,  1;   ,  1;   ( Ta thường hay gặp chứng minh biểu thức dấu cộng số phương)  y  3y  1   ( y  3y  1)2 1    y  3y   1) Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (1  a)(1  b) 1  ab Ta chứng minh phép biến đổi tương đương 2) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P   (1  a2 )(1  b2 ) 2 a  2a b  2b 1 ( Ta cần sử dụng hai bđt phụ sau (1  x )(1  y ) 1  xy   phải chứng minh x y xy hai bđt điểm tối đa) 4   ab    ab   ab  Cách1: P  a  2a  b2  2b (a  b)2  2ab  2(a  b) a2b2  ab ab  7ab 1 7ab 7ab      3.3  1   2 16 16  16 16 8 a b  Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab a  b 2 ab  ab 4 7.4 21 21 Do P   a b 2  Vậy giá trị nhỏ P 4 Bình luận: khơng có bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-nhia-copxki cho biểu thức dấu Còn tổng hai biểu thức nghịch đảo rõ, sau dùng ppháp dồn biến) Cách 2: 1 1 1 P   (1  a2 )(1  b2 )     ab    a  b 1 2 2 a(a  2) b(b  2) a  2a b  2b a  2a b  2b  a a 2  b b   29          ( a  b)   a(a  2) 16 32   b(b  2) 16 32  32 3.3 1 1 29 13 29  3.3  ( a  b)    ( a  b) 16 32 16 32 32 8 32 (a  b)2  a  b 4 13 29 13 29 21 Do P   (a  b)    32 32 21 Vậy giá trị nhỏ P a b 2 Cách 3: Ta có a  b ab  (a  1)(b  1) 1 Đặt a  x  a x  1; b  y  b y  1; x.y 1 Mặt khác: từ giả thiết, ta có: a  b ab  Khi P     ab  1   a  b 1 a(a  2) b(b  2) a  2a b  2b 1    x  y 3 ( x  1)( x  3) ( y  1)( y  3) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: AH 2.OM 2) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng: OI OJ R 3) Gọi N giao điểm AH đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm O (D kác N C ) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh rằng: ACH ADK Quá trình làm đánh máy khơng tránh khỏi sai sót, độc giả tự chỉnh sửa! Tiếp tục cập nhật!