099 đề vào 10 chuyên bình phước 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bình Phước KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUANG TRUNG NĂM HỌC: 2015 – 2016 Mơn: Tốn (Chun) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)     a 1 a 5  Câu Cho P     a  a a  a  a 1   a  a) Rút gọn P b) Đặt Q (a  a  1) P Chứng minh Q >     (a  0, a 1)   Câu Cho phương trình x  2(m  1) x  m 0 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn ( x1  m)  x2 m  Câu Giải phương trình ( x  1) 2( x  4)  x  x   x   x  xy  y (1)  y Giải hệ phương trình  x  x   y  x  x 3(2)  Câu Giải phương trình tập số nguyên x 2015  y ( y  1)( y  2)( y  3)  (1) Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2OM b) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh OI OJ = R2 c) Gọi N giao điểm AH với đường tròn (O) (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm (O) (D khác N C) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh ACH = ADK Câu Cho a, b số thực dương Chứng minh (1  a )(1  b) 1  ab Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P     a2    b2  a  2a b  2b    Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a) Với a > a ≠ ta có:  a1 a   (a  a  1)  a P    ( a  1)( a  1) ( a  1)( a  1) a   a 4 a  a 1 ( a  1)  ( a  1) ( a  1) a ( a  1) a  a  b) Có Q  a a 1 a a  a  ( a  1)  a a Vì ( a  1)  0, a  0, a  0, a 1  Q    Q  Xét Q   Câu   ' (m  1)  m 0  2m  0  m  Phương trình (1) có nghiệm x ; x  x1  x2 2m  Theo định lý Viét ta có   x1 x2 m 2 2 Có (2)  x1  x1m  m  x2 m   x1 ( x1  2m)  m  x2 m  2 Thay x1  2m 2  x2 ; m x1 x2 vào ta có x1 (2  x2 )  x1 x2  x2 m   x1  x2 m   m 0  x1  m 2  m x1 x2  m(3m  2)  4m  2m 0   (thỏa mãn)   m  x  m     x1 0 + Với m = 0: (1)  x  x 0   (thỏa mãn đề bài)  x2 2  x1  x2 2m   Ta có hệ  2 x1  x2 m  1 : (1)  x  x  0  x1  x2  (thỏa mãn đề bài) Vậy m = m = - tất giá trị m cần tìm Câu 1) ( x  1) 2( x  4)  x  x  (1) + Với m  Điều kiện: x + ≥ (luôn đùng ∀ x) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt (1)  ( x  1) 2( x  4) ( x  2)( x  1)  ( x  1)  2( x  4)  ( x  2)  0    x     2( x  4)  x  2(2)  x 2  x 2   Có (2)    2 2( x  4) ( x  2)  x  x  0 Vậy tập nghiệm phương trình cho {–1}  x 2 (loại)   x   x   x  xy  y (1)  y 2,  x  x   y  x  x 3(2)  x  y  x     Điều kiện:  y   x  0  x  3x 0     y x   0, x, y  ( x  y)( x  y )  ( x  y )  x  y   0  x  y x  y  y x y x y x   Thay y = x vào phương trình (2) ta được: ( x   x )(1  x  3x ) 3   x  x  x 3  x (1)    x  x  x   x  x  x  x 3  x  0  ( x   1)( x  1) 0  x  1  x  2( L)      x  y 1  x 1(tm)  x 1 Vậy hệ có nghiệm (1;1) Câu x 2015  y ( y  1)( y  2)( y  3)  (1) 2 Có y ( y  1)( y  2)( y  3)  y ( y  3)   ( y  1)( y  2)  ( y  y )( y  y  2) Đặt t  y  y   y ( y  1)( y  2)( y  3) t  ( t ∈ ℤ , t ≥ 1) 2015  x  0 (1)  x   t    2015 2 ( x  1) t  1(2) Với x, t số nguyên ta có: 2015 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt (2)   x 2015   t   x 2015   t     x 2015   t 1   2015   x   t     2015  x   t      x 2015   t 1  Với x 2015  x 2015 t 1  2015 1  x   t    x 1 t 1     y  y  1  x 1    y 0   y    x 1    y    y   Thử lại ta thấy cặp (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0) thỏa mãn đề Vậy có cặp (x;y) cần tìm (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0)  x 2015 1  x 1    Với  t   y  y   Câu a) Gọi F điểm đối xứng với A qua O ⇒ AF đường kính (O) Ta có ACF = ABF = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ AC ⊥ CF , AB ⊥ BF Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ CF // BH, BF // HC Suy BHCF hình bình hành ⇒ Trung điểm M BC trung điểm HF ⇒ OM đường trung bình ∆ AHF ⇒ AH = 2OM b) Vì AHIO hình bình hành nên OI = AH = 2OM Gọi P trung điểm OC ⇒ PJ trung trực OC ⇒ PJ ⊥ OC Có OM trung trực BC ⇒ OM ⊥ BC Suy OJ OP OJP ~ OCM ( g g )    OJ OM OC.OP OC OM  OJ 2OM OC.2OP  OJ OI OC.OC R Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt c) Ta có NHC = ABC (cùng phụ với HCB) (1) Vì ABDC tứ giác nội tiếp nên ABC = ADC (2) Vì D E đối xứng qua AC nên AC trung trực DE suy ∆ADC = ∆AEC (c.c.c) => ADC = AEC (3) Tương tự ta có AEK = ADK Từ (1), (2), (3) suy NHC = AEC => AEC + AHC = NHC + AHC = 180o Suy AHCE tứ giác nội tiếp => ACH = AEK = ADK (đpcm) Câu Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (1  a)(1  b) (1  ab )   a  b  ab 1  ab  ab  a  b  ab 0  ( a  b ) 0 (luôn với a, b > 0) Áp dụng bất đẳng thức ta có (1  a )(1  b ) 1  ab 1  a  b (1) Với x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: 1 1 1 1 (2)    ( x  y ) 2 xy 4    x y x y xy  x y Áp dụng (1) (2) ta có: 4 P 1  a  b  1  a  b a  2a  b  2b a  b  2ab a  b 7( a  b)    1 ( a  b) 8 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: ( a  b) a  b ab   (a  b)2 4(a  b)  a  b 4 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có: a b a b a b a b   3  2 ( a  b) 16 16 (a  b) 16 16 21 21 Suy P     Dấu xảy a = b = Vậy giá trị nhỏ P 4 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt