SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi mơn: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ Câu ( a + 1)2 a+5 P = + − 1÷ Với a > 0, a ≠ ÷. a − a a − a − a + 1÷ a ÷ 1) Rút gọn: P 2) Đặt Q = (a − a + 1).P Chứng minh Q > Câu Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x + m2 = (1) Tìm m để pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 − m)2 + x2 = m+ (2) Câu 1) Giải pt (x + 1) 2(x2 + 4) = x2 − x − (1) x − = x2 + xy − 2y2 (1) y 2) Giải hpt x ( x + − y)(1+ x + 3x) = (2) Câu Giải pt tập số nguyên x2015 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) + (1) Câu Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: AH = 2OM 2) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng: OI OJ = R2 3) Gọi N giao điểm AH đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm O (D kác N C ) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh rằng: ·ACH = ·ADK Câu 1) Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (1+ a)(1+ b) ≥ 1+ ab 2) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P= + + (1+ a2)(1+ b2) 2 a + 2a b + 2b ( vế phải pt (1) ta thường hay gặp toán giải hệ pt ta cần ý) Câu SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI ĐỀ THI TỐN CHUN BÌNH PHƯỚC 2015-2016 Nội dung 2) Đặt Q = (a − a + 1).P Chứng minh Q > a − a + a − a + ( a − 1)2 = = + 1> 1,∀a > 0; a ≠ a a a (Cách khác: tách sử dụng bđt cơsi xét thấy dấu không xảy suy Q > 1) Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x + m2 = (1) Tìm m để pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn Ta có: Q = (a − a + 1).P = (x1 − m)2 + x2 = m+ (2) Pt (1) có hai nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ m≥ − Khi theo vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m+ 2; x1x2 = m2 2 Vì x1 nghiệm pt (1) nên x1 = 2(m+ 1)x1 − m2 thay vào (2) ta 2x1 + x2 = m+ m= (thỏa mãn) Từ vi-ét giả thiết, ta có −m(3m+ 2) = m ⇔ m= − m= thỏa mãn ycbt Vậy m= − 1) Giải pt (x + 1) 2(x2 + 4) = x2 − x − (1) ĐK: x∈ R x = −1 2(x2 + 4) − (x − 2) = ⇔ ⇔ ( x + 1) x ≥ ⇔ x = −1 Pt (1) x = −2 Vậy pt có cnghiệm x = −1 x − = x2 + xy − 2y2 (1) 2) Giải hpt x y ( x + − y)(1+ x + 3x) = (2) ( vế phải pt (1) ta thường hay gặp toán giải hệ pt ta cần ý) x > (*) ĐK: ⇔ y > y = x = 0⇔ ÷ Từ pt (1) suy (y − x) x + 2y + =0 ÷ x + 2y + y x y x +) Với y = x thay vào (2) ta ( x + − x)(1+ x2 + 3x) = ⇔ 1+ x2 + 3x = x + + x ⇔ ( x + − 1)( x − 1) = ( nhân hai vế pt với x + + x ) ( Ta đặt t = x + − x bình phương hai vế ) x + = x = −2 (L ) ⇔ ⇔ x = x = 1⇒ y = +) Vì x > 0; y > nên x + 2y + y x = vô nghiệm Vậy nghiệm hpt là: ( x; y) = ( 1;1) Giải pt tập số nguyên x2015 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) + (1) ĐK: y(y + 1)(y + 2)(y + 3) ≥ Pt (1) ⇔ x2015 − 1= (y2 + 3y + 1)2 − Đặt: y2 + 3y + 1= a(a∈ Z) Vì x nguyên nên x2015 − nguyên, suy a2 − 1= k2(k ∈ Z) ⇒ a2 − k2 = 1⇒ (a − k)(a + k) = 1⇒ k = y = 0⇒ x = y = −3 ⇒ x = y2 + 3y + 1= ( thỏa mãn) ⇒ ⇒ (y2 + 3y + 1)2 = ⇔ y + 3y + 1= −1 y = −1⇒ x = y = −2 ⇒ x = Vậy pt có nghiệm nguyên ( x; y) : ( 1;0) , ( 1; −1) , ( 1; −2) , ( 1; −3) ( Ta thường hay gặp chứng minh biểu thức dấu cộng số phương) 1) Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (1+ a)(1+ b) ≥ 1+ ab Ta chứng minh phép biến đổi tương đương 2) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P= + + (1+ a2)(1+ b2) 2 a + 2a b + 2b 1 ( Ta cần sử dụng hai bđt phụ sau (1+ x)(1+ y) ≥ 1+ xy + ≥ phải chứng minh x y x+ y hai bđt điểm tối đa) 4 + 1+ ab = + 1+ ab = + ab + Cách1: P ≥ a + 2a + b2 + 2b (a + b)2 − 2ab + 2(a + b) a2b2 ab ab 7ab 1 7ab 7ab = + + + + 1≥ 3.3 + + 1= + 2 16 16 ÷ 16 16 8 a b Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab = a + b ≥ ab ⇒ ab ≥ 7.4 21 21 Vậy giá trị nhỏ P a = b = + = 4 Bình luận: khơng có bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-nhia-copxki cho biểu thức dấu Cịn tổng hai biểu thức nghịch đảo q rõ, sau dùng ppháp dồn biến) Cách 2: 1 1 1 P= + + (1+ a2)(1+ b2) ≥ + + 1+ ab = + + a + b+ 2 2 a(a + 2) b(b+ 2) a + 2a b + 2b a + 2a b + 2b a a+ 2 b b + 29 = + + + + ÷+ ÷+ (a + b) + a(a + 2) 16 32 b(b + 2) 16 32 32 Do P ≥ ≥ 3.3 1 1 29 13 29 + 3.3 + (a + b) + = + (a + b) 16 32 16 32 32 8 32 (a + b)2 ⇒ a+ b ≥ 4 13 29 13 29 21 Do P = + (a + b) ≥ + = 32 32 21 Vậy giá trị nhỏ P a = b = Cách 3: Ta có a + b = ab ⇒ (a − 1)(b − 1) = Đặt a − 1= x ⇒ a = x + 1; b − 1= y ⇒ b = y + 1; x.y = Mặt khác: từ giả thiết, ta có: a + b = ab ≤ Khi P ≥ + + 1+ ab = 1 + + a + b+ a(a + 2) b(b + 2) a + 2a b + 2b 1 = + + x + y+ (x + 1)(x + 3) (y + 1)(y + 3) Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: AH = 2OM 2) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng: OI OJ = R2 3) Gọi N giao điểm AH đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm O (D kác N C ) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh rằng: ·ACH = ·ADK Quá trình làm đánh máy khơng tránh khỏi sai sót, độc giả tự chỉnh sửa! Tiếp tục cập nhật! ... theo vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m+ 2; x1x2 = m2 2 Vì x1 nghiệm pt (1) nên x1 = 2(m+ 1)x1 − m2 thay vào (2) ta 2x1 + x2 = m+ m= (thỏa mãn) Từ vi-ét giả thiết, ta có −m(3m+ 2) = m ⇔ m= − ... = 0⇔ ÷ Từ pt (1) suy (y − x) x + 2y + =0 ÷ x + 2y + y x y x +) Với y = x thay vào (2) ta ( x + − x)(1+ x2 + 3x) = ⇔ 1+ x2 + 3x = x + + x ⇔ ( x + − 1)( x − 1) = ( nhân hai vế