SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: 1) x x y y 1 x 2) 3) x x Câu II (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A ( a 2) a 3 a 9a với a 2) Khoảng cách hai tỉnh A B 60 km Hai người xe đạp khởi hành lúc từ A đến B với vận tốc Sau xe người thứ bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, người thứ hai tiếp tục với vận tốc ban đầu Sau sửa xe xong, người thứ với vận tốc nhanh trước km/h nên đến B lúc với người thứ hai Tính vận tốc hai người lúc đầu Câu III (2,0 điểm) 2 1) Tìm giá trị m để phương trình x 2(m 1) x m có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Cho hai hàm số y (3m 2) x với m 1 y x có đồ thị cắt điểm A( x; y ) Tìm giá trị m để biểu thức P y x đạt giá trị nhỏ Câu IV (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC BD E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF 1) Chứng minh ACBD hình chữ nhật 2) Gọi H trực tâm tam giác BPQ Chứng minh H trung điểm OA 3) Xác định vị trí đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ Câu V (1,0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , , a2015 thỏa mãn điều kiện: 1 1 89 a1 a2 a3 a2015 Chứng minh 2015 số ngun dương đó, ln tồn số Hết Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HẢI DƯƠNG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang) Câ u I I Ý Nội dung Giải phương trình x Pt x 1 x Điể m 0,50 0,25 0,25 x y y 1 x Giải hệ phương trình 0,50 x y 2 x y 1 Hệ Tìm x y I II 0,25 Giải phương trình x x 2 Đặt t x , t ta t 8t t t 9 Giải phương trình tìm t 9 (Loại) t x x 1 A ( a 2) II 0,25 Rút gọn biểu thức a 2 a 3 a a 6 a 1 a a a 3 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 a 9a với a A a a (a a 1) a A 7 Tính vận tốc hai người lúc đầu Gọi vận tốc hai người lúc đầu x km/h (x > 0) 60 h Thời gian từ A đến B người thứ hai x Quãng đường người thứ đầu x (km) Quãng đường lại 60 – x (km) 60 x h Thời gian người thứ quãng đường lại x 60 60 x 20 ' h 1 x4 Theo ta có: x 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 60.3. x 4.x x 3.x 60 x III x 20 x 16 x 720 x 36 Do x nên x 20 Vậy vận tốc hai người lúc đầu 20 km/h 2 Tìm m để x 2(m 1) x m có nghiệm kép Tìm nghiệm kép ' (m 1)2 (m 3) 2m Phương trình có nghiệm kép ' 2m m 2 Nghiệm kép x1 x2 m III 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 Vậy m 2 phương trình có nghiệm kép x1 x2 1 Cho hai hàm số y (3m 2) x y x có đồ thị cắt điểm A( x; y ) Tìm m để biểu thức P y x đạt giá trị nhỏ 2 A ; 1 Với m 1 hai đồ thị cắt điểm m m 0,25 1,00 0,25 2 P y 2x 1 m 1 m 1 t 2 m ta P t 4t (t 2) 6, t Đặt 0,25 0,25 2m0 m 1 Vậy m biểu thức P y x đạt giá trị nhỏ Chứng minh ACBD hình chữ nhật P 6 t IV 0,25 1,00 B B D D O O C C A IV E H P A Q Hình vẽ ý Hình vẽ ý Vẽ hình ý ·ACB ·ADB 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · · CAD CBD 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy Chứng minh ACBD hình chữ nhật Chứng minh H trung điểm OA Tam giác BEF vng B có đường cao BA nên AB2 = AE AF F 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 AE AB AE AB AE AB AB AF 2OA AQ OA AQ ; IV · · EAO BAQ 900 AEO đồng dạng với ABQ 0,25 ·AEO ·ABQ · · Mặt khác HPF ABQ (góc có cạnh tương ứng vng góc) · · nên AEO HPF Hai góc vị trí đồng vị nên PH // OE 0,25 P trung điểm EA H trung điểm OA Xác định vị trí CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ AB.PQ R S BPQ R.PQ R ( AP AQ ) ( AE AF ) 2 Ta có R AE.AF R AB R AB R 0,25 1,00 0,25 0,25 SBPQ R AE AF 0,25 BEF vuông cân B BCD vuông cân B CD AB S Vậy BPQ đạt giá trị nhỏ 2R2 CD AB V 0,25 Cho 2015 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , , a2015 thỏa mãn điều kiện: 1 1 89 a1 a2 a3 a2015 Chứng minh 2015 số ngun dương đó, tồn số Giả sử 2015 số nguyên dương cho khơng có số Khơng tính tổng qt, ta xếp số sau: a1 a2 a3 a2015 a1 1, a2 2, a3 3, , a2015 2015 1 1 1 1 a1 a2 a3 a2015 2015 1 2 2 1 2 0,25 0,25 2 2015 1 1 1 2 3 2014 2013 2015 2014 2 1 1,00 2014 2013 2015 2014 0,25 2015 89 1 1 89 a1 a2 a3 a2015 0,25 Vô lý Do 2015 số ngun dương cho, ln tồn số ... Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HẢI DƯƠNG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang) Câ u I I Ý Nội dung Giải... 0,25 Cho 2015 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , , a2015 thỏa mãn điều kiện: 1 1 89 a1 a2 a3 a2015 Chứng minh 2015 số ngun dương đó, tồn số Giả sử 2015 số ngun dương cho khơng có số Khơng... 2015 2014 0,25 2015 89 1 1 89 a1 a2 a3 a2015 0,25 Vơ lý Do 2015 số ngun dương cho, ln tồn số