SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ( ĐỀ CHÍNH THỨC ) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2,[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình: 3x + − x =1 1) 2) 3 x = 17 − y x − y = Câu (2,0 điểm) 1) Tìm m để đường thẳng d1: y = (m + 1) x + 2m − cắt đường thẳng d2: y = x − điểm A có hồnh độ – 1 x −1 A= − +1 ÷: x + x x + x + x + 2) Rút gọn biểu thức với x > x ≠ Câu (2,0 điểm) 1) Quãng đường Hải Dương – Hạ Long dài 100km Một ô tô từ Hải Dương đến Hạ Long nghỉ 20 phút, sau trở Hải Dương hết tất 12 Tính vận tốc ô tô lúc đi, biết vận tốc ô tô lúc nhanh vận tốc ô tô lúc 10km/h 2 2) Tìm m để phương trình x − 2mx + m − = (x ẩn, m tham số) có hai nghiệm x13 − x23 = 10 x , x phân biệt thỏa mãn Câu (3,0 điểm) Cho ∆ ABC nội tiếp đường trịn tâm O đường kính BC Kẻ AH ⊥ BC (H thuộc BC), gọi M, N hình chiếu vng góc H AB, AC 1) Chứng minh AC = CH CB 2) Chứng minh tứ giác BCNM nội tiếp AC.BM + AB.CN = AH BC 3) Đường thẳng qua A cắt tia HM E cắt tia đối NH F Chứng minh BE / / CF Câu (1,0 điểm) Cho phương trình ax + bx + c = (a ≠ 0) nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ≤ x1 ≤ x2 ≤ Tìm 3a − ab + ac 5a − 3ab + b giá trị nhỏ biểu thức HẾT -L= Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: Câu Phần 1) Câu (2,0đ) 2) Nội dung 3x + − x = ⇔ 3x + − x = ⇔ 3x − x = − ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = 3 x = 17 − y 3 x + y = 17 7 y = 14 y = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x − y = 3x − y = x − y = x − 2.2 = y = Vậy nghiệm hệ phương trình ( x, y ) = (5;2) Điểm 1.0 1.0 Để d1 cắt d2 m + ≠ ⇔ m ≠ Thay x = −1 vào phương trình y = x − y = −1 − = −4 ⇒ d1 qua điểm A(−1; −4) Thay x = −1; y = −4 vào phương trình d1 được: − = (m + 1).(−1) + 2m − 1) ⇔ −4 = − m − + 2m − ⇔ m − 2m = ⇔ m(m − 2) = 1.0 m = ⇔ m = Kết hợp với điều kiện m ≠ , suy m = Vậy m = giá trị cần tìm x −1 A= − +1 ÷: x +1 x + x +1 x+ x Câu (2,0đ) = 1− x x −1 : +1 x ( x + 1) ( x + 1) −( x − 1) ( x + 1)2 = × +1 x ( x + 1) x −1 2) = −( x + 1) +1 x − x −1 + x x −1 = x −1 A= x với x > x ≠ Vậy Đổi 20 phút = Gọi vận tốc ô tô lúc x (km/h) Điều kiện: x > 1.0 = Câu (2,0đ) 1) 1.0 ⇒ Vận tốc ô tô lúc x + 10 (km/h) 100 Thời gian ô tô lúc x (h) 100 Thời gian ô tô lúc x + 10 (h) Tổng thời gian (khơng tính thời gian nghỉ) là: 11 12 − = 3 (h) 100 100 11 + = x + 10 Ta có phương trình: x 2) ⇔ 11x − 490 x − 3000 = 60 x1 = 50; x2 = − 11 Giải phương trình được: Kết hợp với điều kiện ⇒ x = 50 Vậy vận tốc ô tô lúc 50 km/h ∆ ' = m − m + = > ∀m ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Cách 1: x1 + x2 = 2m x x = m2 − Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Theo đề bài: x13 − x23 = 10 ⇔ ( x13 − x23 ) = 200 ⇔ ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = 200 ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 200 ⇔ (2m)2 − 4(m − 2) (2m) − ( m − 2) = 200 ⇔ 8.(3m + 2) = 200 ⇔ (3m + 2) = 25 ⇔ 3m + = (do 3m + > 0) ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 Vậy m = ±1 giá trị cần tìm Cách 2: x1 + x2 = 2m x1 x2 = m − Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2 2 Xét ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = (2m) − 4(m − 2) = ⇒ x1 − x2 = 2 Theo đề bài: 1.0 x13 − x23 = 10 ⇔ ( x1 − x2 )( x12 + x1 x2 + x22 ) = 10 ⇔ x1 − x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 ⇔ 2 (2m) − m + = 10 ⇔ 3m + = ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 Cách 3: Vì vai trị x1 , x2 nên khơng tính tổng quát, giả sử x1 > x2 Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2m + 2; x2 = 2m − 3 3 Vì x1 > x2 ⇒ x1 > x2 ⇒ x1 − x2 > nên: x13 − x23 = 10 ⇔ x13 − x23 = 10 ⇔ (m + 2)3 − ( m − 2)3 = 10 ⇔ m3 + 2m + 6m + 2 − m3 + 2m − 6m + 2 = 10 ⇔ 2m + = 10 ⇔ 2m = ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 Câu (3,0đ) 0.25 1) 2) · · Vì BAC góc nội tiếp chắn nửa đường trịn nên BAC = 90 ∆ ABC vuông A, đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có: AC2 = CH.CB Cách 1: · · · Tứ giác AMHN có MAN = AMH = ANH = 90 (GT) 0.75 0.5 ⇒ AMHN hình chữ nhật ⇒ AMHN tứ giác nội tiếp µ1=H µ1 ⇒M (2 góc nội tiếp chắn cung AN đường trịn ngoại tiếp tứ giác AMHN) µ µ µ Mà H1 = C1 (cùng phụ với H ) µ =C µ1 ⇒M µ µ Tứ giác BCNM có M1 = C1 nên BCNM tứ giác nội tiếp Cách 2: ∆ ABH vuông H, đường cao HM Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có: AH2 = AM.AB Tương tự, ta có AH2 = AN.AC AM AN ⇒ AM.AB = AN.AC ⇒ = AC AB AM AN = · ∆ AMN ∆ ACB có: BAC chung, AC AB ⇒ ∆ AMN ∆ ACB (c.g.c) µ =C µ1 ⇒M µ µ Tứ giác BCNM có M1 = C1 nên BCNM tứ giác nội tiếp Ta có: AC.BM + AB.CN = AC.(AB − AM) + AB.(AC − AN) 3) = 2AB.AC − (AC.AM + AB.AN) = 2AB.AC − (AC.HN + AB.HM) (vì AM = HN AN = HM, AMHN hình chữ nhật) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có: AB.AC = AH.BC , AC.HN = AH.HC , AB.HM = AH.HB Do đó: AC.BM + AB.CN = 2AH.BC − (AH.HC + AH.HB) = 2AH.BC − AH.(HC + HB) = 2AH.BC − AH.BC = AH.BC (Có thể sử dụng cơng thức diện tích để chứng minh) ∆ MEA ∆ NAF có: · · · · EMA = ANF = 900 , EAM = AFN (đồng vị, AB // FH) ⇒ ∆MEA # ∆NAF (g.g) ME MA ⇒ = ⇒ ME.NF = NA.MA NA NF Chứng minh tương tự, ta được: MB.NC = MH.NH Mà NA = MH, AM = NH (AMHN hình chữ nhật) ME MB ⇒ ME.NF = MB.NC ⇒ = NC NF 0.5 1.0 ∆ MEB ∆ NCF có: ME MB · · EMB = CNF = 900 , = NC NF µ = F$1 ⇒ ∆MEB # ∆NCF (c.g.c) ⇒ B µ +C µ = 900 (do F$1 + C µ = 90 ) ⇒B ( ) ( · · µ +B µ1 +C µ1+C µ2= B µ +C µ2 + B µ1+C µ1 ⇒ EBC + FCB =B Câu (1,0đ) ) µ µ µ µ Mặt khác: B2 + C B1 + C1 ( ∆ ABC vuông A) · · ⇒ EBC + FCB = 900 + 900 = 1800 Mà hai góc vị trí phía ⇒ BE // CF (đpcm) Vì x1, x2 hai nghiệm PT ax + bx + c = nên áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: b x1 + x = − a x x = c a Vì a ≠ nên: b c 3− + 3a − ab + ac + x + x + x 1x a a L= = = 2 5a − 3ab + b + 3x1 + 3x + (x1 + x ) b b − 3× + ÷ a a + x1 + x + x1 x = + 3x1 + 3x + x12 + 2x1x + x 22 Vì ≤ x1 ≤ x ≤ ⇒ x12 ≤ 2x1 , x 22 ≤ 2x , (2 − x1 )(2 − x ) ≥ , + x1 + x + x1x ⇒ + 3x1 + 3x + x12 + 2x1x + x 22 ≤ + 5x1 + 5x + 2x1x = 3(3 + x1 + x + x1x ) − (4 − 2x1 − 2x + x 1x ) = 3(3 + x1 + x + x1x ) − (2 − x1 )(2 − x ) ≤ 3(3 + x1 + x + x1x ) + x + x + x 1x L≥ = 3(3 + x1 + x + x1x ) x12 = 2x1 x = 0; x = ⇔ x 22 = 2x ⇔ x1 = x = (2 − x )(2 − x ) = Dấu “=” xảy x1 = 0; x = L = x1 = x = Vậy 1.0 * Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa ... Vận tốc ô tô lúc x + 10 (km/h) 100 Thời gian ô tô lúc x (h) 100 Thời gian ô tô lúc x + 10 (h) Tổng thời gian (khơng tính thời gian nghỉ) là: 11 12 − = 3 (h) 100 100 11 + = x + 10 Ta có phương trình:... (2m) − 4(m − 2) = ⇒ x1 − x2 = 2 Theo đề bài: 1.0 x13 − x23 = 10 ⇔ ( x1 − x2 )( x12 + x1 x2 + x22 ) = 10 ⇔ x1 − x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 ⇔ 2 (2m) − m + = 10 ⇔ 3m + = ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 Cách 3:... x1 > x2 ⇒ x1 > x2 ⇒ x1 − x2 > nên: x13 − x23 = 10 ⇔ x13 − x23 = 10 ⇔ (m + 2)3 − ( m − 2)3 = 10 ⇔ m3 + 2m + 6m + 2 − m3 + 2m − 6m + 2 = 10 ⇔ 2m + = 10 ⇔ 2m = ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 Câu (3,0đ) 0.25 1) 2)