075 toán vào 10 chuyên vũng tàu 2016 2017

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn: TỐN (Chun)Ngày thi: 31/5/2016 Câu (3,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức  A  x    4x   x  với x 1 b) Giải phương trình x  x  3x   x x   x  c) Giải hệ phương trình  x  y 3  xy  2  x  y 18 Câu (2,0 điểm) 2 a) Tìm tất cặp số nguyên tố  p; q  thỏa mãn p  5q 4 b) Cho đa thức f  x  x  bx  c Biết b, c hệ số dương f  x  có nghiệm Chứng minh f   9 c 2 Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  y  z 3xyz Chứng minh : x2 y2 z2   1 y 2 z 2 x2 Câu (3,0 điểm) Cho hai đường tròn  O; R   O '; R '  cắt A B (OO’ > R > R’) Trên nửa mặt phẳng bờ OO’ có chứa điểm A, kẻ tiếp tuyến chung MN hai đường tròn (với M thuộc (O) N thuộc (O’)) Biết BM cắt (O’) điểm E nằm đường tròn (O) đường thẳng AB cắt MN I   a) Chứng minh MAN  MBN 180 I trung điểm MN b) Qua B, kẻ đường thẳng (d) song song với MN, (d) cắt (O) C cắt (O’) D (với C, D khác B) Gọi P, Q trung điểm CD EM Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACD điểm A, B, P, Q thuộc đường tròn c) Chứng minh tam giác BIP cân Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn H trực tâm Chứng HA HB HC    minh BC CA AB HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TOÁN (Chuyên) Nội dung Câu 1a  A Rút gọn biểu thức    x    4x   x  với x 1 x   x  x    Do với x 1 x    nên Vậy A  x  0,25 x   x  2 x   (1)  x  x  x   x x   x    x 1   x  0  x  x  x  1 x  1  x  (thỏa mãn điều kiện) 1c 0,25 0,25 Giải phương trình x  x  x   x x   x  (1) Điều kiện xác định: x   x  1 0,25 x   x   x  1 1b Điểm  1 0,25 0,25 0,25  x 0 1 x  x 1    x  x  x  0 (thỏa mãn điều kiện)  x  y 3  xy  2 x  y 18   Giải hệ phương trình Điều kiện: xy 0 a 3  b   b 0  Ta có hệ a  2b 18 Đặt a  x  y , b  xy 0,25  1 0,25   b   2b 18 Thế a 3  b vào phương trình cịn lại ta được:  b  6b  0  b 3  x  y 6  a; b   6;3   xy 3 Do Ta hệ   x  y 6    xy 9 2a  x 3   y 3 (thỏa mãn điều kiện).Vậy hệ có nghiệm  x; y   3;3  p; q  thỏa mãn p  5q 4 Tìm tất cặp số nguyên tố p  5q 4  p  5q   p    p   5q Do  p   p  q nguyên tố nên p  nhận giá trị 1, 5, q, q 0,25 0,25 0,25  1 0,25 0,25 1, 5, q, q Ta có bảng giá trị tương ứng p–2 p+2 5q q2 q 5q 3 1 Do p, q số nguyên tố nên có cặp Cho đa thức f  x  x  bx  c f   9 c 0,25  p; q   7;3 thỏa mãn Biết b, c hệ số dương nghiệm Chứng minh f  x q q 2b p 0,25 f  x có nghiệm   0  b 4c  b 2 c  f   4  2b  c 4  c  c  c 2  0,25 0,25 0,25 c   c   3 c Do  f  2  c  9 c 0,25 f  x   x  x1   x  x2  Cách 2: Theo hệ thức Vi – et ta có x1 x2 c , Do b, c dương nên f  x  1 có có nghiệm âm  x1  0, x2  0,25 0,25 f  x   x  p   x  q  0,25 f     p    q     p     q  3 p 3 q 9 pq 9 c 0,25 p  0, q  pq c ; Đặt x1  p, x2  q Cho x, y, z số dương thỏa mãn 2 x  y  z 3xyz x2 y2 z2   1 y2 z 2 x2 Chứng minh:  1 (*) x2 y 2 x2 y  2 x2 6x  y   2  x   y2 y2 Ta có y  y2 y  z  z2 6z  x    9 Tương tự z  , x2 Đặt vế trái (*) P Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: P 5 x  y  z   0,25 0,25  x  y  z Lại có 3 xyz , x  y  z   x  y  z 4a   x  y  z  x  y  z   x  y  z 3 Do P 1 Từ giả thiết suy Hình vẽ (Học sinh vẽ đến câu a.) Chứng minh   MAN  MBN 180 0,25 0,25 0,25 I trung điểm MN     Ta có IMA  ABM , MIA MIB  1 0,25 K M I N A 0,25 Q o' O c E P B D       MAN  MBN  MAN  ABM  ABN  MAN IMA  INA 1800 IMA IBM  IM IA.IB Tương tự ta có IN IA.IB 4b Do IM = IN nên I trung điểm MN Chứng minh tam giác AME đồng dạng tam giác ACD điểm A, B, P, Q thuộc đường tròn AME  ACD AEM  ADC ; (tứ giác AEBD nội tiếp)  AME ACD AE EM EQ  AEQ  ADC ,   AD DC DP  AEQ ADP 0,25 0,25  1 0,25 0,25 0,25 AQE  APD Vậy tứ giác ABPQ nội tiếp 4c 0,25 Chứng minh tam giác BIP cân  0,75 Gọi K giao điểm CM DN Do CDNM hình thang nên điểm I, K, P thẳng hàng 0,25   MN // BC  OM  BC  BMC cân M  MCB MBC       Do MN // BC nên MCB KMN , MBC BMN Suy KMN BMN 0,25   Chứng minh tương tự ta KNM BNM Do BMN KMN  BK  CD, IK IB MB = MK, NB = NK nên MN trung trực KB Tam giác KBP vuông B có IK = IB nên I trung điểm KP Vậy tam giác BIP cân I Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có trực tâm H Chứng minh: HA HB HC    BC CA AB  1 Gọi D, E, F chân đường cao tương ứng kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC A HA HB HC , y ,z BC CA AB Đặt HB BD BHD ADC   AC AD Ta có E x F H B D HA HB HA.BD S AHB   BC AC BC AD S ABC S S yz  BHC , zx  CHA S ABC S ABC Tương tự, ta có S  S BHC  SCHA S ABC  xy  yz  zx  AHB  1 S ABC S ABC  x  y  z 0,25 C xy  Lại có 0,25 3  xy  yz  zx  nên  x  y  z HA HB HC    Vậy BC CA AB ……………HẾT…………… 0,25 0,25 3  x  y  z  0,25