061 toán vào 10 chuyên hồ chí minh 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN THI: TỐN CHUN Ngày thi: 12 tháng năm 2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (1,5 điểm) Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab  1, a +b  Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 P (  3) (  2) (  ) ( a  b) a b ( a  b) a b (a  b) a b Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình: x  x  3 x x  b) Chứng minh rằng: abc (a  b )(b  c )(c  a )7 a,b,c  R Câu (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD Đường thẳng qua C vng góc với CD cắt đường thẳng qua A vng góc với BD F Đường thẳng qua B vng góc với AB cắt đường trung trực AC E Hai đường thẳng BC EF cắt K Tính tỉ số KE KF Câu (1 điểm) Cho hai số dương a , b thỏa mãn điều kiện: a+b  a 9   Chứng minh rằng: a  4a b Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( ) O Gọi M trung điểm cạnh BC N điểm đối xứng M qua O Đường thẳng qua A vng góc với AN cắt đường thẳng qua B vng góc với BC D Kẻ đường kính AE Chứng minh rằng: a) Chứng minh BA.BC =2.BD BE b) CD qua trung điểm đường cao AH tam giác ABC Câu (1 điểm) Mười vận động viên tham gia thi đấu quần vợt Cứ hai người họ chơi với trận Người thứ thắng x1 trận thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận thua y2 trận, , người thứ mười thắng x10 trận thua y10 trận Biết trận đấu quần vợt khơng có kết hịa Chứng minh rằng: x12  x2   x10  y12  y2   y10 HẾT Hướng dẫn giải Câu Với ab  , a + b  0, ta có: a  b3 3(a  b ) 6(a  b) P   3 (a  b) (ab) (a  b) (ab) (a  b)5 (ab) a  b3 3(a  b ) 6(a  b)    ( a  b) ( a  b) ( a  b) a  b  3(a  b )    ( a  b) ( a  b) ( a  b) (a  b  1)(a  b)  3(a  b )   ( a  b)  (a  b  1)(a  b  2)  3(a  b )  ( a  b)  (a  b )  4(a  b )  ( a  b)  (a  b  2) ( a  b)  (a  b  2ab) ( a  b)  (a  b)   ( a  b) 1 Vậy P  1, với ab  , a+b  Câu 2a Điều kiện: x  3 Với điều kiện trên, phương trình trở thành: x  x x   ( x  3) 0  x  x x   ( x  3)  x x  0  x( x   ( x  x  3)  x  3)(2 x  x  3(x  x  3) 0 x  3) 0  x   x(1)    x  2 x(2)  x 0    x 1  13  x 0  13  (1) : x   x       x  2   x  x   13  x     x 0   x 0   x 1  (2) : x  2 x      x 1    x  4 x  x      13  So với điều kiện ban đầu, ta tập nghiệm phương trình cho là: S 1;    Câu a) Chứng minh BA BC = 2BD BE  Ta có: DBA+ ABC  900 , EBM +ABC  900  DBA =EBM (1)  Ta có: ONA  OME (c-g-c)  EAN= MEO Ta lại có: DAB +BAE+ EAN  900, BEM +BAE +MEO  900  DAB= BEM (2)  Từ (1) (2) suy BDA đồng dạng BME (g-g) BD BA BA.BC    DB.BE BA.BM  BM BE  BD.BE BA.BC b) CD qua trung điểm đường cao AH  ABC  Gọi F giao BD CA Ta có BD.BE= BA.BM (cmt) BD BM    BDM ~ BAE (c  g  c) BA BE  BMD BEA Mà BCF=BEA(cùng chắn AB) =>BMD=BCF=>MD//CF=>D trung điểm BF  Gọi T giao điểm CD AH TH CT  BCD có TH //BD  (HQ định lí Te-let) (3) BD CD TA CT  FCD có TA //FD  (HQ định lí Te-let) (4) FD CD Mà BD= FD (D trung điểm BF ) (5)  Từ (3), (4) (5) suy TA =TH T trung điểm AH