Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 22 23 hồ chí minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐÈ THI CHÍNH THỨC xy    x    y   Câu (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn Tính giá trị biểu thức  M  x  1 y2  y 1 x2  Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình : x   x  x  x  b) Giải hệ phương trình :  x  y  z  2x 1   y  y 1  z  x  z  x  y  5z   Câu (1,5 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC CD lấy điểm M , N cho MAN  45 a) Chứng minh MN tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB b) Kẻ MP / / AN  P  AB  kẻ NQ song song với AM  Q  AD  Chứng minh AP  AQ Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  a) Chứng minh ab  bc  ca  b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c   b 1 c 1 a 1  có đường cao AD, BE , CF Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  cắt H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC I Đường thẳng qua A vng góc với IH K cắt BC M AB  AC BI CI  a) Chứng minh tứ giác IFKC nội tiếp BD CD b) Chứng minh M trung điểm BC Câu (1,0 điểm) Số nguyên dương n gọi “số tốt” n  8n  số phương a) Hãy ví dụ ba “số tốt” có 1, 2,3 chữ số k  10 b) Tìm số nguyên k thỏa mãn 4n  k hợp số với n “số tốt” ĐÁP ÁN Câu (1,0 điểm) Cho x, y Tính giá trị biểu thức hai số thực thỏa mãn  M  x  1 y2  y  x2 xy   1 x   1 y    Ta có :   x    y      x    y    xy   x    y    xy  x y 1  x  y  x   xy  2 2 2  1  xy  2 2   xy  y   xy  x y  x  y   x   y    xy   xy  Ta  M  x  1 y2   x   x2  y   x   x2    x2    x2   x2  Câu (2,5 điểm) x   x  x2  x  c) Giải phương trình : Điều kiện : x  4  x4  x  x      x  x4 x  x4   x  4  x4  x    x  (ktm)  x  x4 0  x        21 x  x  1    x   x  x  1      1  13  x    x  x4 0  Vậy phương trình có nghiệm x 1  13  21 ;x  2 d) Giải hệ phương trình :  x  y  z  2x 1   y  y 1  z x  z  x  y  5z 1  Từ giả thiết, suy x, y, z  x x yz  x    y  z  x  2 x  y  z  2 x  y  z    y x yz  y    y   3 y    3 y   zx zx z  x   z x yz  z    x  y  z  5 z  x  y  5 z  x  y     x  y  z   y  x  z   5z  x  y   x  y  z Đặt xy  a, yz  b, xz  c 3a  3b  2a  2c  a  2c  3b  3a  3b  5b  5c   2c  3b   3b  5b  5c Ta có:   6c  6b  5b  5c  c  11b  a  2.11b  3b  19b Nên :  z x  xy  19 yz x  19 z    19     xz  11 yz  x  11y  y  x  11 1 1 1  x  y  z   x  y  z  x   x  x  x  x 19 11  19 11  239 239 239 x ;y ;z  60 60 1140 Vậy x 239 239 239 ;y  ;z  60 60 1140 Câu (1,5 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC CD lấy điểm M , N cho MAN  45 c) Chứng minh MN tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính AB Kẻ AH  MN  H  MN  Gọi E F giao điểm BD với AM , AN Xét tứ giác ABMF có MAN  FBM  45 MAN , FBM nhìn cạnh FM nên tứ giác ABMF nội tiếp  A1  F1  ¼ sd BM  1 AFM  90 Xét tứ giác AEND có MAN  EDN  45 MAN , EDN nhìn cạnh EN nên tứ giác AEND nội tiếp  AEN  90 (vì ADN  90) Ta có MEN  MFN  90 nên tứ giác MEFN nội tiếp  F1  N1  » sd EN   AMN )  3 Mặt khác A2  N1 (cùng phụ Từ (1), (2), (3) suy A1  A2  ABM  AHM (ch  gn)  AB  AH Vậy MN tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB d) Kẻ MP / / AN  P  AB  AP  AQ kẻ NQ song song với AM  Q  AD  Ta có : AMP  MAN  ANQ  45 (so le trong) AMP  EMP  PBE  45 Nên tứ giác PBME nội tiếp  PEM  90  PE  AM mà NE  AM (cmt )  P, E , N thẳng hàng Chứng minh tương tự : Q, F , M thẳng hàng PNQ  QMP  90 nên tứ giác PQNM nội tiếp  P1  M Lại có tứ giác FEMN nội tiếp  E1  M mà E1  E2 (đối đỉnh)  P1  E2 Ta có PQ / / BD  APQ  ABD  45  APQ vuông cân A nên AP  AQ Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  c) Chứng minh ab  bc  ca  Ta có : a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca   1 2  a  b    b  c    c  a       a  b  c    ab  bc  ca   ab  bc  ca  (vì a  b  c  3) Dấu xảy a  b  c  d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c   b 1 c 1 a 1 a ab  a   1 b2  Ta có : b  b   2b  1 ab ab ab ab         2 2 b  2b b 1 2b b 1 Từ (1) (2)  a ab  a   * b 1 Chứng minh tương tự : b bc c ac b ;  c   ** c 1 a 1 2 Từ  * ,  **  P   a  b  c   ab  bc  ca 3  P  3  P  2 Chứng minh Dấu xảy a  b  c   có đường cao Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AD, BE , CF cắt H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC I Đường thẳng qua A vng góc với IH K cắt BC M AB  AC BI CI  c) Chứng minh tứ giác IFKC nội tiếp BD CD Ta có : AFH  AKH  AEH  90  F , H , K , E, A thuộc đường tròn đường FKI  FEB  1 kính AH  FKH  FEH hay Cũng có BFC  BEC  90  B, F , E, C thuộc đường tròn đường kính BC  FEB  FCB   Từ (1), (2) suy FKI  FCB hay FKI  FCI  IFKC nội tiếp Ta có : Tứ giác BFEC nội tiếp nên FEB  FCB (3) Ta có HDC  HEC  90  Tứ giác HDCE nội tiếp đường trịn đường kính HC  HED  HCD hay BED  FCB (4) Từ (3) (4) suy FEB  FCB  EB phân giác góc E IED Mà EC  EB  EC phân giác ngồi góc E IED  BI CI EI   BD CD ED (tính chất đường phân giác) d) Chứng minh M trung điểm BC Xét AIM có hai đường cao AD IK cắt H  H trực tâm  MH  AI hay MT  AI  HTA  90  T thuộc đường trịn đường kính AH Mà F , H , E , A thuộc đường tròn đường kính AH Nên điểm T , F , H , K , E thuộc đường tròn đường kính AH  IT IA  IF IE  *  IF IE  IB.IC  ** Mặt khác, tứ giác BFEC nội tiếp (cmt) Từ (*) (**)  IT IA  IB.IC  TACB tứ giác nội tiếp  T thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp ABC Kẻ đường kính AA1 (O)  AT  IA mà MT  AI Ta có ATA1  90  AT  AT  A1 , T , H , M thẳng hàng Mà ta dễ chứng minh A1BHC hình bình hành M giao điểm BC A1 H nên M trung điểm BC Câu (1,0 điểm) Số nguyên dương n gọi “số tốt” n  8n  số phương c) Hãy ví dụ ba “số tốt” có 1, 2, chữ số Ta có n   n   4;8n   25 số phương n  15  n   16,8n   121 số phương n  120  n   121,8n   961 số phương Vậy n  3, n  15, n  120 ba số tốt k  10 d) Tìm số nguyên k thỏa mãn 4n  k hợp số với n “số tốt” Ta có n  8n  hai số phương Nếu n  1 mod 3  n    mod 3  ktm Nếu n   mod 3  8n    mod 3  ktm Vậy nM3 Với k   1; 1;5; 5; 7; 7; 9; 10 4k  số nguyên tố Với k   0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10 dê thấy 4n  k khác nên 4n  k hợp số Vậy k   0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10 ...  a ab  a   * b 1 Chứng minh tương tự : b bc c ac b ;  c   ** c 1 a 1 2 Từ  * ,  **  P   a  b  c   ab  bc  ca 3  P  3  P  2 Chứng minh Dấu xảy a  b  c   có... Nên tứ giác PBME nội tiếp  PEM  90  PE  AM mà NE  AM (cmt )  P, E , N thẳng hàng Chứng minh tương tự : Q, F , M thẳng hàng PNQ  QMP  90 nên tứ giác PQNM nội tiếp  P1  M Lại có... APQ vuông cân A nên AP  AQ Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  c) Chứng minh ab  bc  ca  Ta có : a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca   1 2  a  b    b 