062 toán vào 10 chuyên hồ chí minh 2010 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Mơn thi: TỐN (Thời gian : 150 phút – không kể thời gian phát đề) Câu 1: (4 điểm)   x+1+y=1 1) Giải hệ phương trình   +5y=3  x+1 2) Giải phương trình :  2x2 - x +2x2 - x-12=0 Câu 2: ( điểm) Cho phương trình x2 – ( 2m + 1) x + m2 + m – = ( x ẩn số ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2  x1  x2  thỏa x1 =2 x2 Câu 3: (2 điểm ) Thu gọn biểu thức: A= 7+ + 7- 7+2 11 - 3-2 Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P điểm cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP BC cắt M.Chứng minh :   a) ABP=AMB b)MA.MP =BA.BM Câu : ( điểm ) a) Cho phương trình 2x2 +mx+2n+8=0 ( x ẩn số m, n số ngun).Giả sử phương trình có nghiệm số nguyên Chứng minh m2 +n2 hợp số b) Cho hai số dương a,b thỏa a100 +b100 =a101 +b101 =a102 +b102 Tính P= a2010 +b2010 Câu : ( điểm ) Cho tam giác OAB vuông cân O với OA=OB =2a.Gọi (O) đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ Câu 7: ( điểm) Cho a , b số dương thỏa a2 +2b2 3c2 Chứng minh +  a b c HẾT ĐÁP ÁN Hướng dẫn chấm Câu Điểm Câu:1: ( điểm Câu   x+1+y=1 1) Giải hệ phương trình   +5y=3  x+1   x+1+y=1    +5y=3  x+1  2  x+1  2y = 3y =1    2 +5y =3  +5y =3  x+1  x+1   x =2   y =  0,5 x4 đ 2) Giải phương trình :  2x2 - x +2x2 - x-12=0 ( đ) Đặt t 2x2  x , pt trở thành: t2 + t - 12 =  t=3 hay t=-4 t =3 => 2x  x 3  x  hay x  Câu t= -4 => 2x2  x  ( vô nghiệm) Vậy pt có hai nghiệm x =- , x =3/2 Câu : (3 điểm ) Cho phương trình x2 – ( 2m + 1) x + m2 + m – = ( x ẩn số ) (*) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2  x1  x2  thỏa x1 =2 x2 2 ’=  2m 1  4m  4m 4  0, với   Vậy (*) ln có nghiệm phân biệt với m x1 =2m-1 ; x2 =2m+3 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0.5 đ x1 =2 x2  2m 2 2m (3 đ) Câu ( đ)   m  2m 12 2m 3     m  2m 1 2 2m 3  Câu : ( điểm) Thu gọn biểu thức: A= 0,5 đ 7+ + 7- 7+2 11 1,5 đ - 3-2 7+ + 7- Xét M = 7+2 11 14  44 2 , suy M = Ta có M > M  7 11 A= -( -1)=1 1đ 1đ Câu ( đ) Câu : ( điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P điểm cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP BC cắt M.Chứng minh :   a) ABP=AMB b)MA.MP =BA.BM A x P = = O x M B Câu C  ) = ( s đ AC  s đ PC  )= s đ AP = ABP a) AMB  ( s đ AB  s đ PC 2  PC   CAP  b) PA  ABP  AMB  CM  AC  AB MAC MBP (g-g) MA MC    MA.MP  MB.MC MB.AB MB MP Câu 5: ( điểm) a)Cho phương trình 2x2 +mx+2n+8=0 ( x ẩn số m, n số nguyên).Giả sử phương trình có nghiệm số ngun Chứng minh m2 +n2 hợp số Gọi x1, x2 nghiệm phương trình  x1  x2  ( đ) m , x1.x2 n  2 2 2 m2 +n2 =  2x1  2x2    x1x2  4 4x1  4x2 x1  x2 x1  16 2đ 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ 2 = x1  x2    2  x  4, x  số nguyên lớn nên m2 +n2 hợp số b)Cho hai số dương a,b thỏa a100 +b100 =a101 +b101 =a102 +b102 Tính P= a2010 +b2010 0,5 đ    100 100 101 101 101 101 100 100 Ta có 0a +b  a  b a  b  a +b Câu   a100  1 a  b100  1 b a101  1 a  b101  1 b  a=b=1  P= a2010 +b2010 =2 Câu 6: ( điểm) Cho tam giác OAB vuông cân O với OA=OB =2a.Gọi (O) đường trịn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ 1đ 0,5 đ ( đ) Câu ( đ) Đường thẳng OA cắt (O) C D, với C trung điểm OA.Gọi E trung điểm OC *Trường hợp M không trùng với C vá D OM OE   AOM ,   Hai tam giác OEM OMA đồng dạng ( MOE ) OA OM ME OM     MA 2.EM AM OA * Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM * Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM Vậy ta có MA=2.EM MA+2.MB=2(EM+MB)  2.EB = số Dấu “=” xảy M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O) Vậy MA +2.MB nhỏ M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O) Câu : ( điểm) 2 Cho a , b số dương thỏa a +2b 3 c Chứng minh +  a b c Ta có:    1   a  2b  b 2a 9ab a b a  2b  2a2  4ab 2b2 0  2 a  b 0 ( đúng) 1đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a+2b  a2  2b2    2   a 2b 3 a2  2b2    2a2  4ab 2b2 0  2 a  b 0 ( đúng) Từ (1) (2) suy 9     ( a  2b2 3c2 ) a b a  2b c a2  2b2   0,5 đ 1đ