SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Mơn thi: TỐN (Thời gian : 150 phút – không kể thời gian phát đề) Câu 1: (4 điểm) x+1+y=1 1) Giải hệ phương trình +5y=3 x+1 2) Giải phương trình : 2x2 - x +2x2 - x-12=0 Câu 2: ( điểm) Cho phương trình x2 – ( 2m + 1) x + m2 + m – = ( x ẩn số ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 thỏa x1 =2 x2 Câu 3: (2 điểm ) Thu gọn biểu thức: A= 7+ + 7- 7+2 11 - 3-2 Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P điểm cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP BC cắt M.Chứng minh : a) ABP=AMB b)MA.MP =BA.BM Câu : ( điểm ) a) Cho phương trình 2x2 +mx+2n+8=0 ( x ẩn số m, n số ngun).Giả sử phương trình có nghiệm số nguyên Chứng minh m2 +n2 hợp số b) Cho hai số dương a,b thỏa a100 +b100 =a101 +b101 =a102 +b102 Tính P= a2010 +b2010 Câu : ( điểm ) Cho tam giác OAB vuông cân O với OA=OB =2a.Gọi (O) đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ Câu 7: ( điểm) Cho a , b số dương thỏa a2 +2b2 3c2 Chứng minh + a b c HẾT ĐÁP ÁN Hướng dẫn chấm Câu Điểm Câu:1: ( điểm Câu x+1+y=1 1) Giải hệ phương trình +5y=3 x+1 x+1+y=1 +5y=3 x+1 2 x+1 2y = 3y =1 2 +5y =3 +5y =3 x+1 x+1 x =2 y = 0,5 x4 đ 2) Giải phương trình : 2x2 - x +2x2 - x-12=0 ( đ) Đặt t 2x2 x , pt trở thành: t2 + t - 12 = t=3 hay t=-4 t =3 => 2x x 3 x hay x Câu t= -4 => 2x2 x ( vô nghiệm) Vậy pt có hai nghiệm x =- , x =3/2 Câu : (3 điểm ) Cho phương trình x2 – ( 2m + 1) x + m2 + m – = ( x ẩn số ) (*) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 thỏa x1 =2 x2 2 ’= 2m 1 4m 4m 4 0, với Vậy (*) ln có nghiệm phân biệt với m x1 =2m-1 ; x2 =2m+3 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0.5 đ x1 =2 x2 2m 2 2m (3 đ) Câu ( đ) m 2m 12 2m 3 m 2m 1 2 2m 3 Câu : ( điểm) Thu gọn biểu thức: A= 0,5 đ 7+ + 7- 7+2 11 1,5 đ - 3-2 7+ + 7- Xét M = 7+2 11 14 44 2 , suy M = Ta có M > M 7 11 A= -( -1)=1 1đ 1đ Câu ( đ) Câu : ( điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P điểm cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP BC cắt M.Chứng minh : a) ABP=AMB b)MA.MP =BA.BM A x P = = O x M B Câu C ) = ( s đ AC s đ PC )= s đ AP = ABP a) AMB ( s đ AB s đ PC 2 PC CAP b) PA ABP AMB CM AC AB MAC MBP (g-g) MA MC MA.MP MB.MC MB.AB MB MP Câu 5: ( điểm) a)Cho phương trình 2x2 +mx+2n+8=0 ( x ẩn số m, n số nguyên).Giả sử phương trình có nghiệm số ngun Chứng minh m2 +n2 hợp số Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x1 x2 ( đ) m , x1.x2 n 2 2 2 m2 +n2 = 2x1 2x2 x1x2 4 4x1 4x2 x1 x2 x1 16 2đ 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ 2 = x1 x2 2 x 4, x số nguyên lớn nên m2 +n2 hợp số b)Cho hai số dương a,b thỏa a100 +b100 =a101 +b101 =a102 +b102 Tính P= a2010 +b2010 0,5 đ 100 100 101 101 101 101 100 100 Ta có 0a +b a b a b a +b Câu a100 1 a b100 1 b a101 1 a b101 1 b a=b=1 P= a2010 +b2010 =2 Câu 6: ( điểm) Cho tam giác OAB vuông cân O với OA=OB =2a.Gọi (O) đường trịn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ 1đ 0,5 đ ( đ) Câu ( đ) Đường thẳng OA cắt (O) C D, với C trung điểm OA.Gọi E trung điểm OC *Trường hợp M không trùng với C vá D OM OE AOM , Hai tam giác OEM OMA đồng dạng ( MOE ) OA OM ME OM MA 2.EM AM OA * Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM * Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM Vậy ta có MA=2.EM MA+2.MB=2(EM+MB) 2.EB = số Dấu “=” xảy M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O) Vậy MA +2.MB nhỏ M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O) Câu : ( điểm) 2 Cho a , b số dương thỏa a +2b 3 c Chứng minh + a b c Ta có: 1 a 2b b 2a 9ab a b a 2b 2a2 4ab 2b2 0 2 a b 0 ( đúng) 1đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a+2b a2 2b2 2 a 2b 3 a2 2b2 2a2 4ab 2b2 0 2 a b 0 ( đúng) Từ (1) (2) suy 9 ( a 2b2 3c2 ) a b a 2b c a2 2b2 0,5 đ 1đ