083 toán vào 10 chuyên sư phạm hà nội 2016 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 2016 Mơn thi: TỐN (Dùng cho thí sinh thi vào Trường Chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút   1 a 1 a 1    Câu (2 điểm) Cho biểu thức P     với < a < Chứng minh a   a   a   a  1 a  1 a P = –1 Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng d: y = 2mx – với m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm d (P) m = b) Chứng minh với giá trị m, d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi y1, y2 tung độ A, B Tìm m cho | y12  y22 |3 Câu (1,5 điểm) Một người xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách 120 km Vận tốc 1 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc quãng đường AB sau vận tốc quãng đường AB 4 đầu Khi đến B, người nghỉ 30 phút trở lại A với vận tốc lớn vận tốc quãng đường AB lúc 10 km/h Thời gian kể từ lúc xuất phát A đến xe trở A 8,5 Tính vận tốc xe máy quãng đường người từ B A? Câu (3,0 điểm) Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng M nằm A, B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, dựng hai tam giác AMC BMD Gọi P giao điểm AD BC a) Chứng minh AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB  DP.DA  AB c) Đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC BMPD cắt PA, PB tương ứng E, F Chứng minh CDFE hình thang Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh 5a   5b   5c  7 ––––––––Hết––––––– Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN Câu Với < a < ta có:  1 a P    1 a  1 a      a   2 a    a    a    a   a  1 a 1 a   (1  a )(1  a)      a2 a 1 a  1 a 1 a 1 a  1 a         1 a           1 a 1 a  1 a 1 a      a2 a  a   a    1 a  1 a   a   a  a  a  (1  a)  (1  a) 2a 1 a  1 a 1 a  1 a   1 a  1 a   1 a  1 a   1 a  1 a  1 a  1 a 2a  2a 1 a  1 a 2a    2a 2a Câu a) Khi m = ta có d : y = 2x – (P): y = –x2 Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: Với x    y   2 Với x    y   2   Vậy giao điểm   2;   2 ;   2;   2  b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P):  x 2mx   x  2mx  0 (*) Phương trình (*) có ∆’ = m2 + > ⇒ (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d cắt (P) hai điểm phân biệt  x1  x2  2m Áp dụng Viét ta có:   | x1  x2 | ( x1  x2 )2  ( x1  x2 )  x1 x2  4m  2 m  x x    y1 2mx1   | y12  y22 || (2mx1  1)  (2mx2  1) | Khi ta có   y2 2mx2   | y12  y22 || (2mx1   2mx2  1)(2mx1   2mx2  1) || 4m( x1  x2 )[m( x1  x2 )  1] | | 4m(2m2  1)( x1  x2 ) |4 m(2m  1) | x1  x2 |4 | m | (2m  1)2 m  Ta có | y12  y22 |3  64m (2m  1) (m  1) 45  64(4m  4m  1)(m  m ) 45 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Đặt m  m t 0 có phương trình 64t (4t  1) 45  256t  64t  45 0  t  (vì t ≥ 0) 16 4 Suy m  m   16m  16m  0  m  16 Vậy m  Câu 3 Gọi vận tốc người xe máy quãng đường AB đầu (90 km) x (km/h) (x > 0) Vận tốc người xe máy quãng đường AB sau 0,5x (km/h) Vận tốc người xe máy quay trở lại A x + 10 (km/h) 90 30 120   8,5 Tổng thời gian chuyến  x 0,5 x x  10 90 60 120 150 120    8   8  75( x  10)  60 x 4 x( x  10) x x x  10 x x  10  x  95 x  750 0  x 30 (do x > 0) Vậy vận tốc xe máy quãng đường người từ B A 30 + 10 = 40 (km/h) Câu a) Vì CMA DMB 60o  CMB DMA 120o Xét ∆ CMB ∆ AMD có CM  AM  MCB MAD  CMB DMA  CMB AMD(c.g c )    MBC MDA  MB MD  Suy AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Vì AMPC tứ giác nội tiếp nên CPM 180o  CAM 120o CMB  CPM CMB( g g )  CP CM  CM CB  CP.CB CM  CP.CB CM Tương tự DP.DA DM Vậy CP.CB  DP.DA CM  DM  AM  BM  AB c) Ta có EF đường trung trực PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân E Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM ⇒ PE = PM Tương tự PF = PM Ta có CM // DB nên PCM = PBD Mà BMPD tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD Suy PCM = PMD CP PM CP PE    Ta lại có CPM = DPM = 120o  CPM MPD ( g g )  MP PD PF PD Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE hình thang Câu  a(1  a ) 0  Vì a, b, c khơng âm có tổng nên a, b, c 1  b(1  b) 0  c(1  c) 0  Suy 5a   a  4a   ( a  2) a  Tương tự 5b  b  2; 5c  c  Do 5a   5b   5c  ( a  b  c)  7 (đpcm) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt a a  b b c c 