Đề Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Hệ Chuyên Sư Phạm Hà Nội Năm 2016 - 2017

Câu 1 (2 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm[r]

(1)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập – Tự – Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH

VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CHUN 2016 Mơn thi: TỐN

(Dùng cho thí sinh thi vào Trường Chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút

Câu (2 điểm) Cho biểu thức

2

1 1

1

1 1

a a

P

a a

a a a a

     

      

      

  

    với < a < Chứng minh

rằng P = –1

Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng d: y = 2mx – với m tham số. a) Tìm tọa độ giao điểm d (P) m =

b) Chứng minh với giá trị m, d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi y1, y2 tung độ A, B Tìm m cho |y12  y22| 5

Câu (1,5 điểm) Một người xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách 120 km Vận tốc quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc

1

4 quãng đường AB sau

2 vận tốc

4 quãng đường AB

đầu Khi đến B, người nghỉ 30 phút trở lại A với vận tốc lớn vận tốc

4 quãng đường AB lúc 10 km/h Thời gian kể từ lúc xuất phát A đến xe trở A 8,5 Tính vận tốc xe máy quãng đường người từ B A?

Câu (3,0 điểm) Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng M nằm A, B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, dựng hai tam giác AMC BMD Gọi P giao điểm AD BC a) Chứng minh AMPC BMPD tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CP CB  DP DA AB

c) Đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC BMPD cắt PA, PB tương ứng E, F Chứng minh CDFE hình thang

Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng 5a 4 5b 4 5c4 7

(2)

ĐÁP ÁN Câu

Với < a < ta có:







 















1 1

1 1 1 1

1

1 (1 )(1 )

1 1 1

1 1

1 (1 ) (1 )

1 a a a P a a

a a a a a

a

a a a

a a

a a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a a a a a

a a a                                                                                                    







 



1 1

2

1

1 2 a a a a a a a

a a a a

a

a a a

a a                        Câu 2

a) Khi m = ta có d : y = 2x – (P): y = –x2 Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: Với x 1 2 y 3 2

Với x 1 2 y 3 2

Vậy giao điểm



 



b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x2 2mx1 x22mx1 0 (*)

Phương trình (*) có ∆’ = m2 + > ⇒ (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d cắt (P) hai điểm phân biệt

Áp dụng Viét ta có:

1 2

2

x x m

x x

  





 |x1 x2| (x1 x2)2  (x1x2)2 4x x1  4m24 2 m21

Khi ta có

1 2 2

1 2

2

| | | (2 1) (2 1) |

2

y mx

y y mx mx

y mx              2

1 2 2

2 2

1 2

| | | (2 1)(2 1) | | ( )[ ( ) 1] |

| (2 1)( ) | (2 1) | | | | (2 1)2

y y mx mx mx mx m x x m x x

m m x x m m x x m m m

            

        

(3)

Đặtm4 m2   có phương trìnht

2

64 (4 1) 45 256 64 45

16

t t   t  t   t

(vì t ≥ 0) Suy

4 16 16 5 0

16

m m   m  m    m

Vậy

1

m 

Câu 3

Gọi vận tốc người xe máy

4 quãng đường AB đầu (90 km) x (km/h) (x > 0)

Vận tốc người xe máy

4 quãng đường AB sau 0,5x (km/h) Vận tốc người xe máy quay trở lại A x + 10 (km/h)

Tổng thời gian chuyến

90 30 120

8,5

0,5 10

x  xx  

90 60 120 150 120

8 75( 10) 60 ( 10)

10 10 x x x x

x x x x x

           

 

2

4x 95x 750 x 30

      (do x > 0)

Vậy vận tốc xe máy quãng đường người từ B A 30 + 10 = 40 (km/h) Câu 4

a) VìCMA DMB 60o  CMB DMA 120 o Xét ∆ CMB ∆ AMD có ( )

CM AM

MCB MAD

CMB DMA CMB AMD c g c

MBC MDA MB MD

 



    

 

 

 



Suy AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Vì AMPC tứ giác nội tiếp nên

180o 120o ( ) CP CM

CPM CAM CMB CPM CMB g g

CM CB

        

2

CP CB CM CP CB CM

    Tương tự DP DA DM 

Vậy CP CB  DP DA CM DM   AM BM AB

(4)

Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều ⇒ PE = PM Tương tự PF = PM

Ta có CM // DB nên PCM = PBD

Mà BMPD tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD Suy PCM = PMD Ta lại có CPM = DPM = 120o ( )

CP PM CP PE

CPM MPD g g

MP PD PF PD

      

Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE hình thang Câu 5

Vì a, b, c khơng âm có tổng nên

2 2 (1 )

0 , , (1 )

(1 )

a a

a a

a b c b b b b

c c c c

 

 



 

        

   



 

Suy 5a4 a24a4 (a2)2   a Tương tự 5b4 b 2; 5c4  c