109 đề vào 10 chuyên vĩnh phúc 2016 2017

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x  x3  mx  x   ( m tham số) a) Giải phương trình m  2 b) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm dương Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình x  x x   x   2 b) Tìm tất nghiệm nguyên x, y phương trình x  y  x  y  y  Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Chứng minh  a  b  c    a  b3  c3   Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  với AB  AC Gọi M trung điểm BC , AM cắt  O  điểm D khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC E khác C Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB F khác B a) Chứng minh hai tam giác BDF , CDE đồng dạng ba điểm E , M , F thẳng hàng b) Chứng minh OA  EF · · · c) Phân giác góc BAC cắt EF điểm N Phân giác góc CEN BFN cắt CN , BN P Q Chứng minh PQ song song với BC Câu (1,0 điểm) Tập hợp A   1;2;3; ;3n  1;3n ( n số nguyên dương) gọi tập hợp cân đối chia A thành n tập hợp A1 , A2 , , An thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Ai  i  1,2, , n  gồm ba số phân biệt có số tổng hai số lại ii) Các tập hợp A1 , A2 , , An đơi khơng có phần tử chung a) Chứng minh tập A   1;2;3; ;92;93 không tập hợp cân đối b) Chứng minh tập A   1;2;3; ;830;831 tập hợp cân đối —— Hết—— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh: …………………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016-2017 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm, học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày a Với m  2 , phương trình cho trở thành: x  x  x  x   Ta thấy x  , chia hai vế phương trình cho x ta được: 3  x    x    x x  Đặt t  x  , ta phương trình: t  3t    t  1; t  4 x Với t  x    x  x   (vô nghiệm) x Với t  4 x   4  x  x    x  1; x  3 x Vậy phương trình có hai nghiệm x  1; x  3 b Trong trường hợp tổng qt ta có phương trình: t  3t   m  (1) Ta có t  x   x  tx   (2) x Từ suy điều kiện để (2) có nghiệm dương t  Điểm 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy PT cho có nghiệm dương (1) có nghiệm t  33 3  4m  33 Xét PT (1) có   4m  33   m   Khi t1,2  3  4m  33   m  1 Vậy giá trị cần tìm m m    Do (1) có nghiệm t  khi:    0,25 0,25 0,25 3,0 a ĐKXĐ : x  0,25  4x   x Phương trình cho tương đương: x  x  3 x  x      x   x x  4x   x    x  1; x  4 x   x x  x  x   3x    (vô nghiệm)  2 4 x   x 9 x  x      0,5 0,5 0,5 Kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm x  1; x  b 0,25 2 2 Ta có x  y  x  y  y   x  y x  y  y    (1) 0,25 Coi (1) PT bậc hai ẩn x, ta có   y  y      y y  (1) có nghiệm nguyên nên y  số phương, đặt y   k (k  ¥ ) Khi  k  y   k  y   0,25 Xét trường hợp ý k  ¥ ta  k , y     5;  ;  5; 2  ;  3;0   0,25 Với y  2 ta được: x  x  96   x  12; x  8 Với y  ta được: x  Vậy nghiệm cần tìm  x, y     0;  ;  12;  ;  12; 2  ;  8;2  ;  8; 2   0,25 1,0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:  a  b  c   a  b  c    a  b3  c   27   a  b  c   a  b2  c    a3  b3  c3    a  b  c    a  b3  c    a 2b  b c  c a  ab  bc  ca    a  b  c  Ta có đẳng thức  a  b  c 0,25 (1)   a  b3  c    a 2b  b c  c a  ab  bc  ca   6abc Do (1) tương đương với a 2b  b 2c  c a  a c  b a  c 2b  6abc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a b  b c  c a  a c  b a  c 2b  a  b  c   b  c  a   c  a  b     2a bc  2b2 ca  2c ab  a bc  b ca  c ab  6abc 0,25 0,25 0,25 Vậy BĐT (1) chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  (Chú ý: Học sinh sử dụng BĐT AM-GM với số BĐT Schur’s để chứng minh) 3,0 a b · · · Do tứ giác MECD, MBFD nội tiếp nên DEC  DMC  DFB (1) · · · Tứ giác ABDC nội tiếp nên DCE (2)  DCA  DBF Từ (1) (2) suy BDF : CDE ( g  g ) · · · · · · Từ BDF : CDE  EDC BMF  BDF Mà EMC  EDC  BDF 0,25 Suy Từ hai BECF 0,25 0,25 · · Vậy E , M , F thẳng hàng EMC  BMF tứ giác MECD, MBFD nội tiếp nên AB AF  AM AD  AE AC , suy tứ giác nội tiếp Do ·AFE  ·ACB 0,25 0,25 0,5 c · · Vẽ tiếp tuyến Ax  O  ·ACB  BAx Do BAx  ·AFE , suy Ax || EF Vậy OA  EF S BF Ta có BDF : CDE nên BDF  SCDE CE MB S DAB S DAB S BDF SCDE AB BF CE AB.BF     MC S DAC S BDF SCDE S DAC BF CE AC CE.AC BF AC AF NF EN FN      Từ (3) CE AB AE NE EC FB QN FN PN EN   Theo tính chất phân giác ta có (4) QB FB PC EC PN QN  Từ (3) (4) suy Do PQ song song với BC PC QB Ta có  0,25 0,25 0,25 0,25 a 0,25   1,0 Giả sử A   1;2;3; ;93 tập hợp cân đối , tập Ai i  1,31 có dạng  xi ; yi ; xi  yi  , tổng ba phần tử Ai số chẵn Do tổng phần tử 0,25 tập A số chẵn Mặt khác tổng phần tử A bằng:     93  93.94  93.47 (là số lẻ) Mâu 0,25 thuẫn A tập không cân đối b Nhận xét: Nếu tập S n   1;2;3; ; n , với n chia hết cho tập hợp cân đối tập S n   1;2;3; ;4n S n 3   1;2;3; ;4n  3 tập hợp cân đối Chứng minh Từ tập S 4n ta chọn tập ba phần tử sau:  1;2n  n;2n  n  1 ; 3;2n  n  1;2n  n  2 ; 5;2n  n  2;2n  n  3 ; ; 2n  1;2n  1;4n Rõ ràng tập thỏa mãn có phần tử tổng hai phần tử lại Còn lại số sau tập S 4n 2,4,6, ,2n Tuy nhiên tập Sn cân đối nên tập  2;4;6; ;2n 0,25 cân đối Vậy S 4n tập cân đối Tương tự từ tập S n 3 ta chọn tập ba phần tử sau:  1;2n  n  2;2n  n  3 ;  3;2n  n  1;2n  n  4 ;…;  2n  1;2n  2;4n  3 Và lại số 2,4,6, ,2n , suy S n 3 tập cân đối Trở lại tốn Ta có 831  4.207  207  4.51  51  4.12  12  4.3 Chú ý tập  1;2;3 cân đối nên theo nhận xét ta xây dựng tập hợp cân đối theo quy trình sau:  1;2;3   1;2; ;12   1;2; ;51   1;2; ;207   1;2; ;831 Do tập A   1;2;3; ;831 tập hợp cân đối (đpcm) 0,25 Hết ... tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh: …………………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016-2017 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm có 03 trang)