BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 2016 Mơn thi: TỐN (Dùng cho thí sinh thi vào Trường Chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút 1 a 1 a 1 Câu (2 điểm) Cho biểu thức P với < a < Chứng minh a a a 1 a 1 a a P = –1 Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng d: y = 2mx – với m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm d (P) m = b) Chứng minh với giá trị m, d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi y1, y2 tung độ A, B Tìm m cho | y12 y22 | Câu (1,5 điểm) Một người xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách 120 km Vận tốc quãng 1 đường AB đầu không đổi, vận tốc quãng đường AB sau vận tốc quãng đường AB đầu Khi 4 đến B, người nghỉ 30 phút trở lại A với vận tốc lớn vận tốc quãng đường AB lúc 10 km/h Thời gian kể từ lúc xuất phát A đến xe trở A 8,5 Tính vận tốc xe máy quãng đường người từ B A? Câu (3,0 điểm) Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng M nằm A, B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, dựng hai tam giác AMC BMD Gọi P giao điểm AD BC a) Chứng minh AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB DP.DA AB c) Đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC BMPD cắt PA, PB tương ứng E, F Chứng minh CDFE hình thang Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh 5a 5b 5c ––––––––Hết––––––– ĐÁP ÁN Câu Với < a < ta có: 1 a P 1 a 1 a a 2 a a a a a a 1 a (1 a )(1 a ) a2 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a 1 a a2 a a a 1 a 1 a a a a a (1 a) (1 a) 2a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2a 1 a 1 a 2a 1 a 1 a 2a 1 2a 2a Câu a) Khi m = ta có d : y = 2x – (P): y = –x2 Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: Với x 1 y 3 2 Với x 1 y 3 2 Vậy giao điểm 1 2; 3 2 ; 1 2; 3 2 b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x 2mx x 2mx (*) Phương trình (*) có ∆’ = m2 + > ⇒ (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d cắt (P) hai điểm phân biệt x1 x2 2m Áp dụng Viét ta có: | x1 x2 | ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 4m m x1 x2 1 y1 2mx1 | y12 y22 || (2mx1 1) (2mx2 1) | Khi ta có y2 2mx2 | y12 y22 || (2mx1 2mx2 1)(2mx1 2mx2 1) || 4m( x1 x2 )[m( x1 x2 ) 1] | | 4m(2m 1)( x1 x2 ) | m(2m 1) | x1 x2 | | m | (2m 1)2 m Ta có | y12 y22 | 64m2 (2m2 1) ( m2 1) 45 64(4 m4 4m2 1)( m4 m ) 45 Đặt m m t có phương trình 64t (4t 1) 45 256t 64t 45 t (vì t ≥ 0) 16 Suy m m Vậy m 16m4 16m2 m 16 2 Câu Gọi vận tốc người xe máy quãng đường AB đầu (90 km) x (km/h) (x > 0) quãng đường AB sau 0,5x (km/h) Vận tốc người xe máy quay trở lại A x + 10 (km/h) 90 30 120 8,5 Tổng thời gian chuyến x 0,5x x 10 90 60 120 150 120 8 75( x 10) 60 x x( x 10) x x x 10 x x 10 x 95 x 750 x 30 (do x > 0) Vậy vận tốc xe máy quãng đường người từ B A 30 + 10 = 40 (km/h) Vận tốc người xe máy Câu a) Vì CMA DMB 60o CMB DMA 120o Xét ∆ CMB ∆ AMD có CM AM MCB MAD CMB DMA CMB AMD (c.g c ) MBC MDA MB MD Suy AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Vì AMPC tứ giác nội tiếp nên CPM 180o CAM 120o CMB CPM : CMB( g.g ) CP CM CM CB CP.CB CM CP.CB CM Tương tự DP.DA DM Vậy CP.CB DP.DA CM DM AM BM AB c) Ta có EF đường trung trực PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân E Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM ⇒ PE = PM Tương tự PF = PM Ta có CM // DB nên PCM = PBD Mà BMPD tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD Suy PCM = PMD CP PM CP PE Ta lại có CPM = DPM = 120o CPM : MPD ( g g ) MP PD PF PD Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE hình thang Câu a (1 a ) a a Vì a, b, c khơng âm có tổng nên a, b, c b(1 b) b b c(1 c) c c Suy 5a a 4a (a 2) a Tương tự 5b b 2; 5c c Do 5a 5b 5c (a b c) (đpcm) ... máy quay trở lại A x + 10 (km/h) 90 30 120 8,5 Tổng thời gian chuyến x 0,5x x 10 90 60 120 150 120 8 75( x 10) 60 x x( x 10) x x x 10 x x 10 x 95 x 750... x 10 x 95 x 750 x 30 (do x > 0) Vậy vận tốc xe máy quãng đường người từ B A 30 + 10 = 40 (km/h) Vận tốc người xe máy Câu a) Vì CMA DMB 60o CMB DMA 120o Xét ∆ CMB ∆ AMD