3 phuong trinh 3(dang8)

8 Dạng ( ax  b)n p n cx  d  q.x  r với n   2; 3  Phương pháp giải: Đặt ay  b  n cx  d tích số p.c  Đặt  ( ay  b)  n cx  d tích số p.c  Khi ta đưa hệ đối xứng loại II gần đối xứng loại II Lưu ý Trong số trường hợp, ta tiếp cận phép đặt ẩn phụ công cụ đạo hàm giải phương pháp hàm số Để tìm hiểu kỹ dạng này, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 77 x7 () HSG Tốn 10 – Huyện Hóc Mơn – Tp Hồ Chí Minh ngày 13/04/2013 Giải phương trình: 3x  x   Phân tích Biến đổi ()  3( x  1)2 1 1 x   có p.c 1  nên đặt ẩn 3 x  , kết hợp với đề để đưa hệ đối xứng loại II 3  Lời giải Điều kiện: x  3( y  1)2 x  3 y  y  x  0 x7  0, hệ:  Đặt y   3 x  x  y  3 x  x  y  0  y x  2  3( y  x )  7( y  x) 0  ( y  x)(3 y  x  7) 0     y   x  phụ y    Với y x , suy ra:  Với y   x  73   x   3 x  5x  0  x 7   69  x    x    x  3 9 x  21x  0  x 7 x    x , suy ra: Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x  73    69 , x  6 Bình luận Với n 2, chẳng hạn: ax  bx  c d mx  n , nhiều trường hợp ta tiếp cận cơng cụ đạo hàm sau: f ( x) ax  bx  c có đạo hàm cấp I  b  b b  Khi ta đặt y    số   mx  n  a 2a a   b nguyên đặt 2ay  b  mx  n  có dạng phân số Cụ thể tốn 2a trên, xét f ( x) 3x  x   f ( x) 6 x  0  x  nên tìm phép đặt f ( x) 2ax  b 0  x  ẩn phụ y   Ví dụ 78 x 7  Cịn n 3, ta lấy đến đạo hàm cấp II Giải phương trình: x  x   13x () Phân tích Biến đổi ()  (2 x  3)2  x   ( x  4) có p.c  1.3  nên đặt  (2 y  3)  x  hay  y  x  có lời giải sau: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  Lời giải Điều kiện: x   3  Đặt  y  x  0,  y      4 x   y  13x  Suy hệ phương trình:  (3  y ) 3x  4 x  y  13x  0  4 y  12 y  3x  0   x y  4( x2  y )  10( y  x) 0  ( x  y)(2 x  y  5) 0     y 5  x  15  97 x  3x  3  x    x  4 x  15 x  0   x 1 11  73  Với y 5  x , suy ra: 3x  2 x     x  x  11 x     Với y x , suy ra: Kết luận: So điều kiện, nghiệm phương trình x  Ví dụ 79 15  97 , x 11  73  () Giải phương trình: x3  36 x2  53x  3x   25 Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Nguyễn Thượng Hiền – TP HCM Phân tích Biến đổi ()  (2 x  3)3  3 x   x  có p.c 1.3  nên tìm phép đặt ẩn phụ y   3x  Hơn nữa, xét f ( x) 8 x  36 x  53 x  25 có f ( x) 24 x  72 x  f ( x) 48x  72 0  x  tìm phép đặt ẩn phụ 2 y   3x  , từ có lời giải sau: Tập xác định: D   Lời giải Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình gần đối xứng loại II (2 y  3) 3x  ()  (2 x  3)3  3 x   x  Đặt y   x    (2 x  3) 2 y  x    (2 y  3)3  (2 x  3)3 2( x  y)  (2 y  x)  (2 y  3)2  (2 x  3)(2 y  3)  (2 x  3)   (2 y  x) 0   2x    0  y x  2( y  x)   y    (2 x  3)       Với y x , suy ra: 3 x  2 x   (2 x  3)3 3 x   x 2 x  5  5   Lời giải Đồng đưa dạng m.u3  n.u m.v  n.v (i) ()  (2 x  3)3  (2 x  3) ( 3 x  5)  3 x  Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 2, x  3 3 Đặt u 2 x  3, v  3 x  (i)  u  u v  v  (u  v )  (u  v) 0   v  (u  v)(u2  uv  v  1) 0  (u  v)   u    v  1 0  u v 2    Suy ra: 3 x  2 x   (2 x  3)3 3x   x 2 x  5  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Nhận xét Bài tốn có dạng tổng qt: ax  bx  cx  d p qx  r , ngồi cách giải 1, ta sử dụng đồng thức để đưa dạng m.u3  n.u m.v  n.v Khi giải cách đặt hai ẩn phụ sử dụng phương pháp hàm số Cụ thể cách giải trên, ta xét: (2 x  b)3  n.(2 x  b) ( 3x  5)3  n 3 x  so sánh với đề thấy n 1 Cơng việc cịn lại đồng thức tìm b b  Ví dụ 80 Phân () 81x  x  x  x  Đề nghị Olympic 30/04/2010 – Trung Học Thực Hành ĐHSP – Tp HCM Giải phương trình: tích Có 4 f ( x) x  x2  x   f ( x) 3x  x   f (x) 6x  0 3  x   Do tìm phép đặt ẩn phu y   81x   Lời giải Tập xác định: D    y x  x  x  y   x  x  x     Đặt y   81x  , suy ra:  (3 y  2)3 81x  3 x y  y  y     3( y  x) ( x3  y )  2( x  y )  ( x  y) 2  ( y  x)  3( y  xy  x )  6( y  x)  13  0  Với y x , suy 3x   81x   x  x  x 0  x 0, x  2  3 2 2  Với 3( y  xy  x )  6( y  x)  13 0  x  3( y  2) x  y  y  13 0 (i ) Xem phương trình bậc hai với ẩn x y tham số có biệt số:  x 9( y  2)2  12(3 y  y  12)  27 y  36 y  120  0, y   Do phương trình (i ) vơ nghiệm Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 0, x  Ví dụ 81 2  () Giải phương trình: 5x  13 x   x  3x3 0 Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Trần Hưng Đạo – Bình Thuận 2 Phân tích Biểu thức phân tích thành tích số: x  3x x ( x  3x), hướng suy nghĩ đưa dạng đẳng cấp cách đồng thức biểu 2 thức ngồi theo biểu thức tích, tức tìm 5x  13x  a.x  b.( x  3x), không tồn hai số a , b Casio chịu thu với hình thức !! Nhưng để ý biểu thức thức bậc 4, ta hồn tồn đặt ẩn phụ x  để biến phương t 1 1 trình dạng   13      0  4tt2  13t    0 t tt t  Lời giải Điều kiện: x  x 0  x 0 Do x 0 khơng nghiệm phương trình nên xét x  0, đặt x   t 1 1 ()    13      0  4tt2  13t    0 t tt t http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  3 Đặt y    3t ,  y   , suy ra: 2  (2 y  3) 1  3t  4tt  13y    0 4 y  12 y  3t  0 (i )    ( y  t )  2( y  t )  5 0  4tt  13y   0  y  t    y 2t   Với y  t , (1)  4tt2  15t  0  15  97 t 15  97  8  15  97 15  97 Suy ra: y  (loại y   y  (nhận)  15  97 Do đó: x    t 16  Với y 2t  5, (1)  4tt2  11t  0  11  73 t 11  73  8 Suy ra: y  73  9  73 (nhận) y  (loại) 8 11  73 Do đó: x    t Kết luận: So điều kiện, nghiệm phương trình x  15  97 11  73 , x  16 BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT 110 Giải phương trình: x  x  x  ( x  )  Lời giải Điều kiện: x   y  y  x   Đặt y   x  , suy hệ:   x  x y  2  y  y  x  0   x  x  y  0   y x  y  x  5.( y  x) 0  ( y  x) ( x  y  5) 0     y  x   x  17  x  x     x  x  x      13  x   x  Với y  x  5, suy ra: x   x    2  x  5x  0 Với y x , suy ra: BT 111 Giải phương trình: x  x   x   Lời giải Điều kiện: x  ( x  )  4 y  12 y  4 x   Đặt y   x  , suy hệ:  2 x  x  2 y   y  y  x  0   x  3x  y  0   y x  y  x  2( y  x) 0  ( y  x)( x  y  2) 0     y 2  x  x  y  x , x   x    x 2  Với suy ra:   x  x  0  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Với y 2  x , suy ra:  x  x  1  x    x 1   x  x  0  Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm x 1  , x 2  BT 112 Giải phương trình: x  x   x  ( x  )  Lời giải Điều kiện: x   y  y  x   Đặt y   x  , suy hệ:   x  x  y   y  y  x  0   x  x  y  0   y x  y  x  3( y  x) 0  ( y  x)( x  y  3) 0     y 3  x  x  29 x  x     x   x  5x  0  x 1  x  Với y 3  x , suy ra: x  1  x    x  3x  0 Với y x , suy ra: Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm x  1, x  BT 113 Giải phương trình: x  x  x3   29  ( x  )  Lời giải Điều kiện: x  Đặt y   2 y  y  x    2 x  x y  x3 , suy hệ: 2 2 y  y  x  0  2 x  5x  y  0  y x   2.( y  x )  5.( y  x) 0  ( y  x)(2 y  x  5) 0     y  (2 x  5)  Với y x , suy ra: x3 x   Với y  (2 x  5), suy ra:  x  17   x   2 2 x  3x  0  x3   13  x    x    x  2 4 x  10 x  0  Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm x  BT 114 Giải phương trình: x  x 2 x  17    13 , x  ( x  )  Lời giải Điều kiện: x   ( y  1)2 2 x   Đặt y   x  1, suy hệ:   x  x 2.( y  1)  y  y  x  0   x  x  y  0  x  y  y  x 0  ( y  x).( y  x) 0  x y Với x y , suy ra:  x 1 x  x     x 2   x  x  0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x   x  : vô nghiệm x   Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm x 2  Với y  x , suy ra: ( x  ) BT 115 Giải phương trình: x  x   x   Lời giải Điều kiện: x   4 y  y  2 x   Đặt y   x  , suy hệ:  4 x  x  2 y   y  y  x  0   x  x  y  0  y x  2  2.( y  x )  3.( y  x) 0  ( y  x) (2 y  x  3) 0     y   x  Với y x , suy ra: Với y   17   x  x  2 x     x  2 x  x  0   x , suy ra:  13  x  x   x     x   4 x  x  0 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm x  17   13 , x   4 BT 116 Giải phương trình: x  x   x   Lời giải Điều kiện: x  ( x  )  9 y  y  3x   Đặt y   3x  , suy hệ:  9 x  x  3 y  9 y  y  x  0  9 x  x  y  0  y x   3.( y  x )  3.( y  x) 0  ( y  x).(3 x  y  1) 0     y 1  x  Với y x , suy ra: Với y   x  3x  3x     x  3 9 x  x  0   3x , suy ra:  x 0  21 3x   3x    x  9 x  3x  0  21 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm là: x  , x   BT 117 Giải phương trình: 18 x  x  29  12 x  61  Lời giải Điều kiện: x  ( x  ) 61  12 36 y  12 y  12 x  61  Đặt y   12 x  61, suy hệ:  18 x  x  29 6 y  3 y  y  x 5  3 x  x  y 5  y x   3.( y  x)2  2( y  x) 0  ( y  x)(3 x  y  2) 0     y   x  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Với y x , suy ra: Với y   x  15  x  12 x  61 6 x     x  36 x  60 0   1  14  x  12 x  61   x    x   36 x  24 x  52 0  Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm x  15  14 , x   3 BT 118 Giải phương trình: x  12 x   3x  ( x  )  9 y  12 y  x  0 suy hệ:  9 x  12 x  y  0  Lời giải Điều kiện: 3x  0  x   2 Đặt y   3x  ,  y   , 3   y x  9( y  x )  15.( y  x) 0  ( y  x)(9 y  x  15) 0     y  15  x    x   x  Với y x , suy ra: 3x  3 x    9 x  x  0   Với y  2 15  x , suy ra:  x    21 3x    3x    x  x  15 x      21 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm x  , x   BT 119 Giải phương trình: x  x 2004.(  16032 x  1) ( x  )  16032  1  y  y  4008 x 0 Đặt y    16032 x ,  y   , suy hệ:  2   x  x  4008 y 0   y x  y  x  4007.( y  x) 0  ( y  x).( y  x  4007) 0     y  4007  x  Lời giải Điều kiện:  16032 0  x  Với y x , suy ra:  x   16032 x 2 x     x 4009 4 x  16036 x 0  Với y  4007  x , suy ra:  16032 x  8015  x : vô nghiệm Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm x 4009 BT 120 Giải phương trình: x  x  1000  8000 x 1000 ( x  )  8000  y  y  2000 x 0 suy hệ:   x  x  2000 y 0  Lời giải Điều kiện:  8000 0  x   1 Đặt y    8000 x ,  y   ,   1  ( y  x)( y  x  1999) 0  y x , y  , x   y  x  1999  8000 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  x   8000 x 2 x     x 2001 4 x  8004 x 0  Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm phương trình x 2001 Suy ra: BT 121 Giải phương trình: 37 x   x  26 x  0 3 ( x  )  (3 y  4)2 4 x  suy hệ:  (3x  4) 2 x  y   Lời giải Điều kiện: x  0  x   4 Đặt y   x  1,  y   , 3   22  ( y  x).(9 x  y  22) 0  y x y   x 14  61 Với y x , suy ra: (3 x  4)2 4 x   x  28 x  15 0  x     22  22  91 12  53  x    4x   9x  24 x  0  x   Với y   x    9     Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm x  14  61 12  53 , x  9 BT 122 Giải phương trình: x  x  3 3x  1  x ( x  )  Lời giải Tập xác định: D  Ta có: ()  ( x  1)3 3 3x   ( y  1) 3x  Đặt y   3x  5, suy hệ phương trình:  ( x  1) 3 y     x 1  ( y  x)   y    ( x  1)2   0  y x      Với y x , suy ra: ( x  1)3 3 x   x  x  0  x  x 1 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  2, x 1 BT 123 Giải phương trình: x  8 x3  60 x2  151x  128  Lời giải Tập xác định: D  Ta có: ()  ( x  ) x  (2 x  5)3  x  (2 y  5)3 x  Đặt y   x  , suy hệ phương trình:  (2 x  5) 2 y  x  2    2x    ( y  x)   y    (2 x  5)2  1 0  y x      Suy ra: (2 x  5)3 x   x  60 x  149 x  123 0  x 3 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 3 BT 124 Giải phương trình: x  x3   x  x  3  Lời giải Tập xác định: D  Ta có: ()  ( x  ) x  ( x  3)3  ( y  3) x  Đặt y   x  , suy hệ phương trình:  ( x  3) y  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word   ( y  x)  ( y  3)2  ( y  3)( x  3)  ( x  3)2  1 0   x 3  ( y  x)   y    ( x  3)2  1 0  y x      Với y x , suy ra: ( x  3)3 x   x  x  26 x  18 0  x 1 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 1 BT 125 Giải phương trình: 27 x  23 x   26 x  ( x  )  Lời giải Tập xác định: D  27 y 26 x   Đặt y  26 x  1, suy hệ:  27 x  23 x  3 y 27 y 26 x   27 x 23x  y    27 y  27 x 3x  y  27.( y  x).( x  xy  y ) 3.( x  y ) 2  y 1  y  ( y  x)   x    y   0  y x ,  x    y   2 9 2      x   27 x  26 x    ( x  1).(27 x  27 x  1)    Suy ra:  x   69  18 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  1, x  BT 126 Giải phương trình:  69  18 3x  x  3x  x  ( x  )  Lời giải Tập xác định: D  Ta có: ()  ( x  1)3  3x   x  3 ( x  1) 2 x  y  Đặt y   3x  , suy hệ phương trình:  ( y  1) 3x    ( x  1)3  ( y  1)3 y  x  ( x  y)  ( x  1)  ( x  1)( y  1)  ( y  1)  y  x   y 1  ( x  y )   x     ( y  1)  1 0  x  y     Với x y , suy ra: 3x  x   x3  3x  0  x  x 1 Kết luận: Các nghiệm cần tìm phương trình x  2, x 1 BT 127 Giải phương trình:  x  x  x  x   11 x     11     11  ;     0;  Do x 0 không nghiệm nên xét x          11   Trường hợp Nếu x    ;   ()   1    (1)  x x x2   Lời giải Điều kiện: 3 11 ( x  ) x  Đặt t    Khi đó: (1)  tt2  6t    x  y  y  t   y  y  t  0 2 Đặt  y  t  , suy hệ:  y    0 tt  6y    tt3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word   y t  y  t  5.( y  t ) 0  ( y  t ) ( y  t  5) 0     y 5  t t  : vô nghiệm Với y t , suy ra: tt 3    tt   0 Với y 5  t , suy ra: tt   : vô nghiệm t    11  ;   Do phương trình cho vơ nghiệm x         11  1  Trường hợp Nếu x   0;  ()       (2)  x x x   Đặt t   Khi đó: (2)  tt2  6t    x  y  y  t   y  y  t  0  Đặt y   t  , suy hệ:   y    0 tt  6y    tt3   y t  y  t  5.( y  t ) 0  ( y  t ) ( y  t  5) 0     y 5  t 73 7 t 3 x      Với y tt tt     2 tt   0 0  t  : vô nghiệm Với y 5  tt t  2    tt   0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x  BT 128 Giải phương trình: 3x  x   3x  x 0  Lời giải Ta có: ()  3x  x3  x2  x  7  () () 3 x  x 0 1   x  x   Điều kiện:  3  x  x  0  1  1 Do x 0 không nghiệm nên xét x    1;     0;   3  3   1  Trường hợp Nếu x    1;   ()   1    3 x x x2  Đặt t   Khi đó: (1)  tt2  2t    x  y  y  t   y  y  t 2 2 Đặt  y  t  3, suy hệ:  y   2 tt  2y    tt (1)   y t  y  t  ( y  t ) 0  ( y  t ) ( y  t  1) 0     y 1  t  17   17 t  x      Với y tt tt 1    2 tt   0  1 So với điều kiện, phương trình vơ nghiệm x    1;    3  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  1 1  Trường hợp Nếu x   0;   Khi đó: ()   2   3 x x x   Đặt t   Khi đó: (2)  tt2  2t    x  y  y  t   y  y  t 2 2 Đặt y   t  , suy hệ:  y   2 tt  2y    tt (2)   y  t  ( y  t ) 0  ( y  t ) ( y  t  1) 0  y t y 1  t Với y tt  17 t 1 tt     x    tt   0 Với y 1  tt  17   t   : vô nghiệm t  Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  17   http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word