Toàn tập về phương pháp ghép trục

LÍ THUYẾT  Cơ sở phương pháp ghép trục giải toán hàm hợp g  f  u  x   Ta thực theo bước sau đây:  Bước 1: Tìm tập xác định hàm g  f  u  x   Giả sử tập xác định tìm sau: D   a1 ; a2    a3 ; a4     an1 ; an  , a1   ; an    Bước 2: Xét biến thiên hàm u  u  x  hàm y  f  x  Lập bảng biến thiên kép, xét tương quan  x; u  u  x  u; g  f  u   (Bảng biến thiên thường có dòng)  Dòng 1: Xác định điểm đặc biệt hàm u  u  x  , xếp điểm theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giải sử sau: a1  a2   an1  an (xem ý số 1)    Dòng 2: Điền giá trị ui  u   , với i  1, , n     Trên khoảng  ui ; ui1  , với i  1, n  cần bổ sung điểm kì dị b1 , b2 , bk hàm số y  f  x  Trên khoảng  ui ; ui1  , với i  1, n  , xếp điểm ui ; bk theo thứ tự, chẳng hạn: ui  b1  b2   bk  ui1 ui  b1  b2   bk  ui1 (xem ý số 2)  Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm g  f  u  x   dựa vào bảng biến thiên hàm y  f  x  cách hốn đổi u đóng vai trị x ; f  u  đóng vai trị f  x  Sau hoàn thiện bảng biến thiên g  f  u  x   ta thấy hình dạng đồ thị hàm số  Bước 4: Dùng bẳng biến thiên hàm hợp g  f  u  x   để giải yêu cầu toán đưa kết luận  Một số ý quan trọng sử dụng phương pháp ghép trục để giải toán hàm hợp  CHÚ Ý 1:  Các điểm đặc biệt u  u  x  gồm: điểm biên tập xác định D , điểm cực trị hàm số u  u  x   Nếu xét hàm u  u  x  dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình u  x   ( hoành độ giao điểm hàm số u  u  x  với trục Ox )    Nếu xét hàm u  u x dịng điểm đặc biệt cịn có số ( hoành độ giao điểm u  u  x  trục Oy )  CHÚ Ý 2:  Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u  u  x   Điểm đặc biệt hàm số y  f  x  gồm: điểm f  x  f   x  không xác định, điểm cực trị hàm số y  f  x   Nếu xét hàm g  f  u  x   dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình f  x      Nếu xét hàm g  f u  x  dịng điểm đặc biệt cịn có số VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau:   5  Số nghiệm thuộc đoạn   ;  hàm số f cos x  cosx   2  A 11 B 10 C D 12   Lời giải Chọn B Tiến hành đặt u  cos2 x  cosx Đạo hàm u  2.cos x.sin x  sin x  sin x   cos x  sin x   x  k  x  0;  ; 2 Giải phương trình: u    cos x   x     k  x    ; 5 ; 7  3 3 Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên ta có phương trình f  u   có tất 10 nghiệm phân biệt VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để phương trình f  f  x     nghiệm phân biệt Số phần tử tập S là? A 10 B 32 C m có D 34 Lời giải Chọn D Đặt u  f  x   Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực trị x  x  Sử dụng phương pháp ghép trục:  m  11   2 8  m  26 Từ bảng biến thiên, phương trình có nghiệm phân biệt      m  13  22  m  4  Vậy có 34 giá trị m thỏa mãn VÍ DỤ 3: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ   Hỏi phương trình f x  3x có điểm cực trị thuộc đoạn 2;  ? B 17 A 10 D 15 C 12 Lời giải Chọn B Đặt u  x  3x  x  3x  x  u  x Giải phương trình đạo hàm u  3   3x 3x  x  3x   3x 3x2  x  3x         xx  01   x   Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên, suy hàm số   ;  có 17 điểm cực trị VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương    f   cos x  3m  10 có ba nghiệm phân biệt thuộc   ;   2  A 10  B D C 15 Lời giải   Phương trình cho tướng tương với f   3cos x  Đặt u    3cos x  u  Giải phương trình đạo hàm u  3sin x  3cos x 3sin x  3cos x 3m  10 0  x 0 Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên, yêu cầu toán  3m  10  2  m   trình BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ  3  Số nghiệm thuộc khoảng   ;3  phương trình f  sin x   f  sin x      A 13 B 12 C 11 D 10 Câu 2: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  ex  f có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x      là: A Câu 3: B C 10 D Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau:   Hỏi phương trình f x   x   có nghiệm thực? A 12 B C D Câu 4: Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Hỏi phương trình f  x  x  3   có nghiệm thực x tương ứng? A Câu 5: B C D Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Biết f    3; f    Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  3x    m  có nhiều nghiệm nhất? A Câu 6: B C D Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn f  1   f   có bảng biến thiên sau: Số nghiệm phương trình f A B    5  cos  x   cos x   cos x  khoảng  0;  là?   C D Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình bên Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f  cos x     m  f  cos x   m  10  có    nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ;     A B C Câu 8: D Cho f ( x ) hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ Hỏi hàm số y  g ( x )  f  x  x   có điểm cực trị? A Câu 9: B C D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình  vẽ bên Hàm số g  x   f   x A  0;1 B  1;   đồng biến trên: C  1;  D  3; 1 Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình   vẽ bên Hàm số g  x   f 1   x  x nghịch biến trên: A  5;  B  1;  C  2;  D  3;5  BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.B 8.C 9.C 10.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ  3  Số nghiệm thuộc khoảng   ;3  phương trình f  sin x   f  sin x      A 13 B 12 C 11 D 10 Bài làm: Chọn A f   f  sin x   f Ta giải phương trình: f  sin x   f  sin x        f  sin x   f f  Bảng biến thiên: Kết hợp bảng biến thiên đồ thị tương giao:  sin x    sin x   3  sin x   2  sin x  