TỒN TẬP HÀM SỐ - LỚP TỐN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0909127555 CHINH PHỤC 8,9,10 ĐIỂM THI ĐẠI HỌC TOÀN TẬP HÀM SỐ LỚP TỐN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 Tham gia Group 8+ Free:https://www.facebook.com/groups/1632593617065392/ Page live: https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ TOÀN TẬP HÀM SỐ - MỤC LỤC PHẦN - SỰ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Trang I Lý thuyết Trang II Các dạng tập Trang A Bài Tốn khơng chứa tham số Trang B Bài toán chứa tham số Trang 13 Dạng : Đơn điệu ; Trang 13 Dạng 2: Đơn điệu khoảng xác định Trang 16 Dạng 3: Đơn điệu miền K Trang 18 Dạng 4: Đơn điệu đoạn có độ dài l Trang 25 C Đơn điệu hàm hợp, hàm ẩn Trang 27 D Ứng dụng đơn điệu vào giải pt, bất phương trình (hàm đặc trưng) Trang 33 III Bài tập vận dụng đáp án Trang 38 PHẦN – CỰC TRỊ HÀM SỐ Trang 57 I – Tóm tắt lý thuyết Trang 57 II – Các dạng toán Trang 58 BT1 – Tìm cực trị hàm cho trước Trang 58 BT – Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Trang 62 D1 - Tìm m để hàm số có khơng có cực trị Trang 62 D2 – Tìm m để hàm số đạt cực trị x0 Trang 62 D3 – Tìm m để hàm số có n điểm cực trị Trang 62 BT3 – Cực trị hàm số bậc Trang 65 D1 -Tìm điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu Trang 66 D2 - Tìm điều kiện để cực trị nằm phía, khác phía so với đường Trang 68 D3 - Tìm điều kiện để cực trị thỏa mãn điều kiện hoành độ Trang 71 Tài liệu nội - Lớp tốn Thầy Huy – 0909 127 555 TỒN TẬP HÀM SỐ - LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0909127555 D4 - Điều kiện liên quan đến góc, khoảng cách Trang 75 D5 - Điều kiện liên quan đến tính chất hình học Trang 78 D6 - Điều kiện liên quan diện tích, tâm đường trịn nội, ngoại tiếp Trang 81 D7 - Điều kiện liên quan tiếp tuyến Trang 82 D8 - Điều kiện liên quan đến Max – Trang 83 D9 - Điều kiện liên quan đến đối xứng Trang 86 BT4 – Cực trị hàm trùng phương Trang 88 a.Lý thuyết cần nhớ Trang 88 Công Thức Tính nhanh Trang 89 b.Ví dụ minh họa Trang 90 BT5 - Cực Trị hàm hợp Trang 95 BT6 – Cực trị hàm trị tuyệt đối Trang 100 BÀI TẬP VẬN DỤNG Trang 138 PHẦN – MAX MIN HÀM SỐ Trang 149 I – Kiến thức cần nhớ Trang 149 II – Các dạng toán Trang 150 Dạng 1: Max miền D = a; b Trang 150 Dạng 2: Miền D khoảng, nửa khoảng … Trang 153 Dạng 3: Max hàm số lượng giác Trang 155 Dạng 4: Biện luận max theo tham số Trang 158 Dạng 5: Max hàm trị tuyệt đối Trang 167 Dạng : Ứng dụng max vào giải pt – bpt Trang 211 III – Bài tập vận dụng Trang 214 PHẦN – TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Trang 225 I – Định nghĩa Trang 225 II – Các ví dụ Trang 229 Bài toán tiếp tuyến cắt tiệm cận Trang 237 III - Tiệm cận vd – vdc Trang 244 Loại 1: Tìm tiệm cận qua đồ thị Trang 244 Loại 2: Tìm tiệm cận qua bảng biến thiên Trang 249 Loại 3: Tìm tiệm cận qua biểu thức Trang 252 IV – Bài tập tự luyện Trang 256 Tài liệu nội - Lớp toán Thầy Huy – 0909 127 555 TỒN TẬP HÀM SỐ - LỚP TỐN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0909127555 PHẦN – TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Trang 262 I – Tóm tắt lý thuyết Trang 262 II – Các dạng tập Trang 263 Loại 1: Tiếp tuyến điểm Trang 263 Loại 2: Tiếp tuyến qua điểm Trang 267 Loại 3: Tiếp tuyến biết hệ số góc Trang 271 Loại 4: Một số toán khác Trang 273 Loại 5: Tiếp tuyến có hệ số góc max Trang 277 Loại 6: Tìm điểm M d kẻ n tiếp tuyến tuyến Trang 278 Loại 7: Tìm điểm M kẻ n tiếp tuyến thỏa mãn tính chất Trang 280 Loại 8: Tìm điều kiện m để hai đường cong tiếp xúc Trang 283 Loại 9: Tìm m liên quan tới phương trình tiếp tuyến Trang 284 Loại 10: Tiếp tuyến đths bậc cắt đồ thị điểm thứ hai Trang 286 Loại 11: Tiếp tuyến hàm ẩn Trang 287 III – Bài tập vận dụng Trang 289 PHẦN – SỰ TƯƠNG GIAO Trang 297 I – Tóm tắt lý thuyết Trang 297 II – Các dạng toán thường gặp Trang 297 A: Bài tốn khơng chứa tham số Trang 297 B Bài toán chứa tham số Trang 301 Loại 1: Tương giao hàm bậc đường thẳng Trang 301 Bài toán tổng quát Trang 301 a b c d e f Phương pháp Trang 301 Ví dụ minh họa Trang 301 Phương pháp Trang 302 Ví dụ minh họa Trang 304 Phương pháp Trang 305 Ví dụ minh họa Trang 305 Bài toán tổng quát Trang 307 a Phương pháp Trang 307 b Ví dụ minh họa Trang 307 Bài toán tổng quát Trang 312 a Phương pháp Trang 312 b Ví dụ minh họa Trang 313 Bài toán tổng quát Trang 313 Tài liệu nội - Lớp toán Thầy Huy – 0909 127 555 TỒN TẬP HÀM SỐ - LỚP TỐN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0909127555 a Phương pháp Trang 313 b Ví dụ minh họa Trang 314 Bài toán tổng quát Trang 315 a Phương pháp Trang 315 b Ví dụ minh họa Trang 315 Loại – Tương giao hàm phân thức bậc 1/ bậc Trang 315 Bài toán tổng quát Trang 315 a Phương pháp Trang 315 b Ví dụ minh họa Trang 316 Loại – Tương giao hàm trùng phương Trang 322 Bài toán tổng quát Trang 322 a Phương pháp Trang 322 b Phương pháp (đồ thị) Trang 323 c Ví dụ minh họa Trang 323 Bài toán tổng quát Trang 324 a Phương pháp Trang 324 b Ví dụ minh họa Trang 325 Bài toán tổng quát Trang 327 a Phương pháp Trang 327 b Ví dụ minh họa Trang 328 Bài toán tổng quát Trang 330 a Phương pháp Trang 330 b Ví dụ minh họa Trang 330 C – Tương giao hàm hợp, hàm ẩn Trang 331 III – Bài tập vận dụng Trang 343 a b c d Bài tốn khơng chứa tham số Trang 343 Bài toán chứa tham số Trang 344 Bài toán hàm ẩn, hàm hợp vd vdc Trang 353 Đáp án Trang 384 PHẦN – TÌM ĐIỂM Trang 385 I – Tóm tắt lý thuyết Trang 385 II – Các dạng tập Trang 385 Loại Tìm điểm cố định Trang 385 Loại 2: Tìm điểm có tọa độ số nguyên Trang 386 Loại 3: Tìm điểm liên quan đến đối xứng Trang 387 Loại 4: Tìm điểm liên quan đến khoảng cách Trang 389 Loại 5: Tìm điểm liên quan đến max – Trang 392 Tài liệu nội - Lớp toán Thầy Huy – 0909 127 555 TOÀN TẬP HÀM SỐ - LỚP TỐN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0909127555 Loại 6: Tìm điểm liên quan đến tiếp tuyến Trang 396 III – Bài tập vận dụng Trang 399 PHẦN – NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN Trang 403 A – Nhận dạng đồ thị Trang 403 Loại 1: Hàm số bậc Trang 403 Loại 2: Hàm trùng phương Trang 407 Loại 3: Hàm bậc 1/bậc Trang 410 Loại 4: Hàm mũ – Loga Trang 413 Loại 5: Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Trang 419 Loại 6: Hàm f x Trang 429 B- Nhận dạng bảng biến thiên Trang 435 C – Bài tập rèn luyện Trang 438 PHẦN – BÀI TẬP TỔNG HỢP VD VDC – 9+ Trang 468 Tài liệu nội - Lớp toán Thầy Huy – 0909 127 555 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định K (K khoảng, nửa khoảng hay đoạn) a Hàm số y f x gọi đồng biến (hay tăng) K x1 , x2 K , x1 x2 f x1 f x2 b Hàm số y f x gọi nghịch biến (hay giảm) K x1 , x2 K , x1 x2 f x1 f x2 Điều kiện cần đủ hàm số đơn điệu: Định lý: Cho hàm số y f x xác định có đạo hàm I thì: + Nếu f ' x 0, x I hàm số tăng I + Nếu f ' x 0, x I hàm số giảm I + Nếu f ' x 0, x I hàm số không đổi I, tức f x C , x I Ta có mở rộng định lí sau: Cho hàm số y f x có đạo hàm khoảng I + Nếu f ' x 0, x I f ' x số hữu hạn điểm khoảng I, f x đồng biến khoảng I + Nếu f ' x 0, x I f ' x số hữu hạn điểm khoảng I, f x nghịch biến khoảng I II CÁC DẠNG BÀI TẬP A Bài tốn đơn điệu khơng chứa tham số Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số a Phương pháp: - Tìm tập xác định - Tính đạo hàm f ' x Tìm điểm xi i 1, 2, , n mà đạo hàm không xác định - Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên - Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số dựa vào bảng biến thiên Một số ý giải tốn: Chú ý 1: Về tính đơn điệu số hàm ax b Đối với hàm dạng: y hàm số ln đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng cx d xác định, nghĩa ln tìm y ' (hoặc y ' ) trên khoảng xác định ax bx c ln có hai khoảng đơn điệu a'x b' Đối với hàm dạng: y ax bx3 cx dx e có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến Cả ba hàm số đơn điệu Chú ý 2: Bảng xét dấu số hàm thường gặp Nhị thức bậc nhất: y f x ax b, a Đối với hàm dạng: y Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x b a ax b Trái dấu với a Cùng dấu với a Tam thức bậc hai: y f x ax bx c, a Nếu tam thức vơ nghiệm, ta có bảng xét dấu: x Cùng dấu với a f x Nếu tam thức có nghiệm kép x1 x2 x f x Cùng dấu với a b 2a b , ta có bảng xét dấu: 2a Cùng dấu với a Nếu tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , ta có bảng xét dấu: x x1 x2 f x Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a Đối với tam thức từ bậc trở lên ta xét dấu theo nguyên tắc: Thay điểm xo gần xn bên ô phải bảng xét dấu vào f x xét theo nguyên tắc: Dấu f x đổi dấu qua nghiệm đơn, bội lẻ không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn n Nghiệm bội chẵn có dạng x a (với n 2, 4,6, ) Nghiệm đơn x b , bội lẻ có n dạng x b (với n 1,3,5, ) b Ví dụ minh hoạ: A ;1 3; x x 3x B 1;3 C ; 3 1; D 3; 1 Ví dụ Tìm khoảng nghịch biến hàm số y Giải - Tập xác định D x - Đạo hàm y ' x x 3; y ' x x x - Bảng biến thiên x y' y Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến khoảng 1;3 Chọn đáp án B Nhận xét: Cách giải giải theo tự luận, giải theo trắc nghiệm ta làm sau: Mod x Tính nhanh y ' x x Sau lập trục xét dấu nhanh để suy tính đơn điệu x Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 -∞ + - + +∞ Ví dụ (Trường THPT Nguyễn Huệ lần năm 2017) Cho hàm số y x x Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng 2; 2; B Hàm số nghịch biến khoảng ; 2 0; C Hàm số đồng biến khoảng ; 2 2; D Hàm số đồng biến khoảng 2; 2; Giải - Tập xác định D x - Đạo hàm y ' x3 x x x ; y ' x x x 2 - Bảng biến thiên x 2 y' y Suy hàm số nghịch biến khoảng 2; 2; , đồng biến khoảng 0; ; 2 Chọn đáp án A Nhận xét: Cách giải giải theo tự luận, giải theo trắc nghiệm ta làm sau: Mod 5 x Tính nhanh y ' x x Sau lập trục xét dấu nhanh để suy tính đơn điệu x 2 -∞ + -2 - + - +∞ 2x 1 Mệnh đề là: x 1 A Hàm số đồng biến ; 1 1; Ví dụ Cho hàm số y B Hàm số nghịch biến ; 1 1; C Hàm số đồng biến ; 1 1; ; nghịch biến 1;1 D Hàm số đồng biến Giải - Tập xác định D \ 1 - Đạo hàm y ' x 1 0, x D - Bảng biến thiên x y' 1 y Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến ; 1 1; Chọn đáp án A Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 ax b Nhận xét 1: Hàm số y đồng biến nghịch biến khoảng xác định, cx d d d khoảng xác định ; ; Do để giải nhanh theo kiểu loại trừ sau: c c - Đáp án D sai hàm số khơng thể đồng biến - Đáp án C sai hàm số đồng biến nghịch biến khơng có vừa đồng biến nghịch biến - Đáp án B sai y ' 0, x D suy hàm số đồng biến ; 1 1; x 1 Nhận xét 2: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta cần nhớ sau: Với hàm y ax b dấu cx d d d y ' phụ thuộc vào ad bc hàm số đơn điệu ; ; nên ta cần tính c c ad bc kết luận tính đơn điệu Nhận xét 3: Với hàm số người ta bẫy đáp án sau d Hàm số đơn điệu tập xác định; hàm số đơn điệu \ ; hàm số đơn điệu c d d ; ; Các đáp án sai c c Ví dụ (Sở GD ĐT Phú Thọ năm 2017) Hàm số y x đồng biến khoảng đây? x A 0; B 2; C 2; D 2; Giải - Tập xác định D \ 0 - Đạo hàm y ' x2 Cho y ' x x 2 2 x x - Bảng biến thiên x y' 2 y Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến ; 2 2; Chọn đáp án D Nhận xét: - Cách giải giải theo tự luận, giải theo trắc nghiệm ta làm sau Mod 5 x 2 x2 Tính nhanh y ' x2 Sau lập trục xét dấu nhanh để suy x x x tính đơn điệu “Dấu song song thể hàm số không xác định 0” -∞ + -2 - - + +∞ - Khi sử dụng trục cần ý, hàm số không xác định x , hàm số nghịch biến khoảng 2; 0 0; nghịch biến khoảng 2; x2 2x 1 Mệnh đề là: x2 A Hàm số đồng biến ;5 1; Ví dụ Cho hàm số y Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B Hàm số nghịch biến ;5 1; C Hàm số đồng biến ; 2 2; D Hàm số đồng biến Giải - Tập xác định D \ 2 - Đạo hàm y ' Cho y ' x2 x x 2 x2 x x 2 - Bảng biến thiên: x y' , x D x 5 x2 4x x 2 5 y Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến ; 5 1; Hàm số đồng biến 5; 2 2;1 Chọn đáp án B Nhận xét: Với hàm y ax bx c Ax Bx C Khi tính đạo hàm có dạng y ' Dấu y ' phụ thuộc mx n mx n vào Ax Bx C , thường xảy hai trường hợp vô nghiệm có hai nghiệm phân biệt, làm trắc nghiệm ta cần tính nhanh Ax Bx C theo cơng thức tính nhanh lập trục xét dấu TH1 Ax Bx C vô nghiệm A0 A n -∞ + n - m + -∞ -∞ - n n Hàm số đồng biến ; ; Hàm số đồng biến m m TH2: Ax Bx C có hai nghiệm phân biệt x1; x2 A0 -∞ + x1 - m - -∞ n n ; ; m m A n - m n - x2 + -∞ Hàm số đồng biến ; x1 x2 ; n n Hàm số nghịch biến x1 ; ; x2 m m -∞ - x1 + m + x2 - -∞ n n Hàm số đồng biến x1 ; ; x2 m m Hàm số nghịch biến ; x1 x2 ; Ví dụ (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm sau Mệnh đề ? A Hàm số đồng biến khoảng 2; Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B Hàm số đồng biến khoảng ; C Hàm số nghịch biến khoảng 0; D Hàm số nghịch biến khoảng ; 2 Giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến ; 2 2; Hàm số nghịch biến 2; 0; Chọn đáp án C Ví dụ (Trường THPT Phan Đình Phùng lần năm 2017) Hàm số y khoảng khoảng đây? 3 3 A ; 1 1; B ; 2 Giải - Tập xác định D ; 1 1; x2 - Đạo hàm y ' 3 C 1; 2 2x x2 1 nghịch biến D ; 1 x 3 x x 1 x2 1 Cho y ' x x 3x x 1 Hàm số khơng có đạo hàm x 1 - Bảng biến thiên x y' 1 y Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến ; 1 Chọn đáp án D Ví dụ Hàm số y x x đồng biến khoảng khoảng đây? A 1; B 2; C 1; D ; Giải - Tập xác định D ;0 2; x 1 , x ; 2; Hàm số khơng có đạo hàm x 0; x x2 x x 1 Cho y ' x x x2 2x - Bảng biến thiên: x y' - Đạo hàm y ' y Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến ; đồng biến 2; Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ Hàm số y 2sin x cos x, x 0; đồng biến khoảng khoảng đây? A 0; B ; 6 6 2 Giải - Hàm số xác định 0; 5 C ; 5 D ; 6 - Đạo hàm y ' 2cos x 2sin x cos x cos x.sin x cos x 1 2sin x , x 0; x 0; Trên đoạn 0; : y ' cos x sin x x x x - Bảng biến thiên: x y' 5 y 5 Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số cho đồng biến 0; ; 6 2 Chọn đáp án A Ví dụ 10 Hàm số y x x nghịch biến biến biến khoảng khoảng đây? A 1;1 3; B 1;3 C 1; D ; 1 1;3 Giải x x x ; 1 3; - Ta có y x x x x x 1;3 2 x x ; 1 3; Tìm y ' Hàm số khơng có đạo hàm x 1 x 2 x x 1;3 Trên khoảng 1;3 : y ' x Trên khoảng ; 1 : y ' Trên khoảng 3; : y ' - Bảng biến thiên: x y' 1 – + – + y Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến khoảng ; 1 1;3 Hàm số đồng biến khoảng 1;1 3; Chọn đáp án D Nhận xét: - Bảng biến thiên dạng thu gọn nên có phần khó hiểu, để hiểu rõ dấu y ' ta quan sát bảng phụ sau: Xét dấu hàm số vào phần khơng bị gạch hàm số để lấy dấu cho y ' x 1 2x – + 2 x Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 y' - Tại x 1 x hàm số khơng có đạo hàm đạo hàm bên trái đạo hàm bên phải điểm khơng mx m Ví dụ 11 (Sở GD ĐT Bắc Giang năm 2017) Hàm số y , (m tham số) Mệnh đề x 1 đúng? A Hàm số đồng biến khoảng xác định B Hàm số đồng biến khoảng ; C Hàm số đồng biến \ 1 D Hàm số nghịch biến khoảng xác định Giải - Hàm số tập xác định D \ 1 - Đạo hàm y ' m2 m x 1 0, m Suy hàm số đồng biến khoảng xác định Chọn đáp án A Nhận xét: Với tốn chứa tham số ta cho m số khảo sát tính đơn điệu x2 kết khơng thay đổi, giả sử cho m y y' 0, x D x 1 x 1 Ví dụ 12 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1, x Mệnh đề ? A Hàm số nghịch biến khoảng ;0 B Hàm số nghịch biến khoảng 1; C Hàm số nghịch biến khoảng 1;1 D Hàm số đồng biến khoảng ; Giải Vì f x x 0, x hay f x không đổi dấu nên f x hàm đồng biến hay ; Chọn đáp án D Ví dụ 13 [NTL] Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ;1 B Hàm số nghịch biến khoảng 1; C Hàm số nghịch biến khoảng 1;1 D Hàm số đồng biến khoảng ; Giải Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số đồng biến khoảng ; 1 1; Hàm số nghịch biến khoảng 1;1 Chọn đáp án C Ví dụ 14 [NTL] Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ;1 Tài liệu nội 10 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B Hàm số nghịch biến khoảng 1;1 C Hàm số nghịch biến khoảng 1;3 D Hàm số đồng biến khoảng 1;3 Giải x 1 Vì f x x Lập trục xét dấu x -∞ - -1 + - - + +∞ Chọn đáp án C Ví dụ 15 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y x x Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ; 2 B Hàm số nghịch biến khoảng ; 2 C Hàm số đồng biến khoảng 1;1 D Hàm số nghịch biến khoảng 1;1 Giải x Ta có y ' x x Lập trục x 1 -∞ -1 - + - + +∞ Dựa vào trục ta thấy hàm số nghịch biến khoảng ; 1 0;1 Hàm số đồng biến khoảng 1; 1; Nhận xét: Sau vẽ trục xong học sinh chọn đáp án số 2 đâu, làm phải nghiệm y ' mà xét đơn điệu, thực câu câu bẫy, hàm số nghịch khoảng ; 1 mà ; 2 ; 1 Do đáp án đáp án B Dạng Tìm hàm đồng biến nghịch biến miền I a Phương pháp: Tuỳ vào đặc điểm cấu trúc hàm để dùng loại trừ đạo hàm dựa vào định nghĩa tính đơn điệu hàm số - Với hàm y ax bx3 cx d y ax bx c ln có khoảng đơn điệu ax b - Với hàm y đơn điệu khoảng xác định cx d - Với hàm y ax3 bx cx d a có tập xác định D ; , ta có y ' 3ax 2bx c Hàm số đồng biến khoảng ; a y ' 0, x ; b 3ac Hàm số đồng biến khoảng ; a y ' 0, x ; b 3ac Tài liệu nội 11 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Chú ý: Với hàm bậc ba ac b 3ac ' hàm bậc ba ln có hai khoảng đơn điệu nên đơn điệu khoảng ; b Ví dụ minh hoạ Ví dụ 16 (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng ; ? A y x x B y x 1 x4 C y x3 x D y x x Giải Hàm số đồng biến ; y ' 0, x ; - Đáp án A sai y ' x 8x chưa lớn với x Đáp án B sai hàm phân thức bậc 1/bậc đơn điệu khoảng đơn điệu khoảng ; Đáp án D sai y ' x chưa lớn với x - Đáp án C y ' x 0, x ; hàm số đồng biến - Nhận xét: Có thể dùng phương pháp loại trừ sau: - Với hàm y ax bx3 cx d y ax bx c ln có khoảng đơn điệu nên loại đáp án A C ax b - Với hàm y đơn điệu khoảng xác định nên loại B cx d Chọn đáp án C Ví dụ 17 (Trường THPT Trần Hưng Đạo – HCM năm 2017) Hàm số sau hàm số nghịch biến khoảng ; ? A y x x C y x x B y 2 x3 x x x3 D y x 1 Giải Hàm số nghịch biến ; y ' 0, x ; - Đáp án C sai hàm trùng phương ln có khoảng đơn điệu Đáp án D sai hàm phân thức bậc 1/bậc đồng biến nghịch biến khoảng xác định Đáp án A sai có hệ số x dương nên khơng thể nghịch biến khoảng ; - Đáp án B y ' 6 x x 0, x ; nên hàm số nghịch biến khoảng - ; Ví dụ 18 (Trường THPT Chuyên Bình lần năm 2017) Hàm số sau nghịch biến khoảng ; ? A y x3 3x 3x B y x3 3x 3x C y x3 x x D y x3 x x Giải - Đáp án C, D loại có a nên hàm số nghịch biến ; - Đáp án A loại ac Chọn đáp án B Nhận xét: Đây cách giải dựa vào lí thuyết kết hợp với phương pháp loại trừ, ngồi ta tính đạo hàm hàm sử dụng máy tính Ví dụ 19 (Trường THPT Chuyên Hạ Long lần năm 2017) Hàm số đồng biến tập xác định nó? Tài liệu nội 12 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A y x x x B y x x 2x C y D y x x x x 1 Giải - Loại đáp án A, C toán a - Đáp án A, D có Do ta khơng sử dụng phương pháp loại trừ mà phải sử dụng đạo ac hàm Với đáp án A ta có y ' 3x x 1, ' nên loại Với đáp án D ta có y ' x x 1, ' 3 2 y ' 0, x ; nên hàm số y x x x đồng biến tập xác định Chọn đáp án D B Bài toán đơn điệu chứa tham số Dạng Tìm tham số m để hàm số đơn điệu khoảng ; a Phương pháp: * Với hàm bậc tổng quát y ax3 bx cx d a - Tập xác định D ; - Đạo hàm y ' 3ax 2bx c - Để hàm số đồng biến khoảng ; a y ' 0, x ; ' b 3ac - Để hàm số nghịch biến khoảng ; a y ' 0, x ; ' b 3ac Chú ý: - Nếu hệ số a chứa tham số mà chưa xác định khác ta phải xét hai trường hợp a a0 - Ngoài cách giải tổng qt ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau Hàm số đồng biến khoảng ; Hàm số nghịch biến khoảng ; a b a b c c y ' 0, x ; y ' 0, x ; a a b 3ac b 3ac * Với hàm khác mà đạo hàm hàm bậc tức y ' ax b, x ; y ' Để hàm số y f x, m đồng biến ; y ' 0, x ; y ' y ' Để hàm số y f x, m nghịch biến ; y ' 0, x ; y ' b Ví dụ minh hoạ: Tài liệu nội 13 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ 20 (Trường THPT Chuyên Lam Sơn năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số y x3 mx m x đồng biến khoảng ; A 1; B ; C ; 1 2; D 1; Giải Ta có y ' x 2mx m Hàm số đồng biến khoảng ; 1 y ' 0, x ; m m 1 m Chọn đáp án D ' Nhận xét: Để giải theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau a ĐB a m m m m 1 m b m c m b 3ac Ví dụ 21 (Trường THPT Chuyên Trần Phú năm 2017) Cho hàm số y x3 mx 3m x Tìm tất giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng ; m 1 m 1 A B 2 m 1 C m 2 m 2 Giải Ta có y ' x 2mx 3m Để hàm số cho nghịch biến khoảng ; D 2 m 1 1 a y ' 0, x ; m 2; 1 ' m 3m Nhận xét: Để giải theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau a NB a 1 m2 3m m2 3m m 2; 1 b m 3 c 3m b 3ac Ví dụ 22 (Trường THPT Tiên Du lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số m 2 y x m x 3m 1 x đồng biến khoảng ; 1 A 2 m B 2 m C m D 2 m 4 Giải Ta có y ' m x m x 3m 1 Hàm số đồng biến biến khoảng ; y 0, x ; - Với m 2 , ta có y 0, x ; nên m 2 hàm số đồng biến khoảng ; - Với m 2 , ta có y 0, x ; m 2 m a 2 m m 4m 1 m Tài liệu nội 14 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vậy 2 m hàm số đồng biến khoảng ; Chọn đáp án D Nhận xét: Để giải theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau m m 2 a b 3m 1 ĐB c m a 0 b 3ac m m 3m 1 m 4m 1 m 2 2 m 2 m Ví dụ 23 (Trường THPT Ngô Quyền lần năm 2017) Cho hàm số y mx3 3mx 3x Tìm tập hợp tất số thực m để hàm số nghịch biến khoảng ; A 1 m B 1 m C m m 1 D 1 m Giải Ta có y 3mx 6mx Hàm số nghịch biến khoảng ; y 0, x ; - Với m , ta có y 3 0, x ; nên m hàm số nghịch biến khoảng ; - Với m , ta có y 0, x ; m a m 1 m 1 m m m Vậy 1 m hàm số nghịch biến khoảng ; Chọn đáp án D Nhận xét: Ta sử dụng cơng thức tính nhanh ví dụ Ví dụ 24 (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y mx sin x đồng biến khoảng ; A m 3 B m 1;1 C m D m Giải Đạo hàm y mx sin x Để hàm số đồng biến khoảng ; y ' 0, x ; m 3cos x 0, x ; cos x m , x ; m m Chọn đáp án D Ví dụ 25 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x m cos x đồng biến khoảng ; Vì 1 cos x A m 1 B m 1;1 D m 1;1 C m Giải Cách Để hàm số đồng biến khoảng ; y ' 0, x ; m sin x 0, x ; m sin x 1, x ; - Với m ln Tài liệu nội 15 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 - Với m sin x , x ; m m m 1 - Với m sin x , x ; 1 1 m m m Vậy 1 m thỏa yêu cầu toán Chọn đáp án B Cách Để hàm số đồng biến khoảng ; y ' 0, x ; 1 m y ' 1 m ; 1 m 1 m 1 m Ví dụ 26 (Trường THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y sin x cos x mx đồng biến khoảng ; A m Giải B m C m D m Ta có y ' cos x sin x m sin x m 4 Hàm số đồng biến khoảng ; m y ' 0, x ; sin x m 0, x ; sin x 4 4 m m Chọn đáp án D Dạng Tìm m để hàm số đơn điệu khoảng xác định a Phương pháp: ax b * Với hàm phân thức bậc 1/bậc (nhất biến): y c 0 cx d c - Tập xác định D \ d ad bc - Đạo hàm y Dấu y ' phụ thuộc vào ad bc cx d d d Để hàm số đồng biến ; ; y ' 0, x D ad – bc c c d d Để hàm số nghịch biến ; ; y ' 0, x D ad – bc c c ax b Chú ý: Với hàm y c 0 y ' khơng có dấu "=" cx d ax bx c * Với hàm phân thức bậc 2/bậc 1: y Khi tính đạo hàm cơng thức tính nhanh có dạng mx n Ax Bx C y' Dấu y ' phụ thuộc vào dấu Ax Bx C , giống với hàm bậc sau tính mx n đạo hàm, cách lập luận tính đơn điệu cơng thức tính nhanh giống với hàm bậc ba b Ví dụ minh hoạ: Tài liệu nội 16 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 mx 2m Ví dụ 27 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y với m tham số xm Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số đồng biến khoảng xác định Tìm số phần tử S A B C Vô số D Giải - Tập xác định D \ m - Đạo hàm y ' m2 m x m Hàm số đồng biến khoảng xác định y ' 0, x D 1 m m 2m m 0;1; 2 Vậy S 0;1; 2 Chọn đáp án D m Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau a m; b 2m DB 1 m ad bc m2 2m m 0;1; 2 c 1; d m m mx 4m với m tham số Gọi S xm tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng xác định Tìm số phần tử S A B C Vô số D Giải - Tập xác định D \ m Ví dụ 28 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y - Đạo hàm y ' m 4m x m Hàm số nghịch biến khoảng xác định y ' 0, x D 0 m m 4m m 1; 2;3 Vậy S 1; 2;3 Chọn đáp án D m Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau a m; b 4m NB 0 m ad bc m 4m m 1; 2;3 c 1; d m m x m 2m Tìm tập xm hợp giá trị tham số m để hàm số đồng biến khoảng xác định nó? 1 A m B m C m 1 D m Giải - Tập xác định D \ m Ví dụ 29 (Trường THPT Chuyên KHTN lần năm 2017) Cho hàm số y - Đạo hàm y ' x 2mx m2 2m 1 x m 2 x mx m 2m 1 0, x m Hàm số đồng biến tập xác định y ' 0, x m a m Chọn đáp án B m Ví dụ 30 [NTL] Cho hàm số y m 1 x 2mx m3 m2 xm để hàm số đồng biến khoảng xác định nó? Tài liệu nội Tìm tập hợp giá trị tham số m 17 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A m 1 B m 1 C m 1 D m 1 Giải - Tập xác định D R \ m - Đạo hàm y ' m 1 x m2 m x m3 m 2 x m TH 1: m 1 y ' x 1 0, x 1 m 1 thỏa yêu cầu toán TH 2: m 1 Hàm số đồng biến khoảng xác định y ' 0, x m g x m 1 x m m x m3 m 0, x m a m m 1 m 1 2 m m 1 Vậy với m 1 thỏa mãn yêu cầu tốn Chọn đáp án D Dạng Tìm m để hàm số đơn điệu miền K a Phương pháp: ax b * Với hàm số y a, c 0 Tìm m để hàm số đơn điệu khoảng a; b cx d d Bước 1: Tập xác định D \ c ad bc Bước 2: Đạo hàm y ' cx d ad bc - Để hàm số đồng biến khoảng xác định y ' 0, x D d c a; b ad bc - Để hàm số đồng biến khoảng xác định y ' 0, x D d c a; b Chú ý: Ta sử dụng cơng thức tính nhanh làm trắc nghiệm sau ad bc - Hàm số đồng biến khoảng xác định d c a; b ad bc - Hàm số nghịch biến khoảng xác định d c a; b * Với hàm đa thức bậc hàm phân thức bậc 2/bậc hàm khác mà việc tách tham số cách dễ dàng ta làm theo “phương pháp tổng quát” sau: Ax Bx C - Nếu y ' f ' x ax bx c y ' y ' f ' x hàm mx n khác, mà ta cần y ' f ' x hay y ' f ' x khoảng a , b đoạn a , b (hoặc nửa khoảng đó) Thì ta làm theo bước sau: Bước 1: Tìm miền xác định y ' f ' x Tài liệu nội 18 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) khỏi biến x chuyển m vế Đặt vế lại g x Lưu ý chuyển vế thành phân thức phải để ý điều kiện xác định biểu thức để xét dấu g ' x ta đưa vào bảng xét dấu g ' x Tức là: Ta tách thành hai loại h m g x , x K h m g x , x K Bước 3: Tính g ' x Cho g ' x lập bảng biến thiên g ' x h m g x , x K max g x h m K Từ h m g x , x K g x h m K Chú ý: - Để tìm max – ta sử dụng phương pháp khác tam thức bậc hai, bất đẳng thức, máy tính - Trong trình tách m phải chia cho biểu thức x, cần phải vào khoảng cho trước để xác định dấu biểu thức x, tức biểu thức x dương khơng đổi chiều, âm đổi chiều - Một số toán khác chứa m hệ số số mũ m có bậc , tách m khơng được, ta sử dụng số phương pháp khác định lí dấu tam thức bậc hai sử dụng trực tiếp định lí vi-et b Ví dụ minh hoạ Ví dụ 31 (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị m để 2x 1 hàm số y nghịch biến khoảng 2; xm 1 1 1 1 A 2; B 2; C ; D ; 2 2 2 2 Giải Hàm số xác định khoảng 2; y ' 0, x 2; Để hàm số nghịch biến 2; x m m 2; 2m m 2 m Chọn đáp án A m m 2 Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta làm sau ad bc a 2; b NB 2; 2m m d 2 m c 1; d m c a; b m m 2 Ví dụ 32 (Sở GD ĐT Hải Phịng năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số mx y nghịch biến khoảng 0; xm A m B 2 m C m D m Giải Hàm số xác định khoảng 0; Ta có y ' Ta có y ' 2m m2 x m Tài liệu nội y ' 0, x 0; Để hàm số nghịch biến 0; m 0; 19 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m2 2 m m Chọn đáp án A m m Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta làm sau ad bc m 2 m a m; b NB 0; 0m2 d c 1; d m m m c a; b Ví dụ 33 (Sở GD ĐT Điện Biên năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 2cos x y nghịch biến khoảng 0; cos x m 3 m 3 3 m A m 3 B C m 3 D m m Giải 2t 1 1 Đặt t cos x; t ;1 Khi tốn trở thành tìm m để hàm số y đồng biến ;1 2t m 2 2 2 m 1 m 3 y ' 0, t ;1 m 2 m m 3 Chọn đáp án C m ;1 m m Ví dụ 34 (Sở GD ĐT Bắc Giang năm 2017) Tìm giá trị tham số m để hàm số tan x m nghịch biến khoảng 0; y m tan x 4 A 1; B ; 1 1; C ;0 1; D 0; Giải t m nghịch biến 0;1 mt TH1: m y t hiển nhiên hàm số đồng biến 0;1 nên m thoả mãn Đặt t tan x; t 0;1 Khi tốn trở thành tìm m để hàm số y t m nghịch biến 0;1 mt 1 m m 1 y ' 0, t 0;1 m 1 m m m 0;1 m m m Chọn đáp án A Ví dụ 35 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị thực tham ex 1 số m để hàm số y x đồng biến khoảng 0; e m A ; 2 B ;1 C ;1 D ; TH2: m Để hàm số y Giải Đặt t e x , t 1; Khi tốn trở thành tìm m để hàm số y Tài liệu nội t 1 đồng biến 1; tm 20 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 y ' 0, t 1; 1 m m m ;1 Chọn đáp án B m m 1; Ví dụ 36 (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Có giá trị nguyên dương m để x 5x m2 hàm số y đồng biến khoảng 1; x3 A B C D Giải - Hàm số xác định khoảng 1; x x m2 Để hàm số đồng biến 1; x 3 y ' 0, x 1; m x x 9, x 1; m g x 1; - Đạo hàm y ' Xét hàm g x x x liên tục 1; Ta có g ' x x 0, x 1; nên g x g 1 16, x 1; m2 16 Do m 1; 2;3; 4 Chọn đáp án A m Ví dụ 37 (Sở GD ĐT Thanh Hoá năm 2017) Biết tập tất giá trị thực tham số m để hàm số y x m 1 x m 3 x 2017m đồng biến khoảng 3; 1 0;3 đoạn T a; b Tính a b A a b 13 B a b C a b 10 D a b Giải Đạo hàm y ' x m 1 x m 3 Để hàm số đồng biến 0;3 3; 1 y ' 0, x 0;3 3; 1 x m 1 x m 0, x 0;3 3; 1 x x m x 1 * + Khi x 0;3 x * Nhập f x x2 x m, x 0;3 Sử dụng mode 2x 1 x2 2x 0;3 ta thấy f x m 2x 0;3 + Khi x 3; 1 x * Nhập f x x2 2x m, x 3; 1 Sử dụng mode 2x 1 x2 2x 3; 1 ta thấy max f x 1 m 1 2x 3; 1 Do m 1; a b Chọn đáp án D Nhận xét: Tài liệu nội 21 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 - Với toán nhiều bạn mắc sai lầm chia hai vế bất phương trình cho biểu thức mà chưa xác định dương âm nên - Ví dụ xét toán mà việc tách tham số m khơng đơn giản, ta sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai Ví dụ 38 (Sở GD ĐT Phú Thọ năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y x m 1 x m2 2m x nghịch biến khoảng 0;1 A 1; B ; 0 C 0;1 D 1; 0 Giải x m Ta có y ' x m 1 x m 2m; y ' có ' nên có hai nghiệm phân biệt x1 x2 x2 m Ta có bảng biến thiên: x m m2 y' CĐ y CT Để hàm số nghịch biến 0;1 0;1 m; m m x1 x2 1 m m Chọn đáp án D Ví dụ 39 Tập giá trị thực tham số m để hàm số y x3 m 1 x 2m 3m 2 x 2m m đồng biến nửa khoảng 2; có dạng a; b Tính a b A B C D Giải Ta có y ' 3x m 1 x 2m 3m Nhận thấy y ' có ' m m 0, m ; nên y ' có hai nghiệm phân biệt m 1 ' m 1 ' ; x2 3 Ta có bảng biến thiên: x x1 y ' x1 x2 CĐ y Để hàm số đồng biến 2; x2 CT m 1 ' ' 5m m m 2 m 2 2m m ' m Chọn đáp án D Nhận xét: Cách giải giải trực tiếp thông qua biệt số Ta làm sau Tài liệu nội 22 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x1 x2 - Để hàm số đồng biến 2; x1 x2 Áp dụng định lý vi-et ta x1 x2 tìm tham số m - Để hàm số đồng biến 2; x1 x2 Đặt t x quy so sánh với số Ví dụ 40 Tìm giá trị tham số m cho hàm số y x m 1 x 2m 1 x m đồng biến 3 nửa khoảng ; A m C m B m 11 D m 11 Giải: Ta có y ' x m 1 x m 3 Cách Hàm số cho đồng biến nửa khoảng ; y ' 0, x 2 3x x y ' x m 1 x 2m 0, x m, x 2x 2 3x x g x m với g x , x 3 2x 2 ; 2 Ta có g ' x x 12 x x 2 3 0, g ' x x ; 2 Bảng biến thiên x – g ' x g x 11 Từ bảng biến thiên ta có g x 3 ; 11 11 m Chọn đáp án C 4 ' m Cách y ' có ' m ' m x ; x 2m 3 Hàm số cho đồng biến nửa khoảng ; y ' 0, x 2 2m - Với m hàm số cho đồng biến khoảng ; 3 - Với m hàm số cho đồng biến đồng biến nửa khoảng ; 2 2m 11 1 2m 11 x1 x2 m 2m m 11 Vậy giá trị cần tìm m Tài liệu nội 23 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ 41 (Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần năm 2017) Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để hàm số y x mx đồng biến khoảng ; B 1; A ;1 C 1;1 D ; 1 Giải - Tập xác định D ; x - Đạo hàm y ' m x 1 - Hàm số đồng biến ; x Ta có g ' x x g x , x ; x 1 x 1 x2 x2 x2 0, x ; 2 x 1 x 1 x y ' 0, x R m 0, x ; m - Bảng biến thiên x g ' x + g x 1 Dựa vào bảng biến thiên m 1 giá trị cần tìm Chọn đáp án D Ví dụ 42 (Trường THPT Chuyên Lam Sơn lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y mx m 1 x nghịch biến D 2; A m Giải B m 1 C m 1 D 2 m m 1 , x 2 x2 Hàm số nghịch biến D 2; Ta có y ' m y ' 0, x 2; m 1 2m m 1 x2 x m 1 m Ta có g ' x 0, x 2; 1 x 1 g x , x 2; m g x 2; 0, x g x hàm đồng biến x 2 x 1 g x g 1 m 1 Chọn đáp án B 2; Ví dụ 43 (Đề thi thử nghiệm BGD năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số y ln x 1 mx+1 đồng biến khoảng ; B ; 1 A ; 1 C 1;1 D 1; Giải 2x m x 1 Hàm số đồng biến khoảng ; y ' 0, x ; Đạo hàm y ' Tài liệu nội 24 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2x g x m, x ; g x m x ; x 1 2 x Ta có g ' x 2 x x 1 2 x 1 Bảng biến thiên x g ' x 1 g x 1 Từ g x m Chọn đáp án A x ; Dạng 4: Tìm giá trị tham số m để hàm số y ax3 bx cx d đơn điệu đoạn có độ dài l a Phương pháp: Bước 1: Tính y ' f ' x, m Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến a f ' x, m phải có hai nghiệm phân biệt 1 Bước 3: Biến đổi x1 x2 l thành x1 x2 x1 x2 l Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình theo m, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Chú ý: Phương trình ax bx c a có hai nghiệm x1 , x2 x1 x2 a ' a b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 44 Tìm tất giá trị m để hàm số y x3 3mx m 1 x nghịch biến đoạn có độ dài 2? A m 0, m B m C m D m Giải Cách Tự luận Ta có y ' x 6mx 2m 1 Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài x1 x2 y ' hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 2 ' 9m 2m 1 m 1 m x x 2m Theo định lí vi-et ta có x1 x2 2m 2 Khi x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4m2 2m 1 m 4m 8m m Vậy chọn đáp án A Cách Theo cơng thức tính nhanh Tài liệu nội 25 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 1 m 2 ' thoả mãn m x1 x2 2 m 1 a m Cách Thử đáp án Đáp án A chứa C D nên t thử với đáp án A trước - Với m y ' x x 1 thoả mãn x1 x2 nên B loại x Với m y ' x 12 x thoả mãn x1 x2 x Ví dụ 45 (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Cho hàm số x3 m y x m x 2017 Gọi S tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số nghịch biến đoạn có độ dài lớn Tìm S A S (; 3) (1; ) B S C S (; 2) (0; ) D S 4; 0; 2 - Giải x 1 Đạo hàm y ' x m 3 m x m Để y ' x1 x x2 Để đồ thị hàm số nghịch biến đoạn có độ dài lớn m m m 1 m S ; 3 1; Chọn đáp án A m 2 m 3 Ví dụ 46 (Trường THPT Ngơ Gia Tự lần năm 2017) Tất giá trị thực tham số m để hàm số y x3 m 1 x m x 2017 nghịch biến khoảng a; b cho b a A m B m C m m D m Giải Ta có y x m 1 x m Hàm số nghịch biến a; b a, b nghiệm phương trình y ' Ta có m 6m TH1: x m 1 x m 0, x ; Vô lí TH2: m Theo vi-et ta có ab m; ab m 2 Theo giả thiết b a b a m m 1 m m 6m Chọn đáp án D m Chú ý: Có thể thử đáp án với m m 1 để nghiệm phân biệt cho hiệu hai nghiệm lớn Tài liệu nội 26 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 C ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP Kiến thức cần nhớ : Định lí : a Nếu hàm số u u x có đạo hàm điểm x0 hàm số y f u có đạo hàm điểm u0 u x0 hàm số hợp g x f u x có đạo hàm điểm x0 , g ' x0 f ' u0 u ' x0 b Nếu giả thiết phần (a) thỏa mãn điểm x thuộc J hàm số hợp y g x có đạo hàm J , g ' x f ' u x u ' x ' ' ' Lưu ý : Cơng thức thứ hai định lí cịn viết gọn g x fu u x Câu 1: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y f (x ) xác định có đạo hàm f (x ) thỏa mãn f ( x) 1 x x .g x 2018 g x 0, x Hàm số y f (1 x) 2018x 2019 nghịch biến khoảng nào? A 1; B 0;3 C ;3 D 3; Lời giải Chọn D Từ f ( x) 1 x x .g x 2018 f (1 x) x3 x .g 1 x 2018 Nên đạo hàm hàm số y f (1 x ) 2018 x 2019 y x x g 1 x 2018 2018 x x g 1 x Xét bất phương trình y x x x ;0 3; , g x 0, x Câu 2: (THPT NEWTON HÀ NỘI-2018) Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số y f ( x 2) nghịch biến khoảng ? A ; 2 B 0; C 2; D 2;0 Lời giải Chọn C x Quan sát bảng biến thiên hàm số y f x ta thấy f x x 2 x x Với y f x ta có y x f x ; y x x x 2 x 2 Bảng xét dấu Tài liệu nội 27 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Dựa vào bảng xét dấu y ta y , x 2; 0; 2; nên hàm số y f x nghịch biến khoảng 2; Câu 3: (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018) Cho hàm số y f x Hàm số y f x có đồ thị hình bên Hàm số y f x x nghịch biến khoảng A ; 3 B ; C ; 2 Hướng dẫn giải 1 D ; Chọn D Đặt y g x f x x g x f x x x x 1 x f x x 1 x 1 x Cho g x x x 1 ptvn x f x x x x ptvn 1 x Với x nên g x 1 f x 1 x Với x nên g x hay hàm số g x f x x nghịch 1 f x 1 biến khoảng ; 2 Tài liệu nội 28 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 4: (THPT Phan Chu Trinh - Đaklak - L2 - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm có đồ thị y f x hình vẽ Xét hàm số g x f x Mệnh đề sau sai? A Hàm số g x nghịch biến 1; B Hàm số g x nghịch biến C Hàm số g x nghịch biến 0; D Hàm số g x đồng biến Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị ta thấy f x x Ta có g x x f x x x f x x 2 g x x f x x0 x x f x x 2 x 0 x x x 2 x x 2 Như đáp án B, C đáp án A sai Tương tự chứng minh đáp án D Câu 5: (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Cho hai hàm số y f x , y g x Hai hàm số y f x y g x có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y g x Tài liệu nội 29 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 3 Hàm số h x f x g x đồng biến khoảng đây? 2 31 9 31 25 A 5; B ;3 C ; D 6; 5 4 5 Lời giải Chọn B Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số y f x A a;10 , a 8;10 Khi ta có f x 10, x a f x 10, x 3 3 25 g x 5, x 11 g x 5, x 3 Do h x f x g x x 2 Kiểu đánh giá khác: 3 Ta có h x f x g x 2 25 9 Dựa vào đồ thị, x ;3 , ta có x , f x f 3 10 ; 4 2x 3 , g x f 2 2 3 9 9 Suy h x f x g x 0, x ;3 Do hàm số đồng biến ;3 2 4 4 Câu 6: (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Cho hai hàm số y f x y g x Hai hàm số y f ' x y g ' x có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm 9 số y g ' x Hàm số h x f x g x đồng biến khoảng đây? 2 Tài liệu nội 30 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 16 A 2; 5 B ; 16 C ; Lời giải 13 D 3; 4 Chọn B Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số y f x A a;10 , a 8;10 Khi ta có f x 10, x a f x 10, x 9 9 13 g x 5, x 11 g x 5, x 2 4 3 Do h x f x g x x 2 Câu 7: (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Cho hai hàm số y f x , y g x Hai hàm số y f x y g x có đồ thị hình vẽ bên đường cong đậm đồ thị hàm số 7 h x f x 3 g x đồng biến khoảng đây? 2 13 29 36 A ; B 7; C 6; 4 y g ( x) Hàm số 36 D ; Lời giải Chọn A Ta có: Tài liệu nội 31 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 25 x ; f ( x 7) 10 13 x ;4 h( x) 9 7 4 x 3; g x 2 2 13 h x đồng biến ; 4 Câu 8: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y f x ax bx cx d có đồ thị hình bên Đặt g x f định khẳng định sau y x x Chọn khẳng O x A g x nghịch biến khoảng 0; B g x đồng biến khoảng 1;0 1 C g x nghịch biến khoảng ; D g x đồng biến khoảng ; 1 Lời giải Chọn C Hàm số y f x ax3 bx cx d ; f x 3ax 2bx c , có đồ thị hình vẽ Do x d ; x 8a 4b 2c d ; f 12a 4b c ; f c Tìm a 1; b 3; c 0; d hàm số y x3 x Ta có g x f g x x2 x x2 x x x 2 x 1 x x x 1 x 1 x x 1 ; 2 x g x x x 2 Bàng xét dấu g x : x y y 2 7 10 Tài liệu nội 1/ 32 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 Vậy g x nghịch biến khoảng ; (Thử nghiệm - MD4 - 2018) Cho hàm số y f x Hàm số y f x có đồ thị hình Câu 9: vẽ Hàm số y f x 1 đồng biến khoảng nào? B 1;1 A ; C 1; D 0;1 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y x f x 1 x x x x 1 y x f x 1 x 1 f x x 1 x x Bảng xét dấu y : Dựa vào bảng xét dấu y suy hàm số y f x 1 đồng biến khoảng 0;1 D Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần năm 2017-2018) Tập nghiệm bất phương trình x x 1 x x Câu 1: A 1; B 1; C 1; D 1; Lời giải Chọn C Bất phương trình cho có dạng f x f x f t t Xét f t t t2 1 t2 1 , t ; t t2 Ta có f t t t t t t2 t 3 Do f t đồng biến Từ f x f x x x x 1 (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần năm 2017-2018) Tập nghiệm bất phương trình x x 1 x x Câu 2: Tài liệu nội 33 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A 1; B 1; C 1; D 1; Lời giải Chọn C Bất phương trình cho có dạng f x f x f t t Xét f t t t2 1 t2 1 , t ; t t2 Ta có f t t t t2 1 t t2 t 3 Do f t đồng biến Từ f x f x x x x 1 Câu 3: x2 (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Tìm m để bất phương trình x x m A m 8 x x có nghiệm? B m 1 C m 7 Lời giải D 8 m 7 Chọn B Điều kiện: x 1; 2 Xét hàm số g x x x đoạn 1; Có g x 1 , g x x 2 x 2x g 1 , g 1 , g Suy max g x , g x 1;2 1;2 Đặt t x x , t 3;3 t x x x Bất phương trình cho trở thành: t m 4t t 4t m Xét hàm số f t t 4t đoạn 3;3 Có f t 2t , f t t f 4 , f 8 , f Suy max f t 7 3;3 Để bất phương trình cho có nghiệm m max f t hay m 7 3;3 Vậy m 7 Câu 4: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Có giá trị m nguyên tham số m để phương trình: 2cos x 2sin x có nghiệm thực A B C D Lời giải Chọn A Không tính tổng qt ta xét phương trình ; Tài liệu nội 34 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 2sin x 2 Điều kiện x ; 1 cos x Phương trình cho tương đương với sin x cos x 2cos x 2sin x 2 Đặt t sin x cos x với x ; m2 sin * m t sin x cos x sin x 12 4 1 t ; 2 Mặt khác, ta lại có t 2sin x cos x Do * 2t 2t 2t m2 1 Xét hàm số f t 2t 2t 2t 1, t ; 2 4t f t 0 2t 2t t 1 2 f t f t 1 1 Từ bảng biến thiên, ta kết luận phương trình có nghiệm thực m2 4 m Vậy có giá trị m Câu 5: 1 2 1 m (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần năm 2017-2018) Tìm sin x sin x A m 2 1 m để phương trình D m m có nghiệm B m C m Lời giải Chọn D 1 Đặt t sin x t , phương trình trở thành t t m Nhận xét phương trình ban đầu có nghiệm x phương trình * có nghiệm t ; Xét hàm f t t t , với t ;1 Tài liệu nội 35 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 1 t t 2t 1 2 Ta có: f t 1 t 1 1 1 t 1 t t 1 t t 1 t t 2 2 2 Ta có bảng biến thiên: t || f t f t t || f t 6 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình cho có nghiệm Câu 6: m (SỞ GD -ĐT HẬU GIANG -2018) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m 3 m 3cos x cos x có nghiệm thực? A B C Lời giải D Chọn C Ta có m 3 m 3cos x cos x 3 m 3cos x cos x m 1 Đặt cos x u Điều kiện 1 u 1 trở thành u m 3v 3 Từ 3 suy u 3v v 3u m 3cos x v v3 m 3u (u v)(u uv v 3) u v 3v Do u uv v u v , u , v Suy ra: m 3u u m u 3u với u 1;1 Xét hàm số f u u 3u với u 1;1 Ta có f u 3u ; f u u 1 u 1;1 Suy max f u ; f u 2 -1;1 1;1 Do phương trình có nghiệm 2 m , mà m nên m 0; 1; 2 Câu 7: (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018) Cho hàm số f x x3 x Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số g x f x m cắt trục hoành điểm phân biệt ? A B C Hướng dẫn giải D Chọn A Tập xác định D Tài liệu nội 36 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x f x x3 3x f x 3x x x Ta có bảng biến thiên BBT thiếu giá trị f x x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m 4 m m m 3; 2; 1 Vậy có giá trị m thỏa mãn Tài liệu nội 37 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 III BÀI TẬP VẬN DỤNG – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Bài tốn đơn điệu khơng chứa tham số Câu (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Mệnh đề sau sai? A Hàm số y 2016 x 12 đồng biến khoảng ; B Hàm số y x x nghịch biến ; C Hàm số y x3 x nghịch biến khoảng ; D Hàm số y 3x đồng biến khoảng xác định x2 Câu (Trường THPT Tiên Du lần năm 2017) Trong khẳng định sau hàm số y 2x 1 x 1 Khẳng định ? A Hàm số đồng biến khoảng ;1 1; B Hàm số nghịch biến ; \ 1 C Hàm số nghịch biến khoảng ; D Hàm số nghịch biến khoảng ;1 1; Câu (Trường THPT Phan Đình Phùng lần năm 2017) Cho hàm số y x3 x Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng 0; B Hàm số nghịch biến khoảng ; C Hàm số nghịch biến khoảng 0; D Hàm số nghịch biến khoảng 2; Câu (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Cho hàm số y x2 Mệnh đề x 1 sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ;1 B Hàm số nghịch biến khoảng 1; C Hàm số nghịch biến khoảng xác định D Hàm số nghịch biến tập xác định Câu (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Cho hàm số f x x5 15 x 10 x3 22 Chọn khẳng định A Đồng biến khoảng ; nghịch biến khoảng 0; B Nghịch biến khoảng 0;1 C Nghịch biến khoảng ; D Đồng biến khoảng ; Câu (Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu lần năm 2017) Hàm số y x x x nghịch biến khoảng A 0;1 B ;1 C 1; D 1; Câu (Sở GD ĐT Đà Nẵng năm 2017) Hàm số sau đồng biến khoảng ; x 1 B y cot x C y x x D y x x x3 Câu (Trường THPT Nguyễn Huệ lần năm 2017) Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng ; A y A y 3x 2x 1 Tài liệu nội B y sin 3x x C y x x D y 3x 38 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu (Trường THPT Hoằng Hoá năm 2017) Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng 1;3 B y x3 x x x 3 C y x x D y 3x Câu 10 (Trường THPT Hai Bà Trưng lần năm 2017) Hàm số sau nghịch biến khoảng ; A y x 18 x A y x3 x B y x x C y x3 x x D y x3 Câu 11 (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Cho hàm số y f x xác định khoảng ; có f ' x x x 1 Hàm số A ; 1 0;1 C 1; 1; y f x nghịch biến khoảng nào? B 1;1 D ; 1 1; Câu 12 (Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần năm 2017) Cho hàm số y 1 x Mệnh đề 1 x sau A Hàm số nghịch biến khoảng ; B Hàm số đồng biến khoảng ;1 1; C Hàm số đồng biến khoảng ;1 nghịch biến khoảng 1; D Hàm số đồng biến khoảng ; Câu 13 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu lần năm 2017) Cho hàm số y 3 x Mệnh đề x 1 đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ; 1 1; B Hàm số nghịch biến với x 1 C Hàm số nghịch biến tập ; \ 1 D Hàm số nghịch biến khoảng ; 1 1; Câu 14 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần năm 2017) Hàm số y x x đồng biến khoảng: A 0;1 B 1; C ;1 D 1; Câu 15 (Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu lần năm 2017) Hàm số y x x nghịch biến khoảng A 0;1 B ;1 C 1; D 1; x 1 , x 1 y x3 x 3x 1, y x x Trong hàm số trên, có hàm số đơn điệu khoảng ; Câu 16 (Trường THPT Chuyên Hưng Yên lần năm 2017) Cho hàm số y A B C D 2x 1 (I); x 1 y x x (II); y x3 x (III), hàm số đồng biến khoảng xác định nó? A I II B Chỉ I C I III D II III Câu 17 (Trường Sở GD ĐT Hưng Yên lần năm 2017) Trong hàm số y Tài liệu nội 39 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 18 (Trường THPT Ngô Sỹ Liên lần năm 2017) Hàm số sau hàm số đồng biến khoảng ; A y x B y tan x x 1 x x 1 Câu 19 (Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu lần năm 2017) Hàm số sau nghịch biến khoảng xác định nó? x5 x 1 2x 1 x2 A y B y C y D y x 1 x 1 x3 2x 1 Câu 20 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Hàm số đồng biến khoảng ; ? C y x 1 x A y x B y 2 x D y D y x C y x Câu 21 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Cho hàm số y sin x cos x x Tìm khẳng định khẳng định sau: A Hàm số nghịch biến ; B Hàm số nghịch biến 1; D Hàm số đồng biến ; C Hàm số hàm lẻ Câu 22 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y x x Mệnh đề ? A Hàm số đồng biến khoảng ( ; 0) nghịch biến khoảng (0; ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( ; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( ; ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( ; 0) đồng biến khoảng (0; ) Câu 23 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Hàm số y nghịch biến khoảng x 1 đây? A (0; ) B ( 1;1) C ( ; ) D ( ; 0) Câu 24 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Hàm số sau đồng biến khoảng (; ) x 1 x 1 A y B y x3 x C y D y x x x3 x2 Câu 25 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y x x Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (0;2) B Hàm số nghịch biến khoảng (2; ) C Hàm số đồng biến khoảng (0;2) D Hàm số nghịch biến khoảng ( ;0) Câu 26 Cho hàm số y f x xác định, liên tục \ 2 có bảng biến thiên hình bên Khẳng định sau khẳng định đúng? x 3 2 1 y' + + y A Hàm số có giá trị cực đại 3 B Hàm số có điểm cực tiểu C Hàm số nghịch biến 3; 2 2; 1 Tài liệu nội 40 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 D Hàm số đồng biến ; 3 1; Câu 27 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y x Mệnh đề ? A Hàm số nghịch biến khoảng ( 1;1) B Hàm số đồng biến khoảng (0; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( ;0) D Hàm số nghịch biến khoảng (0; ) Câu 28 (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Hỏi hàm số y x đồng biến khoảng nào? 1 A ; B 0; C ; D ; 2 Câu 29 (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y x3 x x Mệnh đề đúng? 1 1 A Hàm số nghịch biến khoảng ;1 B Hàm số nghịch biến khoảng ; 3 3 1 C Hàm số đồng biến khoảng ;1 D Hàm số nghịch biến khoảng 1; 3 x2 Câu 30 (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y Mệnh đề x 1 đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ; 1 B Hàm số đồng biến khoảng ; 1 C Hàm số đồng biến khoảng ; D Hàm số nghịch biến khoảng 1; Câu 31 (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Hàm số đồng biến khoảng ; ? x2 x 1 Câu 32 (Sở GD ĐT Kiên Giang năm 2017) Cho hàm số y f x xác định, liên tục khoảng A y x3 x ; x y’ y B y x3 x C y x x D y có bảng biến thiên sau: + 2 0 - Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng 4; 0 + 4 B Hàm số nghịch biến khoảng ; 2 0; C Hàm số đồng biến khoảng ; D Hàm số nghịch biến khoảng 2; Câu 33 Hàm số y ax3 bx cx d đồng biến khoảng ; khi: a b 0, c A a 0; b 3ac a b 0, c C b 3ac Tài liệu nội a b 0, c B a 0; b 3ac a b c D a 0; b 3ac 41 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 34 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Hàm số hàm số sau nghịch biến khoảng 0; ? A y x x B y log x 1 C y 2 x 1 D y x Câu 35 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x3 x x 1 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y f x nghịch biến khoảng ; 2 B Hàm số y f x nghịch biến khoảng 2; C Hàm số y f x đồng biến khoảng 0; D Hàm số y f x đồng biến khoảng 2; Câu 36 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Hàm số bốn hàm số sau đồng biến khoảng 0; C y e x x Câu 37 Hàm số có tập xác định khoảng ; A y x A y ln x B y x ln x D y x C y eln x B y tan x cot x D y x 1 ln x Câu 38 (Trường THPT Thực Hành Sư Phạm năm 2017) Dựa vào hình vẽ Tìm khẳng định A Hàm số nghịch biến 0; , đồng biến ; có hai cực trị B Hàm số đồng biến 0; , nghịch biến ; có hai cực trị C Hàm số ln nghịch biến khoảng xác định khơng có cực trị D Hàm số đồng biến khoảng xác định khơng có cực trị Câu 39 (Trường THPT Sào Nam năm 2017) Cho hàm số y f x xác định liên tục thỏa mãn f x 0, x 0;3 f x x 1; Khẳng định sau sai ? A Hàm số cho hàm đoạn 1; B Hàm số cho đồng biến khoảng 0;1 C Hàm số cho đồng biến khoảng 0;3 D Hàm số cho đồng biến khoảng 2;3 Câu 40 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề sau sai? x y' Tài liệu nội + - + 42 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 y A Hàm số cho đồng biến khoảng 2; B Hàm số cho đồng biến khoảng ;1 C Hàm số cho nghịch biến khoảng 0;3 D Hàm số cho nghịch biến khoảng 3; Câu 41 (Trường THPT Lê Quý Đơn – Bình Định năm 2017) Chọn khẳng định Hàm số ln x f x x A Đồng biến khoảng 0;e nghịch biến khoảng e; B Nghịch biến khoảng 0;e đồng biến khoảng e; C Đồng biến khoảng 0; D Nghịch biến 0; Câu 42 (Trường THPT Lê Q Đơn – Bình Định năm 2017) Biết hàm số y x x nghịch biến khoảng a , b Giá trị tổng a b A 16 B C 20 D 17 Câu 43 (Trường THPT Lê Quý Đôn – Đà Nẵng năm 2017) Cho hàm số f x x2 m m 1 Chọn x 1 câu trả lời A Hàm số giảm ;1 1; với m B Hàm số giảm tập xác định C Hàm số tăng ;1 1; với m D Hàm số tăng ;1 1; Câu 44 Hàm số f x có đạo hàm f ' x x x Phát biểu sau ? A Hàm số đồng biến khoảng 2; B Hàm số nghịch biến khoảng ; 2 0; C Hàm số đồng biến khoảng ; 2 0; D Hàm số nghịch biến khoảng 2; Câu 45 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2017) Cho hàm số y x ln x x x Khẳng định sau sai? A Hàm số có tập xác định D ; B Hàm số đồng biến khoảng 0; C Hàm số nghịch biến khoảng 0; D Hàm số có đạo hàm y ' ln x x Câu 46 (Sở GD ĐT Đồng Tháp năm 2017) Hàm số y Tài liệu nội x2 x 1 nghịch biến khoảng nào? x2 x 1 43 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 A 1; B 1;1 C ; 1 D ;3 3 Câu 47 (Trường THPT Hồng Quang lần năm 2017) Cho hàm số y f x đồng biến khoảng a; b Mệnh đề sau mệnh đề sai? A Hàm số y f x đồng biến khoảng a; b B Hàm số y f x đồng biến khoảng a; b C Hàm số y 2017 f x nghịch biến khoảng a; b D Hàm số y f x nghịch biến khoảng a; b Câu 48 (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Cho hàm số y f x có tính chất f ' x 0; x 1;5 f ' x với x 2; Hỏi khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số y f x không đổi khoảng 2; B Hàm số y f x nghịch biến khoảng 1; C Hàm số y f x nghịch biến khoảng 4;5 D Hàm số y f x nghịch biến khoảng 1;5 Tài liệu nội 44 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B Bài toán đơn điệu chứa tham số Câu (Trường THPT Triệu Sơn lần năm 2017) Cho hàm số y x3 m 1 x m2 3m x 2017 Khi tập giá trị m để hàm số đồng biến khoảng 2; là: 3 3 B 2; C 2; D ; 2 2 Câu (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Cho hàm số y x3 x mx m Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài A m B m C m D m Câu (Sở GD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y x x mx đồng biến khoảng ;1 A A ; 3 B ; 3 C 3;9 D 3;9 Câu (Sở GD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tất giá trị tham số m để hàm số y x mx 3x đồng biến khoảng ; là: A 2 m B 3 m C m D m 3 Câu (Sở GD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tất giá trị m để hàm số 2m2 1 tan x nghịch biến khoảng 0; là: y tan x tan x 4 1 1 A m B m m 2 2 1 1 C m D m 2 Câu (Sở GD ĐT Vĩnh Phúc lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y mx sin x đồng biến khoảng ; A m B m 1 C m D m Câu (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để x hàm số y nghịch biến 1; xm A m B m C m D m cos x Câu (Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai năm 2017) Hàm số y nghịch biến cos x m khoảng 0; khi: 2 m m A B m C m > D 1 m 1 m Câu (Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017) Có tham số mx3 nguyên m để hàm số y mx 2m x m đồng biến khoảng ; A B C D Vô số Câu 10 (Trường Chuyên THPT Lê Hồng Phong – Nam Định lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x m sin x cos x đồng biến khoảng ; 1 A m ; ; 2 Tài liệu nội B 1 m 45 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 C 3 m D m ; ; 2 Câu 11 (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số 3 x y x nghịch biến khoảng 1;1 m 1 A m B m C m D m 3 3 Câu 12 (Trường THPT Hoằng Hố năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y cos x mx đồng biến khoảng ; A m B m C m D m Câu 13 (Trường THPT Đức Thọ năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị m để hàm số m sin x y nghịch biến 0; cos x 6 A m B m C m D m Câu 14 (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị m để hàm số y f x m sin x ln tan x nghịch biến khoảng 0; 4 3 A ; 2 B ; C ;3 D 0; Câu 15 (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y mx mx m x nghịch biến khoảng ; Bước 1: Ta có y ' 3mx 2mx m Bước 2: Yêu cầu toán tương đương với y ' 0, x ; 3mx mx m 0, x ; m ' 6m 2m Bước 3: y ' 0, x ; m m a m m Vậy m thỏa mãn yêu cầu toán Lời giải học sinh hay sai? Nếu lời giải sai sai từ bước nào? A Sai từ bước B Sai từ bước C Sai từ bước D Đúng Câu 16 (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số mx thực m để hàm số y đồng biến khoảng xác định xm A 2; B ; C 2; D ; Câu 17 (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x m 1 x 2m 3 x đồng biến 1; 3 A m B m C m D m Câu 18 (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số mx y x x 2017 đồng biến khoảng ; A 2 m 2 B m 2 C 2 m D 2 m 2 Tài liệu nội 46 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 19 (Trường THPT Chuyên Vị Thanh năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho m cos x hàm số y nghịch biến khoảng ; cos x m 3 2 A 2 m m B m C 2 m D m Câu 20 (Trường THPT Chuyên Trần Phú năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số m 1 x đồng biến khoảng xác định y xm m 1 m 1 A 2 m B 2 m C D m 2 m 2 Câu 21 (Trường THPT Chuyên Trần Phú năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số: y x3 m 1 x m x nghịch biến khoảng có độ dài lớn A m m B m C m D m Câu 22 (Trường THPT Chuyên Thái Nguyên năm 2017) Tìm m để hàm số f x mx nghịch xm biến khoảng ;1 A 3 m 1 B 3 m 1 C 3 m D 3 m Câu 23 (Trường THPT Chuyên Thái Nguyên năm 2017) Tìm m để hàm số x3 f x m m x m x m2 nghịch biến khoảng ; A m 2 B m 2 C m 2 D m ; Câu 24 (Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế lần năm 2017) Cho hàm số y x3 3x mx Tìm tất giá trị m để hàm số cho đồng biến khoảng 0; A m 1 B m C m 3 D m 2 Câu 25 (Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu lần năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số y x x mx đồng biến 1, 1 A m B m C m 1 D m 8 3 Câu 26 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi lần năm 2017) Hàm số y x3 m 1 x 2m x nghịch biến khoảng ; điều kiện m 3 A m 2 B 2 m C m D 2 m Câu 27 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu lần năm 2017) Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để hàm số y m sin x x 5m đồng biến khoảng ; A m 7 B 7 m C m D m 1 Câu 28 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y 2m 1 x 3m cos x nghịch biến khoảng ; 1 A 3 m B 3 m C m 3 D m 5 Câu 29 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần năm 2017) Tìm m nhỏ để hàm số y x 3mx x đồng biến khoảng ; A m B m C m D m Câu 30 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm lần năm 2017) Cho hàm số y giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng xác định là: Tài liệu nội mx Tất xm3 47 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A m B m C m D m Câu 31 (Trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ năm 2017) Tìm tập nghiệm giá trị m để hàm số mx y nghịch biến 0; xm A m 2; B m 2; C m ; 2 2; D m ; 2 Câu 32 (Trường THPT Chuyên Hạ Long lần năm 2017) Tìm giá trị thực tham số m để hàm m sin x số y nghịch biến khoảng 0; cos x 6 5 5 A m B m C m D m 2 4 Câu 33 (Trường THPT Hùng Vương năm 2017) Xác định m để hàm số y x3 m 1 x x có độ dài khoảng nghịch biến A m 2, m B m 1, m C m 0, m 1 D m 2, m 4 Câu 34 (Trường THPT Chu Văn An – Gia Lai lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y mx m 1 cos x đồng biến khoảng ; 1 C m D m 1 2 Câu 35 (Trường THPT Chuyên Lam Sơn năm 2017) Tìm tập giá trị thực tham số m để hàm số m 1 y ln x 1 đồng biến khoảng ; x 2 2 A ; B ; C ; D ; 9 Câu 36 (Sở GD ĐT Đà Nẵng năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số A Khơng có m B 1 m f x x 4mx 4m nghịch biến khoảng ; A m 1 B m 1 C m D m Câu 37 [NTL] Biết tập tất giá trị thực tham số m để hàm số y x 2m 1 x 12 m x đồng biến khoảng ; 1 2; đoạn T a; b Tính a b 1 C a b D a b 1 6 Câu 38 (Sở GD ĐT Hưng Yên lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho m 1 x 2m hàm số y nghịch biến khoảng 1; xm A m (;1) (2; ) B m C 1 m D m Câu 39 (Sở GD ĐT Hưng Yên lần năm 2017) Tìm m để hàm số y x3 3mx 2m 1 x A a b B a b nghịch biến khoảng ; A m B Khơng có giá trị m C m D Luôn thỏa mãn với giá trị m Câu 40 (Sở GD ĐT Hà Nam năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y ln x mx đồng biến ; 1 A m ; 2 Tài liệu nội 1 B m ; 2 48 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 1 C m ; D m ; 2 2 Câu 41 (Đề Thi THPT Quốc Gia – BGD năm 2017) Cho hàm số y x mx 4m x với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng ; ? A B C D Câu 42 (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia – BGD năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số tan x m cho hàm số y đồng biến khoảng 0; tan x m 4 A m m B m C m D m Câu 43 (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia – BGD năm 2017) Hỏi có số nguyên m để hàm số y m 1 x3 m 1 x x nghịch biến khoảng ; ? A B C D 3 Câu 44 Cho hàm số y f x x a 1 x 3a a 1 x Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hàm số đồng biến a B Hàm số ln có cực đại, cực tiểu a 2 C Hàm số nghịch biến khoảng 0;1 với a D Hàm số nghịch biến khoảng ; với a x3 x sin cos x sin 2 với giá trị hàm số 2 ln ln đồng biến khoảng ; ? Câu 45 Cho hàm số y f x B k C k D k 2 k 4 4 Câu 46 (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m sin x 2m cho hàm số y đồng biến khoảng 0; ? sin x 6 m 1 A m B C m D m m 2 4 m Câu 47 (Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Hàm số y x3 x m x m đồng biến khoảng ; giá trị m nhỏ A m B m 2 C m 4 D m Câu 48 (Trường THPT Lê Quý Đôn – Hà Nội năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y m x x x 3 x đồng biến tập xác định A m B m C m D m 3 m Câu 49 Tìm tập giá trị thực tham số m để hàm số y ln x 1 đồng biến khoảng x 1 ; 2 2 A ; B ; C ; D ; 9 A Tài liệu nội 49 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2sin x Câu 50 (Trường THPT Hàm Rồng năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số y 2sin x m đồng biến khoảng ; A m B m 1 C m 1 D m Câu 51 (Trường THPT Đồn Thượng lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số y ln x 1 m x 3mx x đồng biến khoảng ; A ( ; 1] 4;5 B ( 3; 1] 4; C ( ; 1] 4; D 1; Câu 52 (Trường THPT Chuyên Biên Hoà lần năm 2017) Hàm số y x2 x đồng biến 1; xm giá trị m là: 1 1 A m ; \ 1 B m 1; 2 \ 1 C m 1; D m 1; 2 2 Câu 53 Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y x 2m x m nghịch biến p p khoảng 1; ; , phân số tối giản q Hỏi tổng p q là? q q A B C D Câu 53 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y x m 1 x m đồng biến khoảng 1;3 ? A 5; B ; C 2; D ;5 Câu 54 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực m để hàm số y m x3 x3 đồng biến khoảng 0;1 A m 2 B m 2 C m D m Câu 55 (Trường THPT Hồ Bình – Bình Định năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m ex m cho hàm số y x đồng biến khoảng ln ; e m 1 1 A m 1; B m ; C m 1; D m ; 1; 2 2 sin x m Câu 56 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y nghịch biến ; sin x m 2 A m m B m C m D m 2 Câu 57 Cho hàm số y m cot x Tìm tất giá trị m thỏa m làm cho hàm số cho đồng biến 0; 4 A Khơng có giá trị m B m 2; \ 0 C m 0; D m 2; Câu 58 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y ; 4 2 A m m C m Tài liệu nội cot x đồng biến khoảng cot x m B m D m 50 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 59 Gọi M tập hợp tất số nguyên dương cho hàm số y x3 x m 10 x nghịch biến khoảng ; Số phần tử tập M là: A B C Câu 60 (Trường THPT Yên Lạc lần năm 2017) Cho hàm số y m 1 D 10 x 1 x 1 m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đồng biến khoảng 17;37 m B m 6 A 4 m 1 m C m 4 Câu 61 (Trường THPT Yên Lạc lần năm 2017) Cho hàm số y D 1 m m 1 sin x sin x m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến khoảng 0; 2 m 1 m 1 m A 1 m B C D m m m Câu 62 (Trường THPT Yên Lạc lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số x y x x m đồng biến ; 1 A m B m C m D m 4 Câu 63 (Trường THPT Trần Hưng Đạo – Nam Định năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m mx 1 1 để hàm số y x m nghịch biến khoảng ; 2 1 A m ;1 B m 1;1 C m ;1 D m ;1 2 2 Câu 64 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y m 1 x 2mx đồng biến 1; B m 1 m A m 1 m C m 1 m 1 1 D m 1 Câu 65 (Trường THPT Chuyên Quang Trung năm 2017) Cho hàm số y 2017 để hàm số đồng biến khoảng 1; e3 x m 1 e x 1 Tìm m A 3e3 m 3e B m 3e C 3e2 m 3e3 D m 3e Câu 66 (Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định năm 2017) Tìm tất giá trị thực cot x tham số m để hàm số y đồng biến khoảng ; m cot x 4 2 A m ; 1; B m ; C m 1; D m ;1 Câu 67 (Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y ln 16 x 1 m 1 x m nghịch biến khoảng ; A m ; 3 Tài liệu nội B m 3; C m ; 3 D m 3;3 51 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 cos x Câu 68 (Trường THPT Bắc Giang năm 2017) Tìm m để hàm số y đồng biến 0; cos x m 1 A m 1 B m C m D m 2 Câu 69 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Các giá trị tham số m để hàm số y mx3 3mx 3x nghịch biến khoảng ; đồ thị khơng có tiếp tuyến song song với trục hồnh A 1 m D 1 m x 2mx m Câu 70 (Trường THPT Nghĩa Hưng năm 2017) Cho hàm số y Với giá trị xm m hàm số đồng biến khoảng 1; 17 A m2 B 1 m B m C 1 m 17 C m 17 m D m Câu 71 (Trường THPT Việt Yên lần năm 2017) Tìm m để hàm số sin x 3sin x cos x 1 m sin x.cos x cos x y nghịch biến khoảng 0; cos x 4 A 2 m B m C m 2 D m Câu 72 (Trường THPT Trần Hưng Đạo – HCM lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham x 3 số m cho hàm số y nghịch biến khoảng 4;16 x m 3 m 33 A m B C m D m 16 m 16 Câu 73 (Trường THPT Thanh Thuỷ năm 2017) Với giá trị m hàm số y ex 1 đồng biến ex m khoảng 2; 1 m e2 1 A B m C m D m e e 1 m e Câu 74 (Trường THPT Sào Nam năm 2017) Các giá trị y x m sin x cos x m 2017 đồng biến khoảng ; m để hàm số 2 m B m 2 2 C m0 D m 2 Câu 75 (Trường THPT Chuyên Bình lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm A số y x mx đồng biến khoảng 1; A m 2 B m 1 C m 1 D m 2 Câu 76 (Trường THPT Lê Q Đơn – Bình Định năm 2017) Để hàm số x3 y a 1 x a 3 x đồng biến khoảng 0;3 giá trị cần tìm tham số a : 12 12 A a 3 B a 3 C 3 a D a 7 Tài liệu nội 52 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 77 (Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị x 1 tham số m cho hàm số y nghịch biến khoảng 1;1 x xm A 3; 2 B ; 0 C ; 2 D ; 2 Câu 78 (Trường THPT Chuyên Quang Trung năm 2017) Cho hàm số y 2017 để hàm số đồng biến khoảng 1; e3 x m 1 e x 1 Tìm m A 3e3 m 3e B m 3e4 C 3e2 m 3e3 D m 3e Câu 79 (Sở GD ĐT Đồng Tháp năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số m ln x nghịch biến e ; y ln x m A ; 2 1; B 2;1 C ; 2 D 1; Câu 80 (Sở GD ĐT Đồng Tháp năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y mx 2m 3 cos x đồng biến khoảng ; A 1;3 B 3; 1 C 0;1 D 1;0 Câu 81 (Trường THPT Hàm Rồng lần năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số 2sin x y đồng biến khoảng ; 2sin x m 2 A m 1 B m 1 C m D m 2 Câu 82 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x x Khi hàm số y f x đồng biến khoảng nào? A 2; B 3; C ; 3 D ; 3 0;3 Câu 83.Cho hàm số y f x Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y f x đồng biến khoảng 1 A ; 2 B 0; 1 C ; D 2; 1 Câu 84 Cho hàm số y f ( x ) Hàm số y f '( x) có đồ thị hình bên Hàm số y f ( x x ) nghịch biến khoảng? Tài liệu nội 53 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 3 1 A ; B ; C ; D ; 2 2 Câu 85.Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm liên tục Bảng biến thiên hàm số y f ( x ) x cho hình vẽ Hàm số y f 1 x nghịch biến khoảng 2 A (2; 4) B (0; 2) C ( 2;0) Câu 86 Cho hàm số y f x Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ D ( 4; 2) Hàm số y f x có khoảng nghịch biến A B Câu 87 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: C D Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x f (m) có ba nghiệm phân biệt A m 2;4 \ 1;3 B m 2;4 \ 1;3 C m 1;5 D m 2;4 Câu 88 Cho hàm số y f (x) liên tục có đồ thị hình vẽ Tài liệu nội 54 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x f (m) có nghiệm A m ; 2 (2; ) B m ( 2; 2) C m 0;4 D m ; (4; ) Câu 89.Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm Đồ thị hàm số y f '( x ) hình vẽ Tìmcác khoảng đơn điệu hàm số g ( x) f ( x) x x 2017 y -1 O x -2 Mệnh đề đúng? A Hàm số g x nghịch biến 1;3 B Hàm số g x có điểm cực trị đại C Hàm số g x đồng biến 1;1 D Hàm số g x nghịch biến 3; Tài liệu nội 55 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 ĐÁP ÁN A Bài tốn đơn điệu khơng chứa tham số D 11 A 21 D 31 A 41 A D 12 B 22 C 32 D 42 C C 13 D 23 A 33 A 43 C D 14 A 24 B 34 B 44 A D 15 D 25 A 35 B 45 C D 16 B 26 D 36 C 46 B C 17 B 27 B 37 D 47 A B 18 A 28 B 38 D 48 D B 19 C 29 A 39 C 10 C 20 C 30 B 40 C C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 A 65 B 75 B 85.D 16 A 26 B 36 A 46 A 56 D 66 B 76 A 86.B D 17 D 27 B 37 B 47 A 57 D 67 B 77 C 87.A D 18 D 28 A 38 D 48 B 58 D 68 B 78 B 88.A C 19 A 29 C 39 A 49 C 59 A 69 D 79 C 89.C 10 B 20 B 30 C 40 B 50 D 60 B 70 C 80 A B Bài toán đơn điệu chứa tham số C 11 C 21 A 31 D 41 A 51 C 61 B 71 B 81 C A 12 B 22 D 32 C 42 A 52 D 62 D 72 A 82.B Tài liệu nội A 13 C 23 C 33 D 43 A 53 C 63 C 73 A 83.C C 14 B 24 C 34 A 44 D 54 B 64 B 74 A 84.D 56 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 PHẦN - CỰC TRỊ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập hợp D D x0 D a x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng a ; b chứa điểm x0 cho a ; b D f x f x0 với x a ; b \ x0 Khi f x0 gọi giá trị cực đại hàm số f b x0 gọi điểm cực tiếu hàm số f tồn khoảng a ;b D a ;b chứa điểm x0 cho f x f x0 với x a ; b \ x0 Khi f x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Lưu ý: Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 hàm số f nói chung giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D ; f x0 giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng a ; b điểm x0 Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp D Hàm số khơng có cực trị tập hợp số thực cho trước Đôi ta nói đến điểm cực trị đồ thị hàm số Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm x0 ; f x0 gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này: x0 f x0 x ; f x 0 Điểm cực đại hàm Giá trị cực đại (cực đại) hàm số f Điểm cực đại đồ thị hàm số f số f Điểm cực tiểu hàm Giá trị cực tiểu (cực tiểu) hàm số Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f f số f Điểm cực trị hàm số Cực trị hàm số f Điểm cực trị đồ thị hàm số f f Điều kiện cần đủ để hàm số đạt cực trị 2.1Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ĐỊNH LÍ Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f ' x0 Lưu ý : Điều ngược lại khơng Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm 2.2Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị ĐỊNH LÍ Giả sử hàm số f liên tục khoảng a; b chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng a; x0 x0 ; b Khi Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực đại Tài liệu nội 57 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 điểm x0 x a b x0 f ' x x a f ' x b x0 (cực tiểu) f x0 f x f x0 f x (cực đại) ĐỊNH LÍ Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng a ; b chứa điểm x0 , f ' x0 f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Nếu f '' x0 hàm số f đạt cực đại điểm x0 Nếu f '' x0 hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Từ ta có quy tắc để tìm cực trị ☞ Quy tắc Tìm f ' x Tìm điểm xi i 1, 2, đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm Xét dấu f ' x Nếu f ' x đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị xi ☞ Quy tắc Tìm f ' x Tìm nghiệm xi i 1, 2, phương trình f ' x Tìm f '' x tính f '' xi Nếu f '' xi hàm số f đạt cực đại điểm xi Nếu f '' xi hàm số f đạt cực tiểu điểm xi II CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT HÀM SỐ CHO TRƯỚC a Phương pháp: Áp dụng quy tắc quy tắc để tìm cực trị đề cho dạng hàm số Dùng dấu hiệu nhận biết để xác định cực trị đề cho dạng bảng biến thiên đồ thị hàm số Dùng dấu hiệu đổi dấu f ' đồ thị cho biểu thức f ' đồ thị hàm số f ' Dấu hiệu nhận biết cực trị cho đồ thị hàm số f đồ thị hàm số f ' Đồ thị hàm số f Đồ thị hàm số f ' Ta hiểu điểm cực trị hàm số bao gồm điểm Ta hiểu điểm cực trị đồ thị hàm số bao gồm làm cho f ' đổi dấu (cắt xuyên trục Ox) đỉnh điểm đồ thị gấp khúc b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ (THPT Triệu Sơn 2) Hàm số y f x liên tục xác định , có đạo hàm f ' x x 1 x 3 Phát biểu sau ? Tài liệu nội 58 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A Hàm số có điểm cực đại C Hàm số có điểm cực trị Giải Hàm số có tập xác định D x 1 f ' x x 1 x x Dấu f ' B Hàm số có hai điểm cực trị D Hàm số khơng có điểm cực trị Nhận thấy f ' đổi dấu qua x Vậy hàm số cho có điểm cực trị Ví dụ (THPT Kim Thành – Hải Dương) Đồ thị hàm số y x3 3x có điểm cực đại A I 2;3 B I 0;1 C I 0; D Đáp án khác Giải Tập xác định D x y y ' 3x x y ' 3x x x y 3 Dấu y ' Nhận thấy y ' đổi dấu từ sang x qua điểm x Do hàm số đạt cực đại x điểm cực đại đồ thị hàm số I 0; (đáp án C) Ví dụ (Thi thử Vinastudy.vn) Số điểm cực trị hàm số y x x3 2017 ? A.1 B.2 C.3 D.4 Giải Tập xác định D y ' x x x x 3 x y ' x x 3 x Dấu y ' Nhận thấy y ' đổi dấu qua điểm x Vậy hàm số cho có điểm cực trị Đáp án A Ví dụ (SGD Bắc Ninh) Hàm số y x x có điểm cực trị? A Giải Tập xác định D B C D Ta có: y x x x x víi x y ' x víi x x víi x x x víi x Tài liệu nội 59 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2x víi x x víi x y' Hàm số khơng có đạo hàm điểm x Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy số điểm cực trị hàm số y x x (đáp án B) Ví dụ (THPT Kiến An – Hải Phòng) Cho hàm số y f x xác định liên tục Ta có bảng biến thiên sau: x –1 f ' x – + f x – – –1 Khẳng định sau đúng? A Hàm số y f x có cực đại cực tiểu B Hàm số y f x có cực đại cực tiểu C Hàm số y f x có cực trị D Hàm số y f x có cực đại cực tiểu Giải Nhận thấy f ' x hai điểm x 1 x Đạo hàm hàm số không xác định x liên tục xác định điểm x f ' đôi dấu từ âm sang dương x qua hai điểm x 1 x 1 điểm cực tiểu hàm số f ' đôi dấu từ dương sang âm x qua hai điểm x x điểm cực đại hàm số y f x Và f ' không đổi dấu x qua điểm x nên x điểm cực trị hàm số Vậy hàm số có cực đại cực tiểu (đáp án B) Lưu ý : Khi xét cực trị ta xét điểm làm cho đạo hàm không đạo hàm khơng xác định Ví dụ (THPT Hà Trung – Thanh Hóa) Số cực trị hàm số y x x A Hàm số khơng có cực trị B Có cực trị C Có cực trị D Có cực trị Giải Tập xác định D Ta có y ' xác định với x x y' x 27 Bảng biến thiên hình vẽ Quan sát bảng biến thiên suy hàm số cho có cực trị (đáp án D) x 27 y' y 27 Tài liệu nội 60 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục xác định R , có đồ thị mơ ta hình vẽ bên Số cực trị hàm số là? A B C D Giải Theo dấu hiệu nhận biết cực trị hàm số dựa vào đồ thị hàm số ta nhận thấy đồ thị hàm số cho có cực trị Gồm cực tiểu cực đại (hình minh họa) Vậy số cực trị hàm số cho (đáp án C) Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục xác định có đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Khẳng định sau đúng? A.Hàm số y f x có điểm cực đại B Hàm số y f x có điểm cực đại C Hàm số y f x có điểm cực tiểu D Hàm số y f x có điểm cực trị Giải Theo đồ thị hàm số y f ' x ta có f ' x điểm x a , x b, x c Bảng xét dấu hàm số f ' x hình bên.Theo bảng xét dấu f ' ta có : Hhàm số đạt cực đại x a x c Hàm số đạt cực tiểu x b Vậy đáp án B Tài liệu nội 61 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 BÀI TỐN 2: TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ Dạng 1: Tìm m để hàm số khơng có cực trị a Phương pháp: Hàm số y f x khơng có cực trị f ' không đổi dấu x qua điểm tới hạn,hoặc khơng xác định điểm (các điểm làm cho đạo hàm không xác định) Do ta có kết luận Hàm bậc ba y ax3 bx cx d a khơng có cực trị phương trình y ' 3ax 2bx c vơ nghiệm có nghiệm kép ' b 3ac ax b Hàm bậc nhất/bậc y c 0; ad bc khơng có cực trị cx d Hàm trùng phương y ax bx c a ln có điểm cực trị Dạng 2: Tìm m để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) x x0 b Phương pháp : Hàm số y f x đạt cực trị x x0 f ' x0 f ' x0 không xác định Do với hàm bậc ba y ax3 bx cx d a , hàm trùng phương y ax bx c a đạt cực trị x x0 f ' x0 Giải phương trình f ' x0 tìm giá trị m Thay m vào hàm ban đầu để kiểm tra Hoặc Giải phương trình f ' x0 tìm giá trị m Kết hợp với điều kiện f '' x0 với x0 điểm cực đại f '' x0 với x0 điểm cực tiểu suy điều kiện m Dạng 3: Tìm m để hàm số có 2, cực trị c Phương pháp: Hàm số y f x có i điểm cực trị f ' đổi dấu qua i điểm thuộc tập xác định Với hàm bậc ba y ax3 bx cx d a , hàm trùng phương y ax bx c a ta có nhận xét Hàm bậc ba y ax3 bx cx d a có cực trị phương trình y ' 3ax 2bx c có hai nghiệm phân biệt ' b 3ac Hàm trùng phương y ax bx c a ,( y ' 4ax3 2bx x 2ax b ) có Ba điểm cực trị phương trình x ax b có nghiệm phân biệt phương trình 2ax b có hai nghiệm phân biệt khác ab Một điểm cực trị phương trình 2ax b vơ nghiệm có nghiệm kép ab a Một điểm cực đại hai điểm cực tiểu b a Hai điểm cực đại điểm cực tiểu b a Chỉ có điểm cực đại b a Chỉ có điểm cực tiểu b d Ví dụ minh họa Ví dụ 1: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x x 2017 khơng có điểm cực trị 62 Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A m 3 Giải Tập xác định D B 2 m C m D 3 m Ta có y ' x m 1 x Đồ thị hàm số cho khơng có điểm cực trị Phương trình x m 1 x vơ nghiệm có nghiệm kép ' m 1 m 1 3 m (đáp án D) Ví dụ 2: (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x mx m m 1 x đạt cực đại x ? A m B m C m D m Giải Tập xác định D Ta có y ' x 2mx m m m Hàm số đạt cực trị x y ' 1 2m m2 m m 3m m 2 Với m hàm số có y ' x x x 1 x (loại) x Với m hàm số có y ' x x x Dấu y ' Dựa vào dấu y ' ta thấy hàm số đạt cực đại x (thỏa mãn) Vậy đáp án D Nhận xét: Ta sử dụng dấu hiệu để xử lí tốn sau Ta có y ' x 2mx m2 m y '' x 2m m m 3m y ' 1 Hàm số đạt cực đại x m m (đáp án D) 2m m y '' 1 Nhận xét: Với dạng cho giá trị tham số cụ thể ta sử dụng phương pháp thay đáp án Thử với m y ' x x (loại A) Thử với m hàm số có y ' x x x 1 x (loại B) Ví dụ 3: (Trường THPT Lê Lợi năm 2017) Với giá trị nguyên k hàm số y kx k x 2017 có ba cực trị A k = Giải Tập xác định D B k = -1 Hàm số có ba cực trị k 4k k C k = D k = Vậy chọn đáp án C Ví dụ 4: (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số f x x m x m có cực trị? A m Tài liệu nội B m C m D m 63 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Giải Tập xác định D Hàm số có cực trị 2 m 2 m m Vậy chọn đáp án B Ví dụ 5: (Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y mx 2m 1 x m có cực đại khơng có cực tiểu m m A B C D m m m m Giải Tập xác định D Với m hàm số trở thành y x y ' 2 x x Nhận thấy y ' đổi dấu từ sang x qua điểm x Vậy hàm số có cực đại khơng có cực tiểu Với m đồ thị hàm số có cực đại khơng có cực tiểu m m m0 2m m Kết hợp trường hợp ta có m giá trị cần tìm (đáp án B) Ví dụ 6: (Trường THPT Ngơ Quyền lần năm 2017) Cho hàm số y mx m2 x Có số nguyên m để hàm số có ba điểm cực trị có điểm cực đại điểm cực tiểu? A B C D Giải Tập xác định D Dễ dàng nhận thấy với m m hàm số có cực trị (loại) Với m hàm số có ba điểm cực trị có điểm cực đại điểm cực tiểu m m m m m 1; m m Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề (đáp án A) m 1 x3 Ví dụ 7: (Trường THPT Ngơ Sỹ Liên lần năm 2017) Cho hàm số y m 1 x x Hàm số cho đạt cực tiểu x1 , đạt cực đại x2 đồng thời x1 x2 khi: A m B m m C m m D m Giải Tập xác định D Với m hàm số trở thành y x khơng có cực trị (loại) Với m y ' m 1 x m 1 x ' y ' m 1 m 1 m 6m Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình m 1 x m 1 x có hai nghiệm phân biệt m 1 m ' y ' m 6m Khi hàm số đạt cực trị x1 , x2 (giả sử x1 x2 ) Để hàm số cho đạt cực tiểu x1 , đạt cực đại x2 dấu y ' có dạng Tài liệu nội 64 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 1 m Kết hợp 1 m điều kiện cần tìm (đáp án D) Ví dụ 8: (Trường THPT Ngơ Sỹ Liên lần năm 2017) Cho hàm số y m 1 x3 x m 1 x Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số cho khơng có cực trị là: A 1 B 0; C 0; 2 \ 1 D ; 0 2; 1 Giải Tập xác định D Với m hàm số trở thành y khơng có cực trị (thỏa mãn) Với m ta có y ' m 1 x x m 1 ' y ' 12 m 1 m m m Hàm số khơng có cực trị ' y ' m 2m m Vậy m ; 0 2; 1 Ví dụ 9: (Trường THPT Ngô Sỹ Liên lần năm 2017) Hàm số y x3 3x mx đạt cực tiểu x khi: A m B m C m D m Giải Tập xác định D Ta có y ' x x m; y '' x y ' 12 12 m Hàm số đạt cực tiểu x m0 12 y '' Đáp án D BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC BA y ax3 bx cx d a Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f x ax3 bx cx d ( a , a, b, c, d phụ thuộc vào tham số) Tìm giá trị tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu (cực trị) thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp tổng quát: Bước 1: Tính y ' 3ax 2bx c, y ' g x 3ax 2bx c Để hàm số có cực đại, cực tiểu y ' có hai nghiệm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt a giá trị tham số thuộc miền D (*) ' Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới phương trình, bất phương trình biểu thức theo theo tham số, giải điều kiện ta tham số sau đối chiếu với điều kiện (*) kết luận Chú ý: Với điều kiện liên quan tới hồnh độ giả sử M x1 ; y1 M x2 ; y2 hai điểm cực trị Tài liệu nội 65 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2b x1 x2 3a x1 ; x2 hai nghiệm g x theo viet ta có biến đổi điều kiện theo tổng x x c 3a tích khơng nên thay trực tiếp vào điều kiện phức tạp Với điều kiện liên quan tới tung độ (giá trị cực trị) trường hợp số phương tìm cụ thể hai nghiệm x1 ; x2 tung độ tương tứng y1 f x1 ; y2 f x2 Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba là: 4e 16e3 b 3ac với e a 9a 2c 2b bc Đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y xd 9a 9a Bấm máy tính tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị : x b xi ax3 bx cx d 3ax 2bx c Ai B y Ax B 9a y y Hoặc sử dụng công thức y 18a Trong trường hợp nghiệm y ' “xấu” ta nên thay gián tiếp vào phương trình đường thẳng cực trị để biểu diễn giá trị cực trị dạng tổng quát AB Bài toán 1: Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu a Phương pháp: Hàm số có cực trị có hồnh độ dương (hai cực trị nằm phía phải trục Oy) a ' y ' có hai nghiệm dương phân biệt x1 x2 P x1 x2 S x x Hàm số có cực trị có hồnh độ âm (hai cực trị nằm phía trái trục Oy) a ' y ' có hai nghiệm âm phân biệt x1 x2 P x1 x2 S x x Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (hai cực trị nằm hai phía trục Oy) y ' có hai nghiệm trái dấu P x1 x2 Hàm số có hai cực trị có giá trị dấu (hai cực trị nằm phía so với trục Ox) a ' y y Hàm số có hai cực trị có giá trị trái dấu (hai cực trị nằm khác phía so với trục Ox) a ' y y Hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt (quay toán tương giao hàm bậc trục Ox) Hàm số có hai cực trị thỏa mãn điểm cực đại (cực tiểu) hàm số lớn nhỏ số cho Tài liệu nội 66 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 trước Dạng ta nên áp dụng tính kết tốn so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số đặt ẩn phụ đưa dạng so sánh với Chú ý: Với tốn liên quan tới hồnh độ, đơn giải ta gộp bước bước lại với toán tổng quát b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 2m 1 x m x 1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị hàm số có hồnh độ dương m 1 5 A m B m C 1 m D m 4 Giải Tập xác định D Ta có y’ x – 2m – 1 x – m * Để hàm số có hồnh độ điểm cực trị dương Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt 4m m m 1; m ' 2 m x1 x2 P 0 m m2 S m 1 m 0 Vậy m giá trị cần tìm (đáp án B) Ví dụ 2: Cho hàm số y x x m Với giá trị m hàm số có cực đại, cực tiểu cho yCD y CT trái dấu? A m B m Giải Tập xác định D C m D m x Ta có y ' x x; y ' x x x Vậy hàm số ln có cực đại, cực tiểu hai điểm M ( 0; m); M ( 2; m 4) Để yCD y CT trái dấu tức yCD yCT m m m Vậy với m hàm số ln có cực đại, cực tiểu cho yCD y CT trái dấu Vậy đáp án A Ví dụ 3.Cho hàm số y f x x x m x m Xác định m cho hàm số có hai cực trị dấu? A 17 m2 B m C m 17 D 17 m2 Giải Tập xác định D Đạo hàm: y 3x 12 x m ; y x x m (*) m 2 m Để hàm số có cực trị thì: m m Ta có 2 1 f x 3 x 12 x m x x 2mx m 3 3 Tài liệu nội 67 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 giá trị cực trị là: f x0 4 x0 2mx0 m x0 m 2 m m x0 1 Gọi x1 , x2 điểm cực trị Hàm số có cực trị dấu f x1 f x2 m x1 1 m x2 1 m x1 1 x2 1 m x1 x2 x1 x2 1 Mặt khác: x1 x2 m x1 x2 x1 x2 1 (1) 12 , x1 x2 m 17 2 m Do (1) m m 2.4 1 m 4m 17 m 17 Kết hợp với điều kiện có cực trị m , ta m (đáp án D) 2 Ví dụ Cho hàm số y x 2(2m 1) x (5m 10m 3) x 10m 4m (1) (với m tham số thực) Tìm tất giá trị m để hàm số (1) có hai cực trị giá trị cực trị hàm số (1) trái dấu nhau? 1 1 A m 3;1 B m C m 3;1 \ D m 3;1 \ 5 5 Giải Tập xác định D Hàm số (1) có hai cực trị mà giá trị cực trị trái dấu đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox điểm phân biệt Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2m 1 x 5m 10m 3 x 10m 4m (2) x x 4mx 5m 2m x 2 (3) x 4mx 5m 2m Phương trình (2) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm phân biệt khác 3 m ' 4m 5m 2m m 4 8m 5m 2m 1 Vậy với m 3;1 \ giá trị cực trị hàm số trái dấu (đáp án C) 5 Bài toán 2: Điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm phía, hai phía so với đường a Phương pháp: Gọi M x1 ; y1 M x2 ; y2 điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số - Đồ thị có điểm cực trị nằm phía Ox a Hàm số có hai giá trị cực trị dấu g y1 y2 - Đồ thị có điểm cực trị nằm phía Ox a Hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu g y1 y2 - Đồ thị có hai cực trị nằm phía trục tung x1 x2 Tài liệu nội 68 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 y y1 y2 - Đồ thị có hai cực trị nằm phía trục hồnh y1 y1 y2 y1 y y2 y2 y1 y2 - Đồ thị có hai cực trị nằm phía trục hoành y - Đồ thị có cực trị tiếp xúc với trục hồnh y1 y2 y2 Trong trường hợp đồ thị có điểm cực trị khác phía đường thẳng d : Ax By C Gọi t1 t2 giá trị M1 M2 thay vào đường thẳng d: t1 Ax1 By1 C ; t2 Ax2 By2 C Đồ thị có điểm cực đại cực tiểu hai phía đường thẳng d: y ' có nghiệm phân biệt x1; x2 t1t2 Đồ thị có điểm cực đại cực tiểu phía đường thẳng d: y ' có nghiệm phân biệt x1; x2 t1t2 b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 2m 1 x m 3m x (1) Xác định giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị nằm hai phía trục tung? A m B m C m Giải Ta có y ' 3x 2m 1 x m 3m D m Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung phương trình y’ = có hai nghiệm trái dấu m 3m 1 m P0 Vậy m giá trị cần tìm (đáp án A) Ví dụ 2: Cho hàm số y x x 3m m x (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh 5 A m B m 2 5 C m m D m m 2 2 Giải Ta có y’ x x 3m m Điều kiện có cực trị: Phương trình y’ = có nghiệm phân biệt ' 9m m m 1 m 1 Hai điểm cực trị đồ thị hàm số A m 2; 2m3 9m 12m ; B m ; 2m3 3m 1 Để A, B nằm hai phía trục hồnh y A yB 2m3 m2 12m 2m3 3m 1 2m3 9m 12m 2m3 3m 1 2m m 1 m 1 Tài liệu nội 69 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 2m (2 m 1) m Vậy m m giá trị cần tìm Đáp án D 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 3mx 2m 1 Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 1 nằm hai phía đường phân giác góc phần tư thứ A m ; 2 1; B m ; 2 1; C m 2;1 D m 2; Giải Hàm số cho m có hai điểm cực trị là: A 0; 2m B 2m; 4m3 m Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình t : y x x y t A 2m t B 4m Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm hai phía đường phân giác góc phần tư thứ m 2 t A tB 2m 4m3 m Vậy m ; 2 1; giá trị cần tìm (đáp án A) Ví dụ 4: Cho hàm số y x 3mx m m x Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng x 37 37 37 37 A m B m 2 2 35 35 23 23 C D m m 2 2 Giải Ta có y ' x 6mx m m; y ' g x x 6mx m m Hàm số có cực đại, cực tiểu g x có hai nghiệm phân biệt m (2) ' 9m m m 2m m m Gọi x1 , x2 hai nghiệm g x Khi cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng 2 x x1 x2 x1 x2 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 m2 m 2m m 7m 37 37 m 2 37 37 Kết hợp (2) ta m giá trị cần tìm 2 Chú ý: - Ta đặt x t Khi g x t 1 6m t 1 m m quy toán g x có hai nghiệm trái dấu Tài liệu nội 70 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 - Với toán nằm hai phía với đường thẳng y ax b ta quy tốn tương giao ví dụ Ví dụ 5: Cho hàm số y x m 1 x m 1 x m (1), m tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) nằm hai phía khác đường thẳng y 1 A m B m C 2;3 D m Giải Ta có y ' x m 1 x m 1 Vì ' 9m 12 m 12 0, m nên y ' có hai nghiệm phân biệt với m Từ suy đồ thị hàm số (1) ln có điểm cực đại, cực tiểu Các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) nằm hai phía khác đường thẳng y đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y ba điểm phân biệt Điều đương đương với phương trình tương giao x m 1 x 2m 1 x m (*) có ba nghiệm phân biệt x Ta có (*) x 1 x 3m x m 3 g x x 3m x m (*) có ba nghiệm phân biệt g(x) có hai nghiệm phân biệt khác Từ ta g x m 16m 16 m g 1 4m Vậy m thỏa mãn u cầu tốn (đáp án A) Ví dụ 6: Cho hàm số y x3 x Hãy tìm giá trị a để hai điểm cực trị hàm số nằm hai phía đường trịn C : x y x 4ay a A a Giải B 15 a 1 C 15 a 1 D a x Ta có y ' x x , y ' x x x 2 Hàm số có hai điểm cực trị là: A 0; 4 B 2; Để hai điểm cực trị nằm hai phía đường trịn (C) thì: P A,C P B , C 15 16a a a 15 a 1 a 0, a Vậy 15 a 1 giá trị cần tìm Chú ý: Ta làm sau 2 Đường tròn C : x 1 y 2a 3a có tâm I 1; 2a , bán kính R 3a Ta có IB 4a R Điểm B nằm đường tròn (C) Vậy để hai điểm cực trị nằm hai phía IA R 2a 3a 15 16a a 15 a 1 Bài toán 3: Điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện hồnh độ Tương tự phương pháp nói toán 2: m x m x m 1 x có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số có cực đại x1, cực tiểu x2 thỏa mãn x1 x2 ? 5 4 A m B m C m D m 4 3 71 Tài liệu nội Ví dụ Cho hàm số y Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Giải Ta có y mx m x m y mx m x m (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn x1 x2 m (1) có nghiệm phân biệt bé Đặt t x x t thay vào (1) ta có m t 1 m t 1 m mt m 1 t 4m (2) (1) có nghiệm phân biệt bé (2) có nghiệm âm phân biệt m m m m m 1 m 4m m 3m 4m 5 m P m 4m m S 1 m 1 m m 0 m Vậy m giá trị cần tìm (đáp án C) Chú ý: Có thể giải cách x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 x3 x mx Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu có hồnh độ lớn m? D m C m 2 D m 2 Ví dụ Cho hàm số y A m Giải Đạo hàm: y x x m Hàm số đạt cực trị điểm có hồnh độ x m y có nghiệm x1 , x2 thỏa m x1 x2 x1 m x2 m x1 x2 2m x1 m x2 m x1 x2 m x1 x2 m m 1 4m 1 2m m 2; m m 2 m 2m m Vậy m 2 giá trị cần tìm (đáp án C) 1 Ví dụ Cho hàm số y mx3 m 1 x m x Tìm a để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời 3 hoành độ điểm cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 A m m B m m 3 C m m D m m Giải Đạo hàm y ' mx m 1 x m Tài liệu nội 72 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Hàm số có cực đại, cực tiểu y ' có nghiệm phân biệt m0 6 m 3m m m 1 (*) 2 Với điều kiện (*) y ' có nghiệm phân biệt x1 ; x2 hàm số đạt cực trị x1 ; x2 Theo định lý Viet ta có: x1 x2 m ; x1 x2 m m m Ta có: x1 x2 x2 m m ; x1 m m 3m m m m m m m m 2 m 3m m 3m 3m m m m m m Cả giá trị thoả mãn điều kiện (*) m m giá trị cần tìm (đáp án A) Chú ý: Với điều kiện x1 x2 kết hợp với định lý viet ta làm sau x1 x2 S 1 Giải hệ (1) (3) x1 ; x2 , sau vào (2) để tìm tham số x1 x2 P x1 x2 3 Ví dụ Cho hàm số y x3 m 1 x x m với m tham số thực Tìm m để hàm số cho có cực trị x1 , x2 cho x1 x2 A 3 m 1 1 m B m 1 1 m C 2 m 1 1 m D 2 m 1 1 m Giải Ta có y' 3x 6(m 1) x Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 Phương trình y' có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Phương trình x 2(m 1) x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m 1 ' ( m 1) m 1 Theo định lý Viet ta có x1 x 2(m 1); x1 x2 (1) 2 Khi x1 x x1 x2 x1 x2 4m 1 12 (m 1)2 3 m (2) Từ (1) (2) suy giá trị m m 1 1 m Vậy m 1 1 m giá trị cần tìm (đáp án B) Ví dụ Cho hàm số y x – x 3mx – 2m M x1 ; y1 M x2 ; y2 thỏa mãn 1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu y1 y2 0 x1 x2 x1 x2 1 C m A m B 1 m Giải Ta có y’ x –12 x 3m; y’ x – x m * D m Hàm số có cực đại cực tiểu (*) có hai nghiệm phân biệt ' m Gọi M x1 ; y1 ; M x2 ; y2 cực đại, cực tiểu hàm số với x1 ; x2 nghiệm phương trình (*) x x2 Theo viet x1 x2 m Tài liệu nội 73 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ta có y1 – y2 x1 – x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 3m Theo giả thiết x1 x2 x x1 x2 x22 x1 x2 3m y1 y2 0 0 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 x1 x2 3m 0 x x2 16 24 m 3m 2m 0 1 m m 1 m 1 Kết hợp với điều kiện ta m giá trị cần tìm (đáp án C) 2 Ví dụ Cho hàm số y x mx 3m 1 x (với m tham số thực) Tìm m để hàm số có hai điểm 3 cực trị x1 x2 cho x1 x2 x1 x2 A m B m m C m m D m Giải Tập xác định D Đạo hàm y ' x 2mx 3m 1 y ' x mx 3m 1 (*) Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 13 m 13 ' m 3m 1 (1) 13 m 13 m x1 x2 m Ta có Theo x1 x2 x1 x2 3m 2m (2) m x x m Kết hơp (1) (2) ta suy m giá trị cần tìm (đáp án A) 3 Ví dụ Cho hàm số y x3 m x m 1 x (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu yCĐ , yCT thỏa mãn yCĐ yCT 1 33 2 33 B m 2, m 2 2 33 1 33 C m 2, m D m 1, m 2 Giải Ta có y ' x m x m 1 , x A m 1, m x x1 1 y ' x2 m 2 x m x x2 m Chú ý với m x1 x2 Khi hàm số đạt cực đại x1 1 đạt cực tiểu x2 m 3m Do yCĐ y 1 , yCT y m 1 m m 1 2 Tài liệu nội 74 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 3m 2 m m 1 6m m m 1 2 m m 1 m m m 1 33 Từ giả thiết ta có 1 33 (đáp án D) phải rõ đâu điểm cực đại, đâu điểm cực tiểu Đối chiếu với yêu cầu m ta có giá trị m m 1, m Chú ý: Với giả thiết yCĐ yCT x ax 3ax Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị x1 , x2 phân biệt thoả mãn x12 2ax2 9a a2 điều kiện 2? a2 x2 2ax1 a A a 4 B a 4 C a 2 D a 4 a Giải Đạo hàm y ' x 2ax 3a * Ví dụ Cho hàm số y Hàm số có cực đại, cực tiểu (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 4a 12a Theo Viét: x1 x2 2a Vì x1 nghiệm (*), đó: x12 ax2 9a a x1 x2 12a a 12a Tương tự: x2 ax1 9a 4a 12a 4a 12a a2 Mặt khác theo bất đẳng thức cosi VT a2 4a 12a 4a 12a Dấu “=” xảy 3a a a 4 (do 4a 12a ) a Vậy a 4 giá trị cần tìm (đáp án A) Từ đề bài, ta có Bài tốn 4: Điều kiện liên quan tới khoảng cách, góc Ví dụ Cho hàm số y f x x3 m 1 x 3m m x m (1) (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại hàm số (1) tới trục Ox khoảng cách từ điểm cực tiểu hàm số (1) tới trục Oy Tổng giá trị m thỏa mãn là? A B 3 C 2 D Giải Ta có y , x m 1 x 3m m ; y , x m x m Hàm số có cực trị với m Hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là: A m; m3 3m2 m , B m 2; m3 3m m ; A điểm cực đại, B điểm cực tiểu Ta có d A; Ox m3 3m m , d B; Oy m m 2 m 1 Theo giả thiết ta có m3 3m m m m m Tổng giá trị m thỏa mãn 2 2 (đáp án C) Ví dụ Cho hàm số y x3 3x mx có đồ thị Cm Tìm giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu cho khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng nối điểm cực trị Cm đến tiếp tuyến Tài liệu nội 75 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Cm điểm có hồnh độ 16 ? A m B m m 9 C m m D m m Giải Ta có y ' x x m Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình y , 3x x m = (1) có nghiệm phân biệt ' 3m m 3 (*) Giả sử A x1 ; y1 B x2 ; y2 điểm cực trị đồ thị hàm số với x1, x2 nghiệm (1) Theo định lý Viet ta có x1 x2 1 Trung điểm đoạn thẳng AB I 1; m Tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm có hồnh độ x = có phương trình y y , 1 x 1 y 1 m 9 x y Ta có d d I , m 1 m m 9 16 Theo giả thiết, ta có 2 m 9 1 16 m 9 16 m 9 2 1 m (thỏa mãn (*)) Vậy m giá trị cần tìm (đáp án A) Ví dụ Cho hàm số y x3 3x m 1 x 3m , với m tham số thực Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực đại cực tiểu cách gốc tọa độ O Tổng giá trị m là? A B C D Giải Ta có y ' 3 x x m 1 , y ' 3 x3 x m 1 (1) Để hàm số có cực trị y ' có hai nghiệm phân biệt 1 có hai nghiệm phân biệt ' m2 m Khi tọa đọ hai điểm cực trị A 1 m; 2 2m B 1 m; 2 m2 Theo giả thiết hai điểm cực trị cách gốc tọa độ OA OB 2 2 1 m 2 2m 1 m 2m 4m3 m m Vậy m (vì m ) thỏa mãn giá trị cần tìm (đáp án D) Ví dụ Cho hàm số y x 3mx m2 1 x m3 (1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời điểm cực đại, cực tiểu A, B đồ thị hàm số với điểm M 2; tạo thành góc AMB 900 ? A m 1;3; 4 B m 0; 3; 4 C m 0; 1 D m 0; 1 Giải Ta có y ' 3x 6mx m2 1 Để hàm số có cực đại, cực tiểu y ' có nghiệm phân biệt ' 9, m nên hàm số ln có cực đại cực tiểu Khi A m 1; 3m ; B m 1; 3m 1 điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số, để góc AMB 900 MA MB m 1 m 3m 1 3m m 10 m2 10 m m 1 Tài liệu nội 76 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vậy m m 1 giá trị cần tìm (đáp án D) Ví dụ Cho hàm số y x3 3x m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho AOB 1200 12 3 13 13 2 C m m Giải x 2 y m Ta có: y’ 3x 6x x y m A m B 4 m D m 12 3 Vậy hàm số có hai điểm cực trị A 0; m B 2; m Ta có OA 0; m , OB 2; m Để AOB AOB 1200 cos m m 4 m m 2 m m 2 m2 4 m 4 4 m m m 2 2 m m 2m m m 4 m 12 12 m m 12 giá trị cần tìm (đáp án D) Ví dụ Cho hàm số x3 ax 12 x 13 Tìm a để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách trục tung ? A a B a C a D a 2; Vậy m Giải Đạo hàm y' x 2ax 12 Ta có: ' a 72 0, a R Vậy y ' có nghiệm phân biệt Do đó, hàm số ln có cực đại, cực tiểu Để hàm số có cực đại, cực tiểu cách trục tung thì: x1 x (trong x1 , x2 hoành độ điểm cực trị 2a nghiệm phương trình y’ ) 0a0 Vậy với a hàm số có cực đại, cực tiểu cách trục Oy (đáp án B) Chú ý: Hai điểm cực trị M x1 ; y1 M x2 ; y2 cách trục tung tức d M ; Oy d M ; Oy x1 x2 x1 x2 x1 x2 (vì M M ) Ví dụ Cho hàm số y x 3mx m 1 x m3 m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O A m 3 2 B m 2 2 C m 1 2 D m 2 Giải Ta có y , x mx m 1 Để hàm số có cực trị PT y, có nghiệm phân biệt Tài liệu nội 77 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x 2mx m2 có nhiệm phân biệt 0, m Cực đại đồ thị hàm số A m 1; 2m cực tiểu đồ thị hàm số B m 1; 2 m m 3 2 Theo giả thiết ta có OA 2OB m 6m m 3 2 Vậy có giá trị m m 3 2 m 3 2 (đáp án A) Bài toán 5: Điều kiện liên quan tới tính chất hình học Ví dụ Cho hàm số y x3 3mx (1), m tham số Tìm m để đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích 1 A m 2 B m C m D m Giải x Ta có y’ 3 x 6mx x 2m Đồ thị hàm số có điểm cực trị y’ có nghiệm phân biệt m Với m đồ thị hàm số (1) có tọa độ điểm cực trị là: A 0; B 2m; 4m3 Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị A, B là: x y2 2m y 2m 4 m Đường thẳng AB cắt Ox C ; , cắt Oy A 0; m Đường thẳng qua điểm cực trị tạo với trục tọa độ tam giác OAC vuông O ta có: 1 S OAC OA.OC 2 m 1 Theo giả thiết S OAC m (thỏa mãn m ) m Vậy m giá trị cần tìm (đáp án D) Xét tốn tương tự nghiệm khơng đẹp Ví dụ Cho hàm số y x x 3mx m Tìm m đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cho đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 1? A m m 2 B m 1 m 3 C m m 3 D m m 3 Giải: Ta có y ' x x 3m Đặt g x x x m Hàm số có cực trị g x có nghiệm phân biệt 'g m m (*) Bằng phép chia y cho g(x) ta y x x m x 1 m 1 x 2m Khi m < Tọa độ điểm cực trị thỏa mãn hệ x x m y m 1 x 2m y x x m x 1 m 1 x 2m Vậy m < đường thẳng qua điểm cực trị : y m 1 x 2m m 1 m 1 Tọa độ điểm A Ox A ; OA m 1 1 m Tài liệu nội 78 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Tọa độ điểm B Oy B 0; 2m OB m Theo giả thiết SOAB m 1 OA.OB m 1 m (vì (*)) m 1 m (thỏa mãn (*)) m2 3m m 3 Vậy m m 3 giá trị cần tìm (đáp án C) 1 Ví dụ Cho hàm số y x mx m 3 x Tìm tất giá trị m để hàm số có xCĐ , xCT đồng thời ? xCĐ , xCT độ dài cạnh tam giác vng có độ dài cạnh huyền A m 14 B m 14 C m 13 D m 14 m 2 Giải Ta có y' x mx m ; y' x mx m (*) Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình (*) có nghiệm phân biệt m m2 3m2 12 m 2 m (1) xCĐ , xCT nghiệm (*) độ dài cạnh tam giác vuông m P xCD xCT xCĐ 0, xCT m (2) S xCD xCT m xCĐ , xCT độ dài cạnh tam giác vuông có cạnh huyền 5 2 xCD xCT xCD xCT xCD xCT 2 7 m2 m 2 14 Kết hợp với điều kiện (1) (2) m 2 14 Vậy m giá trị cần tìm (đáp án A) Ví dụ Cho hàm số y x3 3mx Cm Số giá trị m để hàm số có cực trị đường thẳng qua cực m2 m 2 đại, cực tiểu đồ thị hàm số Cm cắt đường tròn x 1 y hai điểm A, B phân biệt cho AB A B C Giải Ta có y ' x 3m Để hàm số có cực trị y ' có nghiệm phân biệt m Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu : mx y Điều kiện để đường thẳng cắt đường tròn hai điểm phân biệt : 2m d I, R 2m m2 1, m 4m Tài liệu nội D I A H B 79 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Gọi H hình chiếu I AB Ta có IH R 2m Theo d I , 4m Vậy m giá trị cần tìm (đáp án A) AB 2 m2 m m (loại) Ví dụ Cho hàm số y x x mx (1) với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân A m B m 6; m ; m 2 3 D m , m 2 D m ; m 4 2 Giải Hàm số có cực trị y’ có nghiệm phân biệt ' 3m m 3 (*) m 2m y x 3x mx y x 1 y ' 2 x 3 m 2m Đường thẳng d qua điểm cực trị có phương trình: y 2 x 6m 6m Đường thẳng d cắt trục Ox Oy A ; , B 0; m 3 Tam giác OAB cân OA OB m6 6m m 6; m ; m m 3 2 (đáp án A) Ví dụ Cho hàm số y x3 3x có đồ thị C Với giá trị m đường thẳng qua hai điểm Với m = A B O so với điều kiện (*) ta nhận m 2 cực trị đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường tròn : x m y m 1 ? A m B m C m D m Giải Đồ thị hàm số có điểm cực đại A 0;1 , điểm cực tiểu B 2; 3 suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A, B d : x y 2 đường tròn : x m y m 1 có tâm I m; m 1 bán kính R điều kiện d tiếp xúc với d I , d R 2m m 2 3m m 1 Vậy m giá trị cần tìm (đáp án B) Ví dụ Cho hàm số y x3 m 1 x m (1), (với m tham số thực) Tìm m để hàm số có điểm cực trị, ký hiệu A, B cho ba điểm A, B , I 3;1 thẳng hàng A m C m m 1 D m m 2 B m m Giải Tài liệu nội 80 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x Ta có y ' x m 1 x x m 1 Đồ thị hàm số có cực trị y’ có nghiệm m Toạ độ hai điểm cực trị A 0; m M m 1; m 1 m AB : y m 1 x m Ba điểm A, B, I 3;1 thẳng hàng I AB m 1 m m Vậy giá trị m cần tìm m m (loại) (đáp án A) Bài toán 6: Điều kiện liên quan tới diện tích, tâm đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp Ví dụ Cho hàm số y x x mx (1) (m tham số thực) Giá trị gần m để hàm số (1) có 2 cực đại, cực tiểu đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu cắt đường tròn C : x 1 y 3 theo dây cung có độ dài là? A 1,16 B C 1,9 Giải Ta có y 3x x m Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y có hai nghiệm phân biệt Tức cần có: 3m m (*) m x 2m Chia đa thức y cho y , ta được: y y 2 x 1 3 Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu điểm x1 ; y1 , x2 ; y2 D 0,9 Vì y x1 0; y x2 nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu là: m 2m y x hay (2 m 6) x y m Đường trịn (C) có tâm I 1; 3 bán kính R 2 Giả sử cắt (C) theo dây cung MN h khoảng cách từ I đến 2m m 3m Ta có h = 4m 24m 45 2m Lại có MN R – h2 8 m2 36 m 36 9m 36 m 36 m 132m 144 m2 24m 45 4m 24m 45 66 93 m 66 93 m 66 93 giá trị cần tìm (đáp án A) Ví dụ Cho hàm số y x3 3mx 3m3 (1) , m tham số thực Gọi S tập giá trị m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Số phần tử S A.1 B.2 C.3 D.4 Giải Kết hợp với (*) ta m Tài liệu nội 81 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x Ta có y’ x – 6mx, y’ x – 6mx (*) x 2m Để hàm số có cực trị (*) có hai nghiệm phân biệt 2m m (**) Vậy điểm cực trị hàm số A 0;3m3 B 2m; m3 OA.d B, OA 3m với OA y A m d B, OA xB m Theo giả thiết S OAB 6 m4 48 m4 16 m 2 (thỏa mãn (**)) Vậy m 2 giá trị cần tìm (đáp án B) Ta có S OAB Bài tốn 7: Điều kiện liên quan tới hệ số góc tiếp tuyến đường thẳng Ví dụ Cho hàm số y f x x3 mx x Tìm m để hàm số có cực trị đường thẳng qua điểm cực trị vng góc với đường thẳng : y x ? A m 10 B m 10 C m 15 D m Giải Hàm số có cực đại, cực tiểu f x 3x 2mx có nghiệm phân biệt m 21 m 21 Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có: f x x m f x 21 m x m 9 Với m 21 phương trình f x có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số y f (x) đạt cực trị x1, x2 Ta có: f x1 f x2 suy y1 f x1 21 m x1 7m ; y2 f x2 21 m2 x2 m 9 9 Đường thẳng qua cực đại, cực tiểu : y 21 m2 x m 9 Ta có d 21 m2 1 m 45 21 m 10 2 10 Vậy m giá trị cần tìm (đáp án A) Ví dụ Tìm m để hàm số y x x m 1 x có cực đại, cực tiểu Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số tạo với đường thẳng y x góc 450 Giải Ta có y’ 3x x m 1 để hàm số có cực đại, cực tiểu y’ có nghiệm phân biệt hay ' 12 m 1 m 4 y’ x 1 m x m 3 3 Do hoành độ cực trị nghiệm y’ = nên điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn đường thẳng m 4 m y x 3 Đường thẳng qua cực trị tạo với đường thẳng y = 2x + góc 450 ta có Ta có y Tài liệu nội 82 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2( m 4) m tan 450 4(m 2) m 19 1 19 Vậy m m giá trị cần tìm 2 Bài tốn 6: Điều kiện liên quan tới max – x mx 4mx (C ) Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x2 Đặt 2 x 5mx1 12m m Giá trị nhỏ A là? A x1 5mx2 12m m2 A B.2 C.3 D.4 Giải Ta có y ' x 5mx 4m Hàm số đạt cực trị x1 , x2 y ' có nghiệm phân biệt x1 , x2 Ví dụ Cho hàm số y m x x2 5m 25m 16m (1) Theo Viet, ta có: 16 m x1 x2 4m 25 Vì x1 nghiệm phương trình x12 5mx1 4m x12 5mx1 4m x12 5mx2 12m 5m x1 x2 16m 25m 16 m Tương tự ta có: x22 5mx1 12m 5m x1 x2 16m 25m 16m Khi A x2 5mx1 12m m2 m2 25m2 16m (Bất đẳng thức Cauchy cho x12 5mx2 12m m2 25m2 16m m2 số dương) m2 25m2 16m m4 25m2 16m 2 25m 16m m m m2 25m2 16m m Đối chiếu điều kiện (1), ta có: A m (đáp án B) 3 Ví dụ Cho hàm số y x 3mx có đồ thị Cm Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu Dấu “=” xảy đồ thị Cm cắt đường trịn tâm I 1;1 , bán kính R hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất? 2 2 A m B m C m 1 D m 2 Giải Cách Ta có y’ x 3m, y’ g x x 3m Để hàm số có cực đại cực tiểu g x có hai nghiệm phân biệt ' 9m m Khi toạ độ điểm cực trị đồ thị M Phương trình đường thẳng MN là: 2mx y Đường thẳng MN cắt đường tròn I ; R điểm A, B Tài liệu nội m ; 2m m , N m ; 2m m 83 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 IA.IB.sin AIB , dấu’’=’’ xảy AIB 900 2 Lúc khoảng cách từ I đến MN R 2m 2 2 Suy ta có d ( I , MN ) (đáp án A) m 2 2 4m Diện tích tam giác IAB Cách Ta có y ' x 3m Để hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y ' có hai nghiệm phân biệt Vì y x y ' mx nên đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số có phương trình y 2mx Ta có d I , 2m R (vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng ln cắt đường trịn tâm I(1;1), bán 4m kính R = điểm A, B phân biệt 1 1 Với m , đường thẳng không qua I, ta có: S ABI IA.IB.sin AIB R 2 2 R 1 Nên SIAB đạt giá trị lớn sin (H AIB hay tam giác AIB vuông cân I IH 2 2m 1 2 trung điểm AB) m 2 4m x m 1 x m 4m x Tìm giá trị lớn biểu thức A x1 x2 2( x1 x2 ) với x1 , x2 điểm cực trị hàm số? Ví dụ Cho hàm số y A Amin B Amin C Amin D Amin 11 Giải Ta có y ' x m 1 x m 4m Hàm số có hai cực trị y’ = có hai nghiệm phân biệt m2 6m 5 m 1 x1 x2 1 m Khi theo viet ta có A m 8m 2 x1 x2 m 4m 3 Xét t m 8m 5; 1 t 2 Từ ta có A m 4 (đáp án A) Ví dụ Cho hàm số y = x 3x mx (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B, đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ O đến trọng tâm G tam giác AOB nhỏ nhất? A m 2 B m 3 C m D m Giải Đạo hàm y’ x – x m Hàm số có hai điểm cực trị y’ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 – 3m m (*) x 1 Lấy y chia cho y’ ta được: y x x m m x m 3 Tài liệu nội 84 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2 Đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu d : y m x m 3 Hai điểm cực trị điểm O tạo thành tam giác m Hai điểm cực trị đồ thị A x1 ; y1 , B x2 ; y2 trọng tâm G tam giác OAB, G xG ; yG với x1 x2 y y 2m 4 2m ; yG OG , m 3 3 MinOG 2m m (thỏa mãn (*)) Ví dụ Cho hàm số y f x x mx x m Khi hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách điểm cực đại cực tiểu nhỏ ? A 13 B C 13 D 3 Giải Do f x x 2mx có m Nên f (x) có nghiệm phân biệt x1 , x2 hàm số đạt cực trị x1 , x2 với điểm cực trị A x1 , y ; xG B x2 , y Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có: f x x m f x m 1 x m Do f x1 f x2 nên 3 2 y1 f x1 m 1 x1 m ; y2 f x2 m2 1 x2 m 3 3 2 2 Ta có: AB x2 x1 y2 y1 x2 x1 m2 1 x2 x1 2 x2 x1 x1 x2 1 m 1 m 1 m 1 13 AB Vậy xảy ABmin 13 m giá trị cần tìm (đáp án A) Ví dụ Cho hàm số y mx3 3mx m 1 x m có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại, 1 cực tiểu khoảng cách từ điểm N ; đến đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (Cm) lớn 2 A m B m C m D m 2 2 Giải Ta có y ' 3mx 6mx 2m ; y ' 3mx 6mx m Hàm số có cực trị (*) có hai nghiệm phân biệt tương đương điều kiện: m m m (*) ' 3m 3m x 1 Chia y cho y’ viết hàm số dạng: y y ' m x 10 m 3 Từ dẫn đến toạ độ diểm cực trị thoả mãn hệ: y' y 2m x 10 m x 1 y y ' 2m x 10 m Tài liệu nội 85 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Do đường thẳng qua hai điểm cực trị : y m x 10 m 3 2m x 10 m y 2m x 10 m 3 x 1 m y x 10 Cách 1: Ta có y 2 x x Do điểm cố định thoả mãn hệ 3 y x 10 y Vậy qua điểm M ;3 cố định Gọi H hình chiếu vng góc N ta có d N , NH NM (Không đổi) Vậy khoảng cách từ N đến lớn MN MN Đường thẳng MNcó hệ số góc 3m Suy điều kiện : 1 m (thoả mãn (*)) (đáp án A) Cách 2: Tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị : y Tính: d N , 2m 2m 18 1 2m 2m 1 2 2m x 10 m 3 2m 2m 1 9 2m 1 18 m Dấu xảy m (thỏa mãn (*)) 2 2m Vậy m giá trị cần tìm.(đáp án A) Bài tốn 9: Điều kiện đối xứng qua đường thẳng Ví dụ Cho hàm số y x3 3mx 4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x? 2 A m m B m m 2 2 C m D m m 2 Giải x Ta có: y’ x 6mx Để hàm số có cực đại cực tiểu m (*) x 2m Giả sử hàm số có hai điểm cực trị A 0; 4m3 , B 2m;0 AB 2m; 4m3 Trung điểm đoạn AB I m; 2m3 Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng y = x AB vng góc với đường thẳng y = x I thuộc đường thẳng y x 2m 4m3 m m 2m m Tài liệu nội 86 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 giá trị cần tìm Nhận xét 1: Vì đường thẳng đặc biệt nên ta làm sau Để hai điểm A B đối xứng qua đường thẳng y x Kết hợp với điều kiện (*) ta được: m x yB m A m3 m xB y A m giá trị cần tìm (đáp án C) Nhận xét 2: Vì A Oy, B Ox nên tam giác OAB tam giác vuông Để A, B đối xứng qua đường thẳng Kết hợp với điều kiện (*) ta được: m m y x OA OB 4m 2m m giá trị cần tìm (đáp án C) Ví dụ Cho hàm số y x3 3mx 3m – Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d : x y – 74 A m B m C m D m Giải x Ta có y’ 3 x 6mx; y’ x 2m Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt m Hai điểm cực trị A 0; 3m 1 , B m; 4m3 – 3m – 1 Kết hợp với điều kiện (*) ta được: m Trung điểm I đoạn thẳng AB I m; 2m3 – 3m – 1 Vectơ AB 2m; m3 Một vectơ phương đường thẳng d u (8; 1) I d Hai điểm cực đại, cực tiểu A B đối xứng với qua đường thẳng d AB d m m 3m 1 74 m2 AB.u Vậy m giá trị cần tìm (đáp án B) Ví dụ Cho hàm số y x 3x mx (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng d : x – y – A m B m C m D m Giải Ta có y x3 3x mx, y ' 3x x m Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu y’ = có hai nghiệm phân biệt ' 3m m 1 1 2 Ta có: y x y ' m x m 3 3 3 2 Tại điểm cực trị y’ = 0, tọa độ điểm cực trị thỏa mãn phương trình y m x m Như 3 2 đường thẳng qua điểm cực trị có phương trình y m x m , nên có hệ số góc 3 87 Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 k1 m2 x suy d có hệ số góc k2 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d ta phải có d 12 Suy k1 k2 1 m 1 m 2 Với m đồ thị có hai điểm cực trị 0;0 2; , nên trung điểm chúng I 1; 2 , ta thấy I Ta có d : x – y – y d, hai điểm cực trị đối xứng với qua d Vậy m giá trị cần tìm (đáp án D) BÀI TỐN - CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG Bài tốn tổng quát: Cho hàm số y ax bx c (a, b, c phụ thuộc vào tham số m) Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước a Phương pháp: Đạo hàm y ' 4ax 2bx x 2ax b x.g x với g x ax b x y' Từ ta có nhận xét sau g x ax b Để hàm số có ba điểm cực trị y ' có ba nghiệm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt khác a.b Để hàm số có điểm cực trị g x vơ nghiệm có nghiệm kép a.b a b a b ab a Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu a b ab a Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu a b b b ;x Tọa độ 2a 2a b 4ac b b ac b ; ; ; B ta có ABC 2a 4a 2a 4a đối xứng qua trục Oy Nếu hàm số có điểm cực trị tọa độ điểm cực trị hàm số x 0; x điểm cực trị đồ thị hàm số A 0; c Oy ; B cân A,hai điểm B,C 3 b b b 8a ; cot b , S cos BAC ABC b3 8a 8a a 2a AB AC Độ dài cạnh b4 b b ; BC 2 16a a 2a b 4ac b Phương trình đường BC: y Phương trình AB,AC y x c 4a 2a Tài liệu nội 88 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Một số cơng thức tính nhanh đề cho đồ thị hàm số y ax bx c có điểm cực trị A,B,C thỏa mãn tính chất cho trước Dữ kiện Cơng thức Chứng minh ABC vuông 8a b3 b 8a b 8a ABC vuông cân c os BAC cân b3 8a ABC ABC 24a b 600 cos BAC b 8a b3 24a BAC b3 8a b3 8a BAC cos BAC cos b 8a cos -Ta có c os BAC b3 8a b3 8a b3 b3 8a.cot - cot b 8a.cot 2 8a 8a b3 tan 2 SABC S0 32a S0 b5 b b b S ABC S S ABC S0 S0 a 2a 32a 32a S b5 Max S0 Max S b2 r r0 (bán kính đường trịn nội tiếp) r0 BC l al 2b AB AC l B, C Ox b 32 a b3 a 1 a 16a 2l b 8ab b 4ac Ta có b S0 32a b S0 Max 32a S0 b Min 32a Hướng dẫn: Sử dụng công thức r p a tan Ta có BC A b 2b l l al 2b 2a a b4 b b4 b l l2 2 16 a 2a 16 a 2a 2 b 8ab 16a l đpcm B, C Ox yB yC Ta có AB AC b 4ac b ac 4a 900 (do ABC cân A) góc ABC nhọn BAC góc ABC nhọn b b 8a b b 8a b3 8a cos BAC 0 0 b 8a b b3 8a Do ab 0b 8 ab b b3 8a Trọng tâm O b 6ac Trực tâm O b3 8a 4ac Tài liệu nội Tọa độ trọng tâm 4ac b ac b 6ac b G 0; c 0; 12 a a a 6ac b G O b 6ac 12a Gợi ý : CO AB 89 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Rl l Tâm đường tròn ngoại tiếp O Tâm đường tròn nội tiếp O b 8a 8ab Gợi ý R b3 8a 8abc b3 8a 4abc BC 2sin A Gợi ý : Tâm đường tròn ngoại tiếp O OA OB OC Gợi ý : Sử dụng cơng thức diện tích S p.r r S p ( p nửa chu vi tam giác) Trục Ox chia ABC thành phần có diện tích Điểm cực trị cách Ox b2 ac ABCO hình thoi b 2ac Gợi ý : điều kiện toán AH 2OA b2 ac (H trung điểm BC) b 8ac Gợi ý Điểm cực trị cách Ox O trung điểm AH 4ac b2 (H trung điểm BC) y A yH c 0 4a b 8ac Gợi ý ABCO hình thoi H trung điểm AO ac b (H trung điểm BC) y A yO yH c 4a 2ac b Tương tự ta suy nhiều cơng thức tính nhanh khác tùy theo yêu cầu đề b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ Cho hàm số y x mx m (1), với m tham số thực Xác định giá trị tham số m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời điểm cực trị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp 1 1 A m m B m m 2 1 C m m D m Giải x Đạo hàm y ' x 4mx x x m x m 1 Hàm số cho có ba điểm cực trị Phương trình y ' có ba nghiệm phân biệt 1 có hai nghiệm phân biệt khác m Cách 1: Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: A 0; m 1 , B m ; m m , C m ; m m Gọi H trung điểm BC nên H 0; m m 1 AH BC m m ; AB AC m m , BC m ; AH m2 Bán kính đường tròn ngoại tiếp m4 m m AB AC BC R 1 m3 m S ABC 4m m m m 1 m m 1 (đáp án A) m Cách 2: B C đối xứng qua Oy, A thuộc Oy nên tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC thuộc Oy Ta có S ABC Tài liệu nội 90 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Giả sử I 0; a 2m a (1) Theo giả thiết IA IC 2 m (m 2m a ) (2) 1 2m a a 2 m Giải (1) ta 1 2m a 1 a 2m TH a 2m m m2 2m 2m 1 m m 2m m4 m2 m (loại m > 0) TH a 2m m m2 2m m 1 m 0, m m m 2m m 2m m m 1 m Kết hợp với m ta (đáp án A) m 1 1 Vậy với m m giá trị cần tìm AH m2 Cách 3: Sử dụng định lý hàm số sin ta có sin C (vì AHC vng H) AC m4 m 4 AB 2R sin C 2sin C m4 m 2m m m m 2m m 1 m m 1 m 1 u cầu tốn thỏa (đáp án A) Cách 4: sử dụng cơng thức tính nhanh Vậy m m b a 2 m R m3 2m m 1 m m 1 8ab 2 m m 1 tm 1 5 1 m (đáp án A) tm Vậy m m 2 m 1 l Ví dụ Cho hàm số y x – 8m x (1), với m tham số thực Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 64 A m B m C m D m Giải Cách 1: Ta có y ' x 16m2 x x x m2 Để hàm số có cực trị y, có nghiệm phân biệt phương trình g x x 4m có hai nghiệm phân biệt x m Tài liệu nội 91 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x y 1 y , x 2m y 16m x 2 m y 16m Giả sử điểm cực trị là: A 0;1 ; B 2m;1 16m ; C 2 m;1 16m 2m Ta thấy AB AC 2 16m nên tam giác ABC cân A Gọi I trung điểm BC I (0;1 16 m4 ) nên AI 16m4 ; BC m 1 S ABC AI BC 16m 4 m = 64 m5 m (thỏa mãn m ) 2 Vậy m giá trị cần tìm (đáp án B) Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh S 64 2 32a S b 32 64 8m m10 m (đáp án B) Ví dụ Cho hàm số y x 1 m x m Tìm m để hàm số có đại cực, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn A m 1 B m C m 2 Giải x Cách 1: Ta có y ' x3 1 m x , y ' 2 x 1 m Để hàm số có cực đại, cực tiểu m Tọa độ điểm cực trị: A 0; m 1 ; B D m 3 m ; m 2m m ; C m ; m m m BC d ( A; BC ) m m 2m2 S max m Vậy m giá trị cần tìm (đáp án B) Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh Ta có S ABC 1 m 32 1 m2 b S Max 1 m2 Smax m (đáp án B) 32 a 32 Ví dụ Cho hàm số y x 2mx m m Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị ba điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200 1 A m B m 3 Giải C m 3 x Cách 1: Ta có y x3 4mx ; y x x m x m D m m 0 Gọi A 0; m m ; B m ; m , C m ; m điểm cực trị AB m ; m ; AC m ; m ABC cân A nên góc 1200 A AB AC m m m4 Theo giả thiết A 120 cos A 2 m m AB AC m m4 1 2m m4 m m 3m4 m m m (loại) m m Tài liệu nội 92 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vậy m giá trị cần tìm (đáp án C) Cách 2: ABC cân A nên góc 1200 A Ta có 8a b3 tan m tan 60 8m3 m (đáp án C) 3 Ví dụ Cho hàm số y x x m Cm Giá trị gần tham số m để đồ thị Cm có điểm cực trị nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm? A.0 B 1 C 2 D Giải Cách 1: Ta có y ' x x x x 1 , y ' x1 0; x2,3 1 Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 , C x3 ; y3 điểm cực trị (Cm) thì: A 0; m , B 1; m 1 , C 1; m 1 Gốc tọa độ O 0;0 trọng tâm ABC xA xB xC 0 m xO m m y y A yB yC 0 O Giá trị m cần tìm m (đáp án B) Cách 2: áp dụng công thức giải nhanh đồ thị Cm có điểm cực trị nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm (đáp án B) Ví dụ Cho hàm số y x m 1 x m2 (1) , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông? A m m 1 B m C m D m Giải Đạo hàm y’ x3 – m 1 x b ac m m x y’ x3 – m 1 x x m 1 Hàm số có cực trị m m 1 Khi đồ thị hàm số có cực trị A 0; m2 ; B m 1; – m – ; C m 1; – 2m – Nhận xét: A Oy , B C đối xứng qua Oy nên tam ABC cân A tức AB = AC nên tam giác vuông cân A Cách 1: Gọi M trung điểm BC M 0; 2m – 1 Do để tam giác ABC vng cân BC = 2AM (đường trung tuyến nửa cạnh huyền) m m2 2m 1 m 1 m 1 m m 1 (do m 1 ) m 1 m (do m 1 ) (đáp án B) Cách 2: ABC vuông cân A Theo định lý pitago ta có 3 AB AC BC m 1 m 1 1 m 1 m (do m 1 )(đáp án B) Cách 3: ABC vuông cân A AB AC Với AB m 1; 2m m ; AC m 1; 2m m2 Tài liệu nội 93 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 (m 1) (2m m ) m4 4m3 6m 3m m m 1 (loại) Chú ý: Có thể khơng cần khai triển thành phương trình bậc mà biến đổi thành tích sau m m 1 2m m2 m 1 m 1 m0 m 1 Cách 4: Sử dụng cơng thức tính nhanh 3 ABC vuông cân A 8a b3 m 1 m 1 m (đáp án B) Ví dụ Cho hàm số y x m 1 x 2m có đồ thị Cm Giá trị gần tham số m để hàm số có cực trị tạo thành đỉnh tam giác là? A 1, B 1, C 1,9 C 1,8 Giải Cách 1: Ta có y x m 1 x x x m 1 x y nên hàm số có cực trị m x m 1 Khi hàm số có điểm cực trị là: A 0; 2m 1 , B m 1 ; 4m 10 m , B m 1 ; 4m 10m Tính AB AC m 1 16 m 1 ; BC m 1 Ta có tam giác ABC AB BC AB BC m m 1 16 m 1 m 1 m 1 m 1 m 3 So sánh với điều kiện có cực trị ta suy m giá trị cần tìm (đáp án B) Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh 3 3 Ta có tam giác ABC 24a b 24 64 m 1 m 1 m Ví dụ Cho hàm số y x m 1 x có đồ thị Cm Số giá trị m thỏa mãn để đồ thị hàm số Cm có ba điểm cực trị A, B, C đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua điểm M 1;1 A.1 B.2 C.3 D.4 Giải: x Ta có y’ x x m 1 ; y ' x m Đồ thị Cm có điểm cực trị A, B, C y ' có nghiệm phân biệt m 1 (*) Với m 1 đồ thị (Cm) có điểm cực trị A 0; , B m 1; m 2m , C m 1; m 2m Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do tam giác ABC cân M nên I Oy I (0; b) Từ IA IM tìm b Vậy I 0;1 Ta có IA IC IA2 IC m m2 2m m4 m3 4m2 m m (vì (*)) m m 1 m 3m 1 m 3 2 Tài liệu nội 94 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 3 giá trị cần tìm (đáp án B) Bạn đọc áp dụng cơng thức tính nhanh Ví dụ Cho hàm số y x 2m x m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho điểm A, B, C điểm O nằm đường trịn, O gốc tọa độ A m 1 B m 2 C m 3 D m 4 Giải: Hàm số có điểm cực trị phương trình y ' có nghiệm phân biệt x có nghiệm phân biệt m (*) x 4m x 2 x m Ba nghiệm phân biệt x 0; x m; x m; Tọa độ điểm cực trị A 0; m 1 Oy, B m;1 , C m;1 Tính AB m; m ; OB m;1 Vậy m m Gọi I tâm đường tròn qua điểm A, B, C, O; tính đối xứng đồ thị hàm số suy I, A, O thẳng hàng Bốn điểm A, B, C điểm O nằm đường tròn (2) A O AB OB AB OB (3) Giải (2): m vô nghiệm Giải (3): m m m 1 (do điều kiện (*)) Vậy m 1 giá trị cần tìm (đáp án A) BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM HỢP Phương pháp :Sử dụng đạo hàm hàm hợp, kết hợp kỹ thuật chọn hàm Ví dụ 1: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH -LẦN 1-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x với x Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số f x x m có điểm cực trị? A 15 B 17 C 16 Lời giải D 18 Chọn A Đặt g x f x 8x m 2 f x x 1 x x g x x x x m 1 x x m x x m x x x m 1 g x x 8x m 2 x x m 3 Các phương trình 1 , , 3 khơng có nghiệm chung đôi x x m 1 với x Suy g x có điểm cực trị 3 có hai nghiệm phân biệt khác Tài liệu nội 95 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 16 m m 16 16 m m 18 m 16 16 32 m m 16 16 32 m m 18 m nguyên dương m 16 nên có 15 giá trị m cần tìm Ví dụ 2: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-Lần 1-2018) Biết hàm số f x có đồ thị cho hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y f f x A C Lời giải B D Chọn C Xét hàm số y f f x , y f x f f x ; x x x f x x2 y x a 2; f x f f x f x x b a; Với x b , ta có f x f f x Với a x b , ta có f x f f x Với x a x , ta có f x f f x BBT: x a y b y Dựa vào BBT suy hàm số y f f x có bốn điểm cực trị Ví dụ 3: (Đề thi HKI THPT Chuyên Lê Hồng Phong năm học 2017-2018) Cho đồ thị (C): f x ax bx cx d có đồ thị hình bên Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x 3x Tài liệu nội 96 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B A C Lời giải D Chọn A Xét hàm số y f x x y/ x x f x x x2 f x x , 3x y f x x x 1 3x x x 3x x x 3x x (do hàm số y f x đạt cực trị điểm x 0, x ) / y có nghiệm phân biệt đổi dấu qua điểm nên hàm số y f x x có điểm cực trị Ví dụ 4: (THPT Yên Định lần năm học 2017-2018)Hình vẽ bên đồ thị hàm số y f x Ví dụ 5: Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f ( x 1) m có điểm cực trị Giá trị tổng tất phần tử S bằng: A B 12 C 18 Lời giải D 15 Chọn B Tài liệu nội 97 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Tịnh tiến đồ thị C hàm số y f x sang trái 1đơn vị lên m đơn vị ta đồ thị hàm số C y f x 1 m Đồ thị hàm số y f x 1 m suy từ C sau: Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị C phía trục hoành Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị C phía trục hồnh qua trục hồnh Do để hàm số y f ( x 1) m có điểm cực trị m ,mà m nguyên dương nên m 3; 4;5 Vậy giá trị tổng tất phần tử S 12 Ví dụ 6: [THPT ĐẶNG THỪA HÚC] Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ Hãy tìm cực trị hàm số y f f x A C B D Hướng dẫn giải Chọn C +) Ta có với u f x f ' f x x fu' ux fu' f x' u f x f 0 u f x f ' f x ' x f x x ' u +) Ta thấy f x có hai nghiệm x1,2 x3 +) Ta thấy f x có hai nghiệm x4 x3 f ' f x có nghiệm x bậc 3, x 2, x3 , x4 bậc Tài liệu nội 98 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 hàm số có cực trị Ví dụ : Cho hàm số y f x có ba điểm cực trị 2; 1;0 Hỏi hàm số y f x x có điểm cực trị A B C D Lời giải Chọn A Đặt g x f u , u x x g x x 1 f u nên x x x x 2(VN) g x x x 11 f u u 2; u 1;0 x x Phương trình 1 có nghiệm kép x ; phương trình có hai nghiệm đơn x 0; x nên phương trình g x có hai nghiệm đơn x 0; x nghiệm bội ba x nên hàm số cho có ba cực trị Ví dụ 8: Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm f '( x ) đồ thị hàm số f '( x ) hình vẽ Xét hàm số g x f ( x x 1) Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có sáu cực trị C Hàm số có bốn cực trị B Hàm số có năm cực trị D Hàm số có ba cực trị Lời giải Chọn D Ta có: g ' x (2 x 2) f '( x x 1) x 1 + Nhận xét: g ' x x x 1 1 x 0; x 1; x 2; x x2 x 1 Ta có bảng biến thiên: Tài liệu nội 99 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có ba cực trị BT – CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG 1: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI KHI CHO HÀM SỐ y f x Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x x Số điểm cực trị hàm số y f x là: A B C D Lời giải Chọn B x Ta có: f x x x x x 2 Do f x đổi dấu qua điểm x nên hàm số f x có điểm cực trị x Mà f x f x x f x hàm số chẵn nên hàm số f x có điểm cực trị x Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x3 x x3 x Hàm số y f x có nhiều điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn A x x Ta có: f x x x x x x x Ta lập bảng biến thiên hàm số y f x Tài liệu nội 100 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x có điểm cực trị, suy f x có tối đa nghiệm phân biệt Do hàm số y f x có tối đa điểm cực trị Câu Cho hàm số y f x xác định liên tục , có f ' x x Hàm số f x có điểm cực tiểu ? A B C B Lời giải Chọn D Xét hàm số g x f x Ta có g x x f x x f x x0 g x x f x f x x x 1 x x x 1 x Bảng biến thiên: Nhìn vào bảng biến thiên g ( x) có hai điểm cực tiểu x Do hàm f x có cực tiểu Câu Cho hàm số y f x xác định liên tục , có đạo hàm f ' x x 1 x 1 x 2 Hàm số f x x có tối đa điểm cực trị? A Tài liệu nội B C D 101 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Lời giải Chọn B Xét hàm số g x f x x Ta có g x f ' x x 1 x 1 x 2 x 1 g x x x Ta thấy x 1 x nghiệm đơn x nghiệm kép hàm số g x có điểm cực trị phương trình g x có tối đa nghiệm Nên hàm số f x x có tối đa điểm cực trị Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x3 x x thoả mãn f m Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m cho hàm số y f x có điểm cực trị Tính tổng phần tử S A 10 B 28 C 21 D 15 Lời giải Chọn D f x x3 x x x4 x3 3x C x x3 Do f m C m f x 3x m f x x x x dx x 0 Ta có f x x x Tài liệu nội 102 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 f f 16 Hàm số y f x có điểm cực trị 0m f f 3 Vì m nguyên m 1; 2;3; 4;5 Vậy tổng phần tử tập S 15 Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 12 x x x Có giá trị nguyên tham số m 10;10 để hàm số y f x m có điểm cực trị A 11 B C 10 D Lời giải Chọn D x 0 f x 12 x x x x 1 x 2 Do hàm số f x có ba điểm cực trị x 0; x 1; x Hàm số f x m có điểm cực trị x f x m ; x y f x m f x m ; x Hàm số f x m có ba điểm cực trị x 1 m ; x m ; x m Hàm số f x m có ba điểm cực trị x m 1; x m ; x m Do hàm số f x m có tối đa điểm cực trị x 0; x m 1; x m ; x m 2; x m 1; x m ; x m m 1 m m Yêu cầu toán tương đương với m 1 m 1 m m Vì m nguyên m 10 ;10 m 9; 8; ; 2 Vậy có giá trị tham số m thoả mãn yêu cầu toán Câu Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm f ( x) x 1 x (4m 5) x m 7m 6 , x Có tất số nguyên m để hàm số g ( x ) f (| x |) có điểm cực trị ? A Tài liệu nội B C D 103 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Lời giải Chọn B Ta có: +) x nghiệm bội ba phương trìnhnh x 1 +) Hàm g ( x ) f (| x |) hàm chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Do hàm g ( x ) f (| x |) có điểm cực trị Hàm số y f ( x) có điểm cực trị dương y f ( x ) có nghiệm dương phân biệt f ( x ) đổi dấu qua nghiệm h( x) x (4 m 5) x m m có nghiệm phân biệt x1 x2 m 1, m 2 m m h(1) 1 m h(0) m 7m m h (0) m m m S (4m 5) m Do m nên m {3; 4;5} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề Câu Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm f ( x ) x x f (0) Có tất số nguyên 2 m 5;5 để hàm số g ( x ) f ( x) f ( x) m có điểm cực trị ? A B C D Lời giải Chọn D 3 1 Ta có: f ( x ) f ( x )dx x x dx x x x C 2 2 Do f (0) C f ( x ) 3 x x2 x Ta có bảng biến thiên hàm y f ( x) sau: Tài liệu nội 104 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Với g ( x ) f ( x ) f ( x ) m Đặt h( x ) f ( x) f ( x) m f ( x) 1 m x f ( x ) h( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) x f ( x ) 1 x a 1, f (a ) 1 Ta có bảng biến thiên hàm y h( x) : Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y h( x ) ln có điểm cực trị Hàm số g ( x) h( x) có cực trị m m Mà m 5;5 m {1;2;3; 4} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x3 x x x , với x Hàm số y f 1 2018 x có nhiều điểm cực trị A B 2022 C 11 D 2018 Lời giải Chọn A x Ta có f x x x x Cho f x x x Bảng biến thiên Tài liệu nội 105 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Suy hàm số y f x có điểm cực trị Và phương trình f x có tối đa nghiệm Do hàm số y f x có tối đa điểm cực trị Mà hàm số y f x hàm số y f 1 2018 x có số điểm cực trị Suy hàm số y f 1 2018 x có tối đa điểm cực trị trị nguyên tham số m 5;5 để hàm số A.3 B 4 x m x 3 với x Có giá g x f x có điểm cực trị? Câu 10 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 C.5 D Lời giải Chọn C x 1 f x x m x x 1 x m x 3 ( x 1 nghiệm bội , x m nghiệm bội , x 3 nghiệm bội ) + Nếu m 1 phương trình f x có nghiệm bội lẻ x 3; x 1 hàm số y f x có hai điểm cực trị âm Khi hàm số g x f x có điểm cực trị x nên m 1 không thỏa mãn yêu cầu đề + Nếu m 3 phương trình f x có hai nghiệm bội chẵn x 1; x 3 hàm số f x khơng có cực trị hàm số g x f x có điểm cực trị x nên m 3 không thỏa mãn yêu cầu đề + Nếu m 3; m 1 f x có hai nghiệm bội lẻ x m; x 3 hàm số f x có hai điểm cực trị x m; x 3 Để hàm số g x f x có điểm cực trị hàm số f x phải có hai điểm cực trị trái dấu m mà m , m 5;5 nên m 1; 2;3; 4;5 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 11 Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f ' ( x) x x 1 x 2mx với x R Có giá trị Tài liệu nội 106 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 nguyên tham số m 10 để hàm số g x f x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Do đồ thị hàm số g x f x nhận Oy làm trục đối xứng nên hàm số g x f x có điểm cực trị hàm số y f ( x) có điểm cực trị dương Ta có: f ' ( x) x x 1 x mx x2 x 1 x 2mx Hàm số y f ( x) có điểm cực trị dương phương trình x 2mx có hai nghiệm dương phân biệt ' m m ; S 2 m P m 5; m ; Giá trị nguyên tham số m 10 để hàm số g x f x có điểm cực trị là: m 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3 Số giá trị nguyên tham số m 10 để hàm số g x f x có điểm cực trị Câu 12 Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x) x x x x với x R Hàm số y f 1 2020 x có nhiều điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Nhận xét: Số điểm cực trị tối đa hàm số y f 1 2020 x tổng số điểm cắt đồ thị hàm số y f 1 2020 x với trục hoành số điểm cực trị hàm số y f 1 2020 x Ta có: f ' ( x) x x 1 x x Tài liệu nội 107 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 ' f 1 2020 x 2020 f ' (1 2020 x) ' Do đó: f 1 2020 x 1 2020 x 1 2020 x 1 2020 x 2020 x x 2020 x x 1 2020 x 1 2020 Bảng biến thiên y f 1 2020 x x y' 1 2020 - 2020 + - 1 2020 - + y Do phương trình f 1 2020 x có tối đa nghiệm hàm số y f 1 2020 x có điểm cực trị Vậy hàm số y f 1 2020 x có tối đa điểm cực trị Câu 13 Cho hàm số y f x xác định có đạo hàm , biết f ' x x3 11x x Số điểm cực trị hàm số y f 2021 x f 2020 x f 2019 x là: A B C D Lời giải Chọn D Xét hàm số g x f 2021 x f 2020 x f 2019 x TXĐ: D Có g ' x 2021 f 2020 x f ' x 2020 f 2019 x f ' x 2019 f 2018 x f ' x Tài liệu nội 108 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 f 2018 x 2021 f x 2020 f x 2019 f ' x Nhận xét f 2018 x 2021 f x 2020 f x 2019 0, x Nên g ' x dấu với f ' x x 11x x Ta có f ' x x 1; x / 2; x / Ta có bảng biến thiên hàm số g x Suy bảng biến thiên hàm số y g x Vậy hàm số cho có điểm cực trị DẠNG 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI KHI CHO BBT, BXD Câu 14 Cho hàm số y f x xác định liên tục có bảng biến thiên hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y f x là: A B C D Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên hàm số y f x suy bảng biến thiên hàm số y g ( x) f x Tài liệu nội 109 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Suy hàm số y f x có điểm cực trị Câu 15 Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm có bảng xét dấu hàm số y f '( x ) sau: Hỏi hàm số y f x có điểm cực tiểu: A B C D Lời giải Chọn D Từ bảng xét dấu hàm số y f '( x ) ta có bảng biến thiên hàm số y f ( x ) Từ ta có bảng biến thiên hàm số y f x sau: Tài liệu nội 110 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ta thấy số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x hàm số y f x giống nên hàm số y f x có điểm cực tiểu Câu 16 Cho hàm số y g ( x ) xác định liên tục có bảng biến thiên sau: Hỏi đồ thị hàm số y g ( x) có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên hàm số y g ( x ) ta có bảng biến thiên hàm số y g ( x ) sau: Từ suy diễn bảng biến thiên hàm số y g ( x) sau: Vậy số điểm cực trị đồ thị hàm số y g ( x) điểm Tài liệu nội 111 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 17 Cho hàm số y f x xác định liên tục có bảng biến thiên sau: Số điểm cực đại hàm số y f x A B C D Lời giải Chọn B Ta có bảng biến thiên Từ bảng bến thiên ta thấy hàm số y f x có điểm cực đại Câu 18 Cho hàm số y f x xác định liên tục có bảng xét dấu sau: f 2 x 1 Xét hàm số g x e A 3 B f 2 x Số điểm cực trị hàm số y g x C D Lời giải Tài liệu nội 112 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Chọn D f x 1 Ta có g ' x 3 f ' x e f '2 x x 1 g ' x f ' x x x f 2 x ln f ' x 3e3 f 2 x 1 f 2 x ln x x x 2 Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y g x có điểm cực trị Câu 19 Cho hàm số y f x xác định liên tục , có bảng xét dấu f x sau Số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x 2020 là: A B C D Lời giải Chọn A f x x Xét hàm số y f x f x x Khi ta có bảng xét dấu hàm số y f x sau Tài liệu nội 113 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Suy đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị Suy đồ thị hàm số y f x có cực trị (Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang phải đơn vị số điểm cực trị khơng thay đổi) Suy đồ thị hàm số y f x 2020 có cực trị (Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x lên 2020 đơn vị số điểm cực trị không thay đổi) Câu 20 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Hàm số y f 1 3x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn D Xét hàm số g x f 1 x g x 3 f 1 x x 1 x 1 Ta có g x f 1 x x x Ta có bảng biến thiên sau Vậy hàm số y g x có điểm cực trị Tài liệu nội 114 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 21 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x bảng biến thiên hàm số f x hình vẽ Hàm số g x f x 2017 2018 có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số u x f x 2017 2018 có từ đồ thị f x cách tịnh tiến đồ thị f x sang phải 2017 đơn vị lên 2018 đơn vị Suy bảng biến thiên u x Dựa vào bảng biến thiên suy bảng biến thiên hàm số u x f x 2017 2018 ta có bảng biến thiên hàm số g x u x hình vẽ bên Từ BBT hàm số g x u x ta thấy hàm số có điểm cực trị Câu 22 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình bên Tài liệu nội 115 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị? A C B D Lời giải Chọn B x , ta có f x f x nên hàm số y f x hàm số chẵn Do đồ thị hàm số y f x nhân trục tung làm trục đối xứng f x x Lại có y f x nên bảng biến thiên hàm số y f x f x x Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị Câu 23 Cho hàm số y f x có đạo hàm BBT bên BBT đạo hàm f ' x Hàm số g x f x 2020 có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C Từ BBT ta thấy f x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ dương điểm có hồnh độ âm Tài liệu nội 116 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 f x có điểm cực trị dương f x có điểm cực trị f x 2020 có điểm cực trị (vì tịnh tiến lên hay xuống không ảnh hưởng đến số điểm cực trị hàm số) Câu 24 Cho hàm số y f x có f (2) đạo hàm liên tục có bảng xét dấu hình sau Hàm số g x 15 f x x 10 x 30 x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C Hàm số h x 15 f x x 10 x6 30 x Ta có h ' x 15 4 x3 x f x x 60 x 60 x h ' x 60 x x 1 f x x x 1 Mà x x x 1 1, x nên dựa vào bảng xét dấu f x ta suy f x4 x2 2 Suy f x x x 0, x Do dấu h ' x dấu với u x 60 x x 1 , tức đổi dấu qua điểm x 1; x 0; x Vậy hàm số h x có điểm cực trị Ta có h(0) 15 f (2) nên đồ thị hàm số y h( x) tiếp xúc Ox O cắt trục Ox điểm phân biệt Vậy y g ( x) có cực trị Câu 25 Cho hàm số y f x xác định, liên tục có bảng biến thiên: Tài liệu nội 117 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Hàm số y f A x C có nhiều điểm cực trị ? B C D Lời giải Chọn B Ta có đồ thị hàm số y f x C ' có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số y f x C ' cắt trục hoành tối đa hai điểm có hồnh độ dương Khi đồ thị hàm số y f x C '' suy từ đồ thị hàm số y f x C ' nên đồ thị hàm số y f x C '' cắt trục hoành tối đa điểm phân biệt hàm số y f x có điểm cực trị Vì đồ thị hàm số y f x C suy từ đồ thị hàm số y f x C '' nên đồ thị hàm số y f x C có tối đa điểm cực trị Câu 26 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên: Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x 1 m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S A 15 B 12 C 18 D Lời giải Chọn B Tài liệu nội 118 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Từ bảng biến thiên ta có đồ thị C : y f x y O x 3 6 Nhận xét: Số giao điểm đồ thị C : y f x với Ox số giao điểm đồ thị C : y f x 1 với Ox Vì m nên đồ thị hàm số C : y f x 1 m có cách tịnh tiến đồ thị hàm số C : y f x 1 lên m đơn vị Đồ thị hàm số y f x 1 m suy từ đồ thị hàm số C : y f x 1 m cách giữ nguyên phần đồ thị phía Ox , lấy đối xứng phần đồ thị phía Ox qua Ox x x TH1: m TH2 : m x x TH3 : m Tài liệu nội TH4 : m 119 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 TH1: m Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại TH2: m Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH3: m Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH4: m Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại Vậy m Do m * nên m 3; 4;5 Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12 DẠNG 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI KHI CHO ĐỒ THỊ Câu 27 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ Hàm số y f x 1 có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn D Xét hàm số y f x 1 Ta có y x 1 f x 1 ( Điều kiện x 1 ) x 1 x x x 1 1 y x 2 x x 3 y không xác định x 1 Tài liệu nội 120 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Bảng biến thiên Dựa vào BBT hàm số y f x 1 suy hàm số có điểm cực trị Câu 28 Cho hàm số y f x có đồ thị sau Hỏi hàm số y f x A B C có điểm cực trị ? D Lời giải Chọn C hàm số chẵn nên từ đồ thị C hàm số y f x ta suy đồ thị C y f x cách xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung đồ thị C , phần đồ Do hàm số y f x hàm số thị cịn lại lấy đối xứng qua trục tung ta suy đồ thị C hàm số y f x Từ đồ thị C1 hàm số y f x cách giữ ngun phần đồ thị phía bên trục hồnh đồ thị C1 , phần đồ thị lại lấy đối xứng qua trục hồnh xóa phần đồ thị phía trục hồnh Tài liệu nội 121 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ta có đồ thị hàm số y f x Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta thấy hàm số có điểm cực trị Câu 29 Biết đồ thị hàm số y x3 3x có dạng hình vẽ sau y -3 -2 O x Hỏi đồ thị hàm số y x 3x có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn D Ta có: x x x x x 3 y x 3x 3 x x x x x 3 x x x 3 x x x 3 Nên ta giữ nguyên phần đồ thị hàm số y x3 3x x (tức phần đồ thị hàm số y x x phía trục hoành), lấy phần đối xứng đồ thị hàm số y x x x (là phần đồ thị hàm số y x3 3x phía trục hồnh) qua trục hồnh, xóa bỏ phần đồ thị hàm số y x x x Hình cịn lại đồ thị hàm số y x 3x hình vẽ đây: Tài liệu nội 122 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 y -3 -2 O x Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực trị Câu 30 Cho hàm số y f ( x) có đồ thị hình Hàm số y f x có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn A Giả sử C : y f ( x) , C ' : y f ( x ) vẽ sau: +) Gọi C1 phần C ứng với x +) Gọi C2 đối xứng C1 qua trục tung Ta C ' C1 C2 Dựa vào C ' ta thấy hàm số y f x có ba điểm cực trị Câu 31 Cho hàm số f x ax3 bx cx d với a, b, c, d a có đồ thị hình Tài liệu nội 123 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Tập tất giá trị tham số m để hàm số y f x m có ba điểm cực trị B S 1;3 A S 1;3 C ; 1 3; D S ; 3 1; Lời giải Chọn C Giả sử C1 : y f x , C2 : y f x m, C3 : y f x m Ta nhận thấy: +) Số điểm cực trị C3 A B với A số điểm cực trị C2 B số giao điểm C2 với trục hồnh (khơng tính tiếp điểm C2 trục hoành) +) C2 có tịnh tiến C1 theo phương đứng C1 có hai điểm cực trị nên C2 có hai điểm cực trị Chú ý: - Khi C2 trục hồnh có điểm chung điểm tạo C2 cắt trục hoành - Khi C2 trục hồnh có hai điểm chung hai điểm tạo C2 cắt trục hoành điểm lại C2 tiếp xúc trục hoành Từ tất điều nêu ta có: u cầu tốn C2 trục hồnh có khơng q hai điểm chung (*) Dựa vào C1 , ta thấy (*) thỏa mãn ta tịnh tiến C1 dọc theo phương đứng xuống tối thiểu đơn vị lên tối thiểu đơn vị m Tức m 1 Vậy: m ; 1 3; Câu 32 Cho hàm số y f x có đạo hàm y f x liên tục có đồ thị hình Có số nguyên m 2020; 2020 để hàm số y f x m có nhiều điểm cực trị nhất? A 2024 Tài liệu nội B 2025 C 2018 Lời giải D 2016 124 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Chọn C x 2 Từ đồ thị f ' x suy f x x x Đặt g x f x m Ta có g ' x x 1 f x m , x 1 x 1 x m 2 1 g ' x x m 2 x m 3 Chú ý: - Hàm g x đạt cực trị x 1 g ' x đổi dấu qua x 1 - Mỗi phương trình 1 ; ; 3 có tối đa nghiệm phân biệt, tất có nghiệm phân biệt tất chúng đôi khác khác 1 Từ tất điều nêu ta thấy: g x có nhiều điểm cực trị 1 ; ; 3 có nghiệm phân biệt m m m m Kết hợp điều kiện m 2020; 2020 , m ta m 3; 4; ; 2018; 2019; 2020 Câu 33 Cho hàm số y f ( x) hình vẽ Có giá trị nguyên m để hàm số y f 12 x m có điểm cực trị ? A B C D Lời giải Chọn A Nhận xét: Do tồn 0; x0 mà f ( x) khơng số nên số điểm cực trị hàm số y f x a , a số điểm cực trị dương f ( x ) Do hàm số y f 12 x m có tất 2a điểm cực trị, a số điểm cực trị lớn 12 hàm số y f (12 x 1) m Từ đồ thị cho ta thấy hàm số y f ( x) có điểm cực trị x 1; x Do hàm số Tài liệu nội 125 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 y f (12 x 1) m có điểm cực trị x m2 m ;x (Tìm từ 12 x m 1; 12 12 12 x m ) Yêu cầu toán thỏa mãn hàm số y f 12 x m có điểm cực trị lớn m2 m 1 m 12 12 12 12 Do m nên m 1, 0 Câu 34 Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x liên tục đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để hàm số y f x m có điểm cực trị Tổng tất phần tử tập hợp S A 12 B C 7 Lời giải D 14 Chọn B Nhận xét: Do tồn 0; x0 mà f ( x) khơng số nên số điểm cực trị hàm số y f x a , a số điểm cực trị dương hàm số f ( x ) Do hàm số y f x m có tất a điểm cực trị, a số điểm cực trị lớn 1 hàm số y f ( x 1) m Từ đồ thị hàm số y f ' x ta thấy hàm số y f x có điểm cực trị x 2; x 2; x Do hàm số y f ( x 1) m có điểm cực trị x m 3; x m 1; x m (Tìm từ ( x 1) m 2; ( x 1) m 2; ( x 1) m ) Yêu cầu toán thỏa mãn hàm số y f ( x 1) m có điểm cực trị lớn m 1 1 m m m 1 Do m nên m 4; 3; 2 Vậy tổng giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán 9 Câu 35 Cho hàm số y f x hàm đa thức có đồ thị hình vẽ Tài liệu nội 126 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Số điểm cực trị hàm số y f x x A B C D Lời giải Chọn C Đặt g x f x x , dễ thấy g x xác định Với x ta có: 2x x +) g ' x x f x x x 1 f x x x x x 1 +) g ' x f x x x 1 x 1 x x 1 x 1 2 +) f x x x x x x 1 x x x x 2 Chú ý: g ' x đổi dấu qua x Bảng biến thiên g x : Tài liệu nội 127 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Hàm số y f x x có cực trị Câu 36 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Trong đoạn 20;20 có số nguyên m để hàm số y 10 f x m A 36 B 32 C 40 11 37 m m có điểm cực trị? 3 D 34 Lời giải Chọn A Xét hàm số g x 10 f x m 11 37 m m , ta có: 3 g x 10 f ' x m x m g x x m Bảng biến thiên g x : x m x m Hàm số y g x có điểm cực trị khi: Tài liệu nội 128 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 18 m 11 37 11 30 m m m 10 11 m 37 m 15 3 m2 11 Do m số nguyên thuộc 20;20 nên m 20; 19; ; 2; 2;5; 6; ; 20 Vậy có 36 giá trị m thỏa mãn đề Câu 37 Cho hàm số y f x Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Hàm số y f x x x x có tối đa điểm cực trị ? A B C D Lời giải Chọn C Xét hàm số g x f x x3 x 8x , ta có: g x f x x 14 x f x Đường cong y f x cắt parabol y x x * 2 x x ba điểm có hoành độ 2 x x 0; x 1; x Do * x x Tài liệu nội 129 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Và g x đổi dấu qua điểm x 0; x 1; x nên g x có ba điểm cực trị Ta có bảng biến thiên Suy phương trình g x có tối đa bốn nghiệm Vậy hàm số y g x có tối đa điểm cực trị Câu 38 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đồ thị f x hình vẽ Đặt g x f x Số điểm cực trị hàm số y g x Tài liệu nội 130 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số f x đổi dấu qua điểm x a ; x c không đổi dấu qua điểm x b Do f x x a 2n 1 x b 2 p x c 2q1 g x với n, p, q ; p 0; g x x Xét hàm số h x f x , ta có: h x x f x x x a n 1 x b x c 2p q 1 g x x x a n 1 x b x c 2p q 1 g x Nhận thấy h ' x đổi dấu qua điểm x a ; x c h x có hai điểm cực trị x a ;x c Mặt khác: có x c điểm cực trị dương nên hàm số g x có 2.1 điểm cực trị Câu 39 Cho hàm số y f x có đồ thị hình bên Đồ thị hàm g x 15 f x có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn B Tài liệu nội 131 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Xét h x 15 f x h x 15 f x x 1 h x f x x 2 h 1 39; h 1 37; h 17; h 2 15 Bảng biến thiên h x : Ta thấy đồ thị hàm số h x có điểm cực trị cắt trục Ox điểm Suy đồ thị hàm số g x 15 f x có điểm cực trị DẠNG 4: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA HÀM ĐA THỨC CHỨA THAM SỐ Câu 40 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y x3 3mx m x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Đặt f x x3 3mx m2 x , ta có f ' x x 6mx m x m f ' x Dễ thấy f x có hai điểm cực trị x m Đặt g x x 3mx m x , dễ thấy g x f x Do g x có điểm cực trị f x có cực trị dương Tức m m 2 m Tài liệu nội 132 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Do m nên ta m 1;0;1; 2 Câu 41 Có số nguyên m để hàm số y 3x 15 x 60 x m có điểm cực trị? B 288 A 289 C 287 D 286 Lời giải Chọn C Xét y x 15 x 60 x có y 15 x 45 x 60 x x 2 Vậy hàm số y 3x 15x 60 x có điểm cực trị x 2; x 2 Bảng biến thiên: Vậy để hàm số có điểm cực trị x 15 x3 60 x m có tổng số nghiệm đơn bội lẻ x 15 x 60 x m có tổng số nghiệm đơn bội lẻ 144 m 144 Mặt khác m nên m {143; ;143} Có 287 số nguyên thỏa mãn Câu 42 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y x 2m 1 x 3m x có điểm cực trị 1 A ; 1; 4 B 1 ; 1; C 1; 1 D 0; 1; 4 Lời giải Chọn D y x 2m 1 x 3m Yêu cầu toán tương đương hàm số y x3 2m 1 x 3mx có điểm cực trị dương y có nghiệm dương phân biệt Tài liệu nội 133 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x 2m 1 x 3m có nghiệm dương phân biệt m 1 9m m 2m 1 1 S 0 m 0; 1; 0 m 4 3m P Câu 43 Có số nguyên m 20; 20 để hàm số y x x m x có ba điểm cực trị? A 17 B 18 C 19 Lời giải D 20 Chọn C Xét x x m Ta có: m - TH1: m x x m x x2 2x m x2 2x m y x x m x x m có điểm cực trị x (Loại) - TH2: m x x m có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Khi đó: y x 2 x2 2x m x2 2x m x2 2x m 2 x x x x x m x 2x m m y x x2 2x 2 x2 x m x x m m + Với m Khơng có giá trị ngun m thỏa mãn + Với m Hàm số có điểm cực trị (thỏa mãn) m 19, , 1 Vậy có 19 giá trị nguyên m thõa mãn điều kiện đề Câu 44 Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x có ba điểm cực trị x 1; x 2; x Có số nguyên m 10;10 để hàm số y f x m có điểm cực trị A 17 B 18 C 19 Lời giải D 20 Chọn C Hàm số y f x m có cực trị Hàm số y f x có điểm cực trị Hàm số y f x có điểm cực trị dương (Điều giả thiết) Do m 10;10 m m 9, ,9 Vậy có 19 giá trị nguyên m Câu 45 Cho hàm số f x liên tục có đạo hàm f x 3x x 5x Hàm số y f x có số điểm cực đại A Tài liệu nội B C D 134 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Lời giải Chọn C x x 3 4 Ta có f x x 5 5 Ta có bảng xét dấu f x Suy bảng biến thiên hàm số y f x có dạng Vậy hàm số y f x có hai điểm cực đại Câu 46 Cho hàm số y f x liên tục có đạo hàm f x x x Hàm số y f x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C Ta có f x x x x C với C số Bảng biến thiên f x : Tài liệu nội 135 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Từ suy hàm số f x có hai cực trị đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Do hàm số y f x có điểm cực trị 11 x x3 x x 2019 Có giá trị nguyên m 2019; 2020 để hàm số y f x m 2020 có điểm cực trị Câu 47 Cho hàm số f x A 4039 B 2019 C 2020 Lời giải D 4040 Chọn D x 1 f x x x 11x x x 3 Hàm số y f x m 2020 có điểm cực trị Hàm số y f x m 1 có điểm cực trị lớn m x m 1 Ta có: f x m 1 x m x m x m x m x m 2 m 1 m Để hàm số y f x m 1 có điểm cực trị lớn m m m m 4 m m Do m 2019; 2020 nên có 4040 số ngun thỏa điều kiện tốn Câu 48 Gọi S tập hợp số nguyên m để hàm số y x3 3mx 1 m2 x m3 m có điểm cực trị Tổng phần tử S A 2 B C Lời giải D Chọn B Đặt f x x3 3mx 1 m2 x m m Hàm số y x3 3mx 1 m2 x m3 m có điểm cực trị Đồ thị hàm số y f x x 3mx 1 m m3 m cắt trục hoành điểm phân biệt (*) x m y1 m 3m Ta có: f x 3 x 6mx 1 m x m y2 m 3m Khi (*) y1 y2 m 3m m 3m 17 m 1 2 m 3m m 3m 17 2 m Do m nguyên nên m 0, m Vậy S 0;3 nên tổng phần tử S Câu 49 Cho hàm số f x m 1 x3 x m 3 x Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y f x có điểm cực trị? Tài liệu nội 136 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D Lời giải Chọn D Ta có: y f x có đồ thị C y f x hàm chẵn đồ thị hàm số y f x có cách bỏ phần đồ thị C nằm phía trái trục tung, giữ nguyên đồ thị C nằm bên phải trục tung, sau lấy đối xứng qua trục tung +TH1: m y 5 x x Đồ thị hàm số y 5 x x Đồ thị hàm số y 5 x x có cực trị Vậy m thỏa yêu cầu + TH2: m f x m 1 x3 x m x hàm số bậc Hàm số y f x có điểm cực trị hàm số y f x có điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 x2 m 1 x 10 x m * có nghiệm x1 , x2 thỏa x1 x2 + x1 x2 m 1 m 3 3 m Vì m nên m 2; 1; 0 + Nếu * có nghiệm x1 m m 3 x Khi * trở thành: 12 x 10 x x ( Khơng thỏa mãn) Vậy có giá trị m m có điểm cực trị D 496 Câu 50 Tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số y x3 3x x A 2016 B 1952 C 2016 Lời giải Chọn A m x 1 Ta có f x x x x Xét hàm số f x x3 x x Tài liệu nội 137 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ta có bảng biến thiên Để thỏa u cầu đồ thị C : y f x cắt trục hoành điểm phân biệt m m 64 Mà m nên m 1; 2;3; ; 63 m 32 63 1 63 Tổng giá trị nguyên m là: S 63 2016 Tài liệu nội 138 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 BÀI TẬP VẬN DỤNG – CỰC TRỊ HÀM SỐ Câu 1: (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Hàm số y f x xác định, liên tục R đạo hàm f ' x x 1 x Khi hàm số f x A Đạt cực đại điểm x B Đạt cực tiểu tạo điểm x 3 C Đạt cực đại điểm x 3 D Đạt cực tiểu điểm x Câu 2: (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Cho hàm số y f x xác định, liên tục có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f x đạt giá trị cực đại bao nhiêu? A C B -1 D Câu 3: (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x3 3x có điểm cực trị A, B Tìm tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB A M 2; B M 2;0 C M 1;0 D M 0; Câu 4: (Trường THPT Đức Thọ năm 2017) Tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số y x x x 7 A 3;1 B x C 1; D x 3 Câu (Trường THPT Hàm Rồng lần năm 2017) Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai A Hàm số y x x có hai điểm cực trị B Hàm số y x x khơng có cực trị C Hàm số y x có hai cực trị D Hàm số y x x có ba điểm cực trị x 1 Câu 6: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Đồ thị hàm số bốn đồ thị hàm số liệt kê bốn phương án A,B,C,D có điểm cực trị? x 1 A y x3 3x B y C y x x D y tan x 2 x Câu 7: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x x 1 x 1 Hỏi đồ thị hàm số có điểm cực trị? A B C D Câu (Trường THPT Hồng Quang lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x x có điểm cực trị A 0; 1 , B x1 ; y1 , C x2 ; y2 Tính y1 y2 A 4 B 2 C D 8 Câu 9: (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Cho hàm số y x sin x Mệnh đề sau đúng? A Hàm số nhận x làm điểm cực tiểu B Hàm số nhận x làm điểm cực đại 6 C Hàm số nhận x làm điểm cực tiểu D Hàm số nhận x làm điểm cực đại 2 Câu 10: (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Trong hàm số đây, hàm số khơng có cực trị? A y x x B y x3 3x C y x x D y x3 3x Câu 11: (Trường THPT Lê Hồng Phong lần năm 2017) Hàm số sau khơng có cực trị? 139 Tài liệu nội Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2 x x3 D y x n 2017 x n * A y x3 x B y C y x x3 3x Câu 12: (Trường THPT Lê Lợi năm 2017) Xét f x hàm số tùy ý Trong bốn mệnh đề sau có mệnh đề đúng? (I) Nếu f x có đạo hàm x0 đạt cực trị x0 f x0 (II) Nếu f x0 f x đạt cực trị x x0 (III) Nếu f x0 f x f x đạt cực đại x x0 (IV) Nếu f x đạt cực tiểu x x0 f x A B C D 4 Câu 13: (Trường THPT Lê Quý Đôn năm 2017) Hàm số y A x 3 B x C x Câu 14: (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Đường thẳng qua hai điểm cực tiểu đồ thị hàm số y x x là: A y 5 B y 3 C y x x đạt cực đại điểm nào? D x D y Câu 15: (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Đồ thị hàm số y x A B có điểm cực trị? x C D x 3 Câu 16: (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Hàm số y đạt cực đại tại: x2 A x B x C x D x Câu 17: (Trường THPT Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017) Cho hàm số y x2 Khẳng định x 1 sau đúng? A Hàm số đạt cực tiểu x 1 B Hàm số đạt cực đại x C Giá trị cực tiểu 2 D Hàm số có hai cực trị yCD yCT Câu 18: (Trường THPT Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017) Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên x y' y -1 + 0 + - -2 Khẳng định sau A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu x 1 C Hàm số đạt cực đại x D Hàm số đạt cực đại x Câu 19: (Trường THPT Ngô Gia Tự lần năm 2017) Cho hàm số y x x , tìm khẳng định đúng? A Hàm số cho có cực tiểu y Tài liệu nội 140 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B Hàm số cho có cực đại y C Hàm số cho có cực tiểu y D Hàm số cho khơng có cực trị Câu 20: (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Kí hiệu d khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 x Tính d? A d B d 10 C d D d Câu 21: (Trường THPT Ngô Quyền lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x x 24 x có điểm cực tiểu cực đại A x1; y1 B x2 ; y2 Giá trị y1 y2 bằng: A y1 y2 B y1 y2 C y1 y2 D y1 y2 44 Câu 22: (Trường THPT Ngô Quyền lần năm 2017) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: x y y 1 0 1 1 Mệnh đề mệnh đề đúng? A Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số đạt cực tiểu x Câu 23 (Trường THPT Ngô Sỹ Liên lần năm 2017) Số cực tiểu hàm số y x 3x là: A B C D Câu 24: (Trường THPT Nguyễn Công Trứ năm 2017) Cho hàm số y x3 3x 12 x 12 Gọi x1 , x2 hoành độ hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số Kết luận sau ? A x1 x2 B x1.x2 C x2 x1 D x12 x2 Câu 25: (Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – HN năm 2017) Cho hàm số y f x xác định liên tục khoảng 0; có bảng biến thiên x f ' x || + - f 1 f x f 2 f 0 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực tiểu x B Hàm số đạt cực đại x C Trên 0; , hàm số khơng có cực trị D Giá trị nhỏ hàm số 0; f Câu 26: (Trường THPT Năng Khiếu HCM năm 2017) Gọi A, B, C bao điểm cực trị đồ thị hàm số y x x Diện tích tam giác ABC là: A Tài liệu nội B C D 141 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 27: (Trường THPT Quỳnh Lưu lần năm 2017) Cho hàm số y f x xác định, liên tục R có bảng biến thiên x y’ + || y Khẳng định sau ? A Hàm số có hai cực trị C Hàm số có giá trị cực đại B Hàm số không xác định x D Hàm số có giá trị cực đại Câu 28: (Sở GD ĐT Bắc Giang năm 2017) Cho hàm số f ( x) x 1 x Mệnh đề sau sai? A Điểm cực tiểu hàm số x B Hàm số có cực đại cực tiểu C Điểm cực đại hàm số x 1 D Hàm số có cực đại khơng có cực tiểu Câu 29: (Sở GD ĐT Bắc Giang năm 2017) Cho đồ thị hàm số f x hình vẽ Số điểm cực trị đồ thị hàm số A B C D Tài liệu nội 142 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 30: (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Biết hàm số y f x x3 ax bx c đạt cực tiểu điểm x 1, f 1 3 đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ Tính giá trị hàm số x 2 A f 2 24 B f 2 C f 2 D f 2 16 Câu 31: (Trường THPT Đức Thọ năm 2017) Xác định hệ số a,b,c để đồ thị hàm số y ax bx c , biết điểm A 1; , B 0;3 điểm cực trị đồ thị hàm số B a ; b 3; c 3 D a 1; b 2; c A a 1; b 2; c C a 1; b 3; c 3 Câu 32: (Trường THPT Đức Thọ năm 2017) Cho hàm số y x3 ax bx c giả sử A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số Khi điều kiện sau cho biết AB qua gốc tọa độ O? A ab 3a B c C ab 9c D a Câu 33: (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Cho hàm số y x3 ax bx c Biết đồ thị hàm số qua điểm A 0; 1 có điểm cực đại M 2;3 Tính Q a 2b c A Q B Q 4 C Q D Q Câu 34: (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Cho hàm số y x3 a 1 x a 3 x Tìm a để hàm số đạt cực đại x A a 1 B a C a 3 D a Câu 35: (Trường THPT Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017) Biết đồ thị hàm số y f x ax bx c có hai điểm cực trị A 0; B 2; 14 Tính f 1 A f 1 B f 1 C f 1 6 D f 1 7 Câu 36: (Trường THPT Nguyễn Công Trứ năm 2017) Biết phương trình ax3 bx cx d a có hai nghiệm thực Hỏi đồ thị hàm số y ax bx cx d có điểm cực trị ? A B C D Câu 37: (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Cho hàm số f x x ax bx c a, b, c Biết hàm số đạt cực trị điểm x 2 đồ thị hàm số qua điểm A 1;0 Khi tổng 2a b c A B C D -1 Câu 38: (Trường THPT Quỳnh Lưu lần năm 2017) Giả sử khoảng ; hàm số 1 y a 1 x 1 2a b 1 x 1 8a 4b đạt giác trị lớn x 3 Hỏi đoạn ;3 2 hàm số đạt giá trị lớn bao nhiêu? A 12 B 11 C 10 D 13 Câu 39: (Sở GD ĐT Bắc Ninh năm 2017) Tìm a, b để cực trị hàm số y ax3 a 1 x x b số dương x0 1 điểm cực tiểu a a a a A B C D b b b 2 b 3 Câu 40: (Sở GD ĐT Đà Nẵng năm 2017) Cho hàm số f x x ax bx c a, b, c có f 2 16 đạt cực trị điểm x 2, x 2 Tính f A f B f 16 C f D f 12 Câu 41: (Sở GD ĐT Hà Nam năm 2017) Biết đồ thị hàm số y ax bx cx d có điểm cực trị E 0; 4 , F 1; 3 Tìm giá trị hàm số điểm x 2 Tài liệu nội 143 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A y 2 8 B y 2 6 C y 2 4 D y 2 2 Câu 42: (Sở GD ĐT Hà Nam năm 2017) Cho hàm số y ax3 bx cx d có điểm cực trị thỏa mãn x1 1;0 , x2 1; Biết hàm số đồng biến khoảng x1 ; x2 đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm Mệnh đề đúng? A a 0, b 0, c 0, d B a 0, b 0, c 0, d C a 0, b 0, c 0, d D a 0, b 0, c 0, d Câu 43: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Gọi d đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ x3 thị hàm số y mx x Tìm tất giá trị m để d qua điểm A ;8 A m 4 B m 3 C m D m m 3 Câu 44: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x x 2017 khơng có điểm cực trị A m 3 B 2 m C m D 3 m Câu 45: (Trường THPT Hoằng Hoá năm 2017) Cho hàm số y x m 3x m (1) Gọi M điểm cực đại đồ thị hàm số số (1) ứng với giá trị m thích hợp, đồng thời M điểm cực tiểu đồ thị hàm số (1) ứng với giá trị khác m Có điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài? A B C D Câu 46: (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x3 m 1 x 6mx có hai điểm cực trị A B, cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y x2 A m m C m m 1 B m 0, m 1 m 2 D m 0, m m Câu 47: (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Cho hàm số y mx3 3mx m 1 x Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số khơng có cực trị 1 A m B m C m 4 D m Câu 48: (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Cho hàm số y x m 1 x m2 3m x m đạt cực tiểu x Tìm tọa độ giao điểm A đồ thị hàm số với trục tung A A 0; 2 B A 0; C A 0; 1 D A 0;1 Câu 49: (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x mx m m 1 x đạt cực đại x ? A m B m C m D m Câu 50 (Trường THPT Lương Thế Vinh lần năm 2017) Cho hàm số f x x m 1 x m 3 x m Tìm m để đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị A m B m C 3 m 1 D m Câu 51: (Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Tìm m để đồ thị hàm số y x 3mx có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) A m 3 B m 1 C m 5 D m 2 Câu 52: (Trường THPT Ngô Gia Tự lần năm 2017) Cho đường thẳng d : y 4 x Đồ thị hàm số y x3 3mx có hai điểm cực trị nằm đường thẳng d khi: A m B m 1 C m D m Tài liệu nội 144 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 53 (Trường THPT Ngô Sỹ Liên lần năm 2017) Cho hàm số m 1 x3 y m 1 x x Hàm số cho đạt cực tiểu x1 , đạt cực đại x2 đồng thời x1 x2 khi: A m B m m C m m D m m 1 x3 Câu 54 (Trường THPT Ngô Sỹ Liên lần năm 2017) Cho hàm số y m 1 x Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số cho khơng có cực trị là: A 1 B 0; 2 C 0; 2 \ 1 D ;0 2; Câu 55: (Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2017) Cho hàm số y x 3x m (m tham số) Với giá trị m đồ thị hàm số hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh ? m A m B m C m D m Câu 56: (Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2017) Cho hàm số y x m 1 x m 4m x m có cực trị x1 , x2 Giá trị lớn biểu thức A x1 x2 x1 x2 bằng: D Câu 57: (Trường THPT Nguyễn Khuyến năm 2017) Cho hàm số y x mx 2m 1 x Cm , với m tham số Xác định tất giá trị m đồ thị hàm số Cm có điểm cực đại cực tiểu nằm phía trục tung? 1 A m ; \ 1 B m C m D m 2 Câu 58: (Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – HN năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y x 3mx 3m có hai điểm cực trị A,B mà tam giác OAB có diện tích 48 (O gốc tọa độ ) A m B m 1 C m 2 D m Câu 59: (Sở GD ĐT Cần Thơ năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x 3m x có hai điểm cực trị A B cho AB A m 2 B m C m D m 1 Câu 60: (Sở GD ĐT Điện Biên năm 2017) Giá trị m để hàm số y x3 x m có cực đại, cực tiểu cho giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số trái dấu là: m 2 A m B 2 m C m 2 D m Câu 61: (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Với giá trị tham số m đồ thị hàm số y x m 1 x m 3m 2017 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32? A B C A m B m C m D m Câu 62 (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số y m 1 x m x có ba cực trị A m 1 B 1 m C 1 m D m Câu 63: (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Cho hàm số y x 2mx Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích A m B m C m D m Tài liệu nội 145 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 64: (Trường THPT Lạng Giang lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x 2mx 2m m có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông m nhận giá trị A m B m 1 C m D m Câu 65: (Trường THPT Lê Lợi năm 2017) Với giá trị nguyên k hàm số y kx k x 2017 có ba cực trị A k = B k = -1 C k = D k = Câu 66: (Trường THPT Lê Quý Đôn năm 2017) Cho hàm số y f x x m 1 x m2 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông A m B m C m 1 D m Câu 67: (Trường THPT Lục Ngạn lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y x 2mx có điểm cực trị tạo thành tam giác có tâm đường trịn ngoại tiếp trùng với gốc tọa độ O 1 1 A m m B m m 2 1 1 C m m D m m 2 Câu 68: (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y x m 1 x m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích ? A m B m 3 C m D m Câu 69: (Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y mx 2m 1 x m có cực đại khơng có cực tiểu m m A B m C D m 1 m m Câu 70: (Trường THPT Phan Đình Phùng năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y mx m x có hai cực tiểu cực đại A m m B m C m D m Câu 71 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tất giá trị tham số m để hàm số y m 1 x đạt cực đại x là: A m B m C Không tồn m D m Câu 72: (Sở GD ĐT Phú Thọ năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x 2mx có điểm cực trị ba đỉnh tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 1 1 B m 1; m C m D m 1; m 2 Câu 73: (Sở GD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x 2mx có ba điểm cực trị A, B, C cho OA OB OC A m 1 m D m Câu 74: (Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi lần năm 2017) Cho hàm số f x mx m 1 x m 1 1 m A m 1 m B m 1 m C m Tập hợp tất giá trị thực tham số m để tất điểm cực trị đồ thị hàm số cho nằm trục tọa độ Tài liệu nội 146 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 1 1 1 A 0; 1 B 1; C 0; 1; D 1; 0 3 3 3 3 Câu 75 (Trường THPT Lương Văn Tuỵ năm 2017) Để đồ thị hàm số y x m x m có điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O 0; làm trọng tâm là: A m B m C m D m 1 Câu 76: (Trường THPT Chuyên Hà Giang năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y x m 1 x có điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn C m D m Câu 77: (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số a để hàm số A m B m y ax x có cực tiểu A 1 a B a C 1 a Câu 78: (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Cho hàm số bậc ba y f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Tất giá trị tham số m để hàm số y f ( x ) m có ba điểm cực trị A m 1 m B m 3 m C m 1 m D m D 2 a Câu 79: (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số y sin x m sin x Tìm tất giá trị m để hàm số đạt cực đại điểm x A m B m C m D m 2 Câu 80 (Trường THPT Bắc Trung Nam lần năm 2017) Cho hàm số y x 2mx 2m m4 điểm D 0; 3 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị A , B , C cho tứ giác ABDC hình thoi (trong A Oy ) A m Tài liệu nội B m C m D m 1; m 147 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tài liệu nội Đáp án B C D A D C A A A D B C C A B A D B C A Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 ĐÁP ÁN Đáp án Câu B 41 C 42 A 43 C 44 B 45 B 46 C 47 D 48 D 49 A 50 D 51 C 52 D 53 D 54 B 55 A 56 B 57 A 58 B 59 B 60 Đáp án A D C D D A C A D A B D D D B C A A D B Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Đáp án D C A D C D A D B D A D A C C A A A B D 148 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 PHẦN : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Giả sử hàm số y f x xác định tập hợp D với D a Nếu tồn điểm x0 D cho f x f x0 với x D số M f x0 gọi giá trị lớn hàm số f x D kí hiệu M max f x xD f x M x D Hoặc M max f x xD x0 D : f x0 M b Nếu tồn điểm x0 D cho f x f x0 với x D số m f x0 gọi giá trị nhỏ hàm số f x D kí hiệu m f x xD f x m x D Hoặc m f x xD x0 D : f x0 m Chú ý: Muốn chứng tỏ số M (hoặc m) giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) hàm số y f x tập hợp D cần rõ: f x M (hoặc f x m) với x D Tồn điểm x0 D cho f x0 M (hoặc f x0 m) Phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Bài toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x D Phương pháp: Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số D ta tính y ' f ' x tìm điểm đạo hàm khơng xác định, sau lập bảng biến thiên D từ bảng biến thiên suy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Một số ý: max f x f b Nếu hàm số ln tăng đoạn a; b D f x f a D max f x f a Nếu hàm số giảm đoạn a; b D f x f b D Nếu hàm số y f x liên tục đoạn a; b hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn a; b Nếu tốn u cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng a; b ta lập bảng biến thiên từ bảng biến thiên suy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Nếu tốn khơng cho tập D ta mặc định tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số tập xác định Nếu hàm số y f x hàm tuần hồn với chu kỳ T tìm giá trị lớn giá trị nhỏ D ta cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn D có độ dài T Khi ta đặt ẩn phụ x u t với x D t E hàm số trở thành y g t giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x D giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y g t E Chúng ta cần phân biệt rõ giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị cực đại (cực tiểu) hàm số, hai giá trị lúc trùng Tài liệu nội 149 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x miền D = a; b a Phương pháp: Nếu hàm số y f x liên tục đoạn a; b hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn a; b cách tìm giá trị lớn giá trị nhỏ sau: Bước 1: Tính đạo hàm y ' f ' x tìm điểm xi a; b đạo hàm khơng xác đinh Bước 2: Tính giá trị f xi , f a , f b max f x max f xi , f a , f b Bước 3: So sánh D f x f xi , f a , f b D Chú ý: Calc o Để tính nhanh f xi , f a , f b ta nhập f x so sánh kết cho nhanh x xi ; x a ; x b xác o Để sử dụng máy tính từ đầu ta làm sau: Sử dụng chức mod7 ba Nhập f X ; Start a; End b; Step ; sau xuất bảng, nhìn vào bảng ta tìm 19 max – hàm số b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ (THPT Lý Tự Trọng – Khánh Hòa – 2017) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x3 x x 35 đoạn 4; là? A 20 2 B 40 31 C 10 11 D 40 41 Giải Cách Tự luận Xét hàm số y x3 x x 35 đoạn 4; ta có y ' x x x 1 4; y ' 3x x x 4; max y y 1 40 y y 4 41 y 4 41; y 15 y 1 40; y 3 4;4 4;4 Chọn đáp án D Cách Sử dụng máy tính với mod7 f x X X X 35; Start 4; End 4; Step 0, ta có bảng Từ bảng ta thấy max y 40; y 41 Chọn đáp án D 4;4 4;4 Chú ý: Vì giá trị max – đáp án số đẹp nên ta lấy bước nhảy 0,5 thay lấy 4 0, 42 19 x2 Ví dụ (Sở GD ĐT Bắc Ninh – lần – 2017) Tìm giá trị lớn hàm số y đoạn x 3; 1 ? Tài liệu nội 150 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 13 13 13 A max y B max y C max y D max y 4 3; 3; 3;1 3;1 3 Giải Cách Tự luận x2 x2 x2 Xét hàm số y đoạn 3; 1 ta có y ' y ' 0 x x2 x2 x 3; 1 13 y 3 ; y 1 5; y 2 4 x 2 3; 1 max y y 2 4 Chọn đáp án D 3;1 Cách Sử dụng máy tính với mod7 X2 4 f x ; Start 3; End 1; Step 0, ta có bảng X Từ bảng ta thấy max y 4 Chọn đáp án D 3;1 Chú ý: 1 3 Vì giá trị max – đáp án D số đẹp nên ta lấy 0,2 ta thấy đáp án gần 4 nên chọn đáp án D Các ví dụ độc giả tự dùng máy tính để tìm max – 19 0,1053 sau lấy bước nhảy Ví dụ (THPT Chu Văn An – Hà Nội – Lần 2) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x2 x đoạn 2x 1 0;3 ? B A C 4 D 1 Giải Xét hàm số y y' x2 x x2 2x đoạn 0;3 ta có y ' 2x 1 x 1 x2 2x x 1 x 0;3 x2 2x x 2 0;3 y 0; y 3 y y 1 1 Chọn đáp án D 0;3 y 1 1 Ví dụ (THPT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc – Lần 3) Giá trị lớn hàm số y x 1 đoạn x 1 2;3 là? A Giải Xét hàm số y Tài liệu nội B C D x 1 2 đoạn 2;3 ta có y ' x 2;3 x 1 x 1 151 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 hàm số nghịch biến 2;3 y y 2;3 Chọn đáp án C Ví dụ (THPT Hưng Nhân – Thái Bình – Lần 2) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x là? A B Giải C Xét hàm số y x x ta có D 1;5 y ' y' x x2 6x D 2 x x2 x x x 1;5 max y y 1;5 y 1 0; y 2; y y y y 1;5 Chọn đáp án A Ví dụ 10 (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – Học kỳ II) Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x e x x 1 x đoạn 0; Khẳng định sau đúng? A M m e2 B M m e ln 2 ln C M m e2 ln 2 ln D M m e2 ln 2 ln Giải Xét hàm số f x e x x 1 x đoạn 0; ta có y ' x.e x x x 0; x y ' x.e x x x x ln 0; e f x f ln ln ln 2 f 1; f e M max 0;2 Khi f x f e2 m f ln ln ln 0;2 M m e ln 2 ln Chọn đáp án D Ví dụ 11 (Trường THPT Võ Nguyên Giáp năm 2017) Cho hàm số y ln x x Tìm giá trị lớn 1 M hàm số đoạn ; 2 7 A M ln B M ln C M ln D M 8 Giải 1 Hàm số xác định liên tục ; 2 2 x 1 Ta có y ' x y ' x x x x 1 1 y ln Suy M max y y 1 Chọn đáp án D y 1 ; y ln ;2 2 Tài liệu nội 152 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ 12 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y A M m Giải x2 3 đoạn 1; Mệnh đề sau đúng? x2 2 13 B M m C M m D M m x 1 x2 x2 4x Ta có y y' ; y' x 1; x2 x 2 y 1 ; y 3 m 16 Tính giá trị M m y M Chọn đáp án C Ví dụ 13 NTL Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 3x đoạn 10;10 ? A 172 B C 72 D Giải x ;1 2; x x - Ta có y x x x x x 1; 2 x x ;1 2; Tìm y ' Hàm số khơng có đạo hàm x x 2 x x 1; Trên khoảng 1; : y ' x Trên khoảng ;1 : y ' Trên khoảng 2; : y ' - Bảng biến thiên: x 10 10 y' – + – + 132 72 y 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có max y 172; y Vậy tổng 172 10;10 10;10 Chọn đáp án A Dạng 2: Miền D khoảng, nửa khoảng … Nếu tốn u cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng a; b nửa khoảng a; ; ; b ta lập bảng biến thiên từ bảng biến thiên suy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Ví dụ 14 (Đề tham khảo lần 3) Tính giá trị nhỏ hàm số y x A y 3 0; B y 0; C y 0; 33 khoảng 0; x2 D y 0; Giải Cách Hàm số xác định 0; Tài liệu nội 153 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 3x Đạo hàm y ' ; y' x 3 x x Bảng biến thiên x 3 y' y 33 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy y 3 Chọn đáp án A 0; Cách Bấm mod7 nhập f X X 10 ta có bảng ; Start 0; End 10; Step X 19 Dựa vào bảng so sánh với đáp án lấy gần ta đáp án A Chú ý: Bài người ta để bẫy e đáp án B, lấy khoảng cách từ đến 10 lớn mà ta chọn bước nhảy dẫn tới y dẫn đến đáp án sai, làm phải cẩn thận để khơng bị bẫy Ví dụ 15 Giá trị nhỏ hàm số y x khoảng 1; là? x 1 A 2 B 2 C D 2 Giải x2 2x Cách Xét hàm số y x khoảng 1; ta có y ' 2 x 1 x 1 x 1 Khi y ' x2 2x 1 x 1 x Ta có bảng biến thiên hàm số Dựa vào bảng biến thiên ta có y y 2 Chọn đáp án A 1; Cách Áp dụng BĐT cauchy ta có cauchy 2 y x x 1 x 1 2 Chọn đáp án A x 1 x 1 x 1 k Từ ta có kết quả: Cho hàm số y x với x a xa k k k Ta có y x xa a x a a k a hay ymin k a xa xa xa 10 Cách Bấm mod7 nhập f X X ta có bảng ; Start 1; End 10; Step X 2 19 Tài liệu nội 154 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Dựa vào bảng so sánh với đáp án lấy gần ta đáp án A Ví dụ 16 (Trường THPT Hạ Long lần năm 2017) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x x2 nửa khoảng 4; 2 A y B y C y D y 4; 2 4; 2 4; 2 4; 2 Giải Hàm số xác định 4; 2 Đạo hàm y ' 1 Bảng biến thiên x y' y x 2 x 1 4; 2 x 2 x 3 4; 2 4 15 3 2 1 Từ bảng biến thiên ta thấy y Chọn đáp án D 4; 2 Chú ý: Ta sử dụng chức mod7 ví dụ Dạng Tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số lượng giác a Phương pháp: Chuyên đề tìm max – hàm lượng giác chuyên đề lớn, phần tác giả giới hạn tìm max – hàm lượng giác phương pháp đạo hàm Để tìm max – hàm lượng giác ta phải chuyển hàm lượng giác cách công thức lượng giác đặt ẩn phụ sau trở hàm đa thức phân thức khảo sát dạng dạng Chú ý: o Nếu phương trình bậc hai, ba… theo sin x cos x ta đặt t sin x; t cos x với t 1;1 o Nếu phương trình bậc hai, ba… theo sin x cos x ta đặt t sin x; t cos x với t 0;1 o Nếu phương trình theo sin x cos x ta đặt t tan x b Ví dụ minh hoạ : Ví dụ 17 (THPT Vĩnh Lộc – Thanh Hóa – Lần 2) Tìm giá trị lớn hàm số y 3sin x sin x đoạn ; ? 2 A 1 B C D Giải Cách Hàm số xác định liên tục ; 2 Đạo hàm y ' 3cos x 4.3.cos x.sin x 3cos x 1 4sin x 3cos x cos x 1 Tài liệu nội 155 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x ;x 0 cos x x k y' Vì x ; cos x 2 x k x ;x 6 Tính y 0; y 1; y 1; y 1 Từ max y Chọn đáp án B 2 6 6 ; Cách Đặt sin x t với x ; t 1;1 hàm số thành g t 3t 4t 2 Xét hàm số g t 3t 4t đoạn 1;1 ta có g ' t 12t g 1 1; g 1 1 g ' t 12t t 1;1 1 g 1; g sin x t 1 1 max g t g 1 g max y dấu xảy 1;1 sin x t 2 ; x k 2 x ; x x 2 x k 2 ; x k 2 6 Chọn đáp án B 3 Ví dụ 18 (Sở GD ĐT Hà Tĩnh) Tìm giá trị nhỏ hàm số y sin x đoạn ; ? 6 A B C D 2 Giải 3 Xét hàm số y sin x đoạn ; ta có y ' cos x y ' cos x x k 6 3 3 Do x ; x y ; y 1; y y y 6 6 2 6 ; 6 Chọn đáp án A Ví dụ 19 (THPT Bình Xun – Vĩnh Phúc – Lần 3) Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x x cos x đoạn ; 2 Khi giá trị M m bằng? A 17 B 4 C 2 D Giải Xét hàm số f x x cos x đoạn ; 2 ta có f ' x x 2sin x Và f '' x cos x với x ; 2 hàm số y f ' x đồng biến đoạn ; 2 f ' x có nghiệm đoạn ; 2 mà f ' x nghiệm hàm số y f ' x đoạn ; 2 Tài liệu nội 156 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Khi y ; y 0 2; y 2 4 2 M max y y 2 4 ;2 M m 4 y y 0 m ;2 Chọn đáp án B cos x 2sin x Ví dụ 20 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số y Giá trị lớn cos x sin x hàm số A B C D 11 Giải Cách Tập xác định: D ; cos x sin x 0, x ; 2t 1 t2 x Đặt t tan sin x ; cos x Ta thu 1 t2 1 t2 2 t 2t 3t 2t f t , t ; f t ' , t ; 2 t t 3 t t f ' t 3t 2t t ; t Bảng biến thiên: t – f 't + – f t 11 max f t t ; Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Chọn đáp án C t f t 11 ; Cách Tập xác định: D ; cos x sin x 0, x ; cos x 2sin x y cos x y sin x y cos x 2sin x cos x sin x y 1 cos x y sin x y y sin x 1 y cos x y Ta có: y 2 Để phương trình có nghiệm thì: y 1 y y 3 2 y ymax Chọn đáp án C 11 Ví dụ 21 (Trường THPT Chuyên Hà Giang năm 2017) Tìm giá trị nhỏ hàm số y sin x cos x 11 11 A y B y 3 C y D y Giải Cách Ta có y sin x sin x sin x sin x 11 y 24 y Tài liệu nội 157 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Đặt t sin x, t 0;1 ta thu f t t t 3, t 0;1 11 11 Tính f 3; f 1 3; f Vậy f t Chọn đáp án D 0;1 2 4 Cách Ta có y sin x sin x sin x sin x sin x 1 sin x f ' t 2t 1; f ' t t sin x cos x sin 2 x 11 3 3 4 11 k sin 2 x cos 2 x cos x x 4 Chọn đáp án D y Dạng 4: Biện luận giá trị lớn giá trị nhỏ theo tham số a Phương pháp: Dựa tính đơn điệu hàm số bảng biến thiên hàm số để biện luận Nếu dùng máy tính ta làm theo hai cách sau: Cách Cho tham số m 100 , sử dụng chức mod7 biểu diễn số Min – Max qua 100 cho Min – Max theo giả thiết từ tìm tham số m Chú ý: Cách dùng giá trị Min – Max số đẹp việc biểu diễn theo tham số đơn giản Cách Thay giá trị m đáp án sử dụng chức mod7 để tìm Min – Max, giá trị m mà làm cho hàm số đạt Min – Max giả thiết đáp án Chú ý: Cách dùng đáp án cho cụ thể m m nằm khoảng đó, cịn hỏi m ngun hay có bảo nhiêu giá trị m… nên dùng cách b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 22 (PTDTNT Phước Sơn – Quảng Nam) Tìm giá trị tham số m để hàm số y x3 3x m có giá trị nhỏ đoạn 1;1 0? A m B m C m Giải Xét hàm số y x3 3x m đoạn 1;1 ta có y ' 3x x D m x 1;1 y ' 3 x x , ta có bảng biến thiên hàm số x 2 1;1 Dựa vào bảng biến thiên ta có y y 1 m 1;1 Theo giả thiết y m m 1;1 Chọn đáp án C Nhận xét: Ta dùng máy tính sau Cách 1: Cho m 100 , sử dụng mod với f X X X 100; Start 1; End 1; Step 0, ta có bảng Từ bảng ta thấy f X 96 100 m Theo giả thiết m m 1;1 Cách Thử đáp án Tài liệu nội 158 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Khi m , sử dụng mod với f X X X 4; Start 1; End 1; Step 0, ta có bảng Từ bảng ta thấy f X (thoả mãn) 1;1 Chọn đáp án C Ví dụ 23 (THPT Anh Sơn – Nghệ An – Lần 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số x m2 m y đạt giá trị nhỏ đoạn 0;1 2 ? x 1 A m 1; 2 B m 2;1 C m 2; 1 D m 1; 2 Giải Xét hàm số y x m2 m m2 m đoạn 0;1 ta có y ' với x 0;1 x 1 x 1 hàm số đồng biến đoạn 0;1 y y m2 m 0;1 m 1 Theo giả thiết y 2 m2 m 2 m m 0;1 m Chọn đáp án A Nhận xét: Ta sử dụng máy tính sau: X 1002 100 Cách 1: Cho m 100 , sử dụng mod với f X ; Start 0; End 1; Step 0,1 ta có X 1 bảng Từ bảng ta thấy f X 9900 1002 100 m2 m Theo giả thiết 1;1 m 1 m m 2 m Cách Thử đáp án m 1 X 2 - Khi , sử dụng mod với f X ; Start 1; End 1; Step 0, ta có bảng Từ bảng X 1 m ta thấy f X (thoả mãn) 1;1 Ví dụ 24 (THPT Hà Trung – Thanh Hóa) Tìm tham số m để giá trị nhỏ hàm số y x3 3mx đoạn 0;3 2? A m B m 31 27 C m D m Giải Xét hàm số y x3 3mx đoạn 0;3 , hàm số liên tục 0; x Và có đạo hàm y ' x 6mx y ' x 6mx x 2m Trường hợp Nếu 2m m hay 2m nằm đoạn 0; Xét y ' x 6mx ta có y ' x ; 2m 0; hàm số đồng biến đoạn 0; 2 y y không thỏa mãn 0;2 Tài liệu nội 159 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Trường hợp Nếu 2m m hay 2m nằm đoạn 0; 2 Xét y ' x 6mx ta có y ' x ;0 2m; hàm số nghịch biến đoạn 0; 2 y y 14 12m 0;2 Theo giả thiết y 14 12m m không thỏa mãn 0;2 hay 2m 0;3 Xét y ' x 6mx ta có y ' x ;0 2m; Trường hợp Nếu 2m m Khi hàm số đồng biến 2m;3 nghịch biến 0; 2m Ta có bảng biến thiên hàm số đoạn 0;3 sau: Từ bảng biến thiên ta có y y 2m 4m3 , theo giả thiết y 0;2 0;2 4m m m thỏa mãn điều kiện Vậy m thỏa mãn yêu cầu tốn Chọn đáp án D Nhận xét: Ta thử đáp án bắng máy tính sau Với m , sử dụng mod7 với f X X X 6; Start 0; End 3; Step 0, ta bảng Để chắn kết lấy bước nhảy Step 30 , ta thấy kết f x min 19 Chọn đáp án D Ví dụ 25 (THPT Ngơ Sĩ Liên – Bắc Giang – Lần 3) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số mx đạt giá trị lớn x đoạn 2; 2 ? y x 1 A m B m C m 2 D m Giải m 1 x mx Xét hàm số y đoạn 2; ta có y ' x 1 x2 1 Khi y ' m 1 x x 1 x 1 2; x2 1 x 1 2; 2 2m m m 2m ; y 1 ; y 1 ; y 2 m 2m 2m m Trường hợp Nếu m max y y 1 loại 2;2 5 m 2m 2m m Trường hợp Nếu m max y y 1 thỏa mãn 2;2 5 Trường hợp Nếu m hàm số trở thành y không thỏa mãn y 2 Tài liệu nội 160 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vậy m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án B Nhận xét: Ta thử đáp án máy tính sau m m Ở đáp án chia làm hai loại: Thử đáp án ta thấy m m 2 2X - Với m , sử dụng mod với f X ; Start 2; End 1; Step 0,3 Từ bảng ta dự đoán X 1 x f x max X ; Start 2; End 1; Step 0,3 Từ bảng ta dự đoán X 1 - Với m , sử dụng mod với f X x f x max Bảng Bảng Vậy chọn đáp án m Ví dụ 26 (THPT Kim Sơn A – Ninh Bình) Tìm tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số y x mx 3? A m 6;6 B m 6; 4 C m 4;6 D m 4; 4 Giải Xét hàm số y x mx hàm bậc hai có hệ số a 1 hàm số đạt giá trị lớn x Yêu cầu toán thỏa mãn b m max y 2a 2 m m y 1 2 m2 m2 16 m 4 Chọn đáp án D Ví dụ 27 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh – Lần 1) Tìm tất giá trị tham số m để mx giá trị lớn hàm số y đoạn 1; 2 ? xm A m 3 B m C m D Khơng có m Giải mx Xét hàm số y có tập xác định D \ m xm m Để hàm số có giá trị lớn 1; 2 hàm số phải liên tục đoạn m Khi hàm số có đạo hàm y ' m x m m2 x m hàm số nghịch biến 1; 2 max y y 1 1;2 với x 1; m 1 theo giả thiết max y 2 1;2 1 m m 1 2 m m m 1 m Chọn đáp án B Ví dụ 28 (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 1) Hàm số y mx có giá trị lớn đoạn 0;1 xm khi: A m Giải Tài liệu nội B m 3 C m D m 161 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 mx Xét hàm số y có tập xác định D \ m xm m Để hàm số có giá trị lớn 0;1 hàm số phải liên tục đoạn m m 1 m2 Khi hàm số có y ' với x 0;1 x m m m 1 hàm số đồng biến 0;1 max y y 1 , theo giả thiết max y 0;1 0;1 m 1 m 1 m 2m m 3 m 1 Chọn đáp án B Ví dụ 29 (THPT Ngơ Sĩ Liên – Bắc Giang – Học kỳ II) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số mx f x có giá trị nhỏ đoạn 0;1 7 ? xm A m B m C m D m Giải mx Xét hàm số y có tập xác định D \ m xm m Để hàm số có giá trị nhỏ 0;1 hàm số phải liên tục đoạn m Khi hàm số có y ' m2 x m m2 x m với x 0;1 hàm số nghịch biến đoạn 0;1 y y 1 0;1 Theo giả thiết có y 7 0;1 m5 1 m m5 7 m 7 m m 1 m Chọn đáp án A Ví dụ 30 (THPT Quốc Oai – Hà Nội – Học kỳ II) Cho hàm số y x x3 m Tìm tất giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số đoạn 0; ? A m 2 B m C m D m Giải 3x Xét hàm số y 3x x3 m đoạn 0; có y ' 3x x3 x 1 0; 0 0; 3x x x Ta có bảng biến thiên hàm số y' 3x Dựa vào bảng biến thiên ta có max y y 1 m 0; Tài liệu nội 162 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Theo giả thiết ta có max y m m 2 1;1 Chọn đáp án A x m2 m Tìm tất giá trị x2 tham số m để giá trị nhỏ hàm số đoạn 1; 2 lớn nhất? Ví dụ 31 (THPT Vĩnh Lộc – Thanh Hóa – Lần 2) Cho hàm số y B m A m C m D m 2 Giải Xét hàm số y x m2 m m2 m với x 1; đoạn 1; 2 có y ' x2 x 2 hàm số đồng biến đoạn 1; 2 y y 1 1;2 m2 m Ta có m m m m2 m 2 12 giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 1; 2 12 Dấu xảy m Chọn đáp án C Ví dụ 32 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Tập hợp chứa tất giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y x x m đoạn 1; A 6; 3 0; B 4;3 C 5; 2 0;3 D 0; Giải Cách Xét hàm số f x x x m đoạn 1; 2 Ta có: f ' x x x Lại có f 1 m; f 1 m 1; f m f x m 1; m 3 Điều kiện để hàm số y x x m đạt GTLN đoạn 1; m 5 m 4 m m Với m 4 f x 5; 1 f x 1;5 Với m f x 1;5 f x 1;5 Vậy m 4; m giá trị cần tìm thuộc 5; 2 0;3 Chọn đáp án C Cách Đặt t x x x 1 , x 1; 2 t 0; Ta có: y f t t m max y max f t max f ; f max m , m 1;2 0;4 0;4 0;4 m m m 1 TH1: Với max y m ta m 4 1;2 m m m m m 1 TH2: Với max y m ta m 1;2 m m Vậy giá trị m tìm thỏa mãn tập hợp 5; 2 0;3 Chọn đáp án C Tài liệu nội 163 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Nhận xét : Tìm cơng thức cho toán tổng quát: Cho hàm số y f ( x) h(m) với x a; b ; tìm GTLN hàm số theo m Giả sử x a; b f ( x) ; , y f ( x) h(m) liên tục ; nên ta có max y max h(m ) ; h( m ) Đặt u h(m) , đồ thị hàm g (u ) max u ; u mơ x a ;b hình vẽ: A C B u=h(m)x Trong đồ thị g (u) mơ đường liền nét; B ; ; C ;0 ; A ; 2 thấy hàm số g (u ) đạt gtnn u 2 u ; u Cũng từ mô ta suy g (u ) u ; u , dễ Ví dụ 33: [CHUYÊN HẠ LONG – QN] Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho 19 giá trị lớn hàm số y x x 30 x m 20 đoạn [0; 2] không vượt 20 Tổng phần tử S A 210 B 195 C 105 D 300 Lời giải Chọn C 19 19 Đặt t x x 30 x , ta xét hàm g ( x) x x 30 x với x 0; 4 Có g ( x) x 19 x 30 x x x 0; x 0; g ( x) hàm số đồng biến 0; ; suy t 0; 26 Đặt f (t ) t m 20 , t 0; 26 f t liên tục 0; 26 nên max f (t ) max m 20 ; m t0;26 Nếu m max f (t ) max m 20 ; m m , ta có m 20 26 m 14 nên t 0;26 m 7;8; ;14 Nếu m max f (t ) max m 20 ; m m 20 , ta có m 20 20 m 40 nên t 0;26 m 0;1; 2;3; 4;5;6 Vậy tổng giá trị nguyên thỏa mãn 14 Tài liệu nội 14.15 105 164 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ 34: Tìm tất giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y x2 2x m đoạn 1; 2 m A m 4 m 1 B m m C m 4 m D m Lời giải Chọn C Khi x 1; 2 x x 1;3 , suy 1; 3; u m nên ta có: m Nếu m 1 max y m nên m 4 thỏa mãn m 4 m Nếu m 1 max y m nên m thỏa mãn m 8 Ví dụ 35: Tìm m để giá trị lớn hàm số y x x m đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ Giá trị m là: A B C Lời giải D Chọn D Khi x 2;1 x x 5; 1 , suy 5; 1; u m nên ta có gtnn gtln hàm số cho đạt m 5 ( 1) Ví dụ 36: [THPT ĐẶNG THỪA HÚC] Cho hàm số f x x ax b a , b tham số thực Biết giá trị lớn hàm số f x đoạn 1;1 Hãy chọn khẳng định đúng? A a 0, b B a 0, b C a 0, b Hướng dẫn giải D a 0, b Chọn C Đặt t x với t 0;1 f t 8t at b , t 0;1 Ta có: f 0 b f 1 a b 1 f 2 a b 2 1 f 4 a 2b 2 Do max f t nên 0;1 1 b 1 8 ab 4 a 2b b b a 2b a Tài liệu nội 165 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 b b 1 Dấu " " xảy 8 a b 8 a b 1 (Loại) 4 a 2b 4 a 2b 2 b Vậy a 8 Vậy a 0, b Ví dụ 37 : [THPT THANH CHƯƠNG 3] Tìm m để giá trị lớn hàm số y x x m đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ Giá trị m là: A B C D Lời giải Chọn D Đặt t x x , x 2;1 t 5; 1 Khi y x x m t m Hàm số g t t m hàm số đồng biến 5; 1 m 1; m nên ta có : max y max y max m ; m x 2;1 t 5;1 5 m; m m 1; m Hàm số : u m hàm liên tục , có đồ thị đường gấp khúc hình 5 m; m vẽ: Từ đồ thị ta thấy u m đạt giá trị nhỏ m Ví dụ 38: Cho y x 2 ( m 2) x m x m có giá trị m nguyên để GTLN hàm số [0; 2] bé A 11 C B D.Vô số Lời giải Chọn B Xét g ( x) 2 x ( m 2) x m x m g '( x ) x( x 2)( x m ) x [0;2] Suy g(x) nghịch biến (0; 2), Tài liệu nội 166 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 5 g (0) để max y m 1, 0,1, có giá trị m 5 g (2) Dạng 5: Max hàm trị tuyệt đối CHINH PHỤC 8,9,10 ĐIỂM THI ĐẠI HỌC – GV: LƯƠNG VĂN HUY MAX – MIN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – BẢN BỔ SUNG Đầy đủ dạng – full cách cho em lựa chọn LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 Tham gia Group 8+ Free:https://www.facebook.com/groups/1632593617065392/ Dạng 1: Tìm m để max y f x m a a 0 ; Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm max f x K ; f x k K k ; ; Kiểm tra max m K , m k TH1: TH2: K k K k m K mk m K mk K k m k a m a k a Để max y a m a k ; a K ; m K a m a K a m Cách 2: Xét trường hợp m K a TH1: Max m K m K m k m k a TH2: Max m k m k m K Cách 3: Sử dụng đồ thị (khuyến khích nên làm – có kĩ thuật đồ thị) Cách 4: Xem hướng dẫn ^_^ Cách 5: Sử dụng bđt trị tuyệt đối Cách 6+7: Sử dụng đồ thị tối giản loại 2,3 BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ Cho hàm số y f x ax bx c có đồ thị nhự hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số g x f x m đoạn 0; 4 A 10 Tài liệu nội B 6 C D 167 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Lời giải Từ đồ thị hàm số y f x ax bx c ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng x trục đối xứng, mà f 0 f 4 Suy ra: f x 5, x 0; 4 Xét hàm số g x f x m , x 0; 4 Ta có: max g x max m ; m 0;4 Cách 1: Dễ dàng nhận trường hợp Do m 1 9;9 5 m 10; 4 Vậy tổng giá trị nguyên m 10 Cách 2: m 3 m m m 3 m m 10 Trường hợp 1: max g x m 0;4 m 10 m 3 m 1 m m 3 m m Trường hợp 2: max g x m m 14 0;4 Vậy tổng tất giá trị nguyên m là: 10 Cách 3: Dựa vào đồ thị Từ đồ thị suy m 10; 4 Cách 4: m 10 k tra m 5 TH1: m m 10 m m k tra m TH2: m m m 14 Vậy m 10; 4 Cách 5: Kỹ thuật đồ thị số - xem video live Ta có max g x max m ; m 0;4 Đồ thị tối giản (kỹ thuật đồ thị số 3) Từ suy m 10; 4 Cách 6:Kỹ thuật đồ thị số – xem video live max g x max m ; m 0;4 Tài liệu nội 168 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Đồ thị tối giản (đồ thị số 2) Từ suy m 10; 4 Cách 7: Ta có max g x max m ; m m 1 m m 1 m 0;4 m3 2 m Từ ta có m m 10 Từ suy m 10; 4 Ví dụ Cho hàm số f x x 3x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y f sin x 1 m Tổng phần tử S A B C Lời giải D Đặt t sin x t 0; , y f sin x 1 m f t m t 3t m Xét hàm số u t t 3t m liên tục đoạn 0;2 có u t 3t t 1 0; u t 3t t 1 0; Ta có u 0 m; u 1 m 2; u 2 m max u x m , u x m 0;2 0;2 Khi max y max m ; m Cách 1: m m TH1: m 2 m 2 m m m m m TH2: m 6 m m m m Vậy S 2; 2 2 Cách 2: Dễ dàng nhận toán thỏa mãn trường hợp Ta có K 2, k m 2 4; 2 m 2; 2 Cách 3: Từ đồ thị Tài liệu nội 169 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Suy m 2; 2 Cách 4: Kỹ thuật đồ thị số Ta có max y max m ; m Đồ thị tối giản -6 -2 Từ Suy m 2; 2 Cách 5: Kỹ thuật đồ thị số Ta có max y max m ; m Đồ thị tối giản Từ Suy m 2; 2 Cách 6: Ta có max y max m ; m m m Từ ta có m m 2 Từ Suy m 2; 2 Ví dụ Biết đồ thị hàm số f x ax bx c có ba điểm chung với trục hoành f 1 1; f 1 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình f x m 12 nghiệm x 0; 2 Số phần tử S A 10 B 11 C 11 Lời giải D Đồ thị hàm số f x ax bx c có ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành gốc toạ độ, suy f 0 c I Ta có f x 4ax 2bx f 1 1 a b c 1 Theo giả thiết II 4 a 2b f 1 Tài liệu nội 170 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Từ I II suy a 1; b 2; c f x x x Xét hàm số y x4 x2 m đoạn 0;2 x 0; 2 Dễ thấy hàm số cho liên tục đoạn 0;2 có y x x x 0; 2 x 1 0; 2 max y m 0;2 Khi y 0 m ; y 1 m 1; y 2 m y m min 0;2 Cách 1: m 12 m m Theo x x m 12, x 0; max m ; m 12 m 12 m m 4 m 20 m 4 m 2 4 m 11 13 m 11 m 11 m Suy S có 11 phần tử Cách 2: Từ đồ thị Suy 4 m 11 Cách 3: Đồ thị tối giản max y max m ; m Đồ thị tối giản -13 -4 11 20 Từ đồ thị suy 4 m 11 Cách 4: đồ thị tối giản Ta có đồ thị Tài liệu nội 171 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Từ đồ thị suy 4 m 11 Cách 5: max y max m ; m Ta có Ví dụ 2m 2m 12 2m 15 4 m 11 x 2020 ( m tham số thực) Có tất giá trị tham số m xm cho max f x 2020 Cho hàm số f x 0;2019 A B C Lời giải D 1) Hàm số f x xác định với x m 2) *Nếu m 2020 f x 1, x 2020 không thỏa mãn yêu cầu toán 3) * Nếu m 2020 f x đơn điệu khoảng ;m m; nên yêu cầu toán 4) 5) 6) 7) m 0; 2019 m 0; 2019 max f x 2020 4039 2020 0;2019 max f ; f 2019 2020 max m ; m 2019 2020 Cách 1: Ta xét hai trường hợp sau: m m 0; 2019 m 2019 2020 2020 m 1 m 1 Trường hợp 1: m 4039 4039 2020 2020 m 2019 m 2019 Tài liệu nội 172 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m m 2019 4082419 m 0; 2019 2021 m 4039 4082419 2020 2020 m 2021 Trường hợp 2: 2020 m 2019 m 4074341 2017 2020 2020 2020 2020 m 2020 m Vậy có giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: Dựa vào đồ thị Suy có giá trị thỏa mãn Ví dụ Gọi đoạn S tập hợp tất giá trị tham số m 1;1 Tổng tất phần tử A B S cho giá trị lớn hàm số f x x 2mx 4m x2 Lời giải C D Tập xác định D R \ 2 Xét hàm số g x Ta có g x x2 2mx 4m đoạn 1;1 Hàm số xác định liên tục 1;1 x2 x2 x x 2 x 1;1 g x x2 4x x 4 1;1 Ta có g 0 2m ; g 1 2m ; g 1 2m max g x 2m ; g x m 1;1 1;1 Suy max f x max 2m ; 2m 1;1 Cách 1: 2m m 1 2m 2m Ta có max f x 1;1 m m 2m 2m 3 Suy S 1; 2 Tài liệu nội 173 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vậy tổng phần tử thuộc tập S Cách 2: Từ đồ thị 3 Suy m 1; 2 Cách 3: Bài toán thuộc vào trường hợp nên ta có 2m 0 3;3 1 m ;1 Ví dụ 6: Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ sau Tổng tất giá trị thực tham số m để max f A 20 C 10 Lời giải 1;1 B 7 4x x2 m D 3 Chọn C Đặt t x x , h x f x 4x2 m Xét hàm số t g x x x 1;1 g ' x 4x 4x x2 Bảng biến thiên Tài liệu nội 0 x 174 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Khi ta có t 1; 2 h x f t m Dựa vào đồ thị ta có h x f 1 m m , max h x f 1 m m 1;1 1;1 Cách 1: Suy max h x max m , m 1;1 m m m 7 max h x 1;1 m 3 m m Vậy tổng giá trị m 10 Cách 2: Bài tốn nằm trường hợp nên ta có m 2 5;5 8 m 7; 3 Cách 3: Từ đồ thị suy m 7; 3 Ví dụ 7: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y x mx 2m x2 đoạn 1;1 Tính tổng tất phần tử S A B C D 1 3 Lời giải Chọn A x mx 2m Xét hàm số y f x 1;1 có f x ; x2 x 2 x 3m m 1 ; f 0 m; f 1 f x ; f 1 3 1 x 1;1 Bảng biến thiên Tài liệu nội 175 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Cách 1: Trường hợp f 0 m Khi 3m max f x max f 1 ; f 1 max ; m 1 m m 1;1 Trường hợp f 0 m f 1 Khả m 1 Khi max f x f m 3 1;1 f 1 f 1 Khả 1 m Khi max f x max f ; f 1 1;1 f 1 max m; m 1 : Trường hợp vô nghiệm Khả m Khi max f x max f ; f 1 ; f 1 : Vô nghiệm 1;1 Vậy có hai giá trị thỏa mãn m1 3, m2 Do tổng tất phần tử S 1 Cách 2: Sử dụng đồ thị Từ đồ thị suy có hai giá trị thỏa mãn m1 3, m2 Cách 3: Bài toán nằm trường hợp Do m 0 3;3 1 m 3; 2 Ví dụ 8: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y x mx 3m x 3 đoạn 2;2 Gọi T tổng tất phần tử S Tính T A T B T 5 C T Lời giải D T 8) Chọn D 9) Xét hàm số y f x x mx 3m , x 3 10) Tập xác định: D \ 3 f x x2 x x 3 x 0 11) Xét f x x x x 6 12) Bảng biến thiên hàm số y f x : Tài liệu nội 176 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 13) Ta có: f 2 m ; f m ; f m x mx 3m Với g x f x Ta có max g x max f 2 ; f ; f 2;2 x 3 Cách : Dựa vào đồ thị hàm số u m ; u m ; u m u = m+ u u =m u =m+4 -4 -2 - O m Xét với m 2 Ta có max g x f 2 m m m 2;2 Xét với m 2 Ta có max g x f m m m 5 2;2 Vậy S 5;1 nên tổng T 5 Cách : ta có m m m4 Vậy Max Max m ; m Suy m 0 5;5 4 m 5;1 Cách : Từ đồ thị Tài liệu nội 177 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Suy m 5;1 Ví dụ 9: Cho hàm số f x x x Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số g x f x f x m đoạn 1;3 ? A B C D 14) Lời giải Chọn D Xét hàm số f x x x đoạn 1;3 Ta có bảng biến thiên Đặt t f x Do x 1;3 nên ta có t 2; 2 Ta có hàm số g t t 2t m Xét hàm số u t 2t đoạn 2; 2 ta có bảng biến thiên Xét hàm số g u u m , với t 1;8 Ta có max g u max m , m 1;8 Cách 1: Trường hợp 1: m m m m m 7 max g u m m 1;8 Trường hợp 2: m m m m m max g u m m 1;8 Vậy có hai giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán m m 7 Cách 2: Bài toán nằm trường hợp nên m 1 8;8 8 m 7;0 Cách 3: Từ đồ thị Tài liệu nội 178 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Suy m 7; 0 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 15) Có tất giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y x x m đoạn 1; 2 A B C D Câu 1: Câu Có giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số f x x x m đoạn 2;1 A Câu B C Gọi S tập hợp giá trị m để hàm số y x x m đạt giá trị lớn 50 [ 2; 4] Tổng phần tử thuộc S A B 36 Câu D C 140 D Có giá trị thực tham số m để hàm số y 3x 4x 12x m đạt giá trị lớn đoạn 3; 2 150 A Câu B Câu x 1 x m Cho hàm số y x x max y A C B Gọi S tập hợp giá trị m để hàm số y x 3x m đạt giá trị lớn đoạn 0; 2 C D Có giá trị thực tham số m để hàm số y 3x 4x 12x m đạt giá trị lớn 275 A B C D Cho hàm số f x 3x 4x 12x m Gọi M giá trị lớn hàm số đoạn 1;3 Có số thực m để M A Câu D đoạn 3; 2 Câu Có giá trị thực tham số m để C Tổng phần tử thuộc S A B Câu D 59 B C D Gọi S tập giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y x4 mx m x 1 đoạn 1; 2 Số phần tử tập S A Tài liệu nội B C D 179 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 16) Câu 10: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn x mx m hàm số y 1; 2 Số phần tử S x 1 A B C D 17) Câu 11: Cho hàm số y x m2 m Có giá trị thực tham số m để x2 max y 1;2 A 1.C 2.B 3.A B C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4.C 5.A 6.B 7.D Dạng 2: Tìm m để y f x m a ; D 8.A 9.C 10.C a 0 Phương pháp: Cách 1: Trước tiên tìm max f x K ; ; f x k K k ; m k a m K a m a k m a K Để y a Vậy m S1 S2 ; m k m K m k m K Cách 2:Sử dụng đồ thị x k x K Cách 3: Sử dụng bđt trị tuyệt đối Cách 4: Sử dụng đồ thị tối giản loại 2,3 Ví dụ 1: Có tất giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số f x x x m 1; 2 B A C Lời giải D +) Đặt g x x x m +) Ta có: g , x x g , x x x g 1 m +) g 1 m g 2 m min g x m 1;2 +) Suy Vậy g x 0; m ; m 1;2 g x m max 1;2 Cách 1: Ta xét trường hợp sau: TH1: m m6 m m TH2: Tài liệu nội 180 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m m 8 m m Vậy có hai giá trị tham số m thỏa mãn Cách 2: sử dụng đồ thị Từ đồ thị suy m 8;6 Cách 3: Để m m m g x m 5 1;2 m 8 m Cách 4: TH1: m k tr m m 1 m m 4 TH2: m k tr m 1 m3 5 m 8 m 8 Cách 5: Đồ thị tối giản -8 -4 Từ đồ thị suy m 8;6 Ví dụ Tính tích tất số thực m để hàm số y x x x m có giá trị nhỏ đoạn 0; 3 18 B 216 A 432 C 432 Lời giải D 288 x x x m liên tục đoạn 0; 3 + Ta có f x x 12 x + Xét hàm số f x x 0;3 + f x x 12 x x 0;3 10 + f 0 m; f 1 m; f 2 m; f 3 m 3 Tài liệu nội 181 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 max f x max f 0; f 1; f 2; f 3 f 3 m 0;3 Khi min f x f 0; f 1; f 2; f 3 f 0 m 0;3 Suy y 0; m ; m 0;3 TH1 m 18 m 18 m m TH2 m 18 m 24 m m Kết luận: tích số thực m thỏa mãn yêu cầu toán là: 24.18 432 Cách 2: m 18 m m 18 y 18 0;3 m 18 m 24 m Cách 3: Dựa vào đồ thị Suy m 24;18 Ví dụ Cho hàm số f x x x m Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn 0;2 18 Tổng tất phần tử S A 5 C 14 B D 10 Lời giải Xét hàm số g x x x m liên tục đoạn 0;2 g x 4x3 x x 1 0; 2 g x x 0; x 1 0; 2 g m , g 1 m , g m g x m , max g x m x 0; 2 Tài liệu nội x 0;2 182 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 f x 0; m ; m x 0;2 Cách 1: Trường hợp 1: m 18 m 20 m m Trường hợp 2: m 18 m 25 m m Suy m 20; 25 Vậy tổng tất phần tử S 5 Cách 2: m 18 m 20 m f x 18 x 0;2 m 18 m 25 m Cách 3: Từ đồ thị Suy m 25; 20 2x m Gọi S tập hợp tất giá trị m để 1 x phần tử tập S B C 5 D Lời giải 18) 19) +) D \ {1} 2x 20) *) Với m Ta có f x 2 nên 1 x m2 2m 21) *) Với m Khi đó, f x , x 1 x Ví dụ 4* Cho hàm số f x A 22) +) Ta có f 2 f x Tổng 2; 0 f x Vậy 2; 0 m m , f m ; f ( x ) x m x Ta xét trường hợp sau: 23) Cách (Xem cho vui) Tài liệu nội 183 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 24) TH1: Đồ thị hàm số y f ( x ) cắt trục hồnh điểm có hồnh m độ thuộc 2; 0 , tức 2 4 m Khi f x 2; 0 25) TH2: Đồ thị hàm số y f ( x) khơng cắt trục hồnh cắt trục m 2 m 4 hoành điểm có hồnh độ nằm ngồi đoạn 2; 0 , tức m m 26) Khi đó: m m4 27) f x f 2 ; f ; m ; m 2; 0 28) +) Nếu m4 2 m m m m 3m 2m m m m4 29) f x 2; 0 m 1 m m (loaïi, m 2) m4 30) Ta có 2 ) m 6 m 10 (nhaän) 31) +) Nếu m4 m 1 m f x m 2; 0 m (loaïi) Ta có m m 2 (loaïi) Suy S {2; 10} Vậy tổng phần tử S 8 Cách 2: Từ đồ thị 32) 33) 34) 35) 36) Vậy m 10; 2 x2 m ( m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị m x 1 cho f x Số phần tử S Ví dụ Cho hàm số y f x 2;3 B A C Lời giải D x2 m liên tục đoạn 2;3 Hàm số y f x x 1 x2 x f x x 1 x Ta có f x ; x 0, x 2;3 x Tài liệu nội 184 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 f m , f 3 m + Nếu f f 3 m 4 f x Trường hợp không thoả yêu cầu 2;3 toán m + Ta xét trường hợp f f 3 m 4 9 Khi f x f ; f 3 m ; m 2;3 2 m m 9 m4 5 TH1: f x m m 19 m 2;3 m m m 19 19 m 5 m m TH2: f x m 2;3 2 m4 5 m 9 m Vậy có giá trị m thỏa mãn toán 37) Cách 2: Từ đồ thị 38) 19 ;1 39) Suy m 40) Cách 3: 41) m m m f x m 5 2;3 m 19 m 42) Tài liệu nội 185 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu Gọi S tập giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số f x x 3x m đoạn 2;3 Tổng phần tử tập S A B 20 C 24 Câu D 40 Có giá trị thực tham số m để hàm số y 3x x 12 x m đạt giá trị lớn đoạn 3; 2 10 A Câu B C D Gọi S tập hợp giá trị m để hàm số y x x m đạt giá trị nhỏ đoạn 2; 2 Tổng phần tử thuộc S A 43) 31 B 8 C 23 D Có tất giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số y x x m đoạn 1;2 A B C D Câu 4: Câu Có giá trị thực tham số m để giá trị lớn nhỏ hàm số f x x x m đoạn 2;1 A Câu B D Gọi S tập hợp giá trị m để hàm số y x 3x m đạt giá trị nhỏ đoạn 0; 2 Tổng phần tử thuộc S A B Câu C C D Có giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số y e2 x 4e x m đoạn 0;ln 4 A Câu B D Có giá trị thực tham số m để hàm số y x mx đoạn 1; 2 đạt giá trị nhỏ A 1.B C 2.A 3.C B C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4.C 5.B 6.B 7.C D 8.A 10 Dạng 3: Tìm m để max y f x m không vượt giá trị M cho trước ; Tài liệu nội 186 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; ; f x k K k ; Cách 1: m k M M k m M K m K M Để max y M ; Cách 2: Sử dụng đồ thị (nên dùng) BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ Cho hàm số y x x3 x m Tính tổng tất số nguyên m để max y 11 1;2 A 19 B 37 C 30 Lời giải D 11 x x3 x2 m liên tục đoạn 1; 2 + Ta có f x x3 3x x x 1; + f x x x x x 1; x 1; 2 + f 1 m; f 0 m; f 1 m; f 2 m 4 max f x max f 1; f 0; f 1; f 2 f 1 m Khi 1;2 min f x f 1 ; f ; f ; f f f m 1;2 Vậy max y max m , m 0;3 Cách 1: m 11 m m theo yêu cầu toán max y 11 0;3 m 11 m m 53 35 m 4 35 m m 35 11 m 11 m 11 11 m m Vì m nguyên nên m 11; 10; ;8 Kết luận: tổng số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán là: 1110 30 Cách 2: Sử dụng đồ thị + Xét hàm số f x Tài liệu nội 187 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Suy 11 m 35 m m 11; 10; ;7;8 Ví dụ Cho hàm số f x x 2mx Có giá trị m nguyên để giá trị lớn f x đoạn 1; 2 không lớn ? A C Lời giải B D Ta có giá trị lớn f x đoạn 1; 2 không lớn 3, tức max f x 1;2 2m x, x 1; x mx 3, x 1; 2 x2 , x 1; x mx 3, x 1; 2m x 2m max x 1 1;2 x2 2 2m 1;2 x +) 1 2m m x2 6 x với x 1; có g x x x x Suy ra: g x 0, x 1; 2 g x g +) Xét hàm g x 1;2 Do m Vậy m , mà m nên m 1; 2 Cách 2: Cách dễ hiểu nên cách sau e tự làm Ví dụ Cho hàm số y x3 3x x m Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để max y 50 Tổng phần tử M 2;3 A B 737 C 759 Lời giải D 215 Xét hàm số f x x x x m liên tục đoạn 2;3 Ta có f x x x x 1 f x 3x x x Tài liệu nội 188 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Có f m 2; f 1 m 5; f m 27 Suy max f x m ; f x m 27 2;3 2;3 Do M max y max m ; m 27 2;3 Cách 1: m m 27 2m 22 m 11; 45 m 50 50 m 50 M 50 m 23; 45 2m 22 m 23;11 m m 27 m 27 50 50 m 27 50 Do S 22; 21; 20; ; 1; 0;1; 2; ; 44 Vậy tổng phần tử M 737 Cách 2: sử dụng đồ thị m m 22; 21; ; 44 Suy m 23; 45 Ví dụ 4: Cho hàm số y x x3 x a Có giá trị nguyên tham số a để max y 100 1; 2 A 197 B 196 C 200 D 201 Lời giải Xét u x x3 x a liên tục đoạn 1; 2 u ' x3 x x x 0 1; 2 u ' x 1; 2 x 1; 2 1 u max u 1 , u , u , u 1 , u u 1 u a M max 1; 2 2 Suy m u u 1 , u , u , u 1 , u u u 1 a 1; 2 2 Tài liệu nội 189 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Cách : a a 100 100 a 2 Vậy max y max a , a 100 1; 2 a a 100 a 96 Vậy a 100, 99, , 96 có 197 số nguyên thỏa mãn Cách 2: Sử dụng đồ thị Suy 100 m 96 Ví dụ Cho hàm số y sin x cos x m , có giá trị nguyên m để hàm số có giá trị lớn bé A B C Lời giải D Xét hàm số f x sin x cos x m , có tập xác định: D Ta có: m sin x cos x m m , x Suy m f x m , x Vậy: max y m max y m D D m 2 m m m m Yêu cầu toán m 2 m m m m 0 m 2 m 2 m Do m m Vậy có giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán Cách 2: sử dụng đồ thị Từ đồ thị suy m Tài liệu nội 190 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 BÀI TẬP RÈN LUYỆN S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số y x x m đoạn 1; 2 không vượt Số phần tử S Câu Gọi Câu A B C 14 D Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số y 19 x x 30 x m 20 đoạn A 210 B 0; 195 không vượt 20 Tổng phần tử S C 105 D 300 Câu Có giá trị nguyên tham số m để max x x m 4? Câu A Vô số B C D Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số y x x m đoạn 1;3 0; 2 không vượt 10 A 27 Câu B 15 C 17 D 12 Cho hàm số y x x x a Có số nguyên a để max y 100 1;2 A 197 Câu B 196 C 200 D 201 Có giá trị nguyên tham số a để giá trị lớn hàm số y 3x x3 12 x a đoạn 3; 2 không vượt 243 Câu A 41 B 103 C 200 D 212 Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số y x3 x2 m2 1 x 4m đoạn 0;2 không vượt 15 Câu A B C D Cho hàm số y sin 3x sin x m Có số nguyên m để giá trị lớn hàm số không vượt 30 A 59 1.A 2.C Tài liệu nội B 61 3.D C 57 ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4.C 5.A 6.D 7.C D 55 8.C 10 191 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Dạng 4: Tìm m để y f x m không vượt giá trị a cho trước ; Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; f x k K k ; ; Cách 1: Để m k a m K a m a k m a K y a m K m k K m k ; m k m K m k m K Cách 2: Sử dụng đồ thị BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ Tính tổng tất giá trị nguyên lớn tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y x m 1 x m 2; m 1 nhỏ 2020 A 2043210 B 2034201 C 3421020 Lời giải D 3412020 Cách 1: +) Xét hàm số f x x m 1 x m liên tục 2; m 1 với m Ta có: f x x m 1 ; f x x m 1 2; m 1 2 m 1 ; f m m m 1 Khi đó: f m; f +) Vì m 1 m 0, m nên m 1 max f x max f ; f ; f m 1 m ; [2; m 1] f x f ; [2;m-1] m 1 m 1 f ; f m 1 m 1 Do đó: y m ; [2;m-1] 2m +) Theo yêu cầu toán: m 2020 2020 m 2020 2018 m 2022 +) Vì m m nên m 7;8;9; ; 2021 2021 +) Vậy tổng tất giá trị nguyên tham số m là: n n 7 2021 2015 043210 Cách 2: +) Xét hàm số f x x m 1 x m liên tục 2; m 1 với m x f x x m 1 x m x m Tài liệu nội 192 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 1 2 Do m nên ta có: m m 1 2 m 1 ; f m m m 1 f m; f Từ bảng biến thiên suy ra: f x m [2;m-1] Theo ta có: f x 2020 m 2020 m 2022 [2;m-1] Kết hợp với điều kiện m suy m 7;8; ; 2021 2021 +) Vậy tổng tất giá trị nguyên tham số m là: n n 7 2021 2015 2043210 Cách 3: Sử dụng đồ thị m 2020 Từ đồ thị suy m 2020 m 2022 m Ví dụ Cho hàm số y x3 10;10 A Tài liệu nội x x m Tổng giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn để giá trị nhỏ hàm số đoạn 0; 3 không bé B 1 C Lời giải D 193 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Xét hàm số f x x x x m liên tục đoạn 0; x 0;3 Ta có f x x x ; f x x 0;3 f 3 m ; f 1 m ; f 1 m ; f 3 m 2 Suy max f x m ; f x 3 m 0;3 0;3 Cách 1: 3 TH1: m 3 m Khi giá trị nhỏ hàm số y đoạn 0;3 2 3 3 TH2: m 3 m Khi đó: y m ; 3 m 0;3 2 2 Giá trị nhỏ hàm số đoạn 0; không bé m m m m m 2 3 m m m m 13 m 3 m m m 13 m Suy giá trị m 10;10 thỏa mãn yêu cầu toán S 10; 9; 8; 7;8; 9;10 Vậy tổng giá trị m cần tìm Cách 2: sử dụng đồ thị 10 m 6,5 Từ đồ thị suy m 10; 9; 8; 7;8;9;10 8 m 10 Ví dụ Có số ngun m để giá trị nhỏ hàm số y 4 cos x sin x m đoạn 0; nhỏ 4? 2 A 12 B 14 C 13 Lời giải D 15 Ta có: y 4 cos x sin x m cos2 x 2sin x m sin x sin x m Đặt t sin x , x 0; nên suy t 0;1 2 Tài liệu nội 194 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ta tìm giá trị nhỏ hàm số y 4t 2t m đoạn 0;1 Xét hàm số f t 4t 2t m liên tục đoạn 0;1 , ta có: f t 8t ; f t t 0;1 f m ; f 1 m Cách 1: Trường hợp 1: Nếu m y m Kết hợp với giả thiết ta có m 1 0;1 Trường hợp 2: Nếu m m 6 y m Kết hợp với giả thiết ta có 0;1 m 10 m 6 m 6 Trường hợp 3: Nếu m m 6 m y Trường hợp thỏa mãn 0;1 3 Từ 1 , ta m 10; 4 Vì m số nguyên nên m 10, 9, 8, , 2, 3, 4 Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: Sử dụng đồ thị Từ đồ thị suy m 10, 9, 8, , 2, 3, 4 Câu BÀI TẬP RÈN LUYỆN Có giá trị nguyên tham số a để giá trị nhỏ hàm số y 3x x3 12 x a đoạn 3; 2 không vượt 100 A 478 Câu B 474 1;3 B 10 C D 11 Cho hàm số f x x 3x m Có số nguyên m để f x 1;3 A Câu D 480 Cho hàm số f x x 3x m Có số nguyên m để f x A Câu C 476 B C 31 D 39 Có giá trị nguyên tham số a để giá trị nhỏ hàm số y x x a đoạn 1; 2 không vượt Câu A B 15 C 16 D Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y x x m đoạn 1; 2 không vượt Số phần tử S Câu A 15 B 16 C 14 D Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y x x m đoạn 2;1 không vượt Tổng phần tử S Câu A B 39 C D 10 Cho hàm số f x x 3x Có giá trị nguyên tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y f sin x 1 m không vượt 10 A 45 Tài liệu nội B 41 C 39 D 43 195 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1.C 2.D 3.D ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4.C 5.A 6.B 7.B 10 Dang 5: Tìm m để max y f x m đạt a ;b Phương pháp: Cách 1: Trước tiên tìm max f x K ; f x k K k a;b Đề hỏi tìm m m a;b K k K k Đề hỏi tìm max y giá trị a ; b 2 Cách 2:Sử dụng dồ thị Cách 3: Sử dụng bđt trị tuyệt đối Cách 4: Phương pháp xấp xỉ BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ Cho hàm số y x x 2m với m tham số thực Biết giá trị lớn hàm số đoạn 1;3 đạt giá trị nhỏ a m b Tính P 2b a A B 13 C 9 D Lời giải Xét hàm số y f x x x 2m liên tục đoạn 1;3 +) f x x ; f x x 1;3 +) f 1 2m , f 2m , f 3 2m Khi max f x max m ; m M 1;3 Cách 1: M m Ta có: M m 2m m 2m M M m 2m 13 2m 2m m Dấu " " xảy 2m 2m 13 a m b P 2b a Cách 2: Sử đụng dồ thị Do M 13 m b Từ đồ thị suy P 2b a a Tài liệu nội 196 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ Cho hàm số y x3 x m2 x 27 Gọi S tập tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số đoạn 3; 1 có giá trị nhỏ Khi tích phần tử S A B 4 C Lời giải D 8 Xét hàm số f x x x m2 x 27 liên tục đoạn 3; 1 Ta có f x x x m với x 3; 1 Ta có f 3 3m2 ; f 1 26 m2 Khi max f x max 3m2 ; 26 m2 M 3;1 Cách 1: M 3m M 3m Lại có M 72 M 18 2 M 26 m 3M 3m 78 3m 26 m 18 m 2 m2 Dấu xẩy 2 m 2 3m 3m 78 m 2 Vậy với giá trị lớn hàm số đoạn 3; 1 có giá trị nhỏ m 2 Khi tích giá trị 2 2 8 Cách 2: Sử đụng đồ thị Tài liệu nội 197 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 2 Từ đồ thị suy giá trị cần tìm m 2 Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số 19 y x x 30 x m đoạn 0; 2 đạt giá trị nhỏ nhất? B A C Lời giải D 1 19 x x 30 x m liên tục đoạn 0; 2 Ta có f x x 19 x 30 Xét hàm số f x x 5 0; 2 + f x x 0; 2 x 0; 2 + Ta có : f m; f m 26 Khi max f x max m; m 26 m 26 ; f x m; m 26 m 0;2 0;2 Suy max f x max m ; m 26 M 0;2 Cách 1: M m m m m 26 m m 26 2M m m 26 M Ta có 13 2 M m 26 m m 26 13 Dấu xảy m 13 m m 26 19 Do giá trị lớn hàm số y x x 30 x m đoạn 0; 2 đạt giá trị nhỏ 13 m 13 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề Cách 2: Dựa vào đồ thị Suy m 13 Tài liệu nội 198 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu Tìm m để giá trị lớn hàm số f x x x m đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ Câu A m B m C m D m 4 Biết giá trị lớn hàm số y x 38 x 120 x 4m đoạn ; 2 đạt giá trị nhỏ Khi giá trị tham số m A 12 B 13 Câu 211 B Cho hàm số y x x ? A m Câu Câu Câu Cho hàm số y x x C 137 D 115 x 1 x m Khi giá trị lớn hàm số đạt nhỏ Mệnh đề C m x 1 x m A 17 B A 59 B D m Giá trị lớn hàm số đạt nhỏ 15 C D 8 Giá trị lớn hàm số y 3x x 12x a đoạn 1;3 đạt nhỏ C 16 Tìm m để giá trị lớn hàm số y D 57 2x x2 3m đạt nhỏ 3 B m C m D m 16 Có giá trị nguyên m để giá trị lớn hàm số y x 4x m đoạn 0;3 đạt nhỏ A Câu 275 B m 2 A m Câu D 11 Giá trị lớn hàm số y 3x x 12x a đoạn 3; 2 đạt nhỏ A Câu C 14 B C D Tìm m để giá trị lớn hàm số y x 3x 2m đoạn 0;2 nhỏ Mệnh đề ? A 1 m 44) Câu 10: B m C m 3 D m 1 x m2 m Cho hàm số y Giá trị lớn hàm số đoạn 1; 2 có giá x2 trị nhỏ A 45) Câu 11: B Cho hàm số y C D x m2 m Giá trị lớn hàm số đoạn 1; 2 có x2 giá trị nhỏ A 46) Câu 12: B C D Cho hàm số y x3 x m2 1 x 27 Giá trị lớn hàm số đoạn 3; 1 có giá trị nhỏ Tài liệu nội 199 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A 26 B 18 C 28 D 16 1.C 11.C 2.B 12.B ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4.C 5.B 6.A 14 15 16 17 3.B 13 8.A 18 9.B 19 10.D 20 Dạng 6: Tìm m để y f x m đạt a;b Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; a;b f x k K k a;b Đề hỏi tìm m m K m k K m k Đề hỏi tìm min y giá trị a;b BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm số y x3 mx x 9m đoạn 2; 2 đạt giá trị nhỏ A B C Lời giải D Đặt f x x mx x 9m Dễ thấy f x , dấu " " xảy phương 2;2 trình f x có nghiệm x 2; 2 Ta có: f x x x m x m x x m x f x x 3 x m Do điều kiện cần đủ để f x có nghiệm x 2; 2 m 2; 2 Mà m nên m 2; 1; 0;1; 2 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y f x x x m đoạn 1; 3 đạt giá trị nhỏ A 23 B 24 C 25 Lời giải D 26 Ta có y f x x x m = x x m x 16 m Đặt t x , x 1; 3 , suy t 0; 25 Khi y g t t 16 m Ta có f x g t m , m 16 1;3 0; 25 Nếu m m , f x = m , f x , m 1;3 1;3 Nếu m 16 m 16 , f x = m 16 , f x , x 1;3 1;3 m 16 Nếu m m 16 16 m , f x = , f x x 1;3 1;3 Vậy f x , 16 m 1;3 Tài liệu nội 200 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vì m , nên có 26 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu tốn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y x 38 x 120 x m đoạn 0; đạt giá trị nhỏ A 26 Câu B 13 B 45 B C B D Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số f x 2x 3x m đoạn 1;3 đạt B 21 C 18 D Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y x x a đoạn 1; 2 đạt giá B 12 C 10 D Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y ln x x m đoạn 1;2 đạt giá trị nhỏ A 1.D D C Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y x x m đoạn 2;1 đạt trị nhỏ A Câu D giá trị nhỏ A 33 Câu C 16 Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y x x m đoạn 1; 2 đạt giá giá trị nhỏ A Câu 2 trị nhỏ A Câu Có số nguyên a để giá trị nhỏ hàm số y 3x 4x 12 x a đoạn 1;3 đạt nhỏ A 60 Câu D 27 C 14 2.A 3.C B C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4.B 5.A 6.C 7.B D 8 10 Dạng 7: Cho hàm số y f x m Tìm m để max y h.min y h Min max a;b a;b Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; a ;b f x k K k a;b K m k m TH1: K m h k m K m S1 m cung dau k m k m K m m S2 TH2: k m h K m K m cung dau k m Vậy m S1 S2 BÀI TẬP MINH HỌA Câu 43 Cho hàm số y x x x a Có số thực a để y max y 10 1;2 A Tài liệu nội B C Lời giải 1;2 D 201 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Xét hàm số u x x x a liên tục đoạn 1; có u x x x x 1;2 u x 1;2 x 1; 2 1 u max u 1 , u , u , u , u 1 u 1 u a M max 1;2 2 m u u 1 , u , u , u , u 1 u u 1 a 1;2 2 +) Trường hợp 1: Nếu m a y m; max y M 1;2 1;2 a a Ta có điều kiện a a 10 +) Trường hợp 2: Nếu M a 4 Khi đó: y M ; max y m 1;2 1;2 a 4 Ta có điều kiện a 7 a a 10 +) Trường hợp 3: m M 4 a Khi đó: y 0; max y max a , a max a 4; a 10 1;2 1;2 Suy y max y 10 10 1;2 1;2 a Vậy có giá trị tham số a thỏa mãn đề a 7 Câu 44 Cho hàm số y x ax ( a tham số) Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x hàm số 1; 4 Có giá trị thực a để M 2m ? A Xét hàm số g x B Lời giải C D x ax liên tục đoạn 1; 4 x x2 Ta có g x x 1; 4 Hàm số đồng biến 1; 4 x2 min g x g 1 a 1;4 g x g 4 a max 1;4 Trường hợp 1: a a m g x a a a 1;4 Ta có g x a a a M max 1;4 10 Khi M 2m a a 3 a Tài liệu nội 202 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Trường hợp 2: a a 3 m g x a a a 1;4 Ta có g x a a a M max 1;4 Khi M 2m a a 3 a 10 Trường hợp 3: a a 3 a m g x a a 1;4 Ta có g x max a 3; a 3 a a M max 1;4 a 2.0 a a a a a 4 Khi M 2m a 2.0 a 4 a a a 10 Vậy có giá trị a thỏa mãn yêu cầu toán là: a Câu 45 Cho hàm số f ( x ) x x m ( m tham số thực) Tìm tổng tất giá trị m cho max f ( x) f ( x) 10 0;1 0;1 B 3 A C Lời giải D Ta xét f ( x ) x x m liên tục đoạn 0;1 , f '( x ) x x x 0;1 f '( x) x 0;1 f (0) m; f (1) m Ta xét trường hợp sau: - Nếu m max f ( x) m; f ( x) m 0;1 0;1 Khi đó: max f ( x ) f ( x ) 10 (1 m ) 2( m ) 10 m 3 0;1 - 0;1 Nếu m max f ( x) m; f ( x) m 0;1 0;1 Khi đó: max f ( x) f ( x) 10 m 2( m 1) 10 m 0;1 0;1 m max f ( x) m; f ( x) 0;1 0;1 Khi đó: max f ( x) f ( x) 10 m 10 - Nếu 0;1 0;1 max f ( x ) m; f ( x ) 0;1 0;1 Khi đó: max f ( x) f ( x) 10 m 10 m 9 - Nếu m 0;1 0;1 Do có hai giá trị m 3 m thỏa mãn yêu cầu toán Vậy tổng tất giá trị m cho max f ( x) f ( x) 10 0;1 Tài liệu nội 0;1 203 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 46: Cho hàm số f x x x m Tìm tất giá trị m thỏa mãn max f x f x 17 1;3 1;3 5 B m 9; 5; C m 9; 5 3 Lời giải A m 9; 5;29 D m 9; 5;5 Hàm số f x x x m liên tục đoạn 1;3 Xét hàm số y x3 3x m x 1;3 Ta có y 3x x ; y x 1;3 Khi y y 1 ; y 3 ; y m 2; m; m 4 m 1;3 y max y 1 ; y 3 ; y max m 2; m; m 4 m max 1;3 min f x m 1;3 +) Nếu m m f x m max 1;3 Ta có 3max f x f x 17 3m m 17 m 1;3 1;3 min f x m 1;3 +) Nếu m f x m max 1;3 Ta có 3max f x f x 17 m 2m 17 m 5 1;3 1;3 min f x 1;3 +) Nếu m f x m max 1;3 Ta có 3max f x f x 17 m 17 m 1;3 1;3 5 f x 1;3 +) Nếu m f x m max 1;3 Ta có 3max f x f x 17 3m 17 m 1;3 1;3 17 Vậy m 9; 5 Câu 47 Cho hàm số y f x x3 3x m Tích tất giá trị tham số m để f x max f x 0;2 0;2 A 16 B 9 C 16 Lời giải D 144 Xét hàm số: f x x3 3x m 0; 2 Ta có: f x 3x Tài liệu nội 204 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x Khi f x x 1 f 0 m f x 2 m 0;2 Ta có: f 1 2 m suy x f x m ma 0;2 f 2 m m 2 Trường hợp 1: 2 m m m Khi đó: f x max f x 2 m m 0;2 0;2 Nếu m 2 ta có: m m m 3 Nếu m ta có: 2 m m m Trường hợp 2: 2 m m 2 m Khi đó: f x 0;2 f x max f x max f x 0;2 0;2 0;2 m 2 m m 2 m m m m m 8 ) m 4 m m m 2 m m 4 m 2 m Vậy tích giá trị tham số m thỏa yêu cầu toán là: 3.3 9 Câu 48 Cho hàm số f x xm Gọi S x2 tập hợp giá trị m cho max f x f x Số phần tử S 0;1 0;1 A B C Lời giải D xm m m 1 liên tục đoạn 0;1 , f 0 ; f 1 đồ thị hàm x2 số cắt trục hoành điểm có hồnh độ x m m m 1 Trường hợp 1: Nếu m 1 m max f x max ; ; 0;1 2 Ta thấy hàm số f x f x 0;1 m m 6 2 Do max f x 3min f x m 0;1 0;1 m 1 m 10 6 2 m m 1 Trường hợp 2: Nếu m m max f x max ; ; 0;1 2 m m 1 f x ; 0;1 2 Tài liệu nội 205 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m m 1 m m m 1 m Ta có suy m m m + Với m , ta có max f x 3min f x m m m 0;1 0;1 + Với m , ta có m 1 m 32 max f x 3min f x m 0;1 0;1 13 Trường hợp 3: Nếu m m 1 m m 1 m m 1 max f x max ; ; f x ; 0;1 0;1 m m m m m 1 0, m 1 suy m 1 Do đó: m m max f x 3min f x 6 m 0;1 0;1 Vậy có giá trị m thỏa mãn tốn Ta có 2x m ( m tham số thực ) Gọi S tập hợp tất giá trị m x2 cho max f x f x Hỏi đoạn 30;30 tập S có số nguyên? Câu 10: Cho hàm số f x 0;2 0;2 47) A 53 B 52 C 55 D 54 Lời giải Chọn A Tập xác định hàm số D \ 2 Có f ' x 4m x 2 + Nếu m 4 f x thỏa mãn max f x f x 0;2 0;2 + Xét m 4 Ta có f m 4m , giao điểm đồ thị f x với trục hoành ; f 2 m ;0 2 - TH1: 0 m m Khi f x 0;2 max f x 0;2 4m 4m 4 m m 12 ( loại) max f x Theo giả thiết ta phải có 0;2 m8 m4 - TH2: m m 0; Khi đó: m + Xét 4 m : hàm số f x đồng biến, f max f x f x 0;2 Tài liệu nội 0;2 m 4m 0; f nên 12 4m 12 m 2 m Vậy 4 m 5 2 206 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 4m + Xét m 4 : hàm số f x nghịch biến, f 0; f nên m 4m max f x f x m 2 Vậy m 4 0;2 0;2 m 4m +Xét m : hàm số f x đồng biến, f f nên m m4 max f x f x m Vậy m 0;2 0;2 12 Tóm lại: m S ; 6; Nên 30;30 , tập S có 53 số nguyên Câu 15: Cho hàm số f ( x) mx3 3mx 3m ( với m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị m cho S A *) Nếu B m 0, max f ( x) f ( x) Số phần tử 0;1 0;1 C Lời giải f ( x ) 1, x D nên ta có f ( x) , 0;1 max f ( x ) max f ( x ) f ( x) m thỏa mãn toán 0;1 0;1 0;1 *) Nếu m ta có f '( x ) 3mx 6mx 3mx( x 2) Vì x( x 2) 0, x 0;1 m nên f ( x ) hàm đơn điệu 0;1 Ta có f (0) 3m ; f (1) m 1 m TH1: f (0) f (1) (3m 1)(m 1) m Ta có f ( x) 3m ; m max f ( x) max 3m ; m 1 0;1 0;1 Nên max f ( x) f ( x) 0;1 0;1 3m m (*) +) Với m , ta có (*) 3m m m (loại khơng thỏa m ) +) Với m 1 , ta có (*) 3m m 4m 3m2 4m 3m 4m 2m m 4 2 ( thỏa mãn) TH2: f (0) f (1) (3m 1)( m 1) 1 m Ta có f ( x) max f ( x) max 3m ; m 1 0;1 0;1 Nên Tài liệu nội 3m m max f ( x) f ( x) 0;1 0;1 3m m 3m m 207 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m m m m 5 loại khơng thỏa mãn 1 m 3 3m m 3m m Vậy S 0; 4 2 Câu 20: Cho hàm số f x x2 m 2 x m x 1 , m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m thỏa mãn f x max f x 2;3 A B 2;3 C Lời giải Số phần tử tập S D Chọn B f x x2 m 2 x m x 1 Xét hàm số g x g x x2 2x x 1 x2 x m x 1 x2 x đoạn 2;3 , ta có x 1 0, x 2;3 ( g x x ) Suy ra, tập giá trị g x 2;3 5 đoạn g ; g 2; 2 Đặt t x2 2x , hàm số f x 2;3 trở thành hàm số h t t m xét x 1 5 2; Khi đó: f x h t ; 2;3 5 2; 5 max f x max h t max m ; m 5 2;3 2 2; m m 5 5 m 2 m 2 2 m 4 5 *) Xét m m m ; 1 2 Khi đó, f x Suy 2;3 9 2m 2m 2;3 2;3 2 4 13 m 2m kh«ng tháa m· n 1 m 23 f x max f x m 5 *) Xét m m Khi 2 m 2 Tài liệu nội 208 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 5 m m m m 2 5 f x h t m ; m m 5 2;3 2 4 1; 2 Suy f x max f x 2;3 2;3 9 m 2 m m 4 4 4 m tháa m· n m 11 11 Vậy S ; Suy ra, số phần tử tập S 4 m với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m x2 cho f ( x) max f ( x) Tổng bình phương tất phần tử S Câu 21: Cho hàm số y f ( x ) 0;1 A 0;1 16 B 32 C 72 D 128 Lời giải 48) Chọn D 49) + Trường hợp 1: m , f ( x) 0, x suy f ( x) max f ( x) Vậy m 0;1 0;1 (loại) 50) + Trường hợp 2: m , y f ( x) m x 2 0, x 0;1 suy hàm số y f ( x ) đơn điệu 0;1 51) Ta có f ( x ).max f ( x) 0;1 0;1 m2 0, m m 52) suy f ( x) f (0) ; f (1) ; m 0;1 2 m 53) max f ( x) max f (0) ; f (1) max ; m 0;1 m 54) Khi f ( x) max f ( x) m 4 m 4m 0;1 0;1 2 2 128 55) Vậy tổng bình phương tất phần tử S 3 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu Cho hàm số y f x x x x a Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 0; 2 Số giá trị nguyên a thuộc đoạn 3;3 cho M m A Câu B C D Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x x x x 0;2 Có số nguyên A Tài liệu nội a đoạn a thuộc đoạn 7;4 cho M 2m B C D 10 209 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 19 Câu Cho hàm số y x x 30 x m Gọi , giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 0; 2 Số giá trị nguyên m thuộc đoạn 30;30 cho 2 A 56 Câu B C D 57 Cho hàm số y 3x 4x 12x m Gọi , giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 3; 2 Số giá trị nguyên m thuộc khoảng 2019; 2019 cho 2 A 3209 1.B 2.A B 3215 C 3211 D 3213 ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4.D 3.B 10 Dạng 8: Cho hàm số y f x m Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; f x k K k a ;b a;b BT1: Tìm m để y max y m K m k a;b a;b BT2: Tìm m để y * max y m K * m k a;b Câu a ;b Gọi A, a giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y x3 x m đoạn 0; 2 Gọi S tập giá trị thực tham số m để Aa 12 Tổng phần tử S A B C 2 D Câu Có số thực m để hàm số y 3x 4x 12x m có tổng giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn 3; 2 300 A Câu B C 4 D Có số thực m để hàm số y 3x 4x 12x m có tích giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn 3; 2 276 A Câu B C D 2 Cho hàm số y x 2x x a Có số thực a để y max y 10 1;2 A 1.A 2.A 3.D B C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4.A 1;2 D 10 TỔNG QUAN Câu 1: Xét hàm số f x x ax b , với a , b tham số Gọi M giá trị lớn hàm số 1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ được, tính a 2b A Tài liệu nội B C 4 D 210 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 2: Cho hàm số f x 8cos x a cos x b , a , b tham số thực Gọi M giá trị lớn hàm số Tính tổng a b M nhận giá trị nhỏ A a b 7 B a b 9 C a b Câu 3: D a b 8 Cho hàm số f x x ax b , a , b tham số thực Biết giá trị lớn hàm số f x đoạn 1;1 Hãy chọn khẳng định ? A a , b Câu 4: B a , b C a , b D a , b Cho hàm số f x x x m Có số nguyên m 10 để với ba số thực a, b, c 1;3 f a , f b , f c độ dài ba cạnh tam giác A B D C Đề kiểm tra (Xem phần sau) Tài liệu có sử dụng nguồn tập sưu tập tồn quốc từ thầy Strong Vd – VDC , nhóm VDC, nhóm giáo viên Toán tùm lum nguồn tập khác Dạng 6: Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ vào giải toán a Phương pháp: Phương trình f x g m có nghiệm D f x g m max f x D D Bất phương trình f x g m có nghiệm D g m max f x Bất phương trình f x g m có nghiệm D g m f x D D Bất phương trình f x g m nghiệm với x D g m f x D Bất phương trình f x g m nghiệm với x D g m max f x D b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 33 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – Lần 3) Tìm tập hợp tất giá trị tham số m cho bất phương trình sau có nghiệm: x x m ? A ;3 B ;3 C 2; D ;3 Giải Đặt f x x x , bất phương trình trở thành f x m Bất phương trình có nghiệm max f x m D Xét hàm số f x x x có tập xác định D 5; 4 1 1 f ' x 0 x 2 x5 4 x x5 4 x 1 Khi f 5 0; f 0; f max f x 5;4 2 m m ;3 Chọn đáp án B Ví dụ 34 (THPT Xuân Trường – Nam Định – Lần 1) Với giá trị tham số m phương trình Ta có f ' x x x m có nghiệm? A 2 m B 2 m 2 Giải C 2 m D 2 m 2 Đặt f x x x có tập xác định D 2; 2 Bất phương trình trở thành f x m , bất phương trình có nghiệm Tài liệu nội 211 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 f x m max f x D Ta có f ' x x f ' x 1 D x x2 x 4 x 4 x x x x 2; 2 4 x x x f x f 2 2 2;2 Khi f 2 2; f 2; f 2 f x f 2 max 2;2 yêu cầu toán thỏa mãn 2 m 2 Chọn đáp án D Ví dụ 35 (Sở GD ĐT Phú Yên) Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình x 3x m nghiệm với x 1;1 ? A m B m C m Giải Đặt f x x3 x , bất phương trình trở thành f x m D m Bất phương trình nghiệm với x 1;1 m f x 1;1 Xét hàm số f x x x đoạn 1;1 ta có f ' x x x x 1;1 f 1 3; f 1 f ' x 3x x x 2 1;1 f f x f m Chọn đáp án D 1;1 Ví dụ 36 (THPT Thường Tín – Hà Nội) Với giá trị tham số m bất phương trình log x log x 1 m có nghiệm với x 1;3 ? A m B m C m Giải Đặt f x log x log x 1 , bất phương trình trở thành f x m D m Bất phương trình có nghiệm với 1;3 m f x 1;3 Xét hàm số f x log x log x 1 đoạn 1;3 ta có f ' x 1 x ln x 1 ln Với x 1;3 ta có f ' x f x đồng biến đoạn 1;3 f x f 1 m Chọn đáp án A 1;3 Ví dụ 37 (THPT Hịa Bình – Tp Hồ Chí Minh) Cho hàm số y x mx x m 4m Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số đồng biến đoạn 1;3 ? A ;1 B ; 1 10 C ; 3 10 D ; 3 Giải Xét hàm số y x mx x m 4m có y ' x 2mx Hàm số đồng biến đoạn 1;3 y ' với x 1;3 x 2mx với x 1;3 x2 1 m với x 1;3 2x x bất phương trình trở thành g x m 2x Tài liệu nội Đặt g x 212 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Bất phương trình nghiệm với x 1;3 m g x 1;3 x 1 1;3 1 1 g ' x 2x 2x x 1;3 Khi g 1 1; g g x g 1 m Chọn đáp án A 1;3 Ví dụ 38 (Sở GD ĐT Tuyên Quang) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm đoạn 1;3 : log 32 x log 23 x 2m ? A m ; 2 0; B m 2; Ta có g ' x D m 2;0 C m ; Giải Xét phương trình log 23 x log 23 x 2m đoạn 1;3 Phương trình log 32 x 1 log 32 x 2m log 32 x u với x 1;3 u 1; Phương trình trở thành u u 2m u u m Đặt * Phương trình * có nghiệm 1; 2 f u m max f u 1;2 1;2 f u f 1 4 1;2 Ta có f ' u 2u với u 1; 2 f u f 2 max 1;2 4 m 2 m m 0; 2 Chọn đáp án D Ví dụ 39 (THPT Chun Thái Bình – Lần 5) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm 5 thuộc đoạn ; : m 1 log 21 x m log x 4m ? 2 2 7 A 3 m B m 3 C 2 m D m 2 3 Giải 5 Đặt u log x ta có x ; u 1;1 ta phương trình 2 m 1 u m 5 u 4m u 5u m u u 1 * u 5u m 1 u2 u 1 u cầu tốn thỏa mãn 1 có nghiệm thuộc 1;1 g u m max g u Với u 1;1 * g u 1;1 Xét hàm số g u g 'u u 5u 4u đoạn 1;1 ta có g ' u 2 u2 u 1 u u 1 4u u u 1 g 1 u 1 1;1 g 1 3 g u g 1 3 max g u g 1 1;1 1;1 1;1 7 3 m 3 Chọn đáp án A Tài liệu nội 213 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ 40 (Sở GD ĐT Bà Rịa Vũng Tàu) Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn y x x y Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T xy 5x y 27 Tính tổng S M m ? A S 52 B S 59 C S 58 D S 43 Giải Từ giả thiết x x y y x x mà y x x x 3; 2 Thay vào T ta T x x x x x x 27 x3 x x 15 x 1 3; 2 Ta có T ' x x T ' x x x 3 3; 2 M max T T 3 42 3;2 T 3 42; T 1 10; T 17 M m 52 T T 1 10 m 3;2 Chọn đáp án A III BÀI TẬP VẬN DỤNG: Câu (Sở GD ĐT Hà Nội) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x đoạn 3; ? A y 3;2 B y 1 3;2 C y 3;2 D y 3 3;2 Câu (Sở GD ĐT Hà Nội) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x Tính M m ? A M m 16 B M m 18 16 10 12 10 C M m D M m 2 x5 Câu (THPT Chuyên Lam Sơn) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y đoạn x 3 4; 7 là? 1 2 1 Câu (THPT Chuyên Lam Sơn) Giá trị nhỏ hàm số y x nửa khoảng ;3 là? x 2 A 13 B 5 C 15 D 3 x Câu (THPT Chuyên Lam Sơn) Giá trị nhỏ hàm số y đoạn 1;1 là? A A B 1 B 1 C D C D Câu (THPT Lý Thái Tổ Lần 4) Giá trị lớn hàm số y x x là? A B C 2 D x2 Câu (THPT Lý Thái Tổ Lần 4) Tìm giá trị lớn hàm số y đoạn 2; 4 ? x 1 19 11 B max y D max y A max y C max y 2;4 2;4 2;4 2;4 3 Câu (THPT Trần Hưng Đạo) Giá trị nhỏ hàm số y sin x cos x sin x khoảng ; bằng? 23 C A 1 B D 27 Tài liệu nội 214 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu (THPT Trần Hưng Đạo) Giá trị nhỏ hàm số y x ln x đoạn 2;3 là? A B ln D 2ln C e Câu 10 (THPT Kim Sơn A) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x đoạn 1;1 ? A y 1;1 B y 11 1;1 C y 1;1 D y 1;1 Câu 11 (THPT Chuyên Phan Bội Châu Lần 2) Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x là? A B C D Câu 12 (THPT Đồng Đậu Lần 3) Giá trị nhỏ hàm số y x x 21 x 3x 10 bằng? A B C D Câu 13 (THPT Đồng Đậu Lần 3) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x Giá trị M m bằng? A B C D Câu 14 (THPT Đồng Đậu Lần 3) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x đoạn 1; là? A 51 C 1 D 51 1 B 51 3 Câu 15 (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 1) Giá trị lớn hàm số y x3 x đoạn 1; 2 là? A B C 2 D Câu 16 (THPT Nguyễn Khuyến – TP Hồ Chí Minh) Hàm số y cos x cos x có giá trị nhỏ đoạn 0; là? 4 B A C D Câu 17 (THPT Hà Trung) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x.e x đoạn 1; 2 ? e D y e 1;2 1;2 Câu 18 (THPT Chuyên Lam Sơn) Tìm giá trị lớn hàm số y x3 x đoạn 0; ? A y 2e2 B y e2 C y A max y B max y 2 C max y 1;2 0;2 1;2 0;2 0;2 D max y 0;2 Câu 19 (THPT Chuyên ĐH Khoa Học Huế – Lần 1) Tìm giá trị nhỏ hàm số y 3x 10 x ? A 10 C 3 10 D 10 x 1 Câu 20 Với giá trị m giá trị nhỏ hàm số y đoạn 2;5 ? xm A m 1 B m 2 C m 3 D m Câu 21 Gọi T a; b tập giá trị hàm số f x x với x 2; Khi b a ? x 13 25 B C D A 4 Câu 22 Trên đoạn 1; Hàm số y x x A Có giá trị nhỏ 4 giá trị lớn B Có giá trị nhỏ 4 khơng có giá trị lớn C Khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn D Khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn Tài liệu nội B 10 215 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 23 (Tạp chí THTT – Lần 6) Giá trị lớn hàm số y x3 3x đoạn 0;1 là? A B C D Câu 24 (Tạp chí THTT – Lần 4) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hám số x2 y x đoạn 1;1 Khi đó? e 1 B M e; m D M e; m A M ; m C M e; m e e Câu 25 (Tạp chí THTT – Lần 5) Cho hàm số y x x Ký hiệu M max y m y Khi 0;2 0;2 giá trị M m bằng? A B C D Đáp án khác Câu 26 (THPT Chuyên Lương Văn Tụy – Lần 1) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số x 1 đoạn 1;3 là? y 2x 1 A max y 3; y B max y ; y 1;3 1;3 1;3 1;3 C max y 1; y D max y 0; y 1;3 1;3 1;3 1;3 Câu 27 Trên nửa khoảng 0; , hàm số f x x x cos x A Có giá trị lớn 5 , khơng có giá trị nhỏ B Khơng có giá trị lớn nhất, có giá trị nhỏ 5 C Có giá trị lớn 5 , giá trị nhỏ 5 D Khơng có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ Câu 28 Xét hàm số y x đoạn 1;1 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến đoạn 1;1 B Hàm số có cực trị khoảng 1;1 C Hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn 1;1 D Hàm số có giá trị nhỏ x , giá trị lớn x 1 Câu 29 Khi tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y x 3x , học sinh làm sau: 2 x 1 Tập xác định D 1; 4 y ' x 3x Hàm số khơng có đạo hàm x 1; x x 1; : y ' x 3 Kết luận: Giá trị lớn hàm số x giá trị nhỏ x 1; x 2 Cách giải trên: A Sai bước B Sai từ bước 1 C Sai từ bước D Cả ba bước 1 , , 3 Câu 30 Khi tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y x x , học sinh làm sau: x2 x D 2; y ' x2 x 2 y ' x2 x 2 x 2 x x 3 Kết luận: Giá trị lớn hàm số x giá trị nhỏ x Cách giải trên: A Sai từ bước 1 B Sai từ bước 1 Tập xác định: Tài liệu nội 216 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 C Sai bước D Cả ba bước 1 , , 3 Câu 31 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f x x x là: B C 2 D Câu 32 Cho hàm số y x Giá trị nhỏ hàm số 0; bằng: x A B C D Câu 33 Gọi m giá trị nhỏ M giá trị lớn hàm số f x x3 x đoạn A 1 2; Khi giá trị M m bằng: A 5 B C D Câu 34 Trên đoạn 1;1 , hàm số y x x x 3 A Có giá trị nhỏ x 1 giá trị lớn x B Có giá trị nhỏ x giá trị lớn x 1 C Có giá trị nhỏ x 1 giá trị lớn D Khơng có giá trị nhỏ có giá trị lớn x x2 đoạn 2; 4 x 1 19 D y 2;4 Câu 35 (Đề minh họa lần – 2017) Tìm giá trị nhỏ hàm số y A y 2;4 B y 2 2;4 C y 3 2;4 Câu 36 Trong số đây, đâu số ghi giá trị nhỏ hàm số f x x x đoạn 6; 6 ? A B C 55 D 110 Câu 37 Giá trị lớn hàm số f x x x x đoạn 4; bằng: A B 17 C 34 D 68 Câu 38 Cho hàm số y x Với x hàm số: x A Có giá trị nhỏ 1 B Có giá trị nhỏ C Có giá trị nhỏ D Khơng có giá trị nhỏ 2 Câu 39 Tập giá trị hàm số y x với x 3;5 là: x 38 526 38 142 29 127 29 526 A ; B ; C ; D ; 15 3 3 15 Câu 40 Giá trị nhỏ hàm số y cos3 x cos x 3cos x là: 2 A B 24 C 12 D 9 Câu 41 Khi tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số y sin x cos x Một học sinh làm sau (I) Với x ta có sin x 1 cos x (II) Cộng 1 theo vế ta sin x cos x (III) Vậy GTLN hàm số GTNN hàm số Cách giải A Sai từ bước (I) B Sai từ bước (II) C Sai từ bước (III) D Cả ba bước (I), (II) (III) sai Câu 42 Giá trị sau x để hàm số y x x x 28 đạt giá trị nhỏ đoạn 0; 4 ? A Tài liệu nội B C D 217 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 43 Hàm số sau khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn 2; 2 ? A y x3 B y x x C y x 1 x 1 D y x x m2 0;1 bằng: x 1 m2 m2 A B m C D Đáp án khác 2 x m2 Câu 45 Giá trị nhỏ hàm số y 1;0 bằng: x 1 m2 1 m2 A B m C D Đáp án khác 2 Câu 46 Trên đoạn 1;1 , hàm số y x3 x a có giá trị nhỏ a bằng: Câu 44 Giá trị lớn hàm số y A a B a C a D a x m2 Câu 47 Giá trị lớn m để hàm số f x có giá trị nhỏ 0;3 2 ? x8 A m B m C m 4 D m Câu 48 Đâu số ghi giá trị m số đây, 10 giá trị lớn hàm số f x x x m đoạn 1;3 ? A B 6 C 7 D 8 Câu 49 Tìm giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số f x 2 ? m A m m B m 2 x m2 m đoạn 0;1 x 1 m 1 C m 2 m 1 D m Câu 50 (Sở GD ĐT Hưng Yên – Lần 1) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình x 1 vẽ Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ B Hàm số có giá trị lớn C Khơng tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số D Hàm số có giá trị lớn Câu 51 (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu) Giá trị lớn hàm số y x3 3x x 35 đoạn 4; 4 là? A 40 B C 41 D 15 Câu 52 (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu) Giá trị lớn hàm số y x x là? A B C D Câu 53 (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu) Giá trị lớn hàm số y x x đoạn 2; là? A B C D 10 Câu 54 (THPT Thăng Long – Hà Nội – Học kỳ I) Tìm giá trị tham số m để phương trình x ln x m có nghiệm đoạn e 2 ; e2 ? Tài liệu nội 218 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B m 2e4 D m 2e A 2 m C m 2e4 e 2e Câu 55 (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Học kỳ I) Giá trị nhỏ hàm số y x 1 x đoạn 1;0 bằng? 50 2 B D C 81 3 Câu 56 (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Học kỳ I) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x Có số nguyên nằm m M ? A B C Vô số D Câu 57 (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Học kỳ I) Giá trị nhỏ hàm số y sin x x đoạn 0; bằng? 2 5 5 A D B C Câu 58 (Sở GD ĐT Ninh Thuận – Học kỳ I) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x đoạn 0; là? A A max y 6; y 0;2 0;2 C max y 5; y 0;2 0;2 0;2 0;2 D max y 5; y 0;2 0;2 B max y 4; y Câu 59 (Sở GD ĐT Ninh Thuận – Học kỳ I) Giá trị lớn hàm số y x x là? A D B C 2 Câu 60 (THPT Gang Thép – Học kỳ I) Kết luận sau giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x ? A Có giá trị lớn có giá trị nhỏ B Có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ C Khơng có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ D Có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn Câu 61 (THPT Gang Thép – Học kỳ I) Tìm giá trị nhỏ hàm số y cos x đoạn 0; ? 3 3 C D 8 Câu 62 (THPT Chu Văn An – Hà Nội – Học kỳ I) Tìm giá trị nhỏ m hàm số y x 2017 x ? C m A m B m 2017 D m Câu 63 (THPT Chu Văn An – Hà Nội – Học kỳ I) Tìm giá trị nhỏ hàm số y e x 2 x đoạn A B 0; 2 ? 1 D C e e Câu 64 (THPT Nguyễn Du – Học kỳ I) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x e1 x 1 đoạn ;3 là? 2 4 e e e B A C D e e e 4 A e Tài liệu nội B 219 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 65 (THPT Nguyễn Du – Học kỳ I) Giá trị lớn hàm số y x 3x x đoạn 4;3 là? A 21 B 19 C 18 D 20 Câu 66 (THPT Nguyễn Du – Học kỳ I) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x ln x 1 đoạn ; e là? e 1 1 A e B e2 C D e 2e e e 2e Câu 67 (THPT Vân Hội – Hà Nội – Học kỳ I) Giá trị nhỏ hàm số y x3 x x đoạn 2; là? B 4 D A 6 C 3 Câu 68 (THPT Vân Hội – Hà Nội – Học kỳ I) Giá trị lớn hàm số y x x 1 bằng? 1 D C Câu 69 (THPT Vân Hội – Hà Nội – Học kỳ I) Giá trị nhỏ hàm số y x ln 1 x đoạn A B 1;0 là? Câu 71 (Đề thi THPT Quốc gia – mã đề 124) Cho hàm số y 16 Mệnh đề đúng? A m B m C m x m với m tham số thực thỏa mãn x 1 y max y 1;2 1;2 D m Câu 72 (Đề thi THPT Quốc gia – mã đề 112) Tìm giá trị nhỏ m hàm số y x đoạn x 1 ; A m 17 B m 10 C m Câu 73 (Đề thi THPT Quốc gia – mã đề 123) Cho hàm số y D m x m với m tham số thực thỏa mãn x 1 y Mệnh đề đúng? 2;4 A m B m C m 1 D m Câu 74 (THPT Nguyễn Khuyến – Tp Hồ Chí Minh) Giá trị tham số m để phương trình x x m có nghiệm là? 2 2 B m C m D m 2 2 Câu 75 (Sở GD ĐT Hà Nội) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x3 mx x đồng biến khoảng 2; ? A m 13 13 D m 2 Câu 76 (Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm giá trị nhỏ m hàm số y x x 13 đoạn 2;3 A m 2 A m 51 Tài liệu nội B m B m 49 C m C m 13 D m 51 220 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 77 (Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm giá trị nhỏ m hàm số y x đoạn x ; 2 17 A m B m 10 C m D m Câu 78 (Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm giá trị nhỏ m hàm số y x x 11x đoạn 0; A m 11 B m C m 2 D m xm Câu 79 (Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2017) Cho hàm số y (m tham số thực) thỏa mãn x 1 y Mệnh đề sau đúng? [2;4] A m 1 B m C m D m x2 Câu 80 (Đề Thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm giá trị nhỏ hàm số y đoạn x 1 2; 4 19 Câu 81 (Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần năm 2017) Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số f x sin x 1 cos x đoạn 0; A 2;4 B 2 2;4 C 3 2;4 D 2;4 3 3 D M 3; m ; m B M ; m C M 3; m Câu 82 (Trường THPT Chuyên Trần Phú năm 2017) Tìm tất giá trị m để giá trị nhỏ 2x m 1 hàm số f x đoạn 1; 2 x 1 A m B m C m D m Câu 83 (Trường THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên năm 2017) Gọi M m giá trị lớn x x2 nhỏ hàm số y Khi giá trị M m là: x 1 A 2 B 1 C D A M Câu 84 (Trường THPT Phù Cát năm 2017) Hàm số y x x x x đạt giá trị lớn hai giá trị x mà tích chúng là: A B C D.-1 Câu 85 (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Gọi M m giá trị lớn nhỏ x k hàm số y đoạn 1; 0 Tìm k để M m x 1 1 A k B k C k D k 10 243 81 Câu 86 (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Tìm tập giá trị hàm số y x x 1 1 A 0;1 B 0; C 0; D 0; 4 2 Câu 87 (Trường THPT Hàm Rồng lần năm 2017) Gọi M m giá trị lớn giá trị M nhỏ hàm số y x 3x 12 x đoạn 1;2 Tỉ số bằng: m 1 A B C D 3 Tài liệu nội 221 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 88 (Trường THPT Hoằng Hố năm 2017) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x3 đoạn x 2;3 15 19 B y C y D y 28 2 2;3 2;3 2;3 2;3 Câu 89 (Trường THPT Hồng Quang lần năm 2017) Tìm giá trị nhỏ hàm số 2sin x y cos x A 3 B 1 C D 4 Câu 90 (Trường THPT Lê Hồng Phong lần năm 2017) Kí hiệu M m giá trị lớn x2 x M giá trị nhỏ hàm số y đoạn 0;3 Tính giá trị tỉ số x 1 m A B C D 3 cos x Câu 91 (Trường THPT Lục Ngạn lần năm 2017) Hàm số y có giá trị nhỏ : cos x A B C -3 D -1 Câu 92 (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y sin x cos x Khi tích M m là: 25 25 A M m B M m C M m D M m Câu 93 (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Cho số thực không dương y số thực x thỏa mãn x x y Kí hiệu A giá trị nhỏ biểu thức A x y 3xy y 27 x 35 Tìm A? A A B A 1 C A 8 D A 15 Câu 94 (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để m2 x m giá trị lớn hàm số y đoạn 2;0 ? x2 m m 2 A m B m C D m m Câu 95 (Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Cho hai số thực x, y thỏa mãn A y x y x y Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ S x y Ta có M m2 A 10 B 100 C 25 D 75 Câu 96 (Trường THPT Ngô Gia Tự lần năm 2017) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x x x đoạn 3; 6 Tổng M m có giá trị A 18 B 6 C 12 D 4 Câu 97 (Trường THPT Ngô Quyền lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm x mx số y liên tục đạt giá trị nhỏ 0; 4 điểm x0 0; xm A 2 m B 2 m C m D m Câu 98 (Trường THPT Ngô Quyền lần năm 2017) Tìm x để hàm số y x x đạt giá trị lớn A x B x 2 C x D x Câu 99 (Trường THPT An Lão lần năm 2017) Tìm x để hàm số y x x đạt giá trị nhỏ A x 2 Tài liệu nội B x 2 C x D x 222 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 100 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số y x 12 3x Giá trị lớn hàm số bằng: A B C D Câu 101.(Trích đề Đặng Thúc Hứa-2018).Cho hàm số f x x ax b Trong a,b tham số thực Biết giá trị lớn hàm số y f x đoạn 1,1 1.Hãy chọn khẳng định A a 0, b B a 0, b C a 0, b D a 0, b Câu 102.(Trích đề THPT Hoàng Quốc Việt lần 2018) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên 19 tham số m cho giá trị lớn hàm số y x x 30 x m 20 đoạn 0, 2 không vượt 20.Tổng phần tử S A.210 B.105 C.-195 D.300 Câu 103.(Trích THPT Chuyên Lam Sơn 2018).Xét hàm số y f x x ax b với a,b tham số ,Gọi M giá trị lớn hàm số f x 1, 3 Khi M nhận giá trị nhỏ được,Tính a b A.1 B.2 C.-1 D.3 x Câu 104.(Nguồn Internet 2018) Xét hàm số f x e ax bx c M giá trị lớn hàm số f x 1, 3 Khi M nhận giá trị bé Tính a+b+c Câu 105.(Nguồn Sưu Tầm 2018).Xét hàm số f x x ax bx c với a,b,c tham số Gọi M giá trị lớn hàm số 1,1 Khi M nhận giá trị nhỏ Tính 4a 6b 2018c B C, D 4 Câu 106.(Trích Đề Phan Bội Châu 2018).Có giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y x x m đoạn 1, 2 A A.1 B.2 C.3 D.4 Câu 107.(Trích Đề Olimpic tốn 30/4).Tìm a, b, c R để giá tri lớn hàm f x x ax bx c đoạn 1,1 đạt giá trị nhỏ A a b 0, c 3 B a c 0, b 3 C a 0, b 1, c 3 D a 1, b 1, c Câu 108.(Trích THPT -Thanh Chương I -Thanh Hóa).Tìm m để giá trị lớn hàm số y x x m đoạn 2,1 đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị m A.5 Tài liệu nội B.4 C.1 D.3 223 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 ĐÁP ÁN B 11 A 21 D 31 C 41 C 51 A 61 A 71 B 81 B 91 C A 12 D 22 D 32 A 42 B 52 A 62 D 72 C 82 A 92 A Tài liệu nội B 13 A 23 A 33 D 43 C 53 A 63 D 73 A 83 D 93 B A 14 B 24 B 34 B 44 C 54 D 64 A 74 A 84 D 94 C B 15 A 25 B 35 A 45 B 55 D 65 D 75 A 85 D 95 B D 16 C 26 B 36 A 46 D 56 A 66 A 76 A 86 D 96 B D 17 D 27 B 37 C 47 A 57 D 67 B 77 D 87 D 97 B C 18 D 28 D 38 C 48 B 58 A 68 D 78 C 88 B 98 A B 19 C 29 D 39 C 49 D 59 A 69 B 79 C 89 A 99 B 10 A 20 B 30 D 40 D 50 D 60 A 70 C 80 A 90 A 100 C 224 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 PHẦN - TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y f x có tập xác định D Tiệm cận ngang Đường thẳng y b gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y f x lim f x b lim f x b (Hình minh họa) x x lim f x b lim f x b x x Chú ý: u x an x n an 1 x n 1 a1 x a0 , u x , v x đa v x bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0 thức khơng có nghiệm chung Khi Nếu bậc u x bậc v x n m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y Cho hàm số cho hàm số y Nếu bậc u x bậc v x n m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y an bm Nếu u x bậc v x n m đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Đồ thị hàm số tối đa có hai tiệm cận ngang Với hàm số chứa bậc hai, tìm tiệm cận ngang ta lưu ý xét giới hạn x x Tiệm cận đứng Đường thẳng x a gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y f x điều kiện sau thỏa mãn lim f x ; lim f x xa x a (Hình minh họa) lim f x ; lim f x xa lim f x xa Tài liệu nội xa lim f x xa 225 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 lim f x lim f x xa Chú ý: Cho hàm số y xa u x , u x , v x đa thức khơng có nghiệm chung Khi v x Nếu phương trình v x có nghiệm x x0 , đường thẳng x x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y u x Số nghiệm phân biệt phương trình v x số tiệm cận đứng đồ thị hàm số v x u x v x0 v x u x0 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng có vơ số tiệm cận đứng Tiệm cận xiên (đọc thêm) Đường thẳng y ax b, a , gọi đường tiệm cận xiên (gọi tắt tiệm cận xiên) đồ thị hàm số Để x x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y y f x lim f x ax b lim f x ax b (Hình minh họa) x x lim f x ax b x Chú ý: Cho hàm số y lim f x ax b x u x , u x , v x đa thức khơng có nghiệm chung Khi v x Nếu bậc u x bậc v x đồ thị hàm số khơng có tiệm cận xiên Nếu bậc u x bậc v x + đồ thị hàm số có tiệm cận xiên Nếu hàm số viết dạng y ax b c , a 0, c đồ thị hàm số có tiệm cận xiên u x y ax b Ta tìm hệ số a, b công thức sau f x f x a lim ; b lim f x ax a lim ; b lim f x ax x x x x x x (Nếu a ta có tiệm cận ngang) Nhận xét: Đồ thị hàm số y f x có tiệm cận (Tiệm cận ji nên nói rõ) miền xác định miền giá trị hàm số y f x phải chứa (ta hiểu chứa yếu tố ) Đồ thị hàm số y f x có tiệm cận ngang tập xác định D chứa khoảng vơ hạn có dạng a; a Đường thẳng y b coi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y b ; a Tài liệu nội 226 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Để tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x ta cần xét giới hạn lim f x lim f x Đồ thị hàm số tùy ý có tối đa hai tiệm cận ngang Đồ thị hàm số có nhiều tiệm cận đứng Nếu đường thẳng x a tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x xác định D x D x x (nhưng có khoảng c; a với c a có khoảng a; b với a b nằm D ), a D f khơng liên tục a Để tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x xác định D , ta cần xét giới hạn lim f x lim f x điểm a xa xa Tiệm cận đồ thị hàm số cắt Dấu hiệu nhận biết tiệm cận biết bảng biến thiên x - Tại vị trí x ; x Nếu y nhận giá trị cụ thể b, c y y b, y c đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số - Tại x a x a mà y tiến tới đường thẳng x a tiệm cận đứng đồ thị hàm số a TCN a TCĐ TCĐ b TCN Một số quy tắc tìm giới hạn cần nhớ Các kết thường dùng lim x x0 x x0 lim c c ; lim c c ; lim c x x0 x x c x k lim x x lim x k k 2n x k n * lim x k 2n x Quy tắc giới hạn vơ cực a Quy tắc tìm giới hạn tích f x g x lim f x lim g x x x0 L0 b Quy tắc tìm giới hạn thương lim f x x x0 L0 x x0 lim f x g x x x0 f x g x lim g x x x0 Dấu g x lim x x0 L L0 L0 Tùy ý f x g x Việc tính giới hạn dạng vô đinh ( , , ,0. ) ta thường biến đổi biểu thức cách - Đặt thừa số chung rút gọn Tài liệu nội 227 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 - Chia đồng thời tử, mẫu cho số khác không áp dụng lim x 0 tùy thuộc vào x , x k chẵn, lẻ) lim x (ta hiểu kết , cịn xk 0 xk - Nhân liên hợp chứa - Sử dụng kết biết - Dùng casio CÁCH DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN a Ghi nhớ cách nhập giá trị x + Khi x nhập x 106 (ta hiểu nhập số dương lớn) + Khi x nhập x 106 + Khi x x0 (1 số thực) nhập x0 0, 0000001 + Khi x x0 (1 số thực) nhập x0 0, 0000001 + Khi x x0 (1 số thực) nhập x0 0,0000001 b Ghi nhớ cách thị kết + Hiển thị số thực (kết cần tìm) + Hiện thị 10mũ dương kết + Hiện thị -10mũ dương kết + Hiện thị 10mũ âm kết CÁCH DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ ĐỂ TÌM TIỆN CẬN (THỰC CHẤT LÀ TÍNH GIỚI HẠN) + KẾT HỢP VỚI ĐỊNH NGHĨA VỀ GIỚI HẠN Tìm tiệm cận ngang Để tìm tiệm cận ngang tức tính lim f x y0 lim f x y0 x x Calc X 106 f x a Nhập Calc b f x X 10 Nếu a b có tiệm cận ngang y a , a b có hai tiệm cận ngang y a y b Chú ý: Trong nhiều toán cho x 106 x 106 máy tính báo Math EROR trường hợp, trường hợp cịn lại có kết tức có tiệm cận ngang, cho x 106 x 106 máy tính báo đồng thời Math EROR tức khơng có tiệm cận ngang Calc Khi f x 10 mu am có tiệm cận ngang y X 106 Tìm tiệm cận đứng Để tìm tiệm cận đứng tức tính lim f x lim f x , x0 nghiệm mẫu x x0 x x0 f x Nhập Calc f x X x0 0,0000001 Chú ý: Nếu mẫu có nghiệm đơn lân cận nghiệm thuộc tập xác định (Ví dụ mẫu có nghiệm đơn x tập xác đinh 2; ) nghiệm khơng trùng với nghiệm tử chắn tiệm cận đứng tính máy tính kết (vô lớn) Nếu mẫu nghiệm đơn có lân cận nghiệm thuộc tập xác định nghiệm trùng với nghiệm tử khơng phải tiệm cận đứng và tính máy tính kết số thực bé Nếu mẫu có nghiệm kép có lân cận nghiệm thuộc tập xác định nghiệm trùng với nghiệm tử có tiệm cận đứng tính máy tính kết Math EROR Đến kết luận khơng có tiệm cận đứng sai lầm, chưa rút gọn triệt để nghiệm tử mẫu Do để bấm máy tính trường hợp phải rút gọn nghiệm tử mẫu triệt để kết (vô lớn) Calc X x0 0,0000001 Tài liệu nội 228 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 II CÁC VÍ DỤ Ví dụ Đồ thị hàm số y A.1 2x có đường tiệm cận? x2 B.2 C.3 D.4 Giải Hàm số có tập xác định \ 2 Nghiệm mẫu: x x Ta có lim y lim y đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x x 2x 2x lim y lim ; lim y lim đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x x x 2 x x x x Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận (đáp án B) Nhận xét: - Ta tìm nhanh tiệm cận hàm phân thức sau o Bậc tử bậc mẫu tiệm cận ngang đường thẳng y o Nghiệm mẫu x tiệm cận đứng đường thẳng x - Dùng Casio để tìm tiệm cận CALC 10 2 2x Nhập x2 CALC 10 2 6 CALC 10 100000002 6 CALC 10 999999998 Vậy hàm số có tiệm cận ngang y , tiệm cận đứng x 2x Ví dụ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y là? x 5x A.2 B.3 C.4 Giải Hàm số cho có tập xác định \ 2,3 D.5 x Ta có x x x lim y lim y đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x x 2x 2x lim xlim 2 x x x x x 3 đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2x 2x lim lim x 2 x x x 2 x x 2x 2x lim xlim 3 x x x 3 x x đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số x x lim lim x 3 x x x3 x x 3 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Nhận xét: Ta tìm nhanh số tiệm cận sau - Hàm số có bậc tử bậc mẫu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang - Mẫu số có nghiệm phân biệt x x khơng có nghiệm nghiệm tử đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x x Tài liệu nội 229 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ (THPT AMSTERDAM HÀ NỘI - 2017) Đồ thị hàm số y cận đứng: A B Giải Hàm số cho có tập xác định \ 2;1 x3 có đường tiệm x x2 D C x 3 y lim lim x 1 x 1 x x Do đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim y lim x x 1 x x x 1 x 3 y lim xlim 2 x 2 x x Do đường thẳng x 2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim y lim x x 2 x x x 2 Vậy đồ thị hạm số có hai tiệm cận đứng x x 2 (đáp án C) Nhận xét: - Với dạng ta nhìn nhanh số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Nhận thấy mẫu biểu thức hàm số x x có hai nghiệm x x 2 nghiệm nghiệm tử Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x x 2 - Sử dụng Casio cho toán sau 6 CALC 110 66666666 6 CALC 110 66666666 X 3 Nhập X X 2 6 CALC 10 16666666 6 CALC 10 16666666 Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x x 2 x 3x Ví dụ Đồ thị hàm số y có đường tiệm cận? x 2x 1 A B C Giải Hàm số có tập xác định \ 1 Hàm số viết lại y D x x x x 1 x x2 x x 1 x 1 lim y lim y Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x x x2 y lim xlim 1 x 1 x Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x lim y lim x x 1 x x 1 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận (đáp án A) Nhận xét: - Sai lầm hay mắc phải dạng thấy x nghiệm mẫu nghiệm tử nên kết luận x tiệm cận đứng đồ thị - Lưu ý với hàm phân thức ta nên rút gọn triệt để xong tìm tiệm cận x2 có đường tiệm cận? x 4x B.2 C.3 Ví dụ Đồ thị hàm số y A.1 Tài liệu nội D.4 230 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Giải x x x Điều kiện xác định hàm số x Hàm số cho có tập xác định x x 4x x 2; \ 3 x Nghiệm mẫu: x x x x2 Ta có lim y lim đường thẳng y tiệm cận ngang x x x x x2 x2 y lim lim xlim 3 x 3 x x x 3 x 1 x đường thẳng x tiệm cận đứng x2 x2 lim y lim lim x 3 x 3 x x x 3 x 1 x 3 Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận Nhận xét: - Sai lầm mắc phải dạng kết luận nghiệm mẫu tiệm cận đứng - Muốn tìm tiệm cận đồ thị hàm số trước hết ta phải tìm tập xác định hàm số trước - Sử dụng Casio cho toán sau CALC 10 10 9 X 2 Nhập Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y CALC 106 X X Math ERROR 6 CALC 310 50000000 X 2 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 6 CALC 310 X X 49999999 Ví dụ (THPT AMSTERDAM HÀ NỘI - 2017) Đồ thị hàm số y ngang: A B Giải Hàm số cho có tập xác định \ 1;1 x Ta có lim y lim x x2 x x lim x 1 1 x C x x2 có đường tiệm cận D đường thẳng y tiệm cận ngang đồ thị hàm số 1 1 đường thẳng y 1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số 1 x Vậy đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang y y 1 (đáp án C) Nhận xét: Ta sử dụng nhanh Casio để xác định tiệm cận ngang sau lim y lim x x lim x 1 x Nhập X CALC 10 1 CALC 10 X 1 Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y y 1 Tổng qt hóa tốn sau Nếu hàm số y Tài liệu nội ax bx cx d C có tập xác định ; n m; n m đồ thị hàm số C có ex f 231 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 hai tiệm cận ngang y a b a b y Tương tự với trường hợp bậc hai mẫu.(Ví dụ đồ e e 3x x x 3 có hai tiệm cận ngang y ) 5x Ví dụ (THPT QUẢNG XƯƠNG – THANH HĨA) Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số thị hàm số y 2x 1 x2 x x2 5x A x 3 x 2 B x 3 Giải Hàm số có tập xác định \ 2;3 y C x x D x x Nhận thấy x x đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận đứng phải đường x thẳng x x lim y ; lim y đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 3 x 3 x 1 x x 3 2x x2 x lim y lim lim x 2 x2 x2 x2 5x x x x x x 3 3x 1 x 2 3x 1 lim lim x x 2 x x x x 3 x x x x 3 x đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x (đáp án D) Nhận xét: Ta dùng Casio để xử lí toán sau CALC 106 X 1 X X Nhập đường thẳng x tiệm cận đứng 6 X 5X CALC 10 6 CALC 310 112701666 X X X đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm 6 CALC 310 X 5X 112701666 số Hoặc ta thấy x nghiệm đơn mẫu đồng thời nghiệm tử x tiệm cận đứng đồ thị hàm số x nghiệm đơn mẫu không nghiệm tử đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số Ví dụ (THPT QUẢNG XƯƠNG – THANH HÓA) Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x3 2 là: y x2 A B C D Giải Tập xác định D 3; \ 1;1 Hàm số y x3 2 x2 x 3 x x 1 x 1 x x 1 Ta có lim y ; lim y đường thẳng x 1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 lim y lim x 1 x 1 x 1 x3 2 lim x 1 x2 1 x 3 x x 1 x 1 x tiệm cận đứng đồ thị hàm số Tài liệu nội lim x 1 x x 1 232 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng (đáp án D) Nhận xét: - Ta dùng Casio để xử lí toán sau CALC 1106 CALC 1106 X Nhập X 1 6 CALC 110 2928321 6 CALC 110 2928321 Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x 1 - Nếu hàm số chứa ta phải kiểm tra nghiệm mẫu có phải nghiệm tử hay khơng? Ví dụ (THPT AMSTERDAM HÀ NỘI - 2017) Cho hàm số y tiệm cận đứng giá trị tham số m là: A m C m Giải Hàm số cho có tập xác định \ m x 3x m Để đồ thị hàm số khơng có xm B m 0; m D Không tồn m Tiệm cận đứng (nếu có) đồ thị hàm số đường thẳng x m Để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng x m phải nghiệm x x m m 2m 3m m m2 2m m Vậy với m m đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận đứng Chọn đáp án B Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta thử đáp án sau x 3x Với m y x tiệm cận đứng x x x x 1 x 1 Với m y x khơng có tiệm cận đứng x 1 x 1 Chọn đáp án B Ví dụ 10 (THPT HÀ TRUNG – THANH HĨA - 2017) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số x2 m y có hai đường tiệm cận? x 3x A m m B m C m D m Giải Hàm số có tập xác định \ 1; 2 x Nghiệm mẫu: x x x Vì lim y lim y đường thẳng y tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho x x Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Mẫu biểu thức đồ thị hàm số có hai nghiệm x x Do để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x x phải nghiệm x m 12 m m (đáp án A) m 2 m Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta thử đáp án sau Tài liệu nội 233 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Với m y x 1 x 1 x có hai tiệm cận x2 1 x x x 1 x x Với m y x2 x x x tiệm cận đứng x x x 1 x x Chọn đáp án A x2 x có tiệm cận đứng x2 2x m D m Ví dụ 11 (SỞ GD BÌNH ĐỊNH - 2017) Tìm m để đồ thị hàm số y A m m 8 Giải B m m 8 C m m 8 Nhận thấy tử mẫu biểu thức hàm số y x2 x tam thức bậc hai tử x2 2x m x x có hai nghiệm phân biệt x x 2 Do đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng x x m có hai nghiệm phân biệt khác khác 2 1 m m m 1 2.1 m m (đáp án A) m m 8 2 2 m Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta thử đáp án sau x2 x Với m ta chọn m y mẫu vơ nghiệm nên khơng có tiệm cận đứng loại đáp án C, x 2x D Với m 8 đáp án A, B có nên khơng cần thử với m 8 x x x 1 x Với m ta chọn m y tử mẫu khơng có nghiệm chung nên có hai x 2x x x 2 tiệm cận đứng Chọn đáp án A 2mx m Ví dụ 12 (THPT PHÙ CÁT – BÌNH ĐỊNH - 2017) Cho hàm số y Với giá trị m x 1 đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích A m B m C m 4 D m Giải Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 2m.1 m m Với m đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang y m tiệm cận đứng x Khi hai đường tiệm cận hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 2m Diện tích hình chữ nhật S 2m m Theo ta có S 2m m 4 (đáp án C) Ví dụ 13 (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI - 2017) Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số 2x 1 y có đường tiệm cận mx x 1 x2 4mx 1 A 0 B ; 1 1; C D ; 1 0 1; Giải Tài liệu nội 234 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Nhận thấy bậc tử bậc mẫu nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y Đồ thị hàm số có đường tiệm cận phương trình mx x 1 x 4mx 1 1 vô nghiệm Trường hợp 1: m phương trình 1 trở thành có nghiệm x 2 x 1 x 1 x (thỏa mãn) Hoặc m hàm số cho trở thành y 2x 1 1 x 1 2 x 1 x 1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận tiệm cận ngang y Trường hợp 2: m phương trình 1 vô nghiệm 1 m m (loại) 1 m 4m Vậy m giá trị cần tìm (đáp án A) Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta thử đáp án sau 2x 1 Với m y có tiệm cận đứng nên loại đáp án B, C 2 x 1 x 1 x Với m y 2x 1 Ta thấy mẫu có hai nghiệm nghiệm không x x 1 x2 8x 1 trùng với nghiệm tử nên loại D Chọn đáp án A Ví dụ 14 Cho hàm số y f x xác định \ 0; 2 có bảng biến thiên hình x y bên Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y f x ? A B C D 2 4 5 Giải Quan sát bảng biến thiên ta thấy lim y ; lim y 5 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y y 5 x x lim y ; lim y 1; lim y 4; lim y đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x x 0 x x 2 x Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Ví du 15 (SGD BẮC NINH) Xét mệnh đề sau: 1) Đồ thị hàm số y có đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang 2x x x2 x có hai đường tiệm cận ngang đường tiệm cận đứng x x 2x 1 3) Đồ thị hàm số y có đường tiệm cận ngang hai đường tiệm cận đứng x2 Số mệnh đề A B C D Giải 2) Đồ thị hàm số y Tài liệu nội 235 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 3 Xét mệnh đề Hàm số cho có tập xác định \ 2 lim đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận ngang y x x 1 lim lim đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x 2x 3 2x x x 2 2 Xét mệnh đề Hàm số cho có tập xác định \ 0 x x2 x x x2 x ; lim đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang y x x x x y0 lim x x2 x x x2 x ; lim đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x x0 x0 x x Xét mệnh đề Hàm số cho viết x 2x 1 x2 2x x 1 1 y Tập xác định D ; 2 x 1 2 x x x 1 x x x 1 lim lim y đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x lim y đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng 1 x 2 Vậy số mệnh đề (đáp án C) Nhận xét: Trong mệnh đề ta dễ mắc sai lầm nhìn vào nghiệm mẫu x 1 kết luận đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Để tìm tiệm cận trước hết ta phải tìm tập xác định hàm số Ví dụ 16 (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO – NAM ĐỊNH) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm m số y x x có tiệm cận ngang A Không tồn m B m m 2 C m 1 m D m 2 Giải Hàm số có tập xác định m x 1 m x x 1 m Ta có y x x m m x2 x x2 x 2 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc tử bậc mẫu m2 1 m2 m 2 (đáp án B) Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta thử đáp án sau M Cacl Nhập X X 4,99.103 ; 200 X 102 ;M 2 X 10 ; M Nhập M Cacl X 1 X 200; 4,99.10 3 X 102 ; M 2 X 102 ;M 2 Vậy m 2 thoả mãn Chọn đáp án B Chú ý: Với giới hạn bấm máy tính ta cho x 102 khơng cho x 106 máy tính tràn nhớ báo kết giới hạn sai Tài liệu nội 236 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ 17 (THPT GIA LỘC – HẢI DƯƠNG) Cho hàm số y 2m 1 x x4 1 3 , ( m tham số thực) Tìm m để tiệm cận ngang đồ thị hàm số qua điểm A 1; 3 A m 1 B m C m D m 2 Giải Hàm số có tập xác định Do hàm số chứa x , x (mũ chẵn) nên x x giá trị y tương đương 2m 1 m x x 2m Ta có lim y lim y lim lim x x x x x 1 1 x Vậy hàm số có tiệm cận ngang y m Để tiệm cận ngang đồ thị hàm số qua điểm A 1; 3 3 2m m 2 (đáp án D) Nhận xét: Bài tốn tìm tham số m thực chất tìm tiệm cận ngang với giá trị m cho đáp án ta thử đáp án sau: M 1 X Calc Nhập 3 có đáp án D cho kết giới hạn 3 M 2; X 106 X 1 Ví dụ 18 (CHUN ĐH VINH) Tìm tất giá trị tham số a để đồ thị hàm số y đường tiệm cận A a 0, a 1 C a 0, a 1 Giải Hàm số có tập xác định \ 0, a Ta có y x2 a có x ax B a 0, a 1 D a x2 a x2 a x3 ax x x a lim y lim y đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x x Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng phân biệt Mẫu biểu thức hàm số phải có hai nghiệm phân biệt nghiệm tử (*) Nhận thấy phương trình x x a có hai nghiệm x x a a a Vậy (*) a a (đáp án B) a 1 0 a MỞ RỘNG: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN CẮT HAI TIỆM CẬN ax b , với a, c a, b, c, d phụ thuộc vào tham số thực m cx d Tìm giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị cắt trục hai đường tiệm cận A, B thỏa mãn điều kiện cho trước a Phương pháp: Bước 1: d a - Xác định đường tiệm cận C , với tiệm cận đứng x tiệm cận ngang y c c Bài toán 1: Cho hàm số y f x Tài liệu nội 237 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 d a Gọi I ; giao điểm hai đường tiệm cận c c ax b - Giả sử M x0 ; y0 C với y0 f x0 Phương trình tiếp tuyến điểm M có dạng cx0 d ad bc hệ số góc tiếp tuyến điểm M d : y k x x0 y0 với k f ' x0 cx0 d - Tọa độ điểm A d TCĐ nghiệm hệ ad bc ax b d x x0 x y d ad bc a cx0 d c cx0 d A ; c c cx d c ad bc a d y c cx0 d c x c - Tọa độ điểm B d TCN nghiệm hệ ad bc ax b cx0 d x x0 x y cx d cx0 d a cx0 d c B ; c c a y a y c c Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới phương trình bất phương trình theo x0 , giải phương trình ta x0 Chú ý: Tính hồnh độ điểm A tung độ điểm B theo x0 b Ví dụ minh hoạ: x 1 Ví dụ Cho hàm số y C Tổng hoành độ tất điểm thuộc đồ thị cho tiếp tuyến lập với x 1 hai đường tiệm cận tam giác có chu vi bé là? A B C D Giải Tiệm cận đứng x , tiệm cận ngang y I 1;1 giao điểm hai đường tiệm cận Giả sử M x0 ; y0 C với y0 x0 y ' x0 x0 ( x0 1)2 x 1 ( x x0 ) x0 ( x0 1) Toạ độ giao điểm A tiếp tuyến M với tiệm cận đứng nghiệm hệ: x x x 3 x0 x0 A 1; x0 y ( x 1) ( x x0 ) x y x 1 0 Phương trình tiếp tuyến M có dạng d : y Toạ độ giao điểm B tiếp tuyến M với tiệm cận ngang nghiệm hệ: y 1 x x0 B x0 1;1 x0 y 1 y ( x 1) ( x x0 ) x 0 Ta có chu vi tam giác IAB PIAB IA IB AB Vì IAB vng I nên theo định lý Pitago BĐT cosi ta có AB IA2 IB 2IA.IB 16 Mặt khác theo BĐT cosi ta có IA IB IA.IB Vậy PIAB IA IB AB Vậy PIAB , dấu “=” xảy Tài liệu nội 238 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 M M 2; 1 x0 x0 x0 M M 2;1 x0 Hoặc: Ta làm sau Gọi I giao điểm tiệm cận, I (1;1) Ta có: IA , IB x0 x0 IA IB AB (2 x0 2) 16 ( x0 1) ( x0 1) ( x0 1) Khi chu vi AIB P x0 2 x0 x0 1 x0 1 Áp dụng Bđt AM – GM, ta có P 2.2 Vậy P nhỏ , x0 x M M 2; 1 x x (đáp án B) 0 M M 2;1 x0 1 x 2x Ví dụ Cho hàm số y Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm x2 cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ là? A 2 B 4 C 2 D Giải 2x 1 Giả sử M x0 ; C , x0 với y '( x0 ) x0 x0 Phương trình tiếp tuyến với (C) M : y 1 x0 ( x x0 ) x0 x0 2x Toạ độ giao điểm A, B hai tiệm cận là: A 2; ; B x0 2; x0 x xB x0 y yB x0 Ta có A x0 xM , A yM 2 x0 M trung điểm AB Mặt khác I 2; giao điểm hai đường tiệm cận IAB vuông I nên đường trịn ngoại tiếp IAB có diện tích: 2x S IM ( x0 2) ( x0 2)2 2 (Đáp án A) ( x 2) x0 x0 1 Dấu “=” xảy ( x0 2) M 1;1 M 3;3 hỏi diện tích ( x0 2) x0 x2 Ví dụ 3: Cho hàm số y C Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm thuộc (C) biết tiếp x 1 tuyến cắt hai đường tiệm cận điểm A, B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn A d1 : y x ; d : y x Tài liệu nội 239 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B d1 : y x ; d : y x D d : y x 1 ; C d1 : y x ; d : y x d2 : y x 1 Giải Tiệm cận đứng x 1 , tiệm cận ngang y I 1;1 x0 y ' x0 x0 ( x0 1)2 x 2 Phương trình tiếp tuyến M có dạng d : y ( x x0 ) x0 ( x0 1) Toạ độ giao điểm A tiếp tuyến M với tiệm cận đứng nghiệm hệ: Giả sử M x0 ; y0 C với y0 x 2 x 1 ( x x0 ) x 5 y x0 ( x0 1) x0 A 1; x0 x 1 y x 1 Toạ độ giao điểm B tiếp tuyến M với tiệm cận ngang nghiệm hệ: x 2 ( x x0 ) x x0 y x0 ( x0 1) B x0 1;1 y y 1 x0 1 1 , IB x0 1 x0 SIAB IA.IB x0 x0 x0 2 x0 S Gọi P nửa chu vi tam giác IAB bán kính đường trịn nội tiếp r Vậy rmax Pmin P P Ta có chu vi tam giác IAB PIAB IA IB AB Ta có IA Vì ABC vng I nên theo định lý Pitago BĐT cosi ta có AB IA2 IB 2IA.IB 12 Mặt khác theo BĐT cosi ta có IA IB IA.IB Vậy PIAB IA IB AB Vậy PIAB , dấu “=” xảy IA IB x0 x0 x0 1 x0 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn d1 : y x ; d : y x (đáp án A) 2x có đồ thị (C) M C tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, x2 B Độ dài ngắn AB là? A B C 2 D Giải 1 Lấy điểm M x0 ; C Ta có: y ' x0 x0 x0 Ví dụ Cho hàm số y Tiếp tuyến d M có phương trình: y x0 x x0 x0 Giao điểm d với tiệm cận đứng là: A 2; x0 Giao điểm d với tiệm cận ngang là: B x0 – 2; Tài liệu nội 240 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 2 Ta có AB x0 4.2 x0 AB 2 (đáp án C) 2 x0 x0 x0 y0 M 3;3 Dấu “=” xảy x0 x0 y0 M 1;1 x Ví dụ Cho hàm số y có đồ thị (C) Gọi I giao điểm đường tiệm cận (C) Điểm M (C) x 1 tiếp tuyến với (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có chu vi nhỏ là? A 2 B 2 C 2 D 2 Giải x x Với x0 , tiếp tuyến d với (C) M x0 ; có phương trình d : y ( x x0 ) x0 x0 ( x0 1) x 1 Đường thẳng d cắt tiệm cận đứng A 1; x0 Đường thẳng d cắt tiệm cận ngang B x0 1;1 Tam giác IAB vuông I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính AB Gọi P chu vi đường trịn, ta có: P AB P nhỏ AB nhỏ AB nhỏ nhất, ta có : 2 2 AB (2 x0 2) 4( x0 1) 2 (đáp án B) x0 x0 2 x0 Dấu xảy khi: 4( x0 1) ( x0 1) x0 x0 2x 1 Ví dụ Cho hàm số y có đồ thị C Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận C Tìm x 1 đồ thị C điểm M có hồnh độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị C cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn IA2 IB 40 A M 2; 1 B M 2;1 C M 2; 1 D M 2;1 Giải Tiệm cận đứng d1 : x 1 , tiệm cận ngang d : y I 1; 2x Giả sử M x0 ; C , x0 x0 Phương trình tiếp tuyến với C M : y x0 1 x x0 x0 x0 2x x x0 2x y x0 A 1; Tọa độ điểm A d1 nghiệm hệ x0 1 x0 x 1 2x x x0 y x0 B x0 1; Tọa độ điểm B d nghiệm hệ x0 1 y Tài liệu nội 241 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 36 x0 1 40 x0 1 10 x0 1 Theo giả thiết IA IB 40 x0 1 x0 x 2 x0 y0 M 2;1 (đáp án D) 2x 1 (C ) Gọi I giao điểm tiệm cận đồ thị (C) Gọi S tập hợp điểm M x 1 thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến M đồ thị (C) cắt tiệm cận A B cho IA IB 10 Số Ví dụ Cho hàm số y phần tử S A B C D Giải 2x Ta có y Giao điểm hai tiệm cận I 1; 2 x 1 x 1 Gọi M m ; C đường thẳng tiếp tuyến M Ta có : m 1 3 : y ( x m) (m 1) m 1 A giao điểm tiệm cận đứng Tọa độ A thỏa mãn x 1 A 1 ; m 1 y m B giao điểm tiệm cận ngang Tọa độ B thỏa mãn y B (2m ; 2) x m m Trung điểm AB có tọa độ I m ; M Vậy M trung điểm AB m 1 Theo IA IB 10 IM 10 IM 10 m m 4 (m 1) 9 (m 1)2 10 m (m 1)2 (m 1) m 2 Vậy có điểm M cần tìm : M 2;1 , M 4;3 , M 0; 1 , M 2;5 (đáp án D) x2 có đồ thị (C) Viết phương trình hai đường thẳng d1 ; d qua giao điểm I x 1 hai tiệm cận cắt đồ thị (C) điểm phân biệt đỉnh hình chữ nhật biết đường chéo hình chữ nhật có độ dài 30 A d1 : x y d : x y B d1 : 3x y d : x y C d1 : x y d : x y Ví dụ Cho hàm số: y D d1 : x y d : x y Giải Do I 1;1 tâm đối xứng đồ thị hàm số Giả sử d1 cắt (C) A B; d cắt (C) C D I trung điểm AB CD Do đó, ACBD hình bình hành Để ACBD hình chữ nhật thỏa mãn đề AB CD 30 Tài liệu nội 242 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Gọi d1 đường thẳng qua I có hệ số góc k có phương trình d1 là: y k ( x 1) y kx k x2 Phương trình hồnh độ giao điểm d1 (C) là: kx k kx 2kx k (1) x 1 Để d1 cắt (C) 2điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) (1) có 2nghiệm phân biệt k x1 x2 Áp dụng định lý Viét ta có: k 3 x1 x2 k y kx1 k y1 y2 Do đó: 2 y1 y2 k x1 x2 k (k 1)( x1 x2 ) (k 1) 3k y2 kx2 k Để AB 30 thì: ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 30 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) x1 x2 y1 y2 30 12 k 30k 12 k k Vậy đường thẳng thỏa mãn d1 : x y d : x y ngược lại (đáp án C) x2 Ví dụ Cho hàm số y có đồ thị (C) Gọi S tập hợp gồm điểm M C mà tiếp tuyến đồ thị x 1 cắt đường tiệm cận (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp (Với I giao điểm hai đường tiệm cận) Số phần tử S A B.2 C.3 D.4 Giải x02 x0 3x Tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 C có dạng : y 2 x0 1 x0 1 x 5 Giao điểm với tiệm cận đứng tiệm cận ngang A 1; B x0 1;1 x0 Giao điểm hai đường tiệm cận I 1;1 Khi IA ; IB x0 ; AB x0 x0 1 x0 1 Diện tích tam giác IAB IA.IB AB AB S pr pRr IA.IB AB pR 12 AB p AB 4R 5 9 2 AB p 30 x0 1 x0 x0 1 2 x0 1 x0 x0 1 Đặt t x0 , t , phương trình trở thành x0 t t t 15 t 15 t t t 5t t Với t 15 7 x0 x0 1; x0 3; x0 ; x0 x0 2 1 5 1 Vậy có bốn điểm M thỏa mãn M 1; ; M 3; ; M ; 1 ; M ;3 2 2 2 KẾT LUẬN CHUNG Tài liệu nội 243 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Nếu hàm số có dang phân thức (đa thức/đa thức) tiệm cận đứng (nếu có) đồ thị hàm số phải nghiệm mẫu Các bước tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số dạng phân thức - Tìm nghiệm mẫu m - Kiểm tra nghiệm chung tử mẫu phân tích thành dạng x x0 A x n x x0 B x - Rút gọn nhân tử chung o Nếu m n đường thẳng x x0 nghiệm tiệm cận đứng o Nếu m n đường thẳng x x0 nghiệm tiệm cận đứng Kiểm tra phía bên trái, bên phải điểm x x0 có thuộc tập xác định hay khơng? Nếu thuộc tìm giới hạn bên trái, bên phải hàm số Tiệm cận đứng khơng phải nghiệm mẫu Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số phải ý - Tìm tập xác định hàm số, không chứa yếu tố vô đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang a x n a x n 1 an 1 x an - Nếu hàm số có dạng phân thức y m m 1 ta so sánh n, m b0 x b1 x bm 1 x bm o n m đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang o n m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y a o n m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y b0 - Nếu hàm số chứa thức dạng y f x g x , y f x g x ta nhân liên hợp xét giới hạn Nên kết hợp với kỹ Casio để tìm giới hạn tiệm cận III - TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề 1) Tìm số đường tiệm cận thông qua đồ thị cho trước Câu Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị đường cong hình bên Đồ thị hàm số x2 có tất đường tiệm cận đứng ? f x A B g x C D Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta suy phương trình f x 1 có nghiệm phân biệt x a 2 a 1 , x b 1 b x c 1 c Nhận thấy nghiệm khác 2 Vậy đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn D Câu Cho hàm trùng phương y f x có đồ thị đường cong hình bên Đồ thị hàm số g x 2018 x có tất đường tiệm cận ? f x f x 1 A B C D f x Lời giải Ta có f x f x 1 Dựa vào đồ thị ta thấy phương f x trình f x f x 1 có nghiệm phân biệt khơng có nghiệm đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Tài liệu nội 244 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Lại có g x hàm phân thức hữu tỷ với bậc tử nhỏ bậc mẫu đồ thị hàm số g x có tiệm cận ngang Vậy đồ thị hàm số g x 2018 x có đường tiệm cận Chọn D f x f x 1 Câu Cho hàm trùng phương y f x có đồ thị đường cong hình bên Đồ thị hàm số g x 2018 2019 có tất đường tiệm cận ? f x A B C 2018 2019 f x 2018 Lời giải Ta có g x 2019 f x f x D Dựa vào đồ thị ta thấy f x 0, x 2018 2019 f x 0, x x 2 Dựa vào đồ thị ta thấy f x ĐTHS có TCĐ: x 2 x x Ta có lim g x 2019 lim g x 2019 ĐTHS có TCN y 2019 Chọn C x x Câu Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị đường cong hình bên Đồ thị hàm số x2 có tất đường tiệm cận đứng ? f x f x A B g x C D f x 1 Lời giải Ta có f x f x Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy f x • 1 có nghiệm x1 a 1 (nghiệm đơn) x2 (nghiệm kép) f x x a x 1 • có nghiệm x3 1 (nghiệm kép) x4 b (nghiệm đơn) f x x 1 x b Do x 1 x 1 x2 1 g x 2 f x f x x a x 1 x 1 x b x a x 1 x 1 x b đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn D Câu Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị đường cong hình bên Đồ thị hàm số x 1 x 1 g x f x f x có tất đường tiệm cận đứng ? A B C D f x 1 Lời giải Ta có f x f x Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy f x • 1 có nghiệm x1 a 1 (nghiệm đơn) x2 (nghiệm kép) f x x a x 1 Tài liệu nội 245 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 • có nghiệm x3 b a; 1 , x4 x5 c f x x b x x c x 1 x 1 x 1 Do g x x a x 1 x b x x c x a x b x x c đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn D Câu Cho hàm trùng phương y f x có đồ thị đường cong hình bên Đồ thị hàm x x 1 x 1 số g x có tất đường tiệm cận đứng ? f x f x A B C f x Lời giải Ta có f x f x f x 2 2 • 1 f x x 1 x 1 Do g x • D 1 Dựa vào đồ thị hàm số, ta có 2 f x x a x2 x b ĐTHS g x có đường TCĐ Chọn D x x 1 x a x b Câu Cho hàm số bậc năm y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số g x x3 x có đường tiệm cận đứng ? f x f x A B C f x 1 Lời giải Ta có f x f x f x 1,5 f x 1,5 3 D Dựa vào thị, ta có 2 • 1 f x x 2 x x 2 • có nghiệm x a 2 (nghiệm bội lẻ) x 1 (nghiệm bội chẵn) 4 • có nghiệm x b (nghiệm bội lẻ) x (nghiệm bội chẵn) Do g x x x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x x 2 4 f x 9 6 Từ , đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn C Câu Cho hàm số bậc năm y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số g x x có đường tiệm cận đứng ? f x f x 2 A B C Lời giải Điều kiện để x có nghĩa x D f x 1 Xét f x f x f x 2 x a 3; 1 loại • 1 có nghiệm x b thoûa maõn Tài liệu nội x c 3 loại • có nghiệm x d 1;3 thỏa 246 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn B Câu Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị đường cong hình bên Đồ thị hàm số g x x 3x x x f x f x có tất đường tiệm cận đứng ? A B C D f x 1 x có nghĩa x Xét f x f x f x x3 x1 a loại • 1 có nghiệm • có nghiệm x4 c 1; x2 nghiem kep x d x 1 x x x 1 Do g x x x a x x 1 x c x d x x a x x c x d Lời giải Điều kiện để x1 đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn B Câu 10 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị đường cong hình bên Đồ thị hàm số x g x x 3 x x x f x f x A B Lời giải Điều kiện để có tất đường tiệm cận đứng ? C D x x có nghĩa x ; 1 0; f x 1 Xét f x f x Dựa vào đồ thị, ta có f x x3 1 • có nghiệm x4 b 3; 1 x c 3 x1 3 nghiem kep • 1 có nghiệm x2 a 1; loaïi x 1 x 3 x x x2 x x x x a x 1 x b x c x x x a x b x c đồ thị hàm số g x có đường TCĐ x 0, x b, x 3, x c Chọn C Câu 11 Cho hàm số bậc năm y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Đồ thị Do g x hàm số g x x x 1 có đường tiệm cận đứng ? f x f x A B C Lời giải Điều kiện để x có nghĩa x D x 2 x x 1 Ta có g x f x f x f x 4 f x 9 x x 1 • x x 0, x Tài liệu nội x 2 loại • f x x loaïi x nghiem kep triet tieu 247 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x a 2 loại • f x 1,5 x 1 loaïi Vậy đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn A x thỏa mãn • f x 1,5 x b thỏa mãn Câu 12 Cho hàm bậc bốn y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Đồ thị x2 5x x 2x có đường tiệm cận đứng ? f x 11 f x 28 B D hàm số g x A C Lời giải Điều kiện để Ta có g x x x có nghĩa x 2x 1 f x 11 f x 28 x x 3 f x f x x • f x có nghiệm x 0, x (nghiệm kép) x a 12 f x x x 6 x a • f x có nghiệm x 1,5 (nghiệm kép), x b 6;12 x c 12; a 3 f x x x b x c 2 Suy g x x x a x b x c 2x đồ thị hàm số g x có đường tiệm cận đứng Chọn B Câu 13 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số g x x 1 x x 3x f x f x A có đường tiệm cận đứng ? B Lời giải Điều kiện để Khi g x C x x có nghĩa x x 3x D 3 3 x 2 f x 1 f x 5 x x 3 f x 1 f x 5 2 x 3x • f x có nghiệm x a (nghiệm đơn) x (nghiệm kép) • f x có nghiệm x (nghiệm kép) x (nghiệm đơn) x x 3 Suy g x x a x x x 3 x 3x x 3 x 2 x a x 3x đồ thị hàm số g x có đường tiệm cận đứng x a Chọn A Tài liệu nội 248 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 14 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số 10 x x có đường tiệm cận đứng ? f x 13 f x A B C D 10 x Lời giải Điều kiện để thức có nghĩa x 10 5 x g x Từ đồ thị hàm số f x , ta tìm f x x3 x 5 • f x 0, x ; 10 5 x a 2; 13 109 x 25 • f x x Vậy hàm số cho có tiệm cận đứng Chọn B Câu 15 Cho hàm bậc ba y f x có đồ thị hình Đồ thị hàm số g x f x x 1 x x 3 có đường tiệm cận đứng ? A C B D x 1 Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy f x x nghiem kep nghiem don x 1 x f x x 1 x Khi g x x 1 x 1 x 3 Vì hàm số f x xác định 1 2; nên x 1, x không đường TCĐ Vậy ĐTHS g x có đường TCĐ x Chọn A Vấn đề 2) Tìm số đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên Câu 16 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình bên Tìm tất số thực m để đồ thị hàm số g x đứng ? A m 5 có ba đường tiệm cận f x m B m 5 C 5 m D 5 m Lời giải Để đồ thị hàm số g x có ba tiệm cận đứng phương trình f x m có ba nghiệm f x m phân biệt Dựa vào BBT m 5 Chọn B Câu 17 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình bên Hỏi đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận (chỉ tính đường tiện đứng đường tiệm cận ngang) ? A Tài liệu nội B C D 249 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 lim f x TCD : x 1 x 1 Lời giải Ta có f x TCD : x xlim 3 Lại có lim f x TCN: y x Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Chọn C Câu 18 Hàm số y f x xác định có đạo hàm \ 1;1 , có bảng biến thiên hình bên Gọi k , l số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số g x Tính k l f x 1 A k l B k l C k l D k l x Lời giải Dựa vào BBT, ta thấy f x ĐTHS g x có hai TCĐ x a 1 f x lim y TCN xlim x f x Lại có lim f x lim 1 y 1 TCN x f x x Vậy k 2, l k l Chọn C Câu 19 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số g x A có đường tiệm cận đứng ? f x 1 B C D f x 1 1 Lời giải Ta có f x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình 1 f x Đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn C có nghiệm (hai nghiệm khác nhau) Câu 20 Cho hàm số bậc ba y f x có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số g x x2 2x có đường tiệm cận đứng ? f x A B C D f x 2 1 Lời giải Ta có f x Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x • 1 có nghiệm x a f x h x x a với h x hàm bậc hai h x vơ nghiệm • có nghiệm x 0, x b 1; x c 2; f x x x b x c Do g x x x 2 x 2 h x x a x x b x c h x x a x b x c đồ thị hàm số g x có đường tiệm cận đứng Chọn C Tài liệu nội 250 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 21 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình có tiệm cận đứng ? f 3 x A B C D x a 2, Lời giải Dựa vào BTT, ta thấy phương trình f x x b 2; x c 3 x a x a Suy f x x b x b 3 x c x c vẽ Đồ thị hàm số g x đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn D Câu 22 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình có tiệm cận đứng ? f 3 x A B C D Lời giải Dựa vào BTT, ta thấy phương trình f x có nghiệm x a vẽ Đồ thị hàm số g x Suy f x x a x a đồ thị hàm số g x có đường TCĐ Chọn B Câu 23 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số g x log f x A C có tiệm cận đứng ? B D f x 4 1 Lời giải Ta có log f x f x 16 f x Dựa vào bảng biến thiên, suy • 1 có nghiệm x a • có nghiệm x b a;0 , x c 0;1 x c Vậy đồ thị hàm số g x có đường tiệm cận đứng Chọn D Câu 24 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số g x 2018 e f x có tiệm cận đứng ? e A C B D f x 1 1 Lời giải Ta có e f x e f x f x Dựa vào bảng biến thiên, suy • 1 có nghiệm x 1 x a • có nghiệm x b 1, x c 1; x Vậy đồ thị hàm số g x có đường tiệm cận đứng Chọn C Tài liệu nội 251 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 25 Cho hàm số bậc ba y f x có bảng biến thiên hình Đồ thị hàm số g x x 4x có đường tiệm cận đứng ? f x 1 A C B D x có nghĩa x Từ bảng biến thiên, ta xác định hàm số f x x x Lời giải Điều kiện để Ta có g x x 1 f x 1 x 4x • x x 0, x x x nghiemkep triet tieu • f x 1 f x x f x 1 x 2 loaïi x loaïi Vậy đồ thị hàm số g x có đường TCĐ x 0, x Chọn B Vấn đề 3) Tìm số đường tiệm cận thông qua biểu thức hàm số Câu 26 Cho hàm số y f x thỏa mãn lim f x 1 lim f x m Tìm tất giá trị thực tham x x số m để đồ thị hàm số y có tiệm cận ngang f x A m 1 B m Lời giải Ta có lim x C m 1; 2 D m 1; 2 1 đồ thị hàm số ln có TCN y f x 1 1 1 m 1 xlim f x m2 Do để ycbt thỏa mãn Chọn C m 2 xlim f x Câu 27 Có số nguyên tham số thực m 3; 6 để đồ thị hàm số y x 1 2x 2x m x có đường tiệm cận ? A B C D 10 1 Lời giải Ta có lim y lim y nên ĐTHS có đường TCN x x 1 1 Do để u cầu tốn thỏa mãn ĐTHS có TCĐ x x m x có nghiệm phân biệt khác x 1 Ta có x x m x * x 4x m 1 phương trình Để * có nghiệm phân biệt khác Tài liệu nội 252 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m ' 2 3 m 1 4.1 m m 2 x1 x2 ** Chọn B x1 x2 m 1 x x m x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 x 1 Câu 28 Tìm tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số y A m ; 12 0; B m 0; 1 C m 0; 2 1 D m 0; 2 x mx 3m có hai tiệm cận đứng x 1 Lời giải Điều kiện: Yêu cầu toán thỏa mãn phương trình x mx 3m có x mx m nghiệm phân biệt lớn 1 m2 12 m m 12m x1 x2 m x1 1 x1 1 x2 1 3m m m Chọn D x1 x2 3 m x 1 m x x 12 x x Câu 29 Tìm tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số y x x 2m có hai tiệm cận đứng 9 9 A m 4; B m 4; C m 8;9 D m 0;9 2 2 0 x Lời giải Điều kiện: Tương tự trên, yêu cầu phương trình x x m có hai x x m nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0; 4 m Chọn A Câu 30 Cho hàm số y Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị x 2m 1 x m x m hàm số có đường tiệm cận 1 C m 0;1 \ 2 Lời giải Ta có lim y đồ thị hàm số có TCN: y 1 D m ;1 \ 2 B m 0;1 A m 0;1 x Do để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đồ thị hàm số phải có TCĐ phương trình x 2m 1 x 2m có nghiệm phân biệt lớn m * m 1 8m m x1 m x1 m x2 m Chọn C x m 0 m x1 m x2 m Câu 31 Có số nguyên m 1;3 để đồ thị hàm số y A B C 2 x mx x 1 có đường tiệm cận đứng ? D Lời giải Ta có lim x mx m với m 1 Do với m 1 hàm số khơng có giới hạn x 1 x nên ĐTHS khơng có TCĐ Tài liệu nội 253 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 lim x mx m m • Với x 1 lim y nên ĐTHS có TCĐ x x 1 m lim x 1 x 1 • Với m ta có lim y lim x 1 lim x 1 x 1 x 1 2x x 3x x 1 lim x 1 x2 x 1 2x 3x nên ĐTHS có TCĐ x x x 1 m Vậy để ĐTHS có TCĐ m 1 m 1;0;1; 2;3 Chọn D m 1;3 Câu 32 Có giá trị thực tham số a để đồ thị hàm số y ax x có tiệm cận ngang ? A B C D Vô số 2 a 4 x 1 Lời giải Ta có lim y lim ax x lim x x x ax x a x2 ĐTHS khơng có TCN Với a ta có lim x ax x a x2 lim 1 Với a a 2 ta có lim ĐTHS có TCN y Vậy x x ax x ax x a 2 thỏa mãn Chọn C x 1 Câu 33 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y có hai tiệm cận mx ngang A m B m C m D m Lời giải Khi m 0, ta có 1 x 1 x lim lim y TCN ; x x m m mx m x x 1 1 x x lim y lim y TCN x x 1 m m x m m x x x 1 Với m suy y đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Với m hàm số có TXĐ đoạn nên đồ thị hàm số khơng có TCN Vậy với m đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Chọn C x 3 Câu 34 Có giá trị nguyên tham số thực m để đồ thị hàm số y có tiệm x mx cận ngang ? A B C D Vô số Lời giải Ta có x 3 lim y lim với m ; x x x mx m x 3 lim y lim với m 0, m x x x mx m Tài liệu nội 254 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 x x , suy hàm số có Nếu m lim y lim lim x x x x 4 TCN y lim y m 1 Do giá trị m thỏa yêu cầu toán x 2 m 1 Nếu , để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang m 1 m 1 m m Vậy m 0, m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C x 3 x2 x x mx 1 Câu 35 Có giá trị nguyên tham số thực m để đồ thị hàm số y e ngang ? A 2016 B 2017 C 2018 D 2019 Lời giải Nếu m m 2018 TXĐ khơng chứa nên khơng có TCN Xét m 2018, ta có lim y e x 3 m 1 2018 m lim y e x 3 m 1 2018 m x 2018m x2 1 có hai tiệm cận 0 m 2018 0 m 2018 Để đồ thị hàm số có hai TCN ta cần 1 2018 m m 2017 9081 3 m 3 m m 1 2018 m 2018 m m m 0;1; ; 2018 \ 2017 Chọn C Tài liệu nội 255 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN – TIỆM CẬN - GV : LƯƠNG VĂN HUY - 0969141404 2x 1 Câu Số tiệm cận đồ thị hàm số y là? x2 A B C D 2x 1 Câu Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y là? x 4x A.1 B.2 C.3 D.4 x 1 Câu Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y ? x 2x A.1 B.2 C.3 D.4 2x Câu Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y ? x 1 A.0 B.1 C.2 D.4 2x Câu Số tiệm cận đồ thị hàm số y là? x 5x A.1 B.2 C.3 D.4 x x 2017 ? 4x 1 A.1 B.2 C.3 Câu Trong số hàm số sau, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ? x 2017 x 10 x 2017 A y 2018 B y C y 2016 x x2 2x 1 4x Câu Số tiệm cận ngang đồ thị hàm số y ? 5x 1 A.1 B.2 C.3 x2 Câu Số tiệm cận ngang đồ thị hàm số y là? x 1 A.1 B.2 C.3 D.0 Câu Số tiệm cận đồ thị hàm số y D.4 D y x2 4x D.0 x 3x x2 A y B x 1 C x 1 D x 2 x Câu 11 (Thi thử chuyên Hạ Long 2017) Tìm số đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y x2 x A B C D x Câu 12 (Thi thử chuyên HN – lần 3) Số tiệm cận đồ thị hàm số y x 1 A B C D Câu 13 (Đề khảo sát sở GD & ĐT HN 2017) Tìm phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2x 1 y x 1 A y B y C x D x Câu 10 (Đề thi thử THPT Chu Văn An 2017) Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y Câu 14 Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y A.1 B.2 Câu 15 Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y A.1 Tài liệu nội B.2 x3 ? x4 x2 C.3 9 x x 3 C.3 D.4 ? D.4 256 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 16 (Trường THPT Triệu Sơn lần năm 2017) Hàm số y x x2 x có đường tiệm x 1 cận? A B C D Câu 17 (Trường THPT Triệu Sơn lần năm 2017) Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y f x x2 x là: x 1 A B C D Câu 18 (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A y x2 x x x 1 B x C y 2 y D y Câu 19 (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Đồ thị hàm số y đường tiệm cận? A B C x2 có tất x 2 D Câu 20 (Trường THPT Tiên Du lần năm 2017) Số đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số: y A B x 1 x2 C D ax Câu 21 (Trường THPT Tiên Du lần năm 2017) Cho đồ thị hàm số y qua điểm M 2;5 có xd đường tiệm cận đứng đường thẳng x tổng a d A B C D Câu 22 (Sở GD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số x4 có tiệm cận y x2 m m 16 m m 16 m A B m C D m 8 m 16 m 16 m Câu 23 (Sở GD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tất giá trị m cho đồ thị hàm số x 1 có tiệm cận ngang y x mx m A m B C m D m m Câu 24 (Sở GD ĐT Quảng Ninh năm 2017) Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x3 3x 20 y x 5x 14 x 2 x A B x 2 C D x x x 7 Câu 25 (Sở GD ĐT Hà Nam năm 2017) Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x x2 x y x2 x A x B x 2 C x 2 x 1 D x x Câu 26 (Sở GD ĐT Bắc Ninh năm 2017) Tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số 2017 x có hai đường tiệm cận đứng là: y x mx 3m Tài liệu nội 257 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 1 A ; 4 2 1 B 0; 2 C 0; Câu 27 (Sở GD ĐT Bắc Giang năm 2017) Đồ thị hàm số f x D ; 12 0; 3x x x có tiệm cận đứng x 3x tiệm cận ngang A Tiệm cận đứng x , x ; tiệm cận ngang y B Tiệm cận đứng x ; tiệm cận ngang y C Tiệm cận đứng x , x ; tiệm cận ngang y , y D Tiệm cận đứng x ,; tiệm cận ngang y , y Câu 28 (Trường THPT Quỳnh Lưu lần năm 2017) Đồ thị hàm số y 2x 1 x2 có tất đường tiệm cận? A B C D Câu 29 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 3x x2 x A Đồ thị tiệm cận đứng B x 3 x C x 3 D x Câu 30 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm x2 1 số y có ba tiệm cận là: x 2mx m 1 A m \ 1; B m ; 1 0; 3 1 1 C m 1; \ D m ; 1 0; \ 3 3 Câu 31 (Trường THPT Phan Đình Phùng năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để x m đồ thị hàm số y có hai đường tiệm cận x 1 A ; \ 1 B ; \ 1; 0 C ; D ; \ 0 Câu 32 (Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho y đồ thị hàm số x m 2x m y A m 4 x x2 B m có tiệm cận đứng: C m Câu 33 (Trường THPT Ngô Sỹ Liên lần năm 2017) Cho hàm số y D m 2; 4 x 1 , đường tiệm cận đứng x 2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho có phương trình là: 1 A x 2, y B x 4, y C x 4, y D x 2, y 2 Câu 34 (Trường THPT Lương Thế Vinh năm 2017) Số đường tiệm cận đồ thị hàm số x2 x2 x 10 x A B C D Câu 35 (Trường THPT Lương Thế Vinh năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm x 1 số y có tiệm cận đứng x mx m A m B m C m 0; 4 D m y Tài liệu nội 258 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 36 (Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh năm 2017) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số x2 m y có tiệm cận đứng x 3x A m 1; 4 B m 1 C m D m 1; 4 Câu 37 (Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh năm 2017) Số tiệm cận đồ thị hàm số f x x 2x x2 x A bốn B ba C D hai Câu 38 (Trường THPT Lê Hồng Phong năm 2017) Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số mx 3mx có tiệm cận x2 1 A m B m C m D m 2 Câu 39 (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số x2 x y có hai tiệm cận đứng x 2x m m m 1 m m A B C D m 8 m m 8 m 8 Câu 40 (Trường THPT Hoằng Hố năm 2017) Tìm tất đường tiệm cận ngang đứng đồ thị 3x hàm số y f x x 1 y A Đồ thị hàm số f x có tất hai tiệm cận ngang đường thẳng y 3, y khơng có tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số f x khơng có tiệm cận ngang có tiệm cận đứng đường thẳng x 1 C Đồ thị hàm số f x khơng có tiệm cận ngang có hai tiệm cận đứng đường thẳng x 1, x D Đồ thị hàm số f x có tiệm cận ngang đường thẳng y khơng có tiệm cận đứng x 3 Tìm tất giá trị x 6x m tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang? A 27 B 27 C D Câu 42 (Trường THPT Đức Thọ năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số x 3x m khơng có tiệm cận đứng y xm A m B m C m D m m x2 6x m Câu 43 (Trường THPT Đơng Anh năm 2017) Tìm m để đồ thị hàm số y khơng có tiệm cận 4x m đứng? m A m 16 B C m D m m 4mx 3m Câu 44 (Trường THPT Đoàn Thượng năm 2017) Cho hàm số y Với giá trị m x2 đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích 2016 A m B m 504 C m 252 D m 1008 Câu 41 (Trường THPT Hai Bà Trưng lần năm 2017) Cho hàm số y Tài liệu nội 259 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x Câu 45 (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Cho hàm số y x2 2 x 2x 1 có đồ thị C Khẳng định sau đúng? A Đồ thị C có tiệm cận đứng tiệm cận ngang B Đồ thị C khơng có tiệm cận đứng tiệm cận ngang C Đồ thị C có tiệm cận đứng tiệm cận ngang D Đồ thị C khơng có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Câu 46 (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Biết đường tiệm cận đường cong 5x x trục tung cắt tạo thành đa giác (H) Mệnh đề đung? x4 A (H) hình vng có chu vi 16 B (H) hình chữ nhật có chu vi C (H) hình chữ nhật có chu vi 12 D (H) hình vng có chu vi Câu 47 (Trường THPT Chuyên Vị Thanh năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị C : y hàm số y m 1 x x x 1 A m m C m 1 có tiệm cận ngang B m D Với giá trị m Câu 48 (Trường THPT Chuyên Trần Phú năm 2017) Cho hàm số y x 3x m có đồ thị C Tìm tất xm giá trị m để (C) khơng có tiệm cận đứng A m B m C m m D m Câu 49 (Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần năm 2017) Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số x3 y x2 1 A B C D mx3 Câu 50 (Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần năm 2017) Tìm m để đồ thị hàm số y có x 3x tiệm cận đứng? A m 2; m B m 1; m C m D m ax Câu 51 (Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần năm 2017) Cho hàm số y Xác định a b để bx đồ thị hàm số nhận đường thẳng x đường tiệm cận đứng đường thẳng y đường tiệm cận ngang A a 1; b B a 1; b 2 C a 2; b 2 D a 2; b Câu 52 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Tìm số tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2 x A B C D Câu 53 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Tìm giá trị thực m để đồ thị hàm số x 3x m y khơng có tiệm cận đứng xm m A m B C m 1 D m m Câu 54 (Trường THPT Chuyên SPHN lần năm 2017) Tìm tất đường tiệm cận đồ thị hàm số Tài liệu nội 260 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x2 x2 A x 1, y B x 1, y C y D x 1 Câu 55 (Trường THPT Chuyên SPHN lần năm 2017) Tìm tất đường tiệm cận đồ thị hàm số x 3x y x3 A x 1, y B y C x 1, y D x 1, y y ĐÁP ÁN 1.B 11.C 21.A 31.A 41.B 51.A 61 71 81 91 2.B 12.C 22.A 32.C 42.D 52.B 62 72 82 92 Tài liệu nội 3.A 13.C 23.A 33.B 43.B 53.B 63 73 83 93 4.A 14.D 24.D 34.A 44.C 54.C 64 74 84 94 5.A 15.A 25.B 35.C 45.C 55.B 65 75 85 95 6.C 16.B 26.B 36.A 46.C 56 66 76 86 96 7.C 17.B 27.B 37.B 47.C 57 67 77 87 97 8.D 18.C 28.D 38.A 48.C 58 68 78 88 98 9.A 19.B 29.A 39.D 49.C 59 69 79 89 99 10.C 20.C 30.D 40.A 50.A 60 70 80 90 100 261 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 PHẦN - TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tiếp tuyến đường cong a Định nghĩa: Cho hàm số y f x có đồ thị C , điểm M y (C) f(x) M cố định thuộc đồ thị C có hoành độ x0 Với điểm M thuộc C khác M , ta kí hiệu xM hồnh độ k M hệ số góc cát tuyến M M Giả sử tồn giới hạn hữu hạn lim kM k0 xM x0 T y Khi đó, ta coi đường thẳng M 0T qua điểm M có hệ số góc k0 vị trí giới hạn cát tuyến M M M chuyển dọc theo C dần đến M Mo f(xo) x H x xo Đường thẳng M 0T gọi tiếp tuyến C điểm M , M gọi tiếp điểm f xM f x0 xM x0 Vì hàm số có đạo hàm điểm x0 nên theo định nghĩa đạo hàm có Ta có hệ số góc đường thẳng M M kM f ' x0 lim xM x0 f xM f x0 lim k M k0 xM x0 xM x0 b Ý nghĩa hình học tiếp tuyến: Đạo hàm hàm số y f x điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M x0 ; f x0 Chú ý: Góc tạo tiếp tuyến đường cong C điểm M x0 ; f x0 người ta gọi độ dốc đồ thị C M (hay x0 ) Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số Nếu hàm số y f x có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M x0 ; f x0 có phương trình là: y f ' x0 x x0 f x0 Trong k f ' x0 gọi hệ số góc tiếp tuyến điểm M Các bước giải toán tiếp tuyến Bước 1: Tiếp điểm M x0 , f x0 Bước 2: Tính y ' K y ' x0 Bước 3: Phương trình tiếp tuyến: y K x x0 f x0 Hệ thống nhận xét tiếp tuyến Nhận xét 1: Nếu biết hoành độ tiếp điểm thay vào hàm số đề để tìm tung độ ngược lại Nhận xét 2: Nếu tiếp tuyến song song với y ax b k a Nếu tiếp tuyến vng góc với y ax b k.a 1 Nhận xét 3: Nếu tiếp tuyến qua điểm thay toạ độ điểm vào phương trình tiếp tuyến Nhận xét 4: Nếu tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc k tan Sự tiếp xúc đường cong Tài liệu nội 262 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Cho hai hàm f x g x có đạo hàm điểm x0 Ta nói hai đường cong y f x y g x tiếp xúc với điểm M x0 , y0 M điểm chung đường cong hai đường cong có tiếp tuyến chung tiếp điểm M f x g x Hai đường cong tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm: f ' x g ' x II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M x0 ; f x0 (Điểm thuộc đồ thị) Bài toán tổng quát Cho hàm số y f x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C điểm M x0 ; f x0 thuộc đồ thị C a Phương pháp: Dựa vào định nghĩa, phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M là: y k x x0 f x0 Với x0 hoành độ tiếp điểm Với y0 y x0 f x0 tung độ tiếp điểm Với k y ' x0 f ' x0 hệ số góc tiếp tuyến * Để viết phương trình tiếp tuyến ta phải xác định x0 ; y0 k Một số loại Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến M x0 ; y0 (C ) - Tính đạo hàm hàm số, thay x0 ta hệ số góc k Áp dụng * ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Loại 2: Cho trước hồnh độ tiếp điểm x0 - Tính đạo hàm hàm số, thay x0 ta hệ số góc k - Thay x0 vào hàm số ta tìm tung độ tiếp điểm Áp dụng * ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Loại 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0 - Giải phương trình y0 f x0 để tìm x0 - Tính đạo hàm hàm số, thay x0 ta hệ số góc k Áp dụng * ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Có giá trị x0 có nhiêu tiếp tuyến b Hướng dẫn sử dụng máy tính: Cách Tiếp tuyến hàm số y f x điểm có hồnh độ x0 có tung độ y0 hệ số góc k y0 y x0 PTTT : y k x x0 y0 d f X k y ' x0 x x0 dx Chú ý: Cũng tính ln lần cách nhập d f X Calc : f X k ; y0 PTTT : y k x x0 y0 X x0 xX dx Cách Giả sử phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng y kx m * Tìm hệ số góc k : Nhập Tài liệu nội d f X dx xX Cacl , bấm dấu "='' tìm k X x0 263 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 * Tìm m: Bấm mũi tên sang trái sửa thành d f X dx xX Cacl X f X , bấm dấu "='' X x0 tìm m c Với hàm bậc ba tiếp tuyến điểm cực trị song song với trục hồnh tức có cực trị có nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành d Ví dụ minh hoạ: x3 Ví dụ Cho hàm số y f x x 3x C Có tiếp tuyến C điểm C có hồnh độ x0 , với f x0 A B C D Giải: Tính f ' x0 x0 x0 ; f '' x0 2 x0 Theo giả thiết f x0 2 x0 x0 1 y0 1 16 k f x0 f 1 1 1 8 Suy phương trình tiếp tuyến cần tìm y 16 8 x 1 y 8 x 3 Chọn đáp án A Nhận xét: Để dùng máy tính ta làm sau: Sau tìm x0 1 X3 d X 3X X3 16 Cacl Cách 1: Nhập : X X 8; X x0 x X dx 3 16 PTTT : y 8 x 1 y 8 x 3 X d 2X 3X Cacl Cách 2: Nhập 8 Bấm mũi tên sang trái sửa thành x X X x0 dx X3 d X 3X X3 Cacl X X X X x0 x X dx 3 PTTT : y 8 x Chú ý: Khi quen với việc bấm máy ví dụ tự thực hành bấm máy Ví dụ (THPT Xuân Trường – Nam Định – học kỳ I năm 2017) Cho hàm số y x x x có đồ thị C Phương trình tiếp tuyến đồ thị C giao điểm với trục tung là: A y x B y x C y x D y x Giải Đồ thị C cắt trục tung điểm M 0;1 , ta có y ' x x y ' phương trình tiếp tuyến M 0;1 y y ' x y x Chọn đáp án B Ví dụ (THPT Xuân Trường – Nam Định – học kỳ I năm 2017) Tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 y điểm A ;1 có phương trình là: 2x 2 Tài liệu nội 264 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A x y B x y 1 C x y 3 D x y Giải 1 1 Ta có x0 y ' y ' 1 2x x 2 1 1 phương trình tiếp tuyến A ;1 y 1 x x y 2 2 Chọn đáp án A Ví dụ (THPT Hiệp Hịa – Bắc Giang – học kỳ I năm 2017) Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 1 điểm có hồnh độ x0 1 có phương trình là: A y x B y x C y x D y x Giải Ta có y ' y ' x0 y ' 1 1 y x0 y 1 2 x 1 phương trình tiếp tuyến y 1 x 1 x Chọn đáp án C Ví dụ (Sở GD ĐT Vĩnh Phúc năm 2017) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 1 x2 điểm M 1; A y x 1 B y x 1 C y x 1 D y x 1 Giải Tại điểm M 1; có x0 y ' x 2 phương trình tiếp tuyến M y y ' 1 1 x 1 x 1 3 Chọn đáp án C Ví dụ (Sở GD ĐT Bạc Liêu năm 2017) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 3x x 1 điểm có tung độ là: 40 39 A y x B y 5 x C y x D y x 3 9 Giải 3x Ta có y0 y x0 x0 x0 x0 M 2; x0 1 Khi y ' y ' 1 x 1 phương trình tiếp tuyến M y x x Chọn đáp án D Ví dụ (THPT Chuyên Thái Bình năm 2017) Cho hàm số y x 1 có đồ thị C Tiếp tuyến đồ x2 thị C giao điểm C với trục hoành là: A y 3x Tài liệu nội B y 3x C y x D y 1 x 3 265 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Giải Giao điểm đồ thị C với trục hoành điểm A 1;0 x0 Ta có y ' x 2 y ' x0 y ' 1 phương trình tiếp tuyến y 1 x 1 x 3 Chọn đáp án D Ví dụ (THPT Mỹ Đức A – Hà Nội năm 2017) Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 1 x2 giao điểm với trục hoành Đường thẳng d qua điểm đây? A M 0;3 B N 7;3 C P 10;3 D Q 10; 3 Giải Giao điểm đồ thị với trục hoành điểm A 1;0 Ta có y ' x 2 y ' x0 y ' 1 1 x 1 x 3 Thử điểm ta thấy điểm P 10;3 d Chọn đáp án C x ax b 4 Ví dụ Cho hàm số y có đồ thị C Để điểm A 0; thuộc C , tiếp tuyến x3 3 10 C có hệ số góc , giá trị a b là: a a a 2 a A B C D b b 4 b 4 b 2 Giải 4 b Điểm A 0; C y b 4 3 3 4 Tại điểm A 0; tiếp tuyến có hệ số góc k y ' 3 x x 3a b 3a b 10 Ta có y ' y ' 0 với b 4 9 x 3 phương trình tiếp tuyến d : y a 3a 10 a Vậy thỏa mãn yêu cầu toán b 4 Chọn đáp án B Nhận xét: Đáp án cho giá trị a, b cụ thể nên ta thử đáp án sau: X AX B d X 3 X AX B 10 Cacl Nhập : ; B X 0; A2; B xX dx X 3 Ví dụ 10 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Lần năm 2017) Cho hàm số y x3 ax bx c qua điểm A 0; 4 đạt cực đại điểm B 1;0 Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ 1 là: A k B k 24 C k 18 D k 18 Tài liệu nội 266 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Giải Đồ thị hàm số qua điểm A 0; 4 c 4 Hàm số đạt cực đại điểm B 1; điểm B thuộc đồ thị hàm số 1 Ta có y ' 3x 2ax b y '' x 2a y ' 1 3 2a b x 1 2 2a y '' 1 1 a b c a b Hàm số đạt cực đại a b a 6 Từ 1 2a b 3 y x3 x x b a 3 Khi hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ 1 k y ' 1 24 Chọn đáp án B Dạng Phương trình tiếp tuyến qua điểm (Điểm thuộc đồ thị khơng thuộc đồ thị) Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C biết tiếp tuyến qua điểm A xA ; y A a Phương pháp: Cách Sử dụng điều kiện tiếp xúc Phương trình đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 có hệ số góc k có dạng: d : y k x x0 y0 * Điều kiện để đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số y f x hệ phương trình sau có nghiệm: f x k x x0 y0 Giải hệ tìm x k vào * thu phương trình tiếp tuyến f ' x k Cách 2: Dùng toạ độ tiếp điểm Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị C điểm M x0 ; f x0 Khi phương trình tiếp tuyến điểm M x0 ; f x0 đồ thị C d : y f ' x0 x x0 f x0 Theo giả thiết ta có tiếp tuyến qua điểm A A xA ; y A d y A f ' x0 xA x0 f x0 Đây phương trình cịn ẩn x0 , giải phương trình ta x0 phương trình tiếp tuyến d Chú ý 1: Cần phân biệt rõ câu nói tiếp tuyến điểm tiếp tuyến qua điểm Tiếp tuyến điểm điểm ln thuộc đồ thị tiếp tuyến với đồ thị Tiếp tuyến qua điểm điểm thuộc đồ thị khơng thuộc đồ thị có tiếp tuyến với đồ thị (nếu có tiếp tuyến) Chú ý 2: Trong trường hợp cho trước phương trình tiếp tuyến ta thử đáp án cách kiểm tra tiếp tuyến có qua điểm khơng có hai đáp án qua điểm ta kiểm tra điều kiện tiếp xúc tiếp tuyến với đồ thị b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 12 (THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương năm 2017) Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x mà tiếp tuyến qua điểm A 1;0 ? A Giải Tài liệu nội B C D 267 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Cách Giả sử tiếp tuyến qua A 1;0 có hệ số góc k có phương trình y k x 1 kx k x3 x kx k 1 Đường thẳng tiếp tuyến đồ thị có nghiệm 2 3 x k Thế vào 1 ta x x x x x 1 x 1 2 x x 1 x Với x k phương trình tiếp tuyến d : y x 1 5 Với x k phương trình tiếp tuyến d : y x 4 Cách Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M x0 ; y0 2 Ta có y ' x y ' x0 x02 y0 y x0 x03 x0 Khi phương trình tiếp tuyến M y y ' x0 x x0 y0 d : y x02 x x0 x03 x0 Ta có tiếp tuyến qua A A 1; d x x02 1 x0 x03 x0 2 x03 x02 x Với x0 phương trình tiếp tuyến d : y x 1 5 Với x0 phương trình tiếp tuyến d : y x 4 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số kẻ từ điểm A 1;0 Chọn đáp án B x4 có đồ thị H Qua điểm A 0; 2 kẻ đến H hai tiếp tuyến, x2 phương trình hai tiếp tuyến là: 9 x y 9 x y 9 x y 9 x y A B C D x y x y x y x y Giải Cách Giả sử tiếp tuyến qua A 0; 2 có hệ số góc k có phương trình Ví dụ 13 Cho hàm số y y k x kx x 4 x kx 1 Đường thẳng tiếp tuyến đồ thị có nghiệm 2 k x Thế vào 1 ta x 4 x4 2 x x 16 x 16 x x x 2 1 Với x 4 k phương trình tiếp tuyến d : y x x y 2 Tài liệu nội 268 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 9 Với x k phương trình tiếp tuyến d : y x x y 2 Cách Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M x0 ; y0 Ta có y ' 2 x 2 y ' x0 2 x0 y0 y x0 x0 x0 Khi phương trình tiếp tuyến M y y ' x0 x x0 y0 d:y 2 x0 x x0 x0 Ta có tiếp tuyến qua A A 0; 2 d x0 x0 4 x0 x02 16 x0 16 x0 x0 x0 Với x0 4 phương trình tiếp tuyến là: y x x y Với x0 phương trình tiếp tuyến là: x y Chọn đáp án C Chú ý: - Với toán tác giả giới thiệu với bạn đọc kĩ thuật tìm k mà khơng cần tìm x sau: 1 x kx x kx Từ hệ ta có 2 k x 2 kx 2k x x 4 Trừ theo vế ta 3 k x , vào rút gọn ta x2 3 k k 4k 20k k - Ngồi ta thử đáp án sau: Calc 9 X 2Y : X 2Y 0; X 0; y 2 Nhập lại hai đáp án B, C Tiếp tục thử với điều kiện Calc 0;0 9 X 2Y : X 2Y X 0; y 2 X 4 tiếp xúc Xét phương trình X có hai nghiệm phân biệt nên loại đáp án C, với đáp X 2 án B có nghiệm kép, nên chọn đáp án B - Với ví dụ đọc giả tự rút cách giải hai ví dụ Ví dụ 14 Gọi C đồ thị hàm số y x x Có hai tiếp tuyến C xuất phát từ điểm 2 2 x0 A 0;3 , đường thẳng: y 3x A y 4 x y 3 x B y 15 x y 4x C y 13 x y 2 x D y x3 Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M x0 ; y0 Ta có y ' x x y ' x0 x02 x0 y0 y x0 x03 x02 Tài liệu nội 269 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Khi phương trình tiếp tuyến điểm M y y ' x0 x x0 y0 d : y x02 x0 x x0 x03 x02 Ta có tiếp tuyến qua A A 0;3 d x0 x x0 x0 x x 2 x x x0 Với x0 phương trình tiếp tuyến d : y 3x 15 Với x0 phương trình tiếp tuyến d : y x 15 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là: y 3x y x Chọn đáp án B Ví dụ 15 Cho hàm số y x x có đồ thị C Các tiếp tuyến không song song với trục Ox , vẽ 3 từ điểm A 0;5 đến C là: y 2x y 2x A B C y 2 x y 3 x Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm y 2x y 4 x y 2x D y 5 x M x0 ; y0 Ta có y ' 4 x 12 x y ' x0 4 x 12 x0 y0 y x0 x04 x02 3 Khi tiếp tuyến C điểm M y y ' x0 x x0 y0 d : y 4 x03 12 x0 x x0 x04 x02 Ta có d qua A A 0;5 d x0 4 x03 12 x0 x0 x04 x02 x04 x02 x0 Với x0 phương trình tiếp tuyến d : y Với x0 phương trình tiếp tuyến d : y x Với x0 phương trình tiếp tuyến d : y 4 x Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn y x y 4 x Chọn đáp án C x2 4x Ví dụ 16 Cho hàm số y có đồ thị H Từ điểm A 1; 4 kẻ đến H tiếp tuyến x 1 nhất, phương trình tiếp tuyến là: A y 4 x B y x C y 4 x D y x Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M x0 ; y0 Ta có y ' x2 2x x 1 y ' x0 x02 x0 x0 1 y0 y x0 x02 x0 x0 Khi phương trình tiếp tuyến M là: y y ' x0 x x0 y0 d:y 4 x02 x0 x0 1 x02 x0 x0 1 Tài liệu nội x x0 1 x0 x02 x0 Ta có tiếp tuyến qua A A 1; 4 d x0 x02 x0 x0 x0 270 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Với x0 phương trình tiếp tuyến là: d : y 4 x Chọn đáp án A Dạng Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k Bài tốn tổng qt: Cho hàm số y f x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C biết tiếp tuyến có hệ số góc k0 a Phương pháp: Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị C điểm M x0 ; f x0 Khi phương trình tiếp tuyến điểm M x0 ; f x0 đồ thị C d : y f ' x0 x x0 f x0 Và hệ số góc tiếp tuyến k f ' x0 , theo giả thiết k k0 f ' x0 k0 Đây phương trình cịn ẩn x0 , giải phương trình ta x0 phương trình tiếp tuyến d Chú ý 1: Hệ số góc k số trường hợp đặc biệt Hệ số góc cho dạng trực tiếp: k 5; k 1; k 3; k - Hệ số góc cho dạng gián tiếp Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y ax b hệ số góc k a - Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y ax b hệ số góc k - a 0 2 Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc với 15 ;30 ; 45 ; ; hệ số góc 3 k tan k a ka Chú ý 2: Có giá trị x0 tối đa có nhiêu tiếp tuyến, nhiên tiếp tuyến trùng với đường thẳng d ta loại Chú ý 3: Ngồi ta sử dụng máy tính thử đáp án Dùng máy tính: Biết hệ số góc nên đường thẳng tiếp tuyến có dạng y kx m - Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : y ax b góc tan Calc Để tìm m ta nhập m k X f X X x0 Thử đáp án: Khi cho trước đáp án ta thử với hai điều kiện: Điều kiện có hệ số góc điều kiện tiếp xúc (nghiệm kép) b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 17 (THPT Xuân Trường – Nam Định – học kỳ I năm 2017) Phương trình tiếp tuyến đồ thị x 1 hàm số y song song với đường thẳng x y là: x 1 A x y B x y C x y D 2 x y Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M x0 ; y0 Ta có y ' 2 x 1 y ' x0 2 x0 1 y0 y x0 Phương trình tiếp tuyến điểm M là: y Tài liệu nội x0 1 x0 x0 x x0 x0 x0 271 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Tiếp tuyến điểm M có hệ số góc k y ' x0 x0 1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng x y k 2 x0 2 2 x0 1 x0 1 x0 Với x0 phương trình tiếp tuyến là: y 2 x Với x0 phương trình tiếp tuyến là: y 2 x (loại) Vậy phương trình tiếp tuyến thỏa mãn x y Chọn đáp án A Ví dụ 18 (THPT Hàn Thuyên – học kỳ I năm 2017) Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3x vng góc với đường thẳng y x là: A y x B y 2 x C y 2 x D y x Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M x0 ; y0 Ta có y ' x y ' x0 x hệ số góc tiếp tuyến k x0 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng k 1 x0 1 x0 Với x0 y0 y 1 phương trình tiếp tuyến d : y x 1 x Chọn đáp án A Ví dụ 19 (THPT Hàn Thuyên – học kỳ I năm 2017) Số tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y là: A B C D Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M x0 ; y0 Ta có y ' x x y ' x0 x03 x0 hệ số góc tiếp tuyến k x03 x0 Theo giả thiết tiếp tuyến song song với đường thẳng y k x0 x03 x0 có phương trình tiếp tuyến thỏa mãn tốn x0 1 Chọn đáp án A Ví dụ 20 (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – học kỳ I năm 2017) Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x vng góc với đường thẳng x y 1999 có phương trình là: A y x B y 6 x C y x D y 6 x Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M x0 ; y0 Ta có y ' x3 x hệ số góc tiếp tuyến M k y ' x0 x03 x0 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x y 1999 k x03 x0 x03 x0 x0 y0 y 1 3 phương trình tiếp tuyến là: y x 1 x Chọn đáp án A Ví dụ 21 (Trung tâm GDTX Huyện Nhà Bè năm 2017) Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 2 x ? 1 5 A y x B y x C y x D y x 2 Tài liệu nội 272 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Giải Xét hàm số y x có tập xác định D 3; Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M x0 ; y0 Ta có y ' 2x hệ số góc tiếp tuyến k x0 Theo giả thiết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y 2 x k 1 x0 x0 1 x0 Với x0 1 phương trình tiếp tuyến là: y x 2 Chọn đáp án B Ví dụ 22 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần năm 2017) Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị C Phương x2 trình tiếp tuyến C có hệ số góc 5 là: y 5 x y 5 x A B C y 5 x 22 y 5 x 22 Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm Ta có y ' 5 x 2 Với Với 5 y 5x D y 5 x 22 M x0 ; y0 hệ số góc tiếp tuyến k y ' x0 Theo giả thiết có k 5 y 5 x y 5 x 22 5 x0 x0 5 x0 x0 x0 y0 y x0 phương trình tiếp tuyến: y 5 x 22 y ' 5 y0 y 1 3 x0 phương trình tiếp tuyến: y 5 x y ' 1 5 Chọn đáp án A Dạng 4: Một số toán khác liên quan tới viết phương trình tiếp tuyến a Phương pháp: Từ giả thiết tốn thiết lập phương trình theo x0 Giải phương trình tìm x0 , quay tốn dạng b Ví dụ minh hoạ: x2 Ví dụ 23 Cho hàm số y có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Có bao x 1 nhiêu tiếp tuyến (C) biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến A B C D Giải Giao điểm hai đường tiệm cận (C) I 1;1 x 2 Gọi M x0 , (C ), x0 1 tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm với (C) x0 Tài liệu nội 273 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Khi phương trình tiếp tuyến (C) M là: x 2 y x x0 d : x x0 1 y x02 x0 x0 x0 1 Theo giả thiết d I , d x0 ( x0 1) x02 x0 ( x0 1) x0 1 1 x0 x0 1 Đặt t x0 1 , t nên phương trình có dạng: t 2t t (thỏa mãn) x x y Với t ( x0 1) x0 x y Vậy có tiếp tuyến Chọn đáp án B x3 Ví dụ 24 Cho hàm số y có đồ thị C Có tiếp tuyến điểm thuộc C Biết x2 hình chiếu vng góc hai điểm A 1;1 , B 0; 3 lên tiếp tuyến trùng A Giải B C Giả sử M x0 ; y0 C với y0 D x0 x0 Hệ số góc điểm M k y ' x0 x0 Theo giả thiết hình chiếu vng góc hai điểm A 1;1 , B 0; 3 lên tiếp tuyến trùng điều tương đương với tiếp tuyến M C vng góc với đường thẳng AB k k AB 1 Hệ số góc AB k AB Ta có k k AB 1 x0 2 1 x0 3 x0 y0 d : y x Chọn đáp án B x 4 y d : y x 2x 1 Ví dụ 25 Cho hàm số y (C ) Số tiếp tuyến đồ thị hàm số biết cắt đường trịn (T) có x 1 11 phương trình x y x y hai điểm M, N cho tam giác IMN có diện tích lớn nhất, I 1; A B C D Giải Đường trịn (T) có tâm I 1; có bán kính R 2x 1 Tiếp tuyến đồ thị điểm M x0 ; có phương trình x0 Tài liệu nội 274 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2x 1 3 y x x0 : x x0 1 y x02 x0 x0 x0 1 d I, x0 x0 1 (1) Diện tích tam giác IMN 1 18 18 900 S IMN IM IN sin MIN IM IN max S IMN MIN 2 5 Khi tam giác IMN vuông cân với cạnh IM R Gọi H trung điểm cạnh BC ta có IH (2) 10 x0 Từ (1) (2) ta có x0 1 10 x0 1 10 x0 1 x0 x 0 x0 12 x0 x0 1 x0 3 Tương ứng ta có tiếp tuyến với phương trình sau: x y 0; x y – 11 0; x y – 25 0; x y – 11 Chọn đáp án D 2x có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C), đường thẳng x 1 d : x y cắt (C ) hai điểm A, B với A có hồnh độ dương Số tiếp tuyến (C ) vuông góc với IA A B C D Giải: x5 Giao điểm hai đường tiệm cận I 1; Viết lại đường thẳng d : y 2x x Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d x 1 x A 3; x 3 (loại) Ví dụ 26 Cho hàm số y Hệ số góc IA k ' 1 4 Hệ số góc đồ thị điểm x0 k 42 x0 1 Do tiếp tuyến vng góc với IA x0 y x 4 k k ' 1 1 Chọn đáp án B x0 1 x0 1 y x Ví dụ 27 Cho hàm số y x x x có đồ thị (C) Số phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M thuộc (C), biết M với hai điểm cực trị (C) tạo thành tam giác có diện tích A B C D Giải Điểm cực đại, cực tiểu A 1; , B 3; 2 Phương trình AB : x y , AB 20 Giả sử M x0 ; x03 x02 x0 x0 3, x0 1 Tài liệu nội 275 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Chiều cao tam giác ABM: h d M , AB x03 x02 11x0 x y 9x Từ S ABM h AB suy x03 x02 11x0 x0 y x 34 Chọn đáp án B x Ví dụ 28 Cho hàm số y (C) Có tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm x 1 đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn A B C D Giải: x Giả sử M x0 ; C x0 1 Phương trình tiếp tuyến M có dạng : x0 y x0 1 x0 x02 x y 0 2 x0 x0 1 x0 1 x x0 x0 Ta có d I , tt 1 x0 1 2t Xét hàm số f t 0 x0 Đặt t t ta có 1 t4 f ' t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t4 f ' t 1 t 1 t t t t 1 (loại) Bảng biến thiên t + f 't - f t Bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có d I , tt lớn t hay x0 y x x0 Chọn đáp án B x0 y x Chú ý: Để tìm d I , tt lớn ta làm sau x0 d I ; tt 1 x0 1 x0 1 cos i x0 1 2 x y x Dấu "=" xảy x0 1 x0 y x 2x Ví dụ 29 Cho hàm số y Có tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách x 1 hai điểm A 2; , B 4; 2 A Tài liệu nội B C D 276 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Giải 2x 1 Cách 1: Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến y x x0 x0 x0 1 Vì tiếp tuyến cách hai điểm A, B nên tiếp tuyến qua trung điểm I AB song song trùng với AB TH 1: Nếu tiếp tuyến qua trung điểm I 1;1 AB ta có: x0 1 1 x0 x0 x0 x0 1 x 4 TH 2: Nếu tiếp tuyến song song trùng với AB hệ số góc tiếp tuyến k = x0 x 2 x0 1 Với x0 ta có phương trình tiếp tuyến y = x + Với x0 2 ta có phương trình tiếp tuyến y = x + 5 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y x ; y x 1; y x Chọn đáp án C 4 Cách 2: Gọi x0 hoành độ tiếp điểm x0 1 Suy phương trình tiếp tuyến là: y Phương trình tiếp tuyến d y x0 1 x x0 x0 x0 x x0 1 y x x0 Theo giả thiết d A, d d B , d 2 x0 1 x02 x0 4 x0 1 x02 x0 x0 x0 x0 2 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến y x ; y x 1; y x Chọn đáp án C 4 Dạng Tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất, nhỏ a Bài toán tổng quát: Cho hàm số y ax3 bx cx d a 2b b 3ac b Đạo hàm y ' 3ax 2bx c 3a x x c 3a x 3a 3a 3a 2 b 3ac b Hệ số góc tiếp tuyến điểm x0 k y ' x0 3a x0 Ta thấy 3a 3a b 3ac b 3ac b x0 k a hay kmin Dấu xảy 3a 3a 3a a b 3ac b 3ac b x0 k a hay kmax Dấu xảy 3a 3a 3a a b Mặt khác y '' 6ax 2b; y '' 6ax 2b xU x0 3a Từ ta có kết coi cơng thức tính nhanh Tài liệu nội 277 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Hệ số góc tiếp tiếp đạt giá trị lớn Hệ số góc tiếp tiếp đạt giá trị nhỏ b b x0 x0 a a 2 b 3ac b b 3ac b a k y ' a k y ' 3a 3a 3a 3a b b y0 y y0 y 3a 3a Tiếp tuyến điểm uốn hàm bậc ba có cơng thức tổng qt b b y c b x d a 3a 3a b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 30 Cho hàm số y x3 x x (C) Trong tất tiếp tuyến đồ thị (C), tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ A y 12 x B y 12 x C y 9 x D y x Giải: Cách Tự luận Gọi M x0 ; y0 C y0 x03 x02 x0 Ta có y ' x x Tiếp tuyến điểm M có hệ số góc: k y ' x0 3x02 x0 x0 1 12 12 k 12 đạt x0 1 y0 16 Vậy tất tiếp tuyến đồ thị hàm số, tiếp tuyến M 1;16 có hệ số góc nhỏ Phương trình tiếp tuyến y 12 x Cách Công thức tính nhanh kết hợp máy tính b x0 3a 1 d X X X 5 Calc 12 PTTT : y 12 x k y ' 1 X 1 x X dx y y 1 16 Nhận xét: Tiếp tuyến hàm bậc ba có hệ số góc nhỏ a lớn a Tiếp tuyến hàm bậc ba có hệ số góc nhỏ lớn tiếp tuyến điểm uốn đồ thị Qua điểm uốn có tiếp tuyến, tất tiếp tuyến cịn lại khơng qua điểm uốn Qua điểm lại đồ thị có hai tiếp tuyến Dạng 6: Cho hàm số y f x C Tìm điểm M đường thẳng d mà từ kể n tiếp tuyến đến đồ thị hàm số a Phương pháp: Giả sử d : ax by c với M xM ; yM d Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y k x – xM yM f x k x xM yM tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: f ' x k Thế k từ (2) vào (1) ta f x x – xM f xM yM (3) Tài liệu nội 1 2 278 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M số nghiệm x (3) b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 31 Cho hàm số y x3 –3x x – có đồ thị (C) Có điểm M thuộc đồ thị (C) cho qua M có tiếp tuyến A B C D Giải Giả sử điểm M x0 ; y0 C Phương trình đường thẳng qua M có dạng y a x x0 y0 Đường thẳng tiếp tuyến hệ phương trình sau có nghiệm x3 x x a x x0 y0 (1) (2) y ' x x a Thay (2) vào (1) ta x x x x x x x0 x03 x02 x0 x x 3 x x x x 3x x x x0 x x0 x x 2 x x0 3 x x0 x Qua M có tiếp tuyến x0 x0 M 1; Chọn đáp án A Nhận xét: Điểm M 1; điểm uốn hay tâm đối xứng (C) Từ ta có kết tổng quát sau: Với đường cong bậc ba, điểm uốn điểm (C) mà qua ta vẽ tiếp tuyến đến (C) Do ta áp dụng cơng thức tính nhanh tìm điểm b x0 3a uốn y y b 3a Ví dụ 32 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Tìm điều kiện m để điểm M m, y m thuộc đường thẳng y x mà qua kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) m A m 5 m B m 5 m C 5 m D m Giải Gọi M m;9m điểm nằm đường thẳng y x Vì đường thẳng có dạng x m khơng tiếp tuyến đồ thị (C) nên ta xét d đường thẳng qua M có dạng y k x m 9m Đường thẳng d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: 2 x x k x m 9m x x x x x m 9m 2 3 x x k 3 x x k Qua M kẻ ba tiếp tuyến đến (C) hệ có ba nghiệm phân biệt hay phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: Tài liệu nội 279 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x3 x 3mx 6mx 9m x 1 x (5 3m) x 9m x g x x (5 3m) x m Do điều kiện m là g x có hai nghiệm phân biệt khác m 3m 9m 9 m 42 m 15 m 5 m g 1 2.1 3m 9m m 1 Vậy điểm M cần tìm có tọa độ m;9m với m 5 m m Chọn đáp án B Ví dụ 33 Cho đồ thị hàm số (C): y x 1 2 x 1 Tìm điều kiện a để điểm M a;0 nằm trục hồnh mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) 3 a a 2 a a A B C 3 a a a 1 a 2 a 1 a Giải Gọi A a; điểm trục hoành mà từ A kẻ đến (C) ba tiếp tuyến D a 1 Phương trình đường thẳng qua A có hệ số góc k d : y k x a Đường thẳng d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm x3 x k x4 x2 k x a x3 x k x x x x x a x 1 Phương trình x x x3 x x a x x ax x 4ax (*) Với x 1 cho ta tiếp tuyến d1 : y Vì để từ A kẻ tiếp tuyến tới (C) phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt khác 1 a a Chọn đáp án C a 1 a Dạng 7: Cho hàm số y f x C Tìm điểm M mà từ kể n tiếp tuyến đến đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước a Phương pháp: Gọi M xM ; yM Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k y k x – xM yM f x k x xM yM tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: f ' x k Thế k từ (2) vào (1) ta được: f x x – xM f xM yM (3) 1 2 Điều kiện: Tài liệu nội 280 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 - Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) (3) có nghiệm phân biệt x1 , x2 Hai tiếp tuyến vng góc với f x1 f x2 –1 Từ tìm M - Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh (3) có nghiệm phân biệt f x1 f x2 - Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) có hồnh độ dương (3) có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 b Ví dụ minh hoạ: x2 Cho điểm A 0; a Xác định a để từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) x 1 cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox a 2 a A a B C a D 3 a a Giải Phương trình tiếp tuyến qua A 0; a có dạng y kx a 1 Ví dụ 34 Cho hàm số y x2 x kx a Đường thẳng qua A tiếp tuyến với đồ thị có nghiệm x 3 k x 1 Thay (3) vào (2) rút gọn ta g x a 1 x a x a a a Để (4) có nghiệm x g 1 3 a 2 ' 3a a 2 x1 x2 a 1 Hoành độ tiếp điểm x1 ; x2 nghiệm (4) Theo vi-et ta có x x a 2 a 1 x 2 x 2 Tung độ tiếp điểm y1 ; y2 x1 x2 x x2 Để hai tiếp điểm nằm hai phía trục Ox y1 y2 x1 1 x2 x1 x2 x1 x2 9a 0 0a x1 x2 x1 x2 3 a thoả mãn điều kiện toán Chọn đáp án B x 1 Ví dụ 35 Cho hàm số y có đồ thị (C ) Tìm điều kiện m để điểm M 0; m thuộc Oy kẻ x 1 hai tiếp tuyến đến đồ thị (C ) cho hai tiếp điểm tương ứng có hồnh độ dương A m B m C m D m Giải Phương trình đường thẳng qua điểm M 0; m với hệ số góc k y kx m Vậy Tài liệu nội 281 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Đường thẳng tiếp tuyến đồ thị x 1 kx m x có nghiệm x 2 k x 1 g x x m 1 x m 1 m x 1 Để từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C ) cho hai tiếp điểm tương ứng có hồnh độ dương g x có hai nghiệm phân biệt dương khác m 2m S m 1 P 2 m 1 m m 1 m 1 0 m m m 1 Vậy từ điểm M 0; m , m kẻ hai tiếp tuyến thỏa mãn điềh kiện Chọn đáp án A x3 x x có đồ thị (C) Tìm điều kiện m để điểm M m; y m 3 x 61 thuộc đường thẳng d : y để từ kẻ đến đồ thị (C) ba tiếp tuyến tương ứng với ba tiếp điểm có 24 hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 x2 x3 Ví dụ 36 Cho hàm số y A m B m 18 C Đáp số khác m D 1 m 18 Giải 5m 61 Điểm M d nên M m; Phương trình tiếp tuyến (C) M x0 ; y0 24 x3 x2 7 y x0 x0 x0 x – x0 3 5m 61 x03 x0 7 Tiếp tuyến qua M x0 x0 x0 m – x0 24 3 x0 3m 1 x03 m x0 mx0 0 24 2 x m x 3n * 12 Để thỏa mãn yêu cầu toán (*) có hai nghiệm âm phân biệt 7m m 12 m ; m 5 m m 18 18 5 3 2 m m Tài liệu nội 282 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 5 Những điểm M nằm d phải có hồnh độ thỏa: m m Chọn đáp án D 18 Ví dụ 37 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Có điểm đường thẳng y 2 mà từ kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với A B C D Giải Gọi M a; 2 điểm thuộc đường thẳng y 2 Đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình y k x a Đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị (C) hệ: x3 x k ( x a ) (1) có nghiệm (2) 3 x x k Thay (2) vào (1) ta x y x x 3a 1 x 2 g x x 3a 1 x Với x có tiếp tuyến y 2 khơng thể có tiếp tuyến (C) vng góc với tiếp tuyến u cầu tốn tương đương với tìm a để phương trình x 3a 1 x có nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn ' 3a 12 16 55 k1 k2 1 x12 x1 x22 x2 1 a 55 27 a 27 55 Vậy M ; 2 điểm cần tìm Chọn đáp án C 27 Dạng 8: Tìm điều kiện tham số để hai đường cong tiếp xúc với a Phương pháp: Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai đường cong f x g x Hai đường cong tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm: f ' x g ' x b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 38 Cho hàm số y x3 m x 1 có đồ thị Cm Tính tổng tất giá trị tham số m để đường cong Cm tiếp xúc với trục hoành A B C 15 D Đáp số khác Giải: Trục Ox có phương trình y có hệ số góc k Đường cong Cm tiếp xúc với Ox x3 m x 1 1 có nghiệm Hệ phương trình 2 3 x m Từ (2) suy m 3x thay vào (1) ta có phương trình x x x 1 x3 x x 1 m x 1 2 x x x m 15 Vậy m 3, m giá trị cần tìm Tổng giá trị Chọn đáp án C 4 Tài liệu nội 283 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 mx Ví dụ 39 Cho hàm số y (1), m tham số thực Có giá trị nguyên tham số m để x 1 đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng d : y 3x A B C D Giải: Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng d hệ sau có nghiệm x 0, x 1 mx x x 1 x 3x x 1 m 2 m x m 3 2 m x 1 x 1 x 0, x 1 x x 3 x x 1 m m m x Vậy m giá trị cần tìm Chọn đáp án C Dạng Tìm giá trị tham số m liên quan tới phương trình tiếp tuyến a Phương pháp: Từ điều kiện giả thiết, thiết lập phương trình bất phương trình theo m Giải phương trình bất phương trình tìm m (đối chiếu điều kiện có) b Ví dụ minh hoạ: m Ví dụ 40 Gọi Cm đồ thị hàm số y x3 x Gọi M điểm thuộc Cm có hồnh độ 3 – Có giá trị nguyên tham số m để tiếp tuyến Cm điểm M song song với đường thẳng x – y A B Giải C Đặt M x0 ; y0 Cm , theo giả thiết x0 1 y0 D m Đạo hàm y ' x mx y ' x0 m Phương trình tiếp tuyến ∆ điểm M có dạng: y y0 y ' x0 x x0 m m 1 x 1 y m 1 x m 2 ∆ song song với đường thẳng x – y hay y x m m Chọn đáp án C m y Ví dụ 41 Cho hàm số y x3 m 1 x 3m x có đồ thị Cm , m tham số Tìm m để 3 Cm có hai điểm phân biệt M x1 ; y1 , M x2 ; y2 thỏa mãn x1 x2 tiếp tuyến Cm điểm vng góc với đường thẳng d : x y A 1 m B m 3 m 3 C 1 m m 3 D 1 m Giải: Tài liệu nội 284 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Hệ số góc d : x y kd Hệ số góc đồ thị k y ' x 2 x m 1 x 3m Do x1 , x2 nghiệm phương trình y ' 3 hay 2 x m 1 x 3m 3 x m 1 x 3m (1) Yêu cầu tốn phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 ' m 12 3m 1 m 3 3m Chọn đáp án C 1 m 0 Ví dụ 42 Cho hàm số y mx3 m 1 x 4m 3 x có đồ thị Cm Tìm giá trị m cho Cm tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x 2y 3 A m B m m C 0 m 0 m D 1 m Giải Hệ số góc đồ thị hàm số k y x mx m 1 x 3m Hệ số góc đường thẳng d : y x k ' 2 Yêu cầu toán phương trình y x có nghiệm dương phân biệt mx m 1 x 3m có nghiệm dương phân biệt m 0m Chọn đáp án D 1 m S P Ví dụ 43 Cho hàm số y x3 3x m (1) Tính tổng giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hồnh độ cắt trục Ox, Oy điểm A, B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có chu vi 2 18 A B 2 Giải Với x0 y0 m M 1; m – C D Đáp số khác Tiếp tuyến M d : y 3x02 x0 x x0 m d : y 3x m Đường thẳng d cắt trục Ox A: 3 xA m xA m 1 m 1 A ;0 Đường thẳng d cắt trục Oy B: yB m B 0; m 1 m 1 m 1 Tam giác vuông O, trung điểm I AB tâm đường tròn ngoại tiếp I ; Tài liệu nội 285 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 5 Bán kính OI m Giả thiết có 2 OI 2 m 1 18 18 m 2 Tổng giá trị tham số mà 2 Chọn đáp án B Ví dụ 44 Cho hàm số y x 2mx m (1), m tham số Biết A điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có 3 hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ điểm B ;1 đến tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A lớn 4 A 1 B C D Đáp số khác Giải Điểm A Cm nên A 1;1 m Đạo hàm y ' x 4mx y ' 1 4m Phương trình tiếp tuyến Cm A có phương trình y – 1 m y ' 1 x –1 – m x – y – 1 – m Khi d B, 1 16 1 m d B, max Dấu ''='' xảy m Chọn đáp án B Dạng 10 Cho đồ thị hàm số y ax3 bx cx d C Tiếp tuyến điểm N C cắt đồ thị C điểm thứ hai M M N Tìm tọa độ điểm M a Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến d điểm N dạng Tìm toạ độ điểm M cách xét hoành độ giao điểm d đồ thị (C) b xM 2 xN Chú ý: Ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau: aM yM y xM b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 45 Cho đồ thị C : y x3 x Tiếp tuyến N 1;3 cắt C điểm thứ M Tọa độ M là: A M 1;3 B M 1;3 C M 2;9 D M 2; 3 M N Giải Phương trình tiếp tuyến điểm N d : y x Phương trình hồnh độ giao điểm d C x 2 y 3 M 2; 3 x x x x3 3x x y M 1;3 N Chọn đáp án D Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta áp dụng cơng thức tính nhanh sau: b xM 2 xN 2 a M 2; 3 D y M y xM Câu 46 (Trường THPT Hồng Quang lần năm 2017) Cho hàm số y x x có đồ thị C điểm M xM ; yM thuộc C Tiếp tuyến C M cắt C điểm thứ hai N xN ; yN (khác M ) cho xN2 xM2 Giá trị yM thuộc khoảng khoảng đây? Tài liệu nội 286 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A 1; B 1;0 C 0;1 D 2; 1 Giải Gọi d : y ax b tiếp tuyến C M , phương trình hồnh độ giao điểm d C là: x x ax b x xM x xN Đồng hệ số ta xM xN (1) Theo giả thiết xN2 xM2 (2) Từ (1) (2) ta xM , xN Thử lại ta thấy thỏa mãn 3 46 Vậy yM y , giá trị thuộc khoảng 1; 27 Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta áp dụng cơng thức tính nhanh sau: b xM x x 46 M N a y M y xM 1; A 27 x2 x2 x N M N Dạng 11: Tiếp tuyến hàm ẩn Ví dụ 1: [THPT N ĐỊNH THANH HĨA LẦN - 2018] Cho hàm số y f x xác định có đạo hàm ℝ thỏa mãn f (1 x ) x f (1 x ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ 1 A y x 7 B y x 7 C y x 7 Lời giải D y x Chọn A Xét phương trình f (1 x ) x f (1 x ) (*) Chọn x ta f (1) f (1) f (1) f (1) 1 Đạo hàm haivế phương trình (*) ta có: 2.2 f '(1 x ) f (1 x ) 3.( 1) f '(1 x ) f (1 x ) (1) Thay x vào phương trình 1 ta : f '(1) f (1) f '(1) f (1) (2) Từ phương trình suy f x không thỏa mãn Vậy f x , ta thu f '( x) 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm : y x Chọn A 7 Ví dụ : Cho hàm số f xác định, có đạo hàm thỏa mãn f x x2 x f x f x , x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x là: A y 2 x B y 2 x C y x D y x Tài liệu nội 287 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Lời giải Chọn B Xét đẳng thức f x x x f x * f f Thay x , x 2 vào * , ta có f f , f f f Đạo hàm vế * , ta f x x x f x f x f x x f x x x f x ** 2 f f f f 2 f f 2 f f Thay x , x 2 vào ** , ta có f 2 f 0 f 2 f 8 f 8 f Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x : Mà f f nên suy Tài liệu nội 288 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 III : BÀI TẬP VẬN DỤNG – TIẾP TUYẾN Câu Cho hàm số y f x có đồ thị C điểm M x0 ; f x0 thuộc C Phương trình tiếp tuyến C M là: A y f x0 x x0 B y f x0 x x0 y0 C y y0 f x0 x D y y0 f x0 x x0 Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm khoảng a; b , đồ thị đường cong C Để đường thẳng : y ax b tiếp tuyến C điểm M x0 ; f x0 , điều kiện cần đủ là: A a f / x0 B ax0 b f / x0 a f / x0 a f / x0 C D / ax0 b f x0 ax0 b f x0 Câu Phương trình tiếp tuyến đường cong C : y x3 x điểm M 1; là: A y x B y 3x C y x D y x Câu Tiếp tuyến đường cong C : y x x điểm M 1;1 có phương trình: A y x 2 B y x 2 C y x 2 D y x 2 điểm với hoành độ x 1 có phương trình: x 1 A y x B y x C y x D y x Câu Cho hàm số y x có đồ thị C Phương trình tiếp tuyến C M có tung độ Câu Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y y0 1 , với hoành độ x0 kết sau đây? x A y x B y 2 x C y D y x Câu Cho hàm số y x x có đồ thị C Tiếp tuyến C giao điểm C với trục Ox , có phương trình: A y 3x y 3x 12 C y x y 2 x B y 3x y 3x 12 D y x y 2 x 2x 1 Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y điểm có hồnh độ , có hệ số góc: x 1 A 1 B 3 C D Câu Cho đường cong C : y x Tiếp tuyến C có hệ số góc k 12 , có phương trình: A y 12 x 16 B y 12 x C y 12 x D y 12 x Câu 10 Cho hàm số y x x có đồ thị C Tại điểm M x0 ; y0 C , tiếp tuyến có hệ số góc x0 y0 bằng: A B C D Câu 11 Gọi C đồ thị hàm số y Đó tiếp tuyến: 29 A y x y x 24 x x 3x Có hai tiếp tuyến C có hệ số góc Tài liệu nội B y 37 x y x 12 289 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 37 13 29 C y x y x D y x y x 12 4 24 Câu 12 Cho hàm số y x x x có đồ thị C Trong số tiếp tuyến C , có tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Hệ số góc tiếp tuyến bằng: A 3,5 B 5,5 C 7,5 D 9,5 Câu 13 Cho hàm số y x3 x x có đồ thị C Tiếp tuyến C song song với đường thẳng d : y x có phương trình: A y x 40 B y x 40 C y x 32 D y x 32 Câu 14 Gọi C đồ thị hàm số y x x Tiếp tuyến C vng góc với đường thẳng d : x y có phương trình là: A y x B y 3x C y x D y x Câu 15 Cho hàm số y x 3x có đồ thị C Gọi tiếp tuyến C điểm A 1;5 B giao điểm thứ hai với C Diện tích tam giác OAB bằng: A B C 12 D 82 Câu 16 Cho hàm số y x x có đồ thị C Tiếp tuyến C qua điểm M 1; 9 có phương trình: 15 21 A y 24 x 15 B y x 4 15 21 C y 24 x 15 y x D y 24 x 33 4 Câu 17 Cho hàm số y x x có đồ thị C Các tiếp tuyến không song song với trục hoành kẻ từ gốc tọa độ O 0; đến C là: A y x y 2 x B y x y x 4 C y x y x D y 3x y 3x 3 x2 Câu 18 Cho hàm số y x có đồ thị C Từ điểm M 2; 1 kẻ đến C hai tiếp tuyến phân biệt Hai tiếp tuyến có phương trình: A y x y x B y x y x C y x y x D y x y x 2x 1 Câu 19 Cho hàm số y có đồ thị C Gọi d tiếp tuyến C , biết d qua điểm x 1 A 4; 1 Gọi M tiếp điểm d C , tọa độ điểm M là: A M 2;5 , M 0; 1 B M 2;5 , M 2;1 C M 0; 1 , M 2;1 3 D M 1; , M 2;1 2 x2 có đồ thị C Trong tất tiếp tuyến C , tiếp tuyến thỏa mãn x 1 khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến lớn nhất, có phương trình: A y x y x B y x y x C y x y x D y x y x 2m 2 Câu 21 Từ điểm A ;0 kẻ đến đồ thị hàm số y x3 mx hai tiếp tuyến vng góc 3 tập tất giá trị m bằng: Câu 20 Cho hàm số y Tài liệu nội 290 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 A m m B m m 2 2 1 C m m 2 D m m 2 x2 Câu 22 Cho hàm số y có đồ thị C Tiếp tuyến C điểm có hồnh độ qua x 1 M 0; a a nhận giá trị nào? A a 10 B a C a D a 2 Câu 23 Cho hàm số y x m x 2m có đồ thị C Tập tất giá trị tham số m để tiếp tuyến C giao điểm C đường thẳng d : x song song với đường thẳng : y 12 x là? A m B m C m 2 D m Câu 24 Cho hàm số y x x có đồ thị C Để đường thẳng d : y x m tiếp xúc với C tập tất giá trị m là: A m m B m m C m D Khơng có giá trị m Câu 25 Cho hàm số y x 3m x có đồ thị Cm Để Cm tiếp xúc với đường thẳng y 6 x điểm có hồnh độ 1 giá trị thích hợp m : A m 1 B m 2 C m D Khơng có giá trị m ax Câu 26 Cho hàm số y có đồ thị C Tại điểm M 2; 4 thuộc C , tiếp tuyến C bx song song với đường thẳng d : x y Khi biểu thức liên hệ a b là: A b 2a B a 2b C b 3a D a 3b xb Câu 27 Cho hàm số y có đồ thị C Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax C điểm M 1; 2 song song với đường thẳng d : 3x y Khi giá trị a b bằng: B C 1 D ax b Câu 28 Cho hàm số y có đồ thị C Nếu C qua A 1;1 điểm B C có 2x hoành độ 2 , tiếp tuyến C có hệ số góc k giá trị a b là: A A a 2; b B a 3; b C a 2; b 3 D a 3; b 2 ax b Câu 29 Cho hàm số y có đồ thị C Nếu C qua A 3;1 tiếp xúc với đường thẳng x 1 d : y x , cặp số a; b theo thứ tự là: A 2; 10; 28 B 2; 4 10; 28 C 2; 10; 28 D 2; 4 10; 28 ax bx 5 có đồ thị C Để C qua điểm A 1; tiếp tuyến C 2 x2 gốc tọa độ có hệ số góc 3 mối liên hệ a b là: A 4a b B a 4b C 4a b D a 4b Câu 31 (THPT Thị xã Quảng Trị - Lần năm 2017) Cho hàm số y x x có đồ thị C Viết Câu 30 Cho hàm số y phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x y 2017 A y 6 x B y x C y x D y 6 x Tài liệu nội 291 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 32 (THPT Chuyên Sơn La – Lần năm 2017) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x3 y 3x biết tiếp tuyến có hệ số góc k 9 A y 9 x 27 B y 9 x 43 C y 9 x 11 D y 9 x 11 2x 1 Câu 33 (THPT Xuân Trường – Nam Định – học kỳ I năm 2017) Cho hàm số y có đồ thị C x 1 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị C Tìm điểm M thuộc C cho tiếp tuyến C M vng góc với đường thẳng IM A Khơng có B M 2;3 , M 0;1 C M 2;3 D M 0;1 Câu 34 (Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Tiền Giang năm 2017) Đường thẳng sau tiếp tuyến đồ thị C : y x3 x có hệ số góc nhỏ nhất? A y 3x B y x C y 3x D y 5 x 10 Câu 35 (THPT Chuyên Bắc Kạn năm 2017) Cho hàm số y x x Tìm điểm nằm đồ thị hàm số cho tiếp tuyến điểm có hệ số góc nhỏ 23 1 8 25 A M 0;1 B M ; C M ; D M ; 27 3 9 27 Câu 36 (Toán học tuổi trẻ - lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3 mx 2mx 2017 đồ thị hàm số bậc đồng biến C m A 6 m B 24 m D 6 m Câu 37 (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Biết đường thẳng d : y 3x m (với m tham số thực) tiếp xúc với đồ thị hàm số y x x M Tìm tọa độ điểm M A 1; 2 B 4; 28 C 1; 12 D 4; 12 Câu 38 (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3 3x điểm có hồnh độ A y 3 x B y x C y x D y 3 x Câu 39 (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x x có tiếp tuyến song song với trục hoành? A B C D Câu 40 (Trường THPT AmsTerDam năm 2017) Cho hàm số y x m 1 x m có đồ thị (C ) Gọi tiếp tuyến với đồ thị (C ) điểm thuộc (C ) có hồnh độ Với giá trị tham số m vng góc với đường thẳng d : y x 2016? A m 1 B m C m D m Câu 41 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Số tiếp tuyến qua điểm A 1; 6 đồ thị hàm số y x3 x là: A B C D 2x 1 Câu 42 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số y Phương trình tiếp tuyến x 1 đồ thị hàm số điểm M 0; 1 là: A y 3x B y 3x C y 3x D y 3x Câu 43 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Đồ thị hàm số y x x có tiếp tuyến song song với trục hồnh: Tài liệu nội 292 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D Câu 44 (Trường THPT Chuyên Hà Giang năm 2017) Gọi đường thẳng d tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y x3 x x 10 Mệnh đề sau sai? A d song song với trục hoành B d song song với đường thẳng y C d có hệ số góc D d có hệ số góc dương Câu 45 (Trường THPT Hạ Long lần năm 2017) Cho hàm số y x3 x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C giao điểm với trục tung A y 2 x B y x C y x D y 3 x Câu 46 (Trường THPT Hạ Long lần năm 2017) Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3x giao điểm với trục hồnh có phương trình A y x B y x C y x D y x Câu 47 (Trường THPT Hai Bà Trưng lần năm 2017)Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3 x x điểm A 3; 2 cắt đồ thị điểm thứ hai B Điểm B có tọa độ A B 1; B B 1;10 C B 2;33 D B 2;1 Câu 48 (Trường THPT Lê Q Đơn – Bình Thuận năm 2017) Cho hàm số y 3ln x x 1 có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C giao điểm C với trục hoành y 3x y 3x y 3x y 3x A B C D y 3 x y y y 3x Câu 49 (Trường THPT Lê Quý Đơn – Bình Định năm 2017) Cho hàm số y x ln x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 2e A y ln x 2e B y ln x 2e C y ln x 2e D y ln x 2e 2x 1 có đồ thị C x 1 Tiếp tuyến đồ thị C điểm M 2;5 cắt hai đường tiệm cận E F Khi độ dài EF là: Câu 50 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2017) Cho hàm số y A 13 B 13 C 10 D 10 Câu 51 (Trường THPT Chuyên Quang Trung năm 2017) Gọi tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ x3 thị hàm số y x 3x Mệnh đề sau ? A song song với đường thẳng d : x B song song với trục tung C song song với trục hoành D có hệ số góc dương Câu 52 (Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – HN năm 2017) Tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 y x điểm A ;1 có phương trình 2 A x y 1 B x y C x y 3 D x y Câu 53 (Trường THPT Nguyễn Khuyến năm 2017) Hai tiếp tuyến hai điểm cực trị đồ thị hàm số f x x3 x cách khoảng A B C D x2 x Biết đường x 1 thẳng y ax b tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ Tính giá trị T a b A T B T C T 1 D T Tài liệu nội 293 Câu 54 (Trường THPT Lương Thế Vinh lần năm 2017) Cho hàm số y Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 55 (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Cho hàm số y x x C Tìm m để đường thẳng d : y 60 x m tiếp xúc với C A m 164 B m C m 60 D Đáp án khác Câu 56 (Trường THPT Lê Hồng Phong lần năm 2017) Cho hàm số f x Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có y f x , y g x , y g x hoành độ x khác Khẳng định khẳng định đúng? 11 11 11 11 A f 1 B f 1 C f 1 D f 1 4 4 Câu 57 (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số 2x tạo với hai tiệm cận tam giác vng có diện tích S khơng đổi Tìm S y x 1 A S B S C S D S Câu 58 (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Cho hàm số y x x C Khẳng định sau khẳng định sai? A Khơng có tiếp tuyến với đồ thị hàm số có hệ số góc 4 B Tồn tiếp tuyến với đồ thị hàm số C đường thẳng song song với trục tung C Tồn tiếp tuyến với đồ thị hàm số C đường thẳng song song với trục hoành D Tiếp tuyến với C điểm 0;1 có dạng y 3x Câu 59 (THPT AMSTERDAM HÀ NỘI) Có tiếp tuyến với đồ thị C : y x x qua gốc toạ độ O? A B C D Câu 60 (THPT AMSTERDAM HÀ NỘI) Cho hàm số y x3 3x x có đồ thị (C ) Có cặp điểm thuộc đồ thị (C ) mà tiếp tuyến với đồ thị chúng hai đường thẳng song song? A Không tồn cặp điểm B C D Vô số cặp điểm 2x 1 Câu 61 (THPT AMSTERDAM HÀ NỘI) Cho hàm số y (C ) Hệ số góc tiếp tuyến với đồ x 1 thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A, B thoả mãn OA 4OB là: 1 1 A B C D 4 4 x 1 Câu 62 NTL Cho hàm số y có đồ thị (C) Tìm giá trị nhỏ m cho tồn 2x 1 điểm M C mà tiếp tuyến (C) M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d : y 2m 1 A m B m 3 C m D m 1 2x 1 có tung độ Tiếp tuyến x 1 C M cắt trục tọa độ Ox , Oy A B Hãy tính diện tích tam giác OAB ? Câu 63 (THPT AN LÃO – BÌNH ĐỊNH) Gọi M C : y 121 119 123 125 B C D 6 6 Câu 64 (CHUYÊN KHTN HÀ NỘI) Đường thẳng y x m tiếp tuyến đường cong y x x m A Tài liệu nội 294 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 3 m m 1 m 1 A B C D m m m m 3 Câu 65 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm x3 số y 3x biết tiếp tuyến có hệ số góc k 9 A y –16 –9 x – B y 16 –9 x C y –16 –9 x D y –9 x – 27 Câu 66 THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH ĐỊNH) Trong tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số y x3 3x , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ bằng: A 3 B C 4 D Câu 67 (THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC) Tập tất giá trị tham số m để qua điểm M 2; m kẻ ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số y x3 3x A m 4; B m 2; 3 C m 5; 4 D m 5; Câu 68 (SGD BẮC NINH) Cho hàm số y x3 m x m có đồ thị C Tìm tất giá trị thực tham số m để tiếp tuyến đồ thị C điểm có hồnh độ x0 song song với đường thẳng d : y 5x A m B m 2 m C D Khơng có giá trị m m 2 2x 1 Câu 69 (THPT DỊU HIỀN) Cho hàm số y có đồ thị (C ) Gọi I giao điểm đường tiệm x 1 cận Gọi M x0 , y0 , x0 điểm (C ) cho tiếp tuyến với (C ) M cắt hai đường tiệm cận A, B thỏa mãn AI IB 40 Khi tích x0 y0 bằng: 15 A B C D Câu 70 NTL Cho hàm số y x 3x mx có đồ thị Cm (m tham số thực) Có giá trị nguyên tham số m để tiếp tuyến giao điểm Cm với trục tung cắt trục Ox Oy A B cho diện tích OAB A B C D Câu 71 NTL Cho hàm số y x 2m 1 x m (m tham số thực) Có giá trị nguyên tham m để đồ thị hàm số chi tiếp xúc với đường thẳng y 2mx m A B C D Câu 72 NTL Cho hàm số y x x (C ) Co điểm trục hồnh cho từ vẽ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), có hai tiếp tuyến vng góc với A B C D Câu 73 NTL Cho hàm số y x3 x có đồ thị (C) Có điểm đường thẳng y 4, cho từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) A B C D Câu 74 NTL Cho hàm số y x 3x (C ) điểm A x0 , y0 C , tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A Tìm hồnh độ điểm B theo x0 A xB x0 Tài liệu nội B xB 2 x0 C xB x0 D xB 1 x0 295 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 75 NTL Cho hàm số y x3 m 1 x 6mx 3m có đồ thị Cm Gọi tiếp tuyến đồ thị điểm A có hồnh độ Có giá trị tham số m để cắt đồ thị điểm B khác A cho OAB tam giác vuông cân O A B C D Câu 76 NTL Cho hàm số y x – x C Gọi C1 đồ thị đối xứng đồ thị C qua điểm 1 A ; Có tiếp tuyến với đồ thị C1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 2 d :16 x y – A B C D ĐÁP ÁN D 11 C 21 B 31 C 41 D 51 C 61 B 71 C C 12 B 22 A 32 D 42 D 52 A 62 B 72 C Tài liệu nội C 13 D 23 C 33 B 43 C 53 B 63 A 73 B C 14 A 24 A 34 C 44 D 54 A 64 A 74 B A 15 C 25 D 35 D 45 B 55 A 65 C 75 C A 16 C 26 D 36 D 46 C 56 A 66 A 76 C B 17 A 27 A 37 D 47 C 57 A 67 A B 18 A 28 B 38 A 48 A 58 B 68 B A 19 B 29 B 39 D 49 D 59 B 69 D 10 D 20 A 30 C 40 C 50 D 60 D 70 D 296 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 PHẦN - GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ ( SỰ TƯƠNG GIAO) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho hàm số y f x có đồ thị C1 hàm số y g x có đồ thị C2 - Phương trình hồnh độ giao điểm C1 C2 f x g x 1 y C1 Số giao điểm C1 C2 số nghiệm phương trình 1 y0 M Nghiệm x0 phương trình 1 hồnh độ giao điểm Để tìm tung độ y0 ta thay vào y f x C2 x x0 O y g x cho việc thay đơn giản Điểm M x0 ; y0 gọi toạ độ giao điểm Chú ý: Nếu hai đồ thị có dạng hữu tỉ có tập xác định D \ Khi đó, để C1 cắt C2 n điểm phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm [phương trình 1 ] có n nghiệm phân biệt khác II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP A Bài tốn khơng chứa tham số Dạng Từ phương trình hồnh độ giao điểm tìm - Hồnh độ giao điểm x0 - Tung độ giao điểm y0 f x0 - Toạ độ giao điểm M x0 ; y0 Mối quan hệ hoành độ, tung độ, độ dài giao điểm - x1 x2 ?; y1 y2 ?; AB x2 x1 y2 y1 - Số giao điểm (số điểm chung) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm a Phương pháp: - Xét phương trình hồnh độ giao điểm C1 C2 f x g x 1 - Giải phương trình 1 tìm x0 y0 M x0 ; y0 Chú ý: - Để giải phương trình 1 cần nắm kĩ giải phương trình bâc 2, bậc 3, trùng phương, vô tỷ…, kĩ phân tích đa thức thành nhân tử, lược đồ hooc-ne - Ngồi sử dụng nhanh máy tính cách chức Mod 2; Mod để giải phương trình bậc hai, bậc ba, trùng phương; Mod để dị nghiệm phương trình nghiệm đẹp; Shift Calc dò nghiệm phương trình nghiệm xấu b Ví dụ minh hoạ: x4 x cắt trục hoành điểm? 2 B C Ví dụ Đồ thị hàm số y A D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng mod 5 x 1 x4 x 0 x 2 x Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt Chọn đáp án B Tài liệu nội 297 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Nhận xét: Khi hỏi số nghiệm phương trình mà khơng hỏi nghiệm cụ thể ta nên dùng mod7 bên f x đổi dấu lần có nhiêu nghiệm X4 Dùng mod7 nhập f X X ; Start 9; End 9; Step 2 Từ bảng ta thấy f x đổi dấu lần nên có giao điểm Ví dụ (Sở GD ĐT Quảng Ninh năm 2017) Biết đồ thị hàm số y x 3x đường thẳng đường thẳng y cắt hai điểm phân biệt A x1 ; y1 , B x2 ; y2 Tính x1 x2 A x1 x2 B x1 x2 C x1 x2 18 D x1 x2 Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng x 1 x 3x x 3x x2 x x1 x x1 x2 Chọn đáp án B x 2 x2 2 Nhận xét: Ta sử dụng mod7 sau Dùng mod7 nhập f X X X 5; g X ; Start 9; End 9; Step Từ bảng x1 x2 Ví dụ (Sở GD ĐT Bắc Ninh năm 2017) Gọi A, B giao điểm hai đồ thị hàm số y x3 x 1 y x Độ dài đoạn thẳng AB A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng x 1 y A 1; x x3 1 x x 1 x y 1 B 2; 1 x x Khi AB Chọn đáp án D Nhận xét: Ta sử dụng mod7 sau X 3 Dùng mod7 nhập f X ; g X X ; Start 9; End 9; Step X 1 Từ bảng A 1; ; B 2; 1 AB Tài liệu nội 298 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Chú ý: Với máy 570vn plus có hai hàm f x ; g x tìm ln tung độ, cịn máy 570vn plus có hàm f x ta nhập f X X 3 X tìm hoành độ X 1 x2 x 1 đường thẳng y x cắt hai điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 Khi y1 y2 A y1 y2 4 B y1 y2 C y1 y2 D y1 y2 2 Ví dụ (Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần năm 2017) Biết đồ thị hàm số y Giải Hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng nghiệm phương trình x x2 x2 x 1 x x 1 x 1 Vậy giao điểm M 2;0 , M 0; 2 y1 y2 2 Chọn đáp án D Nhận xét: Ta sử dụng mod7 sau X 2 Dùng mod7 nhập f X ; g X X ; Start 9; End 9; Step X 11 Từ bảng y1 y2 2 Ví dụ (Sở GD ĐT Bắc Giang năm 2017) Đồ thị hai hàm số f x x x g x m 1 x3 2mx m 1 x 2m , (m tham số khác ) có giao điểm A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số m 1 x3 2mx m 1 x 2m x x x m 1 x3 2m 1 x 2m x 1 x 1 x 2m x 2m x 1 x 2m x 2m * Xét phương trình * ta có ' m 1 2m m2 * ln có hai nghiệm phân biệt x m m Khi hai nghiệm * , m x1 , x2 1 x2 m m Suy hai đồ thị có giao điểm Chọn đáp án B Nhận xét: Với dạng toán tìm giao điểm mà chứa tham số làm trắc nghiệm ta cho tham số giá trị thoả mãn đề kết khơng thay đổi, giả sử m 1 g x 2 x x2 x 1 Phương trình hoành độ x x Chọn đáp án B x x Ví dụ (Sở GD ĐT Thanh Hoá năm 2017) Đồ thị hàm số y x x x đồ thị hàm số y 3x x có tất điểm chung? A B C Giải Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị Tài liệu nội D 299 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x3 3x x 3x x x x3 x B x 2 Cách 2: Dùng mod7 nhập f X X X X 1; g X X X Start 9; End 9; Step Vậy hai đồ thị có ba điểm chung B Nhận xét: Cách có ưu điểm nghiệm đẹp ta tìm ln hồnh độ tung độ, nhược điểm nghiệm xấu khó tìm đáp án 2x 1 Ví dụ (Trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ năm 2017) Đồ thị hàm số y đường thẳng y x x5 cắt hai điểm phân biệt A, B Tìm hồnh độ trung điểm I đoạn thẳng AB A xI B xI 2 C xI D xI 1 Giải Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng 1 x1 2x 1 x x2 2x x5 1 x2 x x I trung điểm AB nên xI 1 Chọn đáp án D Chú ý: Để tính nhanh mà khơng cần tìm nghiệm cụ thể ta áp dụng định lí vi-et sau x x b xI 1 2a Cách 2: Vì nghiệm phương trình nghiệm xấu nên ta sử dụng chức Shift Calc 2x 1 Shift Calc Nhập x A (lưu biến A) x 1 x5 2x 1 Shift Calc Nhập x 1 : x A B (lưu biến B) x 1 x5 A B Nhập 1 Chọn đáp án D Ví dụ (Trường THPT Việt Yên lần năm 2017) Đường thẳng d : y x cắt đồ thị C : y 2x 1 x2 hai điểm phân biệt A, B Khi diện tích tam giác OAB là: A B C D Giải X 1 ; g X X ; X 2 Start 9; End 9; Step ta có bảng Dùng mod7 nhập f X Tài liệu nội 300 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Từ ta A 3;5 ; B 1;1 S 3 Chọn đáp án B 1 B Bài toán chứa tham số Dạng Tương giao hàm bậc ba đường thẳng Bài toán tổng quát 1: Cho hàm số bậc ba C : y ax bx cx d a đường thẳng : y a ' x b ' Tìm giá trị tham số để đồ thị hai hàm số C cắt k điểm a Phương pháp 1: Nhẩm một nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm - Cho hàm số bậc ba C : y ax3 bx cx d (a 0) đường thẳng : y a ' x b ' Đồ thị hai hàm số C cắt k điểm phương trình hồnh độ giao điểm chúng có k nghiệm phân biệt nghiệm hồnh độ giao điểm - Phương trình hồnh độ giao điểm C ax3 bx cx d a ' x b ' ax bx c a ' x d b ' 1 - Nếu phương trình 1 có nghiệm x0 giả sử x x0 1 x x0 Ax Bx C g x Ax Bx C Đồ thị C cắt đường thẳng điểm phương trình 1 có nghiệm phương trình g vơ nghiệm có nghiệm kép x0 g g x0 Đồ thị C cắt đường thẳng hai điểm phương trình 1 có nghiệm phương trình có nghiệm kép khác x0 có hai nghiệm phân biệt có nghiệm g g x0 x0 g g x Đồ thị C cắt đường thẳng ba điểm phương trình 1 có nghiệm phương trình có g hai nghiệm phân biệt khác x0 g x0 Chú ý: - Trong nhiều trường hợp x0 số thực mà tham số m - Có thể thay đường thẳng trục Ox Khi ta làm tương tự đường thẳng b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ (Trường THPT Triệu Sơn lần năm 2017) Cho hàm số y x 2mx m x Cm đường thẳng d : y x Khi tập giá trị m để đường thẳng d cắt đồ thị Cm ba điểm phân biệt là: Tài liệu nội 301 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A ; 1 2; B ; 2 2; 1 2; C ; 2 2; D ; 1 2; Giải Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x 2mx m 3 x x x x 2mx m x g x x 2mx m * Để đường thẳng cắt đồ thị ba điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m g ; 2 2; 1 2; Chọn đáp án B m m ' Ví dụ Cho hàm số y x 3mx 3m x m3 có đồ thị C đường thẳng d : y 3x 3m (m tham số thực) Có giá trị tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị C ba điểm phân biệt A B Khơng có C Giải Phương trình hồnh độ giao điểm C d là: D Vô số 1 x 3mx m 1 x m3 3m x m x 2mx m2 3 x 3mx 3m x m3 x 3m x m 2 2 x mx m Đặt g x x mx m Ta có 0, m g m 3 0, m Suy phương trình (2) ln có nghiệm phân biệt khác m, phương trình (1) ln có ba nghiệm phân biệt Vậy C cắt d ba điểm phân biệt với m Chọn đáp án D c Phương pháp 2: Sử dụng đồ thị hàm số bậc vị trí cực trị Nếu trường hợp phương trình hồnh độ giao điểm khơng dễ dàng việc nhẩm nghiệm hay tốn khơng có điều kiện phức tạp toạ độ giao điểm ta sử dụng đồ thị hàm số bậc ba để giải toán Giao điểm đồ thị hàm số bậc ba C : y ax3 bx cx d (a 0) đường thẳng : y a ' x b ' đưa toán xét giao điểm đồ thị hàm số C ' : y ax3 bx c a ' x d b ' (a 0) với trục hoành Hai đồ thị hai hàm số C cắt k điểm đồ thị hàm số C ' cắt trục hoành k điểm * Bảng tóm tắt dạng đồ thị hàm số y f x ax bx cx d a a0 a0 y y ' có hai nghiệm phân biệt b 3ac y I Tài liệu nội x I x 302 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 y ' có nghiệm kép b 3ac y y ' vô nghiệm b 3ac y I I 0 x x * Một số câu hỏi thường gặp số giao điểm hàm bậc ba trục hồnh Phương trình hồnh độ giao điểm ax3 bx cx d * Đồ thị C cắt trục hoành điểm * có nghiệm f cực trị h.1a f cã cùc trÞ h.1b y y C§ CT y ' y ' y y C§ CT Đồ thị C cắt trục hồnh điểm * có nghiệm f cã cùc trÞ h.2 y ' yC§ yCT yC§ yCT Đồ thị C cắt trục hoành điểm * có nghiệm y ' f cã cùc trÞ yC§ yCT h.3 yC§ yCT y y (C) (C) yCĐ A A x0 O (h.1a) x0 x yCT x2 x1 o y (h.1b) x y (C) (C) yCÑ (h.2) yCÑ A A x0 o B x1 x'0 B x0 x1 x'0 o x x2 C x"0 x yCÑ (h.3) (yCT = f(x0 ) = 0) Tài liệu nội 303 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Đồ thị C cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ dương a0 f x cã cùc trÞ yC§ yCT h4 xC§ y (0) Đồ thị C cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ âm a0 f x cã cùc trÞ yC§ yCT h5 x CT y (0) H.4 a a0 f x có cực trị yCĐ yCT h4 xCT y (0) a0 f x cã cùc trÞ yC§ yCT h5 x C§ y (0) H.5 a Các trường hợp C cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ ta đặt t x tốn trở dạng quen thuộc Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y f t cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ dương (âm) d Ví dụ minh hoạ: Ví dụ Tìm m để đồ thị hàm số y f x x3 x m cắt trục hoành Ox : y a Tại điểm phân biệt b Tại điểm c Tại điểm Giải Nhận xét: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục hoành x x m 1 Ta khơng nhẩm nghiệm phương trình 1 Xét hàm số y f x x x m x y 1 m Ta có y ' x ; y ' x x 1 y m Do hàm số ln có cực đại, cực tiểu a Đồ thị cắt trục hồnh điểm phân biệt, ta có ycd yct y 1 y 1 m 1 m m 1 m 1 m b Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm, ta có m 1 ycd yct y 1 y 1 m 1 m m Tài liệu nội 304 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 c Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm, ta có m 1 ycd yct y 1 y 1 m 1 m m 1 m m Vì hàm số ln có cực đại cực tiểu nên không xảy trường hợp hàm số đồng biến Nhận xét: Bài toán trường hợp đặc biệt ta tính tung độ điểm cực trị nên việc tính tốn trở nên đơn giản, trường hợp khơng tính tung độ điểm cực trị ta phải tìm đường thẳng qua điểm cực trị “Xem lại phần toán cực trị” e Phương pháp 3: Phương pháp hàm số - Nếu phương trình hồnh độ giao điểm F x, m * biến đổi dạng f x g m f x hàm số có đồ thị C cịn g m hàm (phụ thuộc tham số m) có đồ thị đường thẳng d song song trục hoành qua 0; g m Khi ta giải tốn sau: Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số Bước 2: Dựa vào BBT Số giao điểm C d Đặc biệt: Khi y f x hàm bậc ba có cực đại cực tiểu ta sử dụng kết sau Kết Phương trình F x, m * o * có ba nghiệm phân biệt o o * có hai nghiệm (1 đơn, kép) o o * có nghiệm đơn o o * có hai nghiệm o yCT g m yCD g m yCD g m yCT g m yCD g m yCT yCT g m yCD Chú ý: Với hàm bậc ba xCD xCT xCD xCT yCD yCT Do ta cần tính tung độ điểm cực trị so sánh không cần phải lập bảng biến thiên để rõ yCD yCT f Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 10 Tìm m để đồ thị hàm số Cm : y f x x x mx cắt trục hoành Ox ba điểm phân biệt A m 5 B m 5 C m 5 D m 5 Giải x3 x Phương trình hồnh độ giao điểm x x mx m x x x 3 Xét hàm số y g x Cm ' Tập xác định: D \ 0 x 2x3 x ; g ' x x x x 1 x 3x g ' x x x (vì x 3x vô nghiệm) Bảng biến thiên x g' g Tài liệu nội 305 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Để Cm cắt trục hồnh ba điểm phân biệt đường thẳng y m phải cắt Cm ' ba điểm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên ta có m m 5 Chọn đáp án B Ví dụ 11 Tìm m để đồ thị hàm số Cm : y f ( x) m 1 x3 3mx 3mx m cắt trục hoành Ox điểm 4 m m 4 A B m C D m 9 9 m m Giải Phương trình hồnh độ giao điểm m 1 x 3mx 3mx m m Xét hàm số y g x g ' x x2 x 1 ; g' x3 x 1 x3 x 1 Cm ' Tập xác định: x x2 x 1 D R \ 1 0 4x x 0 x 2 Bảng biến thiên x g' - 2 + + + g Để Cm cắt trục hồnh điểm đường thẳng y m phải cắt Cm ' điểm Chọn đáp án A Ví dụ 12 (Sở GD ĐT Vĩnh Phúc lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hai hàm số y x x y x 3x m cắt nhiều điểm A 2 m B 2 m C m D m Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x x x x m x3 x m 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có m m Số nghiệm phương trình 1 số giao điểm đồ thị hàm số y x 3x đường thẳng y m x 1 y Ta có y ' x x y 2 Để có hai đồ thị có nhiều điểm chung 1 có nhiều nghiệm 2 m Chọn đáp án B Ví dụ 13 (Trường THPT Ngô Gia Tự lần năm 2017) Điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y x3 x 2m cắt trục hồnh hai điểm phân biệt m 2 A B m 2 C 2 m D 2 m m Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x3 x m x x 2m * Tài liệu nội 306 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Đặt f x x3 x ; f x x x; f x x 1 y 4 Số nghiệm phương trình * số giao điểm đồ thị hàm số f x đường thẳng y 2m Để có hai nghiệm phân biệt 4 2m 2 m Chọn đáp án D Ví dụ 14 (Trường THPT Hai Bà Trưng lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x x log m có nghiệm 1 A m B m C m D m m 4 Giải Phương trình x x log m x x log m với m số giao điểm đồ thị hàm số y x x đường thẳng y log m x 1 y Ta có y ' x x y 2 log m 2 0m Để phương trình cho có nghiệm log m m Chọn đáp án D Bài toán tổng quát 2: Cho đồ thị hàm số y f x ax3 bx cx d (với a, b, c, d phụ thuộc vào tham số) Tìm giá trị tham số để đồ thị cắt đường thẳng y x (hoặc trục Ox) điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước a Phương pháp: Bước 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng ax3 bx cx d x ax3 bx c x d (1) Giả sử ta đốn trước phương trình (1) có nghiệm x x0 (*) phân tích thành x x0 x x0 Ax Bx C g x Ax Bx C Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt khác x0 g 'g giá trị tham số thuộc miền D (*) g x0 Giả sử đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt A xA ; y A với x A x0 hai điểm B, C với xB , xC nghiệm phương trình g x Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng tích nghiệm thay tổng tích vào từ dẫn tới phương trình bất phương trình theo tham số, giải phương trình ta tham số sau đối chiếu với điều kiện (*) kết luận Chú ý: Thường ban đầu giả thiết cho số đặc điểm để từ đốn nghiệm “ điểm có hồnh độ cho trước, có tọa độ cho trước, điểm cố định…) Cịn trường hợp khơng đốn nghiệm phải giải theo trường hợp tổng quát toán tổng quát nêu b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 15 Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số Cm : y x3 x m x 2m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ âm A B C D Giải: Tài liệu nội 307 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Phương trình hồnh độ giao điểm Cm Ox x 2 x x m x 2m x x x m x x m * Đồ thị Cm cắt Ox điểm có hồnh độ âm * có nghiệm âm phân biệt khác 2 m 2 m 2 m 2 1 4m 1 m 0m 4 P m S 1 m Vì m nên khơng có giá trị m Chọn đáp án A Ví dụ 16 (Trường THPT Chuyên Lam Sơn lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị Cm : y x3 3mx m3 cắt đường thẳng d : y m x 2m điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x14 x24 x34 83 Ta có kết quả: A m 1 B m C m m 1 D m Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng x 3mx m3 m2 x 2m3 x3 3mx m x 3m3 x m x1 m x m x 4mx 3m 2 g x x mx 3m Hai đồ thị cắt điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt x m 2 g m m 4m 3m m Theo vi-et ta có ' 4m 3m x2 x3 4m x2 x3 3m 2 Ta có x14 x24 x34 x14 x2 x3 x2 x3 x2 x3 m 16m 6m 18m4 83m m Theo giả thiết x14 x24 x34 83 83m 83 thoả mãn m m 1 Vậy m 1 giá trị cần tìm Chọn đáp án D Ví dụ 17 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số y x3 x mx d : y x Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt d ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 x22 x32 A m B Không tồn m C m D m 10 Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng d là: x x mx x * x x x m 1 x g x x x m 1 ** Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d điểm phân biệt (*) phải có nghiệm phân biệt hay (**) phải có m 1 m nghiệm phân biệt khác 1 m g m Giả sử giao điểm A 0;1 , B x1 ; x1 1 , C x2 ; x2 1 Tài liệu nội 308 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x x Theo định lý Vi-et ta có: x1 x2 m Giả thiết x12 x22 x32 x1 x2 x1 x2 m m Từ (1) (2) suy khơng có giá trị m thỏa mãn đề Chọn đáp án B Ví dụ 18 Cho hàm số y x3 3mx m 1 x 1 Để đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số 1 ba điểm A, B, C phân biệt thỏa mãn điểm C 0;1 nằm A B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài 30 tổng giá trị tham số m A B C Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm d đồ thị Cm D x3 3mx m 1 x x x y x x 3mx m x 3mx m (*) Đường thẳng d cắt đồ thị Cm điểm A; C; B phân biệt C nằm A B phương trình (*) có nghiệm trái dấu m m (*) 3m x A xB y 2xA Khi tọa độ A B thỏa mãn A (vì A B thuộc d) y B xB x x m A B Theo giả thiết AB 30 xB x A 2 y B y A 30 x B x A xB x A x B x A m2 m 3 6 m1 (thỏa mãn (*)) nên m1 m2 Chọn đáp án A 9m 8m m2 9 Ví dụ 19 (Trường THPT Hai Bà Trưng lần năm 2017) Đường thẳng d : y x cắt đồ thị hàm số y x3 2mx m 3 x điểm phân biệt A 0; , B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M 1;3 Tìm tất giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán A m m B m 2 m C m D m 2 m 3 Giải Phương trình hoành độ giao điểm d đồ thị C : x 2mx m 3 x x A 0; x mx m x g x x 2mx m 1 Đường thẳng d cắt C điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác g m (*) m m Tài liệu nội 309 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ta gọi giao điểm d C A, B xB ; xB , C xC ; xC với xB , xC nghiệm x x 2 m phương trình (1) Theo định lí Vi-et ta có: B C xB xC m Ta có diện tích tam giác MBC S BC d M , BC Phương trình d d : x y 1 8 Mà d M , BC d M , d BC BC 32 2 d M , BC 1 2 Ta lại có: BC xC xB yC yB xC xB 32 2 xB xC xB xC 16 2m m 16 4m 4m 24 m m 2 Đối chiếu với điều kiện ta m Chọn đáp án C Ví dụ 20 Cho hàm số y x3 x m 1 x 1 có đồ thị Cm với m tham số Tính tổng giá trị tham số m để đường thẳng d : y x cắt đồ thị Cm điểm phân biệt P 0,1 , M , N cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN với O 0; C 3 A B Giải Phương trình hồnh độ giao điểm Cm d D 2 x y P 0;1 x 3x m 1 x x x x x m x x m m Để Cm cắt d điểm phân biệt có nghiệm phân biệt khác m Giả sử M x1 ; x1 1 , N x2 ; x2 1 x1 ; x2 nghiệm phương trình (2) OM ON MN (với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN ) MN d O, d 4R OM ON d O, d OM ON R.d O , d 2d O, d 3 4R Ta có SOMN Mà ta có OM ON 2x x1 1 x12 x1 1 với x12 x1 m; x22 x2 m OM ON 4m 12m 25 Mặt khác d O, d Khi vào (3) ta 4m 12 m 25 2 2 5 m m 3 thỏa đề có m 3 Chọn đáp án C Ví dụ 21 Cho hàm số y x x m x m , m tham số thực (1) Tính tổng giá trị tham số m để đồ thị (1) cắt trục hoành ba điểm A, B, C phân biệt cho k A lượt hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (1) A, B, C A 4 B 6 C 10 Giải Tài liệu nội 1 0, k A , kB , kC lần k B kC D 10 310 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Phương trình hồnh độ giao điểm x 1 x x m x m x 1 x x m g x x x m (1) Ta thấy đồ thị cắt trục Ox điểm A 1; với giá trị m Để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác ' 4m m4 1 (*) m 5 g 1 m x x2 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) theo vi-et ta có x1 x2 m Khi hồnh độ B C x1 ; x2 , hệ số góc A, B, C k A m 5; k B x12 x1 m 4; kC x22 x2 m 1 1 Theo giả thiết k A m5 0 k B kC 3x1 x1 m 3x2 x2 m m5 3x x m 3x x m m m m m 3x x m 3x x m 2 2 1 2 2 m 4 m 5 m5 m2 6 Đối chiếu với điều kiện (*) ta m1 4 m2 6 Tổng m1 m2 10 Chọn đáp án C Ví dụ 22 Cho hàm số y x3 x có đồ thị C Để đường thẳng d : y m x cắt đồ thị C m5 điểm phân biệt A 2; , B, C cho tích hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị C B C đạt giá trị nhỏ giá trị tham số m nằm khoảng nào? A 2; B 0; C 2; 1 D 0;1 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm d C là: x x3 x m x (1) g x x x m 1 Đường thẳng d cắt đồ thị C điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác 4m m g m m x x Hoành độ điểm B C nghiệm phương trình (1) Theo định lý viet: B C xB xC m Tích hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị C B C là: y’ xB y’ xC 3xB xB 3xC xC m 1 9, m ; \ 0 Dấu "=" xảy m 1 Vậy y ' xB y ' xC nhỏ 9 đạt m 1 2; Chọn đáp án A Ví dụ 23 (Trường THPT Tiên Du lần năm 2017) Giả sử Cm : y x3 3mx m 1 x 3m cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 Khi giá trị nhỏ x12 x22 x32 biểu thức là: Tài liệu nội 311 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A 17 B C D 17 Giải Nhận xét: Trước tiên phải nhớ lại định lý vi-et hàm bậc ba Cho phương trình ax3 bx cx d a b x1 x2 x3 a c 2 x1 x2 x2 x3 x3 x1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 a d x1 x2 x3 a Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục hoành y x3 3mx m 1 x 3m 2 Ta có x12 x22 x32 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 3m m 1 17 17 m2 m 3m 3 9 Chọn đáp án D Ví dụ 24 (Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị – 2017) Cho hàm số y x x x m (m tham số thực) có đồ thị (C) Giả sử (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 (với x1 x2 x3 ) Khẳng định sau đúng? A x1 x2 x3 C x1 x2 x3 B x1 x2 x3 D x1 x2 x3 Giải Đồ thị (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt Khi phương trình x x x m có ba nghiệm phân biệt Suy phương trình x x x m có ba nghiệm phân biệt, suy đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x3 x x điểm phân Ta có đồ thị hai hàm số hình bên Hai đồ thị có giao điểm 4 m Khi x1 x2 x3 biệt Bài tốn tổng qt 3: Tìm điều kiện tham số để đồ thị C : y f x ax3 bx cx d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng hay cách a Phương pháp: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị C trục Ox ax3 bx cx d (1) Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng Viết (1) dạng: ax3 bx cx d a x x1 x x2 x x3 a x x1 x2 x3 x x1 x2 x2 x3 x3 x1 x x1 x2 x3 b (2) a Ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng x1 x3 x2 (3) b Từ (2) (3) ta x2 nghiệm (1) 3a Đồng thức hai vế ta x1 x2 x3 Tài liệu nội 312 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Điều kiện đủ: Với x2 b vào phương trình (1) để tìm tham số thử lại nghiệm từ kết luận 3a Chú ý: - Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng a c 2b - Nếu đa thức y f x ax3 bx cx d a có nghiệm x1 ; x2 ; x3 y f ( x) a x x1 x x2 x x3 - Để làm nhanh trắc nghiệm ta sử dụng cách tính nhanh theo hai hướng sau: Điều kiện để đồ thị C : y f x ax3 bx cx d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng hay cách b a 0; b 3ac Hướng yU y m thay vào CĐ; CT Hướng b m 3a yU y 3a phương trình ban đầu dùng máy tính kiểm tra điều kiện lập thành cấp số cộng b Với xU nghiệm phương trình y '' 3a b Ví dụ minh hoạ Ví dụ 25 Cho hàm số y x3 x x m Cm Có giá trị tham số m để đồ thị Cm hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x m (*) Giả sử Cm cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 x1 x2 x3 x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình (*) Khi đó: x x x m x x1 x x2 x x3 x3 x1 x2 x3 x x1 x2 x2 x3 x3 x1 x x1 x2 x3 x1 x2 x3 (1) Ta có x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng x1 x3 x2 (2) Thế (2) vào (1) ta có x2 Khi x2 (*) ta m 11 Với m 11 : (*) x3 3x x 11 x 1 x x 11 x1 x2 x1 x3 x2 x3 Vậy m 11 giá trị cần tìm Chọn đáp án B Nhận xét: Để làm nhanh trắc nghiệm ta làm sau a b 3 b 3ac 36 m 11 c 9 yU 11 m x b 3a Bài tốn tổng qt 4: Tìm điều kiện tham số để đồ thị C : y f x ax3 bx cx d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số nhân a Phương pháp: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị C trục Ox ax3 bx cx d (1) Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân Tài liệu nội 313 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Viết (1) dạng: ax3 bx cx d a x x1 x x2 x x3 a x x1 x2 x3 x x1 x2 x2 x3 x3 x1 x x1 x2 x3 d (2) a Ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng x1 x3 x2 (3) Đồng thức hai vế ta x1 x2 x3 Từ (2) (3) ta x2 Điều kiện đủ: Với x2 d nghiệm (1) a d vào phương trình (1) để tìm tham số thử lại nghiệm từ kết luận a Chú ý: - Ba số a, b, c lập thành cấp số nhân ac b - Để làm nhanh trắc nghiệm ta sử dụng cách tính nhanh theo hai hướng sau: Điều kiện để đồ thị C : y f x ax3 bx cx d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số nhân Hướng d Hướng y m thay vào phương a 0; b 3ac CĐ; CT a m d d trình ban đầu dùng máy tính kiểm tra điều kiện y a y a lập thành cấp số cộng b Với xU nghiệm phương trình y '' 3a b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 26 Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y f x x 3m 1 x 5m x Cm cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân A B C Giải Giả sử Cm cắt Ox ba điểm phân biệt x1 ; x2 ; x3 đó: D x 3m 1 x 5m x x x1 x x2 x x3 x3 x1 x2 x3 x x1 x2 x2 x3 x3 x1 x x1 x2 x3 Từ đồng thức ta x1 x2 x3 Vì x1 ; x2 ; x3 tạo thành cấp số nhân nên x1 x3 x2 x1 x2 x3 x2 x2 Vì x2 hồnh độ giao điểm nên f x2 f m m Với m f x x x 14 x x 1 x x 8 x x x Ta thấy số 1; 2; tạo thành cấp số nhân với công bội Vậy m thoả mãn yêu cầu toán Chọn đáp án B Nhận xét: Để giải nhanh trắc nghiệm ta làm sau x 1 x 6x Tài liệu nội 314 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 a 2 b 3m 1 3m 1 5m 1 9m m m2 c 5m y m x d 8 a Bài tốn tổng qt 5: Tìm điều kiện tham số để đồ thị C : y f x ax3 bx cx d a cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục Ox có diện tích phần nằm phía trục Ox phần nằm phía trục Ox a Phương pháp: CĐ; CT Để thoả mãn u cầu tốn yu b Ta có y ' 3ax 2bx c y '' 6ax 2b x 3a b yu y 3a a Để hàm số có cực đại, cực tiểu y ' có hai nghiệm phân biệt ' b 3ac a 0; b 3ac Vậy từ ta có cơng thức tính nhanh sau b y 3a b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 27 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Cho hàm số x 3x 3mx m Biết hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục Ox có diện tích phần nằm phía trục Ox phần nằm phía trục Ox Giá trị m là: A B C D 5 Giải Áp dụng cơng thức tính nhanh b 3ac 27 m a m b b 4m c 3m y 3a y 1 4m m Vậy chọn đáp án C Dạng Tương giao hàm phân thức bậc 1/bậc đường thẳng ax b Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f x C , với a, c , a, b, c, d phụ thuộc vào tham số thực cx d đường thẳng d : y x với 0, , phụ thuộc vào tham số thực Tìm giá trị tham số để đường thẳng d cắt đồ thị C hai điểm phân biệt M , N thỏa mãn điều kiện cho trước a Phương pháp: Bước 1: Phương trình trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng ax b x g x c x c d a x d b cx d d Hay g x Ax Bx C ( x khơng nghiệm) c Tài liệu nội 315 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Để đường thẳng d cắt đồ thị C hai điểm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt khác c d g 'g m D c g d c * y x1 Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 với x1 , x2 nghiệm phương trình g x y2 x2 c d a x1 x2 c Theo định lý viét ta có d b x x c Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng tích nghiệm dẫn tới phương trình bất phương trình theo x0 , giải phương trình ta x0 sau đối chiếu với điều kiện (*) kết luận Chú ý: Từ toán tổng qt ta xây dựng cơng thức tính nhanh cho độ dài hai điểm MN sau - Độ dài MN x2 x1 y2 y1 1 x1 x2 2 x1x2 x2 x1 B2 A2 CA 1 1 B AC g với hệ số phương trình đường thẳng; A hệ số phương A2 A2 trình bậc hai 1 - Vì const nên MN A2 - Diện tích tam giác MNP với P xP ; yP cho trước 1 1 MN PH g d P, d 2 A2 b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 28 (Trường THPT Trần Hưng Đạo lần năm 2017) Những giá trị m để đường thẳng 2x 1 d : y x m cắt đồ thị hàm số y hai điểm phân biệt MN cho MN x 1 A m 10 B m C m D m 10 Giải Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: 2x 1 x m g x x m x m x 1 x 1 Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt phương trình g x có hai nghiệm phân biệt khác 1 m m 8m 12 * m g 1 S MNP x x m Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình g x Theo vi-et ta có x1 x2 m Tài liệu nội 316 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Giả sử A x1 ; x1 m 1 , B x2 ; x2 m 1 AB x2 x1 Theo giả thiết AB x2 x1 x1 x2 x1 x2 m 8m m 10 Kết hợp với điều kiện * ta m 10 Chọn đáp án A Nhận xét: Ta áp dụng cơng thức tính nhanh sau 1 12 MN m 8m 12 m 8m m 10 g A2 12 Ví dụ 29 (Trường THPT Chuyên Thái Nguyên năm 2017) Tìm tất giá trị m để đường thẳng x 1 d : y x m cắt đồ thị C : y điểm phân biệt A, B với AB ngắn nhất? 2x A B C D Giải Cách Phương trình hoành độ giao điểm là: x 1 x m g x x 1 m x ( x nghiệm) 2x Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt phương trình g x có hai nghiệm phân biệt khác 1 2m 4m 4m 2m 12 0, m g 1 y x1 m Khi gọi A x1 ; x1 m ; B x2 ; x2 m với x1 , x2 nghiệm g x y2 x2 m 2m x1 x2 Theo định lí vi-et ta có x x 2 Theo giả thiết ta có AB x1 x2 x1 m x2 m x1 x2 x1 x2 m2 m 1 Dấu "=" m Chọn đáp án A Cách Áp dụng cơng thức tính nhanh xây dựng phần lí thuyết 2 MN mà m2 4m 2m 1 hay m 1 Cách Để ABmin AB qua tâm đối xứng đồ thị Gọi I 0; giao điểm hai đường tiệm cận 2 đồ thị hàm số 1 ABmin I d m m Chọn đáp án D 2 2x Ví dụ 30 Cho hàm số y có đồ thị (C) Tính tổng giá trị tham số m để đường thẳng x 1 y 2 x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) A B 1 C D Giải: Tài liệu nội 317 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng là: 2x 2 x m g x x m x m ( x 1 nghiệm) x 1 Để đường thẳng cắt đồ thị hai điểm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt khác 1 m 0, m (*) g 1 1 g x ln có nghiệm nên đường thẳng ln cắt đồ thị (C) hai điểm A, B Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 với x1 , x2 nghiệm phương trình g x y1 2 x1 m; y2 2 x2 m Theo định lý vi ét ta có x1 x2 Ta có d O, AB d O, d m 4m 1 m x1 x2 2 AB m2 1 m 4m 5 20 2 x2 x1 2 y2 y1 x2 x1 20 x1 x2 1 m m 8 Theo giả thiết S OAB d O, AB AB 2 m4 8m 48 m2 m 12 (loại) m 2 Vậy m 2 giá trị cần tìm hay tổng giá trị m Chọn đáp án D Nhận xét: m 8 22 - Ta tính AB theo cơng thức tính nhanh AB m 8 2 - Để làm nhanh trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính diện tích khác S OAB xA yB xB y A xA 2 xB m xB 2 xA m 2 m2 m xA xB m x A xB 12 m 12 m4 8m 48 m m 2 2x Ví dụ 31 Cho hàm số y (H) Với giá trị m, đường thẳng d m qua điểm A 2; x 1 có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số cho hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị? A m B m C m D m Giải Phương trình đường thẳng d m qua điểm A có hệ số góc m y m x 2 Hoành độ giao điểm đường thẳng d m đồ thị (H) nghiệm phương trình 2x 1 mx 2m x 1 x 1 mx 2m x 1 x mx 3mx 2m (1) Hai nhánh (H) nằm hai bên đường tiệm cận đứng x 1 nên đường thẳng d m cắt hai nhánh (H) phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x2 Đặt t x x t phương trình (1) trở thành: m t 1 3m t 1 2m mt mt (2) Tài liệu nội 318 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Bài tốn cho trở thành tìm m để phương trình (2) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1 t2 hay 3m m Chọn đáp án A Nhận xét: Nếu điều kiện thuộc nhánh trái, nhánh phải, hai thuộc nhánh ta giải sau d TH 1: Thuộc nhánh trái tức x1 x2 c d TH 2: Thuộc nhánh phải tức x1 x2 c TH 3: Thuộc nhánh, chưa nói rõ nhánh phải xét đồng thời hai trường hợp TH TH sau lấy hợp lại d TH 4: Thuộc hai nhánh khác tức x1 x2 c Ví dụ 32 (Sở GD ĐT Điện Biên năm 2017) Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị (C) hàm x số y hai điểm phân biệt A B cho hai điểm A, B cách đường thẳng : x y x 1 A m B m 5 C m D m Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng g x x mx m 1 x x m x 1 x Hai đồ thị cắt hai điểm phương trình 1 có hai ngiệm phân biêt khác m m 4m * m g 1 m m y xA m A x A ; y A Khi hai giao điểm với A B xB ; yB y B xB m Hai điểm A, B cách đường thẳng d A, d B , xA y A xB y B xA y A xB yB (vì x A xB ) 4 2 42 xA xB 4m m m (thoả mãn * ) Chọn đáp án D 2 x 1 Xác định m để đường thẳng x2 y x m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A, B cho trọng tâm tam giác OAB nằm đường tròn x y y Ví dụ 33 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số y m 3 A m 15 Giải m 3 B m 15 2 m C 15 m m 1 D m x 1 xm x2 x x m x g x x m x 2m x * Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt khác m 3 2m 1 m 2m 13 0, m g 3 Giả sử A x1 ; x1 m ; B x2 ; x2 m toạ độ giao điểm Xét phương trình hồnh độ giao điểm: Tài liệu nội 319 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x x m Theo định lí Viét ta có: x1 x2 2m Gọi G trọng tâm OAB , I trung điểm AB x x x x 2m 3 m 3 m OG OI với I ; ; I 2 3 m 3 m Khi G ; OG OI 2 Mà G thuộc đường tròn x y y Thay tọa độ G vào ta được: 15 2 m 3 m 3 m 3 m 4 Chọn đáp án B m 3 Vi dụ 34 (Trường THPT Chu Văn An lần năm 2017) Biết đường thẳng d : y 3x m cắt đồ thị 2x 1 hai điểm phân biệt A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đồ thị (C), với O 0; C : y x 1 gốc tọa độ Khi giá trị tham số m thuộc tập hợp sau đây? A ; 3 B 3; C 2;3 D 5; 2 Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng 2x 1 3 x m g x 3 x m 1 x m x 1 1 x 1 Để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác m 1 4.3 m 1 m 10m 11 m 1 * m 11 g 1 3 Với điều kiện d cắt (C) điểm phân biệt A xA ; 3 x A m ; B xB ; 3 xB m 1 m Gọi G trọng tâm ∆ABC Khi đó: x xB xO m xG A m 1 m 1 G ; y y A yB yO 3 x A xB 2m m G 3 Vì điểm G thuộc (C) nên 15 13 m 1 x 1,51 1 m 1 2 m 15m 25 (thoả mãn * ) m 1 15 13 1 16,51 x Chọn đáp án B x Ví dụ 35 (Trường THPT Triệu Sơn lần năm 2017) Cho hàm số y C đường thẳng x 1 d : y x m Khi số giá trị m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam Theo Viet ta có: x A xB giác OAB (O gốc tọa độ) có bán kính đường trịn ngoại tiếp 2 là: A B C D Giải Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: Tài liệu nội 320 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 g x x mx m x x m * x 1 x Để đường thẳng cắt đồ thị hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m ;0 4; g 1 Gọi x1 , x2 hai nghiệm (*) Suy A x1 ; x1 m , B x2 ; x2 m Ta có OA x12 m x1 x12 2mx1 m m 2m Tương tự: OB m 2m Mặt khác R m OA.OB m2 4 (thoả mãn) Chọn đáp án B d O, d m 2 2x (C) Số giá trị m để đường thẳng d : y x m cắt (C) hai điểm x 1 phân biệt A, B cho OAB vuông O A B C D Giải: Cách Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) là: 2x 1 x m g x x m 3 x m ( x không nghiệm) x 1 Để đường thẳng cắt đồ thị hai điểm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt khác Ví dụ 36 Cho hàm số y m2 2m 0, m g 1 1 g x ln có nghiệm nên đường thẳng ln cắt đồ thị (C) hai điểm A, B Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 với x1 , x2 nghiệm phương trình g x y1 x1 m; y2 x2 m Theo định lý viét ta có x1 x2 m x1 x2 m Để OAB vng O OA.OB x1 x2 y1 y2 x1 x2 x1 m x2 m x A xB m xA xB m m 2 Chọn đáp án C Cách Áp dụng kết coi cơng thức tính nhanh y yO x1 m Hệ số góc đường thẳng OA kOA x2 xO x1 y yO x2 m Hệ số góc đường thẳng OB kOB x2 xO x2 x m x2 m Để OAB vuông O kOA kOB 1 1 x1 x2 x1 m x2 m x1 x2 Vậy m 2 giá trị cần tìm Chọn đáp án C 2x Ví dụ 37 Cho hàm số y có đồ thị (C) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng x2 y x m cắt (C) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến (C) hai điểm song song với A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) là: 2x x m g x x m x 2m ( x không nghiệm phương trình) x2 Đường thẳng d cắt (C) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến song song với (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác thoả mãn Tài liệu nội 321 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 y’ x1 y’ x2 7 7 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 m m m m 60 0, m x1 x2 (loại) (vì x1 x2 ) 6m x1 x2 4 m 2 g 7 Vậy m 2 giá trị cần tìm Chọn đáp án C Nhận xét: Ta xây dựng cơng thức tính nhanh sau Để tiếp tuyến M , N song song ad bc ad bc f ' x1 f ' x2 2 cx1 d cx2 d 2 cx1 d cx2 d cx1 d cx2 d x1 x2 2d c Áp dụng m 2 Dạng Tương giao hàm trùng phương đường thẳng Bài toán tổng quát 1: Cho hàm số y ax bx c (với a a, b, c phụ thuộc tham số) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d (hoặc trục Ox ) n điểm a Phương pháp 1: Sử dụng kiến thức lớp 10 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục Ox ax bx c 1 (Số giao điểm đồ thị trục Ox nghiệm phương trình 1 ) - Đặt t x ta phương trình at bt c - Một nghiệm dương ứng với hai nghiệm 1 - Vậy điều kiện cần đủ để phương trình 1 có nghiệm phương trình có nghiệm t x ax bx c a không âm tức g t at bt c t x2 x t Một số yêu cầu nghiệm o 1 có nghiệm có nghiệm dương P S 0 2 o 1 o o P có nghiệm có nghiệm dương nghiệm S 1 có nghiệm có nghiệm dương P S 1 có nghiệm có nghiệm thỏa t1 t2 t1 t2 Tài liệu nội 322 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 P S S o 1 vô nghiệm vơ nghiệm có nghiệm âm P S 0 2 Nhận xét: Trong nhiều trường hợp mà ta đoán trước nghiệm nghiệm… việc biện luận số nghiệm trường hợp trở nên đơn giản b Phương pháp đồ thị: Chỉ áp dụng cô lập m sang bên hàm số sang bên Nếu hàm số tách hàm trùng phương ta có kết a0 a0 o 1 có nghiệm y CT f m yCĐ o 1 có nghiệm y CT f m yCĐ o 1 o 1 o có nghiệm f m yCĐ f m yCT có nghiệm f m yCĐ 1 vô nghiệm f m yCT o 1 o 1 o có nghiệm f m yCT f m yCĐ có nghiệm f m yCT 1 vô nghiệm f m yCĐ Nếu hàm số tách hàm ta sử dụng phương pháp hàm số, nhiên phương pháp nên áp dụng hàm tách hàm đơn giản c Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 38 (Sở GD ĐT Điện Biên năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x x 2m có nghiệm phân biệt 11 5 11 11 A m B m C m D m 2 2 2 Giải Cách Đặt t x , t ta phương trình t 8t m * Phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương 15 2m ' 11 t1 t2 8 m 2 t t 5 m 12 Cách Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị y x 8x đường thẳng y 2m x y Ta có y ' x 16 x x 2 y 11 11 Để có giao điểm 11 m m Chọn đáp án D 2 Ví dụ 39 (Trường THPT Chuyên Bình lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số Cm : y x mx m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt A m m B m C khơng có m D m Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x mx m 1 Cách Đặt t x , t ta phương trình t mt m Tài liệu nội 323 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Phương trình 1 có nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt dương m 2 m2 m 1 m t1 t2 m m m t t m m 1 Cách Phương trình hồnh độ giao điểm Cm d x mx m x m x 1 x2 x 1 x 1 x 1 m x 1 x m x m * m Để Cm cắt d bốn điểm phân biệt * có hai nghiệm phân biệt khác 1 m Chọn đáp án B Nhận xét: Việc tách tham số m để khảo sát đơn giản hàm khảo sát lại hàm phân thức nên trường hợp ta không nên tách để khảo sát Ví dụ 40 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tất giá trị m để đồ thị hàm số y x 1 m x m2 khơng cắt trục hồnh là: A m B m Giải Xét phương trình x 1 m x m C m D m Đặt t x t t 1 m t m2 * Đồ thị khơng cắt trục hồnh * có nghiệm âm vơ nghiệm m 12 m TH1 S 1 m 3m2 P m TH2 m 1 m m Kết hợp hai trường hợp ta m giá trị cần tìm Chọn đáp án C Bài toán tổng quát 2: Cho hàm số y ax bx c (với a a, b, c phụ thuộc tham số) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d (hoặc trục Ox ) điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước a Phương pháp: Bước 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục Ox ax bx c 1 Đặt t x , t Khi ta phương trình at bt c Để đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt 1 có nghiệm phân biệt có hai nghiệm dương phân ' biệt thỏa mãn t1 t2 P m D * S Nhận xét: Phương trình (2) có hai nghiệm dương (giả sử t1 t2 ), ứng với giá trị dương t ta giá trị đối x tức x t Khi phương trình (1) có nghiệm phân biệt nghiệm Tài liệu nội 324 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 xếp theo thứ tự t2 t1 t1 t2 (do tính chất đối xứng hàm chẵn) với t1 , t2 nghiệm phương trình (2) Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới phương trình bất phương trình theo tham số, giải phương trình ta tham số sau đối chiếu với điều kiện (*) kết luận b Ví dụ minh hoạ Ví dụ 41 Cho hàm số y x m 10 x có đồ thị Cm Số giá trị tham số m để đồ thị Cm hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa x1 x2 x3 x4 A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm Cm Ox x m2 10 x 1 Đặt t x t Phương trình 1 trở thành: t m2 10 t Để đồ thị Cm cắt trục Ox điểm phân biệt có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn m 10 36 m2 m 16 0, m t1 t2 P S m2 10 Vì hàm số cho hàm số chẵn theo giả thiết x1 x2 x3 x4 t1 t2 t1 t2 t1 t2 16 (*) b c m2 10, t1t2 a a Thay vào phương trình (*) ta được: m 10 10 m Vậy m giá trị cần tìm Chọn đáp án C Ví dụ 42 [NTL] Cho hàm số y x m 1 x m m 1 (với m tham số thực) Giả sử đồ thị 1 Áp dụng Viet t1 t2 cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 Đặt T x1 x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4 Khẳng định sau đúng? A T B T C T D T Giải Cách Tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số 1 trục Ox x m 1 x m2 m Đặt t x , t , ta phương trình t m 1 t m m Để đồ thị cắt đường thẳng điểm phân biệt Phương trình có nghiệm phân biệt dương thỏa mãn ' m t2 t1 P m 1 m (*) S m m 0, m Gọi t1 , t2 hai nghiệm dương phân biệt , x1,2 t1 , x3,4 t2 Nhận thấy nghiệm phân biệt có cặp đối dấu nên x1 x2 x3 x4 Mặt khác x1 x2 x3 x4 x1 x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4 x12 x22 x32 x42 2T T (do điểm phân biệt nên không xảy dấu bằng) Chọn đáp án D Cách 2: Chọn hàm đại diện để kiểm tra Tài liệu nội 325 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Chọn y x x Dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ x1 3; x2 1; x3 1; x4 T x1 x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4 4 Chọn đáp án D Ví dụ 43 Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị y x 3m x 3m điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ m m A m B C m D m m Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng y 1 x 1 x – 3m x 3m 1 x – 3m x 3m x 3m * Đường thẳng y 1 cắt Cm điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 < 0 3m m m 3m m Vậy giá trị cần tìm Chọn đáp án B m Ví dụ 44 Cho hàm số y x m 1 x 2m với m tham số Tính tổng giá trị tham số m để đường đồ thị cắt đường thẳng y bốn điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14 x24 x34 x44 10 A 2 B C Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng y D 4 x2 x m 1 x 2m x m 1 x 2m x m 1 Để đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 2 m m * m m Với điều kiện * ta có nghiệm phương trình x 2; x m m m 10 m m 2 Kết hợp với điều kiện * ta m giá trị cần tìm Chọn đáp án B Ta có x14 x24 x34 x44 10 Ví dụ 45 Cho hàm số y x 2mx m Cm Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị Cm cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ thoả mãn x1 x2 x3 x4 A B C Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm x 2mx m Tài liệu nội D (1) 326 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Đặt t x điều kiện t Phương trình trở thành t 2mt m (2) Giả sử phương trinh (2) có nghiệm thỏa mãn t1 t2 phương trình (1) có nghiệm x1 t2 x2 t1 x3 t1 x4 t2 Bài tốn trở thành tìm m để phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt thỏa mãn: t1 t2 13 m m m 13 13 S 2 m m 3 m (*) 2 P m m t t 1 t1 t2 m 3 t t 1 t1 1 t2 1 t1t2 t1 t2 t t2 Ta có t1 t2 t1 t2 t1 t2 t1t2 t1 t2 16 Thay m từ định lý Vi-et ta có m m m 19 m m 8m 16 m 19 19 3 m 2,1 Kết hợp với (*) ta có m giá trị cần tìm Chọn đáp án D m Bài toán tổng quát 3: Tìm điều kiện để đồ thị C : y ax bx c a cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng a Phương pháp: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị C trục Ox ax bx c 1 Đặt t x ta phương trình at bt c Phương trình 1 có nghiệm phân biệt có nghiệm dương phân biệt t1 , t2 (giả sử t1 t2 ) S m D * P Khi nghiệm 1 t2 ; t1 ; t1 ; t2 Vì t2 ; t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng nên t2 t1 t1 t1 t2 9t1 b c t1 t2 ; t1t2 Theo định lý vi-et ta có hệ a a m đối chiếu với * kết luận t1 9t2 Từ phương pháp giải ta xây dựng cơng thức tính nhanh sau Tài liệu nội 327 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 a 0; b 0; c b 4ac b ac b b 4ac ab S a 0; b 0; c P a ac c b 4ac a b b t c 100ac t1 t2 10a t1t2 a b2 a t1 9t2 t 9b 10a Ta có bảng điều kiện để phương trình trùng phương ax bx c a cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng a 0; b 0; c b 4ac 100ac b a 0; b 0; c b 4ac 100ac b b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 46 Cho hàm số y x m x 2m Cm Tính tổng giá trị tham số m để đồ thị Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng A B 13 C 14 D 40 Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x m x 2m 1 Đặt t x , t ta phương trình t m t 2m Đồ thị Cm cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt 1 có bốn nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 ( x1 x2 x3 x4 ) có hai nghiệm dương phân biệt t1 t2 ' m 2 2m m 1 m S m m 2 P 2m m m t t m (a ) Theo định lí Viet, ta có: Khi phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt: (b ) t1t2 m x1 t2 x2 t1 x3 t1 x4 t2 Ta có x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng x2 x1 x3 x2 x4 x3 t1 t2 t1 t1 t2 t1 t2 9t1 (c) m , t2 m Thế vào (b), ta được: 5 m m m 2m 9m 14m 39 13 (thỏa mãn (*)) 5 m Từ (a) (c), ta có t1 Tài liệu nội 328 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 13 giá trị cần tìm 13 14 Tổng giá trị tham số m1 m2 Chọn đáp án C Nhận xét: Cách giải để ta hiểu chất để thi trắc nghiệm ta giải nhanh sau Áp dụng công thức tính nhanh: m 2 m m ; m 1 a 0; b 0; c m 2 m m b 4ac 9m 14m 39 100ac m 13 b 4 m 2 100 1 2m 3 9 Vậy m1 m2 Ví dụ 47 Cho hàm số y x x 1 Có giá trị tham số m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số 1 điểm phân biệt A, B, C , D cho AB BC CD A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số (1) x 5x m x x m Đặt t x , t , ta phương trình t 5t m (2) Để đồ thị cắt đường thẳng điểm phân biệt Phương trình (2) có nghiệm phân biệt dương thỏa mãn t2 t1 4m P m 4 m * S Khi điểm tương ứng có tọa độ A t2 ; m , B t1 ; m , C t1 ; m , D t2 ; m với t1 , t2 nghiệm phương trình (2) Theo giả thiết AB BC CD t1 t2 t1 t2 t1 t2 9t1 t1 t1 t2 9 Theo định lý viet ta có t1 t2 m t2 m m thỏa mãn * 4 t 9t 2 t1 t2 m Vậy m giá trị cần tìm Chọn đáp án D Nhận xét: Bài tốn thực chất toán điểm lập thành cấp số cộng ta áp dụng cơng thức tính nhanh sau: 4 m a 0; b 0; c 4 m 9 4m m b ac m 100ac 100.1 m b 25 Ví dụ 48 (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x x đồ thị hàm số y 15 x m2 10m 10 cắt bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Tài liệu nội 329 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 12 m m m 12 A B C D m m m 12 m 2 Giải Áp dụng công thức tính nhanh ta có m 10m 12 a 0; b 0; c 100 m 10m 12 b 4ac 9b 100ac 2 9 20 100.1 m 10m 12 m 12 Chọn đáp án A m 10m 24 m Do phương trình bậc hai có nghiệm xấu nên giải lâu, ta kiểm tra máy tính sau Calc 0; Nhập m 10m 12 :100 m2 10m 12 m 12;m Bài toán tổng quát 4: Tìm m để hàm số y ax bx c a có đồ thị C , cắt trục hồnh điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C , trục hồnh có diện tích trục hồnh diện tích phần phía trục hồnh a Phương pháp giải: CĐ; CT Cách Để thoả mãn yêu cầu tốn yu b Ta có y ' 4ax3 2bx y '' 12ax 2b x 6a 2 5b 36 ac 36 b b yu a b c ; yu 5b 36ac b ac 36a 6a 6a Để hàm số có cực đại, cực tiểu ab ab Vậy từ ta có cơng thức tính nhanh sau 36 b ac Cách Ứng dụng tích phân (Xem ví dụ 48) b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 49 Cho hàm số y x m 1 x m , có đồ thị Cm Có giá trị tham số m m 1 để đồ thị Cm cắt trục điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị Cm , trục hồnh có diện tích trục hồnh diện tích phần phía trục hoành A B C D Giải Cách Ứng dụng tích phân Phương trình hoành độ giao điểm Cm trục hoành x m 1 x m 1 Đặt t x t ta phương trình t m 1 t m Phương trình 1 có nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt dương m 1 4m m P m m S m Tài liệu nội 330 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt t 1; t m nên phương trình 1 có nghiệm x1 m x2 1 x3 x4 m Nhận xét hàm số y x m 1 x m hàm chẵn (nhận Oy làm trục đối xứng) nên diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị Cm trục hồnh có phần phía phần phía trục hồnh S H1 S H m x m 1 x m dx x m 1 x m dx 1 m x m 1 x m dx x m 1 x m dx m x5 m x3 x m x m dx m mx 0 0 0 m m 1 m m (thoả mãn) Chọn đáp án D Chú ý: Trong trường hợp không tính nghiệm cụ thể ta làm sau t2 x5 t x3 x m x m dx m mx 0 t t m 1 t22 t m 1 m 3 5 Vì t2 nghiệm nên t2 m 1 t2 m Từ 3 ta tìm m Cách Áp dụng cơng thức tính nhanh Với m ab m 1 nên hàm số ln có cực đại cực tiểu 2 m t2 Áp dụng công thức m 36 36 2 b ac m 1 1.m 5m 26 m m lo¹i 5 Vậy m giá trị cần tìm Chọn đáp án D Ví dụ 50 (Trường THPT Chu Văn An – 2017) Cho hàm số y x 3x m , có đồ thị Cm , với m tham số thực Giả sử Cm cắt trục Ox bốn điểm phân biệt hình vẽ Gọi S1; S2 ; S3 diện tích miền gạch chéo hình vẽ Tìm m để S1 S2 S3 5 A m B m 5 C m D m Giải Áp dụng cơng thức tính nhanh Vì ab hàm số ln có cực đại cực tiểu 36 36 Để S1 S S3 b ac m m D 5 Tài liệu nội 331 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 C- Tương giao hàm hợp, hàm ẩn Câu 1: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f ( x) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f x 1 A B C Lời giải D f x 1 1 Đặt t x t 1 Phương trình 1 trở thành f t f t t a t b t c a 3 l b 2; 1 l c 1;0 tm c x2 x c Vậy số nghiệm thực phương trình 1 Câu 2: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Khi phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt A m B m C m Lời giải D m Ta có: f x m f x m * Số nghiệm phương trình * số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng y m 1 Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x điểm phân biệt m m Câu 3: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình bên Tài liệu nội 332 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f x ; ? 2 A B C Lời giải f cos x m có nghiệm D Đặt t cos x 1;0 , x ; u f cos x 0; 2 Phương trình trở thành: f u m * Phương trình cho có nghiệm x ; đường 2 thẳng y m cắt đồ thị hàm số điểm có hồnh độ 0; Dựa vào đồ thị suy 2 m Vì m nguyên nên m 2; 1;0;1 Câu 4: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f x có đồ thị sau Số nghiệm thực phương trình f x A B C Lời giải D f x Ta có: f x f x 1 Tài liệu nội 333 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình f x có nghiệm thực phương trình f x 1 vô nghiệm Vậy phương trình f x có nghiệm thực Câu 5: [Lớp Tốn Thầy Huy] Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f f x A B C D Lời giải Đặt t f x t , phương trình f f x trở thành f t Qua đồ thị hàm số y f x cho ta thấy: Đồ thị hàm số y f x cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoành độ a , , b với a 2; 1 , b 1; t a Khi đó: f t t t b f x a f x Nhận thấy đường thẳng đường thẳng f x b y a với a 2; 1 ; y ; y b với b 1; cắt đồ thị hàm số y f x điểm phân biệt điểm có hồnh độ khác Vậy phương trình f f x có nghiệm thực phân biệt Câu 6: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f ( x) xác định \ 0 có bảng biến thiên hình vẽ Số nghiệm phương trình f x 10 Tài liệu nội 334 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C Lời giải D Đặt 2x t phương trình cho trở thành f t 10 f (t ) 10 Số nghiệm phương trình số giao điểu đồ thị hàm số y f (t ) đường thẳng y 10 song song trùng với trục hoành Từ bảng biến thiên cho ta vẽ bảng biến thiên hàm số y f (t ) Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm Do hàm số t x nghịch biến nên số nghiệm t phương trình số nghiệm x phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 7: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f ( x) liên tục R, f (2) có đồ thị hình vẽ bên A Tài liệu nội B 18 C D 19 335 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Có số nguyên m (20;20) để phương trình f x m có nghiệm thực phân biệt Lời giải x m 1 x 1 m Ta có: f x m x m x m Để phương trình có nghiệm phân biệt 1 m m 1 m 19, , 2 2 m Vậy có tất 18 số nguyên thoả mãn Câu 8: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số f x x3 3x Tính tổng tất giá trị nguyên m để đồ thị hàm số g x f x m cắt trục hoành điểm phân biệt A B 10 C Lời giải D Xét hàm số f x x3 3x Ta có đồ thị hàm số y f x sau: Như ta biết: để vẽ đồ thị hàm số y f x từ đồ thị y f x ta thực hiện: Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y f x gồm điểm bên phải điểm nằm trục Oy ; bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy Ta phần đồ thị P1 Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị P1 qua trục Oy ta phần đồ thị P2 Khi đó: Đồ thị y f x bao gồm đồ thị P1 P2 Từ ta có đồ thị hàm số y f x x x sau: Tài liệu nội 336 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Để đồ thị hàm số g x f x m cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình g x có nghiệm phân biệt Do phương trình f x m có nghiệm phân biệt hay đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x x x điểm phân biệt Dựa vào đồ thị hàm số y f x suy toán thỏa mãn 4 m m Kết hợp yêu cầu đề m , m 1; 2;3 Vậy tổng giá trị nguyên m thỏa mãn là: Câu 9: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f x Hàm số f '( x) có bảng biến thiên Bất phương trình f (sin x) 3x m với x ; 2 A m f (1) 3 B m f (1) 3 3 C m f 2 Lời giải D m f (1) 3 ; m g x x f sin x , x ; Ta có f sin x 3x m, x 2 2 g x cos x f sin x ; nên sin x , kết hợp với BBT f x ta có f sin x Do x 2 Ta lại có cos x nên cos x Suy cos x f sin x Do hàm g x đồng biến khoảng ; 2 3 g x g f 1 2 m g x 3x f sin x , x ; 2 3 m g f 1 2 Tài liệu nội 337 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 10: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để phương trình f (sin x) 2sin x m có nghiệm thuộc khoảng (0; ) Tổng phần tử S bằng: A 10 B C Lời giải D Đặt t sin x với x 0; t 0;1 Xét phương trình f (t ) 2t m Để phương trình có nghiệm đồ thị hàm y f t cắt đồ thị hàm số y 2t m điểm có hồnh độ t thuộc 0;1 Từ đồ thị ta suy đồ thị hàm số y 2t m nằm phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2t y 2t Từ suy 3 m m 3; 2; 1; Vậy tổng phần tử 6 Câu 11: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số f x xác định liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình f 9 x 30 x 21 m 2019 có nghiệm A 15 Tài liệu nội B 14 C 10 D 13 338 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Lời giải 7 Điều kiện: x 1; 3 Xét phương trình: f 9 x 30 x 21 m 2019 1 2 Ta có: 9 x 30 x 21 x 3x 5 3 x Đặt t 9 x 30 x 21 , t 3;3 Khi đó, phương trình 1 trở thành: f t m 2019 f t m 2019 2 7 Phương trình 1 có nghiệm x 1; phương trình có nghiệm t 3;3 3 Dựa vào đồ thị hàm số y f x , phương trình có nghiệm t 3;3 m 2019 2009 m 2021 Do m m 2009, 2010, , 2021 5 Vậy số giá trị nguyên m là: 2021 2009 13 Câu 12: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f x m m có nghiệm thực phân biệt A Đặt t x m C Lời giải B t f (t ) m D (*) Với t x m; với t x m t Vậy phương trình có nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt 1 m , m m 1;0;2 Câu 13: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f x liên tục R có đồ thị hình bên Phương trình f f x 1 có tất nghiệm thực phân biệt? A Tài liệu nội B C D 339 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Lời giải x a 2; 1 Từ đồ thị hàm số y f x ta có: f x x b 1;0 x c 0;2 f x a 1 Do f f x 1 f x b f x 1 c 1 f x a 1; pt f x a có nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 a 1 b x2 x3 c f x b 1 0;1 pt f x b có nghiệm x4 , x5 , x6 thỏa mãn x1 a x4 1 x5 b x2 x3 c x6 3 f x c 1;3 pt f x c có nghiệm Vậy phương trình f f x 1 có nghiệm phân biệt x7 x6 Câu 14: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số y f x x3 3x Số nghiệm phương trình f x f x là: A B C Lời giải D Đồ thị hàm số y f x x3 3x có dạng: Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x có nghiệm x1 2; 1 , x2 0;1 , x3 1; Tài liệu nội 340 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Nếu phương trình f x f x có nghiệm x0 f x0 x1 , x2 , x3 Dựa vào đồ thị ta có: + f x x1 , x1 2; 1 có nghiệm + f x x2 , x2 0;1 có nghiệm phân biệt + f ( x) x3 , x3 1; có nghiệm phân biệt Vậy phương trình f x f x có nghiệm phân biệt Câu 15: [Lớp Tốn Thầy Huy] Cho hàm số f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f x x m có nghiệm A B C Lời giải D Đặt t x x x 1 t 1;3 1 Dựa vào đồ thị ta có t 1;3 f t 5; 2 Khi phương trình f x x m có nghiệm phương trình f t 1 m2 có nghiệm thuộc 1;3 1 5 1 m2 m 2 m 2 Kết hợp điều kiện m m 2; 1; 0; 1; 2 Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Tài liệu nội 341 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 16: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số f x liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f 1 2cos x m có nghiệm thuộc khoảng ; 2 A 4;0 B 4;0 C 0; D 0;4 Lời giải Đặt t cos x , x ; t 1;1 2 Khi phương trình f 1 2cos x m trở thành phương trình f t m Như để thỏa yêu cầu tốn phương trình f t m phải có nghiệm t 1;1 Điều xảy 4 m m Câu 17: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hàm số f x xác định có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình f sin x cos4 x m có nghiệm? A B C Lời giải D f sin x cos4 x m 1 Đặt t sin x cos x sin 2 x cos x Do t 2;4 Dựa vào đồ thị ta thấy t 2; 4 f t m Suy phương trình 1 có nghiệm m m 1; 2;3; 4;5 Vậy có giá trị nguyên m Tài liệu nội 342 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 III BÀI TẬP VẬN DỤNG A Bài tốn khơng chứa tham số Câu (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Số giao điểm đồ thị hàm số y x x x 1 trục hoành A B C D Câu (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Điểm giao điểm đồ thị hàm số 2x 1 trục tung? y x2 1 1 A M 2;0 B M ; C M 0; D M 0; 2 2 2 Câu (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y x x với trục hoành A B C D Câu (Trường THPT Quỳnh Lưu lần năm 2017) Đường thẳng y 3x cắt đồ thị hàm số y x3 x điểm có tọa độ x0 ; y0 A y0 B y0 1 C y0 2 D y0 Câu (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tổng tung độ giao điểm hai đồ thị hàm số x2 x bằng: y x x y x2 A B C D Câu (Trường THPT Hoằng Hoá năm 2017) Biết đồ thị hàm số y x3 x x đồ thị hàm số y x x cắt điểm nhất, kí hiệu xo ; yo tọa độ điểm Tìm yo A yo B yo C yo 1 D yo Câu (Trường THPT Đoàn Thượng lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x3 x x đồ thị hàm số y x x có điểm chung? A Có điểm chung B Có hai điểm chung C Khơng có điểm chung D Có ba điểm chung Câu (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Đồ thị hàm số y f x x x cắt trục hoành điểm A B C D Không cắt Câu (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x 3x đường thẳng y x có tất điểm chung? A B C D Câu 10 (Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế lần năm 2017) Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y x đường thẳng y x A B C D Câu 11 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi lần năm 2017) Gọi M , N giao điểm đường thẳng 2x y x đường cong y Khi đó, tìm tọa độ trung điểm I MN x 1 A I 1; B I 2; 3 C I 1;3 D I 2;3 Câu 12 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần năm 2017) Đường thẳng y ax b cắt đồ thị 1 2x hàm số y hai điểm A B có hồnh độ -1 Lúc giá trị a b là: 2x A a b B a b C a 2 b D a 3 b Câu 13 Hàm số có đồ thị cắt trục hồnh điểm? Tài liệu nội 343 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A y x x B y x3 x x C y x3 3x D y x x Câu 14 (Trường THPT Chuyên Lê Quý Đơn – Bình Thuận năm 2017) Tìm số giao điểm đồ thị hàm số x2 x y với đường thẳng y 3x x 1 A B C D 2x 1 Câu 15 (Trường THPT Chuyên Hạ Long lần năm 2017) Biết đường thẳng y x cắt đồ thị y x 1 hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x A , xB tính tổng x A xB A x A xB B x A xB C x A xB D x A xB Câu 16 (Trường THPT Chu Văn An – Gia Lai lần năm 2017) Tìm số giao điểm n đồ thị hàm số y x x đường thẳng y A n B n C n D n Câu 17 Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y x x x đồ thị hàm số y x x A B C D Câu 18 (Trường THPT Triệu Sơn lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x3 x x đồ thị hàm số y 3x x có tất điểm chung? A B C D Câu 19 (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Đường thẳng có phương trình y x cắt đồ thị hàm số y x3 x hai điểm A B với tọa độ kí hiệu A xA ; y A B xB ; yB xB xA Tìm xB yB A xB yB B xB yB C xB yB 5 D xB yB 2 Câu 20 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Cho hàm y f x x x 1 x x Hỏi hàm số y f ' x cắt trục hoành điểm phân biệt số A B C D Câu 21 (Trường THPT Việt Yên lần năm 2017) Đồ thị hàm số sau cắt trục tung điểm có tung độ dương 3x 2 x A y x x x B y C y x x D y x 1 x2 Câu 22 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x3 3x x cắt đồ thị hàm số y x 3x hai điểm phân biệt A, B Khi độ dài AB bao nhiêu? A AB Tài liệu nội B AB C AB 2 D AB 344 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B Bài toán chứa tham số Câu (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Tìm tất tất giá trị y0 đề đường thẳng y y0 cắt đồ thị hàm số y x x điểm phân biệt 1 1 A y0 B y0 C y0 D y0 4 4 Câu (Trường THPT Sào Nam năm 2017) Giá trị m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị (C ) 2x 1 hàm số y hai điểm phân biệt cho độ dài AB ngắn x2 A m 1 B m 1 C m D m Câu (Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm 2017) Cho hàm số y x 2mx m2 có đồ thị (C) đường thẳng d : y x Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số (C) đường thẳng d có giao điểm nằm trục hoành A m B m C m D m 0; 2 Câu Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ sau: Tìm m để phương trình f x m có nghiệm thực phân biệt A 5 m 4 B m C 2 m 1 D 6 m 2x có đồ thị (C) đường thẳng x2 d : y x m Các giá trị tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt là: A m B m C m D m m Câu (Trường THPT AmsTerDam năm 2017) Cho hàm số y Câu (Trường THPT Chuyên AmsTerDam năm 2017) Cho hàm số y x x m có đồ thị (C) Để đồ thị (C) cắt trục hoành điểm A, B, C cho B trung điểm AC giá trị tham số m là: A m 2 B m C m 4 D 4 m Câu (Trường THPT Chuyên AmsTerDam năm 2017) Cho hàm số y x 2m 1 x 4m 1 Các giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thoả mãn x12 x22 x32 x42 là: 1 1 A m B m C m D m 4 Câu (Trường THPT An Lão năm 2017) Tìm m để đường thẳng y 4m cắt đồ thị hàm số y x x bốn điểm phân biệt 13 3 13 13 A m B m C m D m 4 4 4 Tài liệu nội 345 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu (Trường THPT An Nhơn năm 2017) Để phương trình x x m 3m ( m tham số) có ba nghiệm thực phân biệt giá trị m A m 3;1 \ 0; 2 B m 3;1 C m 3 D m Câu 10 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x3 3x ba điểm phân biệt, có hai điểm phân biệt có hồnh độ dương A 1 m B m C 1 m D m Câu 11 (Trường THPT Nguyễn Huệ lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x 3x m m có ba nghiệm phân biệt A 2 m B 1 m C 2 m 1 D m 2x 1 Câu 12 (Trường THPT Gia Lộc năm 2017) Cho hàm số y C đường thẳng d m : y x m Tìm x 1 m để C cắt d m hai điểm phân biệt A , B cho OAB vuông O D m 2x Câu 13 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Cho hàm số y C Tìm m để đường x 1 thẳng d : y x m cắt C hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB m 10 A m 2;10 B m 10 C D m 2 m 2 Câu 14 (Trường THPT Ngô Gia Tự năm 2017) Điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y x3 x 2m cắt trục hồnh hai điểm phân biệt m 2 A B m 2 C 2 m D 2 m m A m B m C m Câu 15 (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần năm 2017) Cho hàm số y x3 x có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua A 3; 20 có hệ số góc m Giá trị m để đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt 15 15 15 15 A m , m 24 B m C m , m 24 D m 4 4 Câu 16 (Trường THPT Tiên Du lần năm 2017) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y x x cắt đường thẳng y m điểm phân biệt có hồnh độ lớn A m B 2 m C m D 2 m Câu 17 (Trường THPT Phan Đình Phùng lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x3 x m cắt trục hoành điểm 32 A m B m 27 32 32 C m m D m 27 27 Câu 18 (Trường THPT Phan Đình Phùng lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để x3 đường thẳng d : x y m cắt đồ thị hàm số y hai điểm phân biệt x 1 34 3 A B m m 2 Tài liệu nội 346 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 3 m C 3 m m D m 2x 1 có đồ thị (C) Tìm tất x 1 giá trị m để đường thẳng d : y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB Câu 19 (Trường THPT Chuyên Trần Phú năm 2017) Cho hàm số y A m 10 B m C m 10 D m Câu 20 (Trường THPT Chuyên Hạ Long lần năm 2017) Cho m số thực Hỏi đồ thị hàm số y x x đồ thị hàm số y x mx m cắt điểm? A B C D Câu 21 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu lần năm 2017) Biết đường thẳng 2x 1 d : y x m cắt đường cong C : y hai điểm phân biệt A, B Độ dài đoạn AB đạt giá trị x2 nhỏ ? A B C D Câu 22 (Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu lần năm 2017) Biết đường thẳng y 3m 1 x m cắt đồ thị y x3 3x ba điểm phân biệt cho có giao điểm cách hai giao điểm cịn laị Khi m thuộc khoảng 3 3 A 1;0 B 0;1 C 1; D ; 2 2 Câu 23 (Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x x – m có nghiệm phân biệt A m B m C m D m m Câu 24 (Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong năm 2017) Đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số x 1 y hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn x1 x2 x m 3 m 1 m A B C D m m m 2 m Câu 25 (Trường THPT Kiến An năm 2017) Đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số y x 3m x 3m bốn điểm phân biệt m A B 1 m C m Câu 26 (Trường THPT Kiến An năm 2017) Dựa vào f x 2m có nghiệm phân biệt: x f x 0 m D m bảng biến thiên sau, m m tìm m để phương trình f x 1 A m B m C 1 m D 1 m Câu 27 (Trường THPT Lục Ngạn năm 2017) Đồ thị hàm số y x mx cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thoả mãn x1 < < x2 < x3 khi: Tài liệu nội 347 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A m B m C m D m Câu 28 (Trường THPT Nguyễn Diêu năm 2017) Cho hàm số d có đồ thị C Gọi d đường thẳng qua A 1; có hệ số góc k Tìm m để đường thẳng d cắt đổ thị C điểm phân biệt A, B, C cho diện tích tam giác OBC A k B k C k 1 D k 2 x 1 Câu 29 (Trường THPT Quang Trung năm 2017) Cho hàm số y C Tập tất giá trị tham x 1 số m để đường thẳng y x m cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho góc AOB nhọn : A m B m C m D m Câu 30 (Trường THPT Trần Quang Diệu năm 2017) Để đường thẳng d : y mx m cắt đồ thị hàm số y x3 3x điểm phân biệt M 1;0 , A, B cho AB MB khi: m m m m A B C D m m m m Câu 31 (Trường THPT Trần Quang Diệu năm 2017) Cho hàm số y x3 3x mx d : y x Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt d ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thoả mãn x12 x22 x32 A m B Không tồn m D m 10 x4 Câu 32 (Trường THPT Trưng Vương năm 2017) Gọi H đồ thị hàm số y đường thẳng x2 d : y kx Để d cắt H hai điểm phân biệt A B , cho M 1; 4 trung điểm đoạn thẳng AB Thì giá trị thích hợp k A B C m C D 2x 1 Câu 33 (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Cho đồ thị C : y A 2; 3 , C 4; 1 2x m Tìm m để đường thẳng d : y 3x cắt đồ thị C điểm phân biệt B , D cho tứ giác ABCD hình thoi B m C m D m m 1 Câu 34 (Sở GD ĐT Bắc Ninh năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có tổng bình phương hồnh độ 10 A m A m 1 B m C m D m Câu 35 (Sở GD ĐT Bắc Ninh năm 2017) Cho hàm số y f x có đồ thị bên Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x m -1 hình y O x có bốn nghiệm phân biệt A 3 m 2 B 4 m 3 -3 C 3 m 2 -4 D 4 m 3 Câu 36 (Trường THPT Chuyên Thái Bình năm 2017) Cho hàm số y f x liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau: Tài liệu nội 348 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Tìm m để phương trình f x m có nhiều nghiệm thực m 1 m m 1 m A B C D m 15 m 15 m 15 m 15 Câu 37 (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Cho hàm số y x3 bx cx d có 1 b c d Tìm số giao điểm phân biệt đồ thị hàm số cho với trục hoành 8 4b 2c d A B C D Câu 38 (Trung Tâm Diệu Hiền) Cho hàm số y x x x m C , với m tham số Giả sử đồ thị C cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 x2 x3 Khẳng định sau đúng? A x1 x2 x3 C x1 x2 x3 B x1 x2 x3 D x1 x2 x3 Câu 39 (Trường THPT Chuyên Quang Trung năm 2017) Cho hàm số y x3 x x 2017 Định m để phương trình y m m có hai ngiệm thuộc đoạn [0; m] 1 1 2 1 2 1 2 A ; B ; C ; D ; 2 Câu 40 Cho hàm số y x m 1 x m Có giá trị nguyên tham số m cho đồ thị hàm số cho cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài A B C D Câu 41 Cho hàm số C : y x 3mx mx đường thẳng d : y x Có giá trị tham số m để hàm số (C) cắt đường thẳng d điểm phân biệt lập thành cấp số nhân A B C D 2 Câu 42 Cho hàm số y x – 1 – m 1 1 m (m tham số) Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ tương ứng lập thành cấp số cộng A B C D 2 Câu 43 Tìm m để đồ thị hàm số y x 3mx 2m m x m m Cm cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng A m B m C Khơng có m D m Câu 44 Cho hàm số y x 3x mx m có đồ thị (C) Có giá trị nguyên tham số m để (C) cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến (C) A, B, C A B C D Câu 45 Cho hàm số y x 3x 3mx có đồ thị Cm Để đồ thị Cm cắt đồ thị hàm số y x3 x 3m 1 x m điểm phân biệt mà tiếp tuyến Cm điểm vng góc với giá trị tham số m thuộc khoảng nào? 1 A 1; B 0; 2 Tài liệu nội C 0;1 D 1; 349 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x x x có đồ thị C Tính tổng tất giá trị tham số m để 3 đường thẳng : y mx cắt C ba điểm phân biệt A, B, C cho A cố định diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB A B C D Câu 47 Cho hàm số y x x 1 Tính tổng tất giá trị tham số m để đường thẳng có Câu 46 Cho hàm số y phương trình y m 1 x cắt đồ thị hàm số 1 ba điểm phân biệt A 0;1 , B, C , biết hai điểm B, C có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn: x13 m x1 x22 x23 m x2 x12 1 C D Câu 48 Tìm m để đồ thị hàm số Cm : y x x mx cắt trục hoành Ox ba điểm phân biệt thoả A 3 B mãn x1 3 x2 x3 49 49 49 49 A m B m C m D m 3 3 Câu 49 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm lần năm 2017) Các giá trị m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x x điểm phân biệt là: 1 A m B m C m D m 2 2 Câu 50 (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x x 2m có nghiệm phân biệt: 3 3 3 A 2 m B m C 2 m D m2 2 Câu 51 (Trường THPT Lương Thế Vinh năm 2017) Cho hàm số y x 2mx m2 có đồ thị (C) đường thẳng d : y x Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số (C) đường thẳng d có giao điểm nằm trục hoành A m B m C m D m 0; 2 x2 Xác định m để đường thẳng 2x 1 y mx m cắt đồ thị hàm số hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị A m B m C m D m Câu 53 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Cho hàm số y x m m x x 1 có đồ thị Câu 52 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số y Cm , với m tham số thực Khi m thay đổi Cm cắt trục Ox điểm? A điểm B điểm C điểm D điểm Câu 54 (Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị – 2017) Đồ thị hàm số y ax bx c cắt trục hoành bốn điểm phân biệt A, B, C , D hình vẽ bên Biết AB BC CD , mệnh đề sau đúng? A a 0, b 0, c 0,100b 9ac B a 0, b 0, c 0, 0,9b 100ac C a 0, b 0, c 0,9b 100ac D a 0, b 0, c 0,100b 9ac Tài liệu nội 350 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 55 (Sở GD ĐT Đà Nẵng lần năm 2017) Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình x x log m có nghiệm phân biệt, có nghiệm lớn -1 1 A ;1 B 0;1 C ; D ;1 27 27 27 Câu 56 (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số y x m 1 x mx m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ dương A 2; B 2; C 1;0 2; D 3; Câu 57 (Trường THPT Tiên Du lần năm 2017) Tìm m đề đường thẳng y 2 x m đường cong x 1 cắt điểm phân biệt cho hoành độ trung điểm I đoạn thẳng AB y x 1 A B C 10 D 3x Câu 58 Cho hàm số y có đồ thị (C) Có giá trị nguyên tham số m để đường thẳng x2 d : y mx 11 cắt (C) A, B phân biệt cho SOAB 2SOBM với M 0; 11 A B C D 3x Câu 59 Cho hàm số y C Đường thẳng y x cắt (C) điểm A, B Có giá trị x2 nguyên tham số m để đường thẳng y x m cắt (C) điểm C, D cho ABCD hình bình hành A B C D 2x Câu 60 Cho hàm số y có đồ thị (C) điểm P 3;3 Tính tổng tất giá trị tham số m để x2 đường thẳng y x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác PAB A B C 33 D 33 x Câu 61 Cho hàm số y có đồ thị (C) Tính tổng tất giá trị tham số m để đường thẳng x 1 y x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B cho góc hai đường thẳng OA OB 600 (với O gốc tọa độ) A 2 B C D 4 Câu 62 (Đề Thi THPT Quốc Gia – BDG năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y mx m cắt đồ thị hàm số y x x x ba điểm A, B, C phân biệt cho AB BC A m ( ;0) [4; ) B m C m ; D m ( 2; ) Câu 63 (Đề Thi THPT Quốc Gia – BDG năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y mx cắt đồ thị hàm số y x3 3x m ba điểm phân biệt A, B, C cho AB BC A m (;3) B m (; 1) C m (; ) D m (1; ) mx Câu 64 Cho hàm số y H m Tìm m để đường thẳng d : x y cắt H m hai điểm phân x2 biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích A m 10 B m 10 C m 2 10 D m 2 10 Câu 65 (Trường THPT Võ Nguyên Giáp năm 2017) Cho hàm số y x3 2m 1 x m có đồ thị Cm đường thẳng d m : y 2mx m Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d m cắt Cm điểm phân biệt A, B, C cho tổng OA2 OB OC đạt giá trị nhỏ (O gốc tọa độ) Tài liệu nội 351 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 A m B m C m D m 4 Câu 66 (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Tìm đầy đủ giá trị thực tham số m để phương trình x x 1 m x 16 2m có nghiệm nằm đoạn 2; 4 ? A m B m 11 C 20 m8 D 11 m8 2 Câu 67 (Trường THPT Nguyễn Khuyến lần năm 2017) Phương trình x x x 1 m x 1 có nghiệm thực 3 A 6 m B 1 m C m D m 4 Câu 68 (Trường THPT Tĩnh Gia năm 2017) Tìm giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y x 4m x m cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng A m 3 B m 0, m C m x1 x2 x3 x4 D m Câu 69 [NTL] Tìm mối liên hệ b, c, d cho hàm số y x3 bx cx d d có đồ thị C cắt trục Ox ba điểm phân biệt lập thành cấp số nhân? A c bd B c b3d C c bd D c b3d x 1 có đồ thị C Biết đường thẳng x2 d : y x m cắt đồ thị C hai điểm phân biệt A, B Tìm m để trung điểm đoạn thẳng AB nằm Câu 70 (Trường THPT Khai Minh năm 2017) Cho hàm số y trục tung 1 B m 5 C m D m 2 Câu 71 Cho hàm số y x 1 x mx 1 có đồ thị (C) Tìm số ngun dương nhỏ m để đồ thị (C) cắt A m trục hoành ba điểm phân biệt A m B m Tài liệu nội C m D m 352 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 C Bài toán Hàm ẩn, hàm hợp vd – vdc Câu 1: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đạo hàm Bảng biến thiên hàm số y f ' x hình Tìm m để bất phương trình m x f x x3 nghiệm với x 0; 3 D m f (1) (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đạo hàm Bảng biến thiên hàm số A m f (0) Câu 2: B m f (0) C m f (3) y f ' x hình Tìm m để bất phương trình m 2sin x f x nghiệm với x 0; Câu 3: A m f (0) B m f (1) 2sin1 C m f (0) D m f (1) 2sin1 (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đạo hàm Đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ bên Tìm m để bất phương trình m x f x x nghiệm với x 3; Câu 4: A m f (0) B m f (0) C m f ( 1) (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị sau Tài liệu nội D m f ( 1) 353 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Số nghiệm thực phương trình f x Câu 5: A B C D (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Khi phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt Câu 6: A m B m C m D m (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình bên Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f f cos x m có nghiệm Câu 7: x ; ? 2 A B C D (Lớp Tốn Thầy Huy) Tìm m để phương trình x x log m có nghiệm phân biệt: Câu 8: A m 29 B 29 m 29 C Khơng có giá trị m D m 29 (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f ( x) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f x 1 A Tài liệu nội B C D 354 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 9: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f x A B C D Câu 10: (Lớp Toán Thầy Huy) Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để hàm số x3 f x x2 mx có hai điểm cực trị x1 , x2 Số phần tử S A B C D Câu 11: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f f x A B C D Câu 12: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ sau Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x m có nghiệm phân biệt A m 1; 2 B m 1; C m 1;2 D m 1; 2 Câu 13: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình Tài liệu nội 355 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Số nghiệm phân biệt phương trình f f x A B C 10 D Câu 14: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f ( x) xác định \ 0 có bảng biến thiên hình vẽ Số nghiệm phương trình f x 10 A B C Câu 15: (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho phương trình (m 2) D x 2 x 3x 4 x m 12 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt A B C D Câu 16: (Lớp Toán Thầy Huy) Số giá trị nguyên m thuộc khoảng 2019; 2019 để phương trình 2 x x1 m.2 x 2 x 2 3m có bốn nghiệm phân biệt A 2017 B 2016 C 4035 D 4037 Câu 17: (Lớp Tốn Thầy Huy) Tìm tất giá trị tham số m cho đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x x điểm phân biệt A m B m C m D m Câu 18: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f ( x) liên tục R, f (2) có đồ thị hình vẽ bên Có số nguyên m (20;20) để phương trình f x m có nghiệm thực phân biệt A B 18 C D 19 Câu 19: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x x 3x Tính tổng tất giá trị nguyên m để đồ thị hàm số g x f x m cắt trục hoành điểm phân biệt A Tài liệu nội B 10 C D 356 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 20: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x Hàm số f '( x) có bảng biến thiên Bất phương trình f (sin x) 3x m với x ; 2 3 3 3 3 A m f (1) B m f (1) C m f D m f (1) 2 2 Câu 21: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số C : y x x x đường thẳng d : y 2m m2 Tìm số giá trị tham số thực m để đường thẳng d đồ thị C có hai điểm chung A B C D Vơ số Câu 22: (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để phương trình f (sin x) 2sin x m có nghiệm thuộc khoảng (0; ) Tổng phần tử S bằng: A 10 B C D Câu 23: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x xác định liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình f 9 x 30 x 21 m 2019 có nghiệm A 15 B 14 C 10 D 13 Câu 24: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f ( x) ax bx a, b có đồ thị hàm số f '( x) hình vẽ bên Biết diện tích phần tơ đậm Phương trình f ( x) có nghiệm? Tài liệu nội 357 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A C B Câu 25: (Lớp Tốn Thầy Huy) Phương trình x D 11 x 1 11 có nghiệm 3x x thực phân biệt? A B C D Câu 26: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f (x) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f x m m có nghiệm thực phân biệt A B C D Câu 27: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục R có đồ thị hình bên Phương trình f x 1 có tất nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu 28: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x x 3x Số nghiệm phương trình f f x f x là: A B C D Câu 29: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f ( x) liên tục có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f x x m2 có nghiệm Tài liệu nội 358 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D Câu 30: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f 1 2cos x m có nghiệm thuộc khoảng ; 2 A 4; 0 B 4; C ; D 0; Câu 31: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình Số số nguyên m thỏa mãn phương trình f 3sin x cos x m có nghiệm A 10001 B 20000 C 20001 D 10000 Câu 32: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Tài liệu nội 359 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Có giá trị nguyên m để phương trình f ( x 1) m có nghiệm phân biệt? A B C D Câu 33: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình f cos x 2m có nghiệm thuộc khoảng 0; 2 y 1 x 1 A 1;1 C 1;1 B 0;1 D 0;1 Câu 34: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f 2sin x 1 m có nghiệm thuộc nửa khoảng 0; là: A 2; 0 B 0; 2 C 2; 2 D 2;0 Câu 35: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x xác định có đồ thị hình vẽ Có 4 giá trị nguyên m để phương trình f 4 sin x cos x m có nghiệm? Tài liệu nội 360 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C Câu 36: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ D Số giá trị nguyên dương m để phương trình f x 4x m có nghiệm A B C Câu 37: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ D Vơ số 5 Số nghiệm thuộc đoạn ; phương trình f 2sin x 2 6 A B C D Câu 38: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Tài liệu nội 361 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Tập hợp tất giá trị thực tham số m để bất phương trình f x m có nghiệm thuộc nửa khoảng ; D 1; f Câu 39: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên đây: A 1;3 B 1; f C 1;3 Để phương trình f x 1 m có nghiệm phân biệt thuộc 0;1 giá trị tham số m thuộc khoảng đây? A ; B 1;6 C 6; D 3;1 Câu 40: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x ax bx cx d a có đồ thị hình vẽ: Phương trình f f x có nghiệm thực? A B C D Câu 41: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x thỏa mãn f Giá trị lớn tham số m để phương trình e f x có bảng biến thiên sau: 13 f x 7 f x 2 m có nghiệm đoạn 0; 2 15 A e2 Tài liệu nội B e 13 C e4 D e3 362 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 42: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đạo hàm có đồ thị đường cong hình vẽ Đặt g x f f x Tìm số nghiệm phương trình g x A B C D Câu 43: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y x 3x có đồ thị hình vẽ: Số nghiệm phương trình x3 3x A B C D Câu 44: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y x x có đồ thị hình vẽ bên Với giá trị tham số m phương trình x x 2m có hai nghiệm phân biệt? m m B C m D m m Câu 45: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục đoạn 2; 2 , có đồ thị đường cong A m hình vẽ bên Hỏi phương trình f x có nghiệm phân biệt đoạn 2; 2 Tài liệu nội 363 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D Câu 46: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục đoạn 2; 2 , có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x 1 có nghiệm phân biệt đoạn 2; 2 A B C D Câu 47: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Có số ngun m để phương trình f x x m có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 ? A B C D Câu 48: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục đoạn 2; 2 , có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x có nghiệm phân biệt đoạn 2; 2 Tài liệu nội 364 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D Câu 49: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f ( x ) liên tục có đồ thị hình bên Phương trình f (2sin x) m có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; A m 3;1 B m 3;1 C m 3;1 D m 3;1 Câu 50: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục đoạn 2; 2 , có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x x có nghiệm phân biệt đoạn 2; 2 A B C D Câu 51: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Phương trình f f x 1 có tất nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu 52: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đạo hàm Đồ thị hàm số y f x hình Tài liệu nội 365 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Tìm m để bất phương trình m x f x 1 x nghiệm với x 4; 2 A m f (0) B m f ( 3) C m f (3) 16 D m f (1) Câu 53: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y 4x x có đồ thị đường cong hình Khi phương trình x3 x 1 x3 x2 1 có nghiệm thực A B C D Câu 54: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y 4x x có đồ thị đường cong hình Khi phương trình x3 x 1 x3 x2 1 có nghiệm thực A B C Câu 55: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Tài liệu nội D 366 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x f 1 x m có nghiệm thuộc đoạn 2; 2 ? 2 A 11 B C D 10 Câu 56: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f (x) có đồ thị hình bên Có số nguyên m Có số nguyên m để phương trình để bất phương trình mx m x 2m f ( x ) nghiệm với x [ 2; 2] ? A B C D Câu 57: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f (x) có đồ thị hình bên Có số nguyên m x2 để hàm số y mx m m 2m f ( x ) có tập xác định [ 2; 2] 1 x A B C D Câu 58: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f (x) có đồ thị hình bên S tập số nguyên m để bất phương trình m x x mx m f ( x) 2019 f 2019 x nghiệm với x [ 2; 2019) Tổng phần tử S Tài liệu nội 367 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D Câu 59: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x mx nx px qx r m , n , p , q , r Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình f x r có số phần tử A B C D Câu 60: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x hàm đa thức với hệ số thực Hình vẽ bên phần đồ thị hai hàm số: y f x y f x Tập giá trị tham số m để phương trình f x me x có hai nghiệm phân biệt 0; nửa khoảng a ; b Tổng a b gần với giá trị sau đây? A 0.81 B 0.54 C 0.27 D 0.27 Câu 61: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ bên: Tài liệu nội 368 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Có số nguyên dương m để phương trình f 2sin x 1 f m có nghiệm thực? A B C D Câu 62: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f ( x) xác định, liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình f x x2 m có nghiệm A 13 B 12 C D 10 Câu 63: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x ax bx cx d Biết đồ thị hàm số y f x có điểm cực đại A 0;1 điểm cực tiểu B 2; 3 Hỏi tập nghiệm phương trình f x f x f x có phần tử? A 2019 B 2018 Câu 64: (Lớp Tốn Thầy Huy) Phương trình trình C D f x f x có tập nghiệm T1 20; 18; 3 Phương g x 3 g x g x có tập nghiệm T2 0; 3; 15; 19 Hỏi tập nghiệm phương trình f x g x 1 f x g x có phần tử? A B C 11 D Câu 65: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Có số nguyên m để phương trình f f x m có tất nghiệm thực phân biệt? A B Câu 66: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số C D f x x x 3x Khi phương trình f f x có nghiệm thực? A B C D Câu 67: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình bên Phương trình f 2sin x m có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; Tài liệu nội 369 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A m 3;1 C m 3;1 B m 3;1 D m 3;1 Câu 68: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ y 14 2 O -1 x -13 Tổng giá trị nguyên m để phương trình f f x 1 m có nghiệm phân biệt A 15 B C 13 D 11 Câu 69: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x ax bx cx d a, b, c, d có đồ thị hình vẽ bên Phương trình f f f f x có tất nghiệm thực phân biệt? A 12 Tài liệu nội B 40 C 41 D 16 370 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 70: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f x , x Biết f f x x 3x f x Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x m có nghiệm m e4 m e4 A B m e4 C D m e4 0 m m Câu 71: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 2; Tìm tập S A S 1; f B S f ;3 C S D S 1; 3 Câu 72: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f f x f x A 20 B 24 C 10 D Câu 73: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình bên Tài liệu nội 371 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Có số nguyên m để phương trình f x x 3 m có nghiệm thực thuộc đoạn 0; 4 ? A B C D Câu 74: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho f x x x Có giá trị nguyên m để phương trình 2019 f f x m có nghiệm phân biệt? A 4037 B 8076 C 8078 D Câu 75: (Lớp Toán Thầy Huy) Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x x2 bốn điểm phân biệt có hồnh độ , , m n Tính S m2 n2 A S B S C S D S Câu 76: (Lớp Tốn Thầy Huy) Tính tổng giá trị nguyên tham số m 50;50 cho bất phương trình mx x m nghiệm với x A 1272 B 1275 C D Câu 77: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị m để phương trình f A 1;2 B 0; 2 2x f m có nghiệm x 1 C 1;1 D 2; 2 Câu 78: (Lớp Tốn Thầy Huy) Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (1;7) để phương trình: (m 1) x (m 2) x x x có nghiệm? A B C D y f x , y g x Câu 79: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hai hàm đa thức có đồ thị hai đường cong hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị B , đồ thị hàm số y g x có Tài liệu nội 372 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 điểm cực trị A AB Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng 5;5 để hàm số y f x g x m có điểm cực trị? A B C D Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng 3 ;3 Câu 80: (Lớp Toán Thầy Huy) để đồ thị hàm số y x 3(m 1) x m x m cắt trục hoành điểm phân biệt A B C D Câu 81: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Biết f x với x ; 3 2; Số nghiệm nguyên thuộc khoảng 10;10 bất phương trình f x x 1 x x A B 10 C D Câu 82: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x ax bx cx dx m , Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên 1 Tập nghiệm phương trình f x f có số phần tử 2 A B C D 3 Câu 83: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hai hàm số y x x y x x mx Giá trị tham số m để đồ thị hai hàm số có giao điểm phân biệt giao điểm nằm đường trịn bán kính thuộc vào khoảng đây? A ; B 4; 2 C 0; D 2; 0 Câu 84: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho phương trình x 3x m x x 2m Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 20; 20 để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A 19 B 18 C 17 D 20 x 1 Câu 85: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y , y x m (d ) Với m đường thẳng (d ) 2x 1 cắt đồ thị hai hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với A B Giá trị nhỏ T k12020 k 22020 Tài liệu nội 373 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 D 2 Câu 86: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho số thực a b Tìm giá trị nhỏ a b để đồ thị hàm số y f ( x) x ax bx ax có điểm chung với trục Ox 36 A B C D 5 5 Câu 87: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x x x có giá trị nguyên A B C tham số m để phương trình: f x m 6 f x m có nghiệm thực phân biệt A B C D Câu 88: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hai hàm số y f ( x) y g (x) hàm xác định liên tục có đồ thị hình vẽ bên Có số ngun m để phương trình f 1 g (2 x 1) m 5 có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 A B C D Câu 89: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x xác định liên tục , có đồ thị hình vẽ Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình f 408 x 392 x 34 m có nghiệm phân biệt? y -6 -3 2 O -5 x -2 -3 A B C D Câu 90: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho đồ thị C hàm số y x mx m m x m parabol P : y x x cắt ba điểm phân biệt D, E , F Tổng giá trị m để đường tròn 2 qua ba điểm D, E , F qua điểm G 0; 3 4 A B C 3 Tài liệu nội D 374 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 91: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x x5 3x3 4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f f x m x3 m có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 ? A 15 B 16 C 17 D 18 Câu 92: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f x ; 2 A B C f cos x m có nghiệm D y f x 1 xác định \ có đồ thị hàm số 2 f 1 f P f 1 f 3 hình vẽ, biết , Giá trị Câu 93: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x A ln B ln C ln 15 D ln 15 Câu 94: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f ( x) xác định \{1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ sau: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt A 4;2 B ;2 C 4;2 D 3;3 Câu 95: (Lớp Toán Thầy Huy) Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình x mx x có hai nghiệm thực Tài liệu nội 375 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 7 B m C m D m 12 2 Câu 96: (Lớp Tốn Thầy Huy) Có giá trị âm tham số m để phương trình A m 2019m 2019m x x có hai nghiệm thực phân biệt A B C Vô số D Câu 97: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho P : y x đồ thị hàm số y ax bx cx hình vẽ Tính giá trị biểu thức P a 3b 5c A B C D x Câu 98: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y C điểm A 1;1 Tìm m để đường thẳng 1 x d : y mx m 1 cắt C hai điểm phân biệt M, N cho AM AN đạt giá trị nhỏ D m Câu 99: (Lớp Toán Thầy Huy) Tìm m để đồ thị hàm số y x 2mx m cắt trục hoành điểm phân biệt m 1 A m B m C m D m A m 1 B m C m 2 Câu 100: (Lớp Toán Thầy Huy) Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số C : y 2 x3 3x 2m cắt trục hoành ba điểm phân biệt 1 1 1 A m B m C m D m 2 2 Câu 101: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f f x m có nghiệm phân biệt A B C D Câu 102: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục đoạn 2; 2 có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f x đoạn 2; 2 Tài liệu nội 376 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D Câu 103: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f ( x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f f ( x) f ( x) A B C D Câu 104: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f x 0, x Biết f f ' x f x x Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x m có hai nghiệm thực phân biệt A m B m e C m e D m e 2x Câu 105: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y có đồ thị Gọi S tập tất giá trị tham số x 1 m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B cho AB Tính tổng bình phương phần tử S A 38 B 52 C 28 D 14 Câu 106: (Lớp Tốn Thầy Huy) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x x 3 1 m4 m có nghiệm thực phân biệt 5 A m B m C m 1; 0 0;1 D 1 m Câu 107: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ sau Tài liệu nội 377 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Số nghiệm phương trình f e x f e x là: A B C D Câu 108: (Lớp Tốn Thầy Huy) Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị 2x hàm số y C hai điểm phân biệt A B cho độ dài A B ngắn x 1 A m 3 B m C m 1 D m Câu 109: (Lớp Toán Thầy Huy) Biết đồ thị hàm số bậc 4: y f x cho hình vẽ sau: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y g x f x f x f x trục Ox A B C D Câu 110: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Hỏi phương trình f f x có tất nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu 111: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục 1;3 có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên m để phương trình f x 1 m có nghiệm khoảng x 4x 1;2 Tài liệu nội 378 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A 10 B C D Câu 112: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị y f ' x cắt trục hoành ba điểm có hồnh độ a b c hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f x a f c A B C y f x Câu 113: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số có đồ thị hình vẽ D m Gọi A tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f sin x f có 12 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; 2 Tính tổng tất phần tử A A B C D Câu 114: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Tìm giá trị tham số m để phương trình m3 m f x f x có ba nghiệm thực phân biệt A m B m 26 C m 10 D m Câu 115: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f ( x) xác định liên tục trên R có đồ thị hình vẽ Tài liệu nội 379 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f 3cosx 3m có hai nghiệm phân biệt thuộc ; ? 2 A B C D Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Có bao Câu 116: (Lớp Toán Thầy Huy) 4m3 m nhiêu giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt f x 2 f x y 1 O x A B C D Câu 117: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x ax bx cx dx ex r a , b, c, d , e, r Hàm số y f x có đồ thị hình bên Phương trình f x r có nghiệm? A Câu 118: (Lớp Toán B Thầy Huy) Cho C D hàm số f ( x ) x 3x x Phương trình f ( f ( x ) 1) f ( x ) có số nghiệm thực A B C D Câu 119: (Lớp Tốn Thầy Huy) Tính tổng S tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số f ( x) x3 3mx2 3mx m2 2m3 tiếp xúc với trục hoành A S B S C S D S 3 Tài liệu nội 380 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 120: (Lớp Tốn Thầy Huy) Có số thực m để đường thẳng y m x cắt đồ thị hàm số y x3 x 3x ba điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn 1 y1 y2 y3 A B C D Câu 121: (Lớp Toán Thầy Huy) Có giá trị nguyên tham số m , m 5 để đường thẳng y mx m 1 cắt đồ thị hàm số y x3 3x điểm phân biệt ? A B C D Câu 122: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình f x m x có nghiệm A B C D Câu 123: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x x 3x Tìm số nghiệm phương trình f f x A B C D Câu 124: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục đoạn 2;2 có đồ thị đường cong hình vẽ Hỏi phương trình f x 1 có nghiệm phân biệt đoạn 2;2 ? A B C D Câu 125: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị m để phương trình f Tài liệu nội 2x f m có nghiệm x 1 381 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A 1;2 B 0; 2 C 1;1 D 2; 2 Câu 126: (Lớp Toán Thầy Huy) Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (1;7) để phương trình: (m 1) x (m 2) x x x có nghiệm? B C D Câu 127: (Lớp Toán Thầy Huy) Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng 3 ;3 A để đồ thị hàm số y x 3( m 1) x 6m x m cắt trục hoành điểm phân biệt A B C D Câu 128: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x ax bx cx dx m , Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên 1 Tập nghiệm phương trình f x f có số phần tử 2 A B C D Câu 129: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho phương trình x 3x m x x 2m Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 20; 20 để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A 19 B 18 C 17 D 20 Câu 130: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x x x có giá trị nguyên tham số m để phương trình: f x m f x m có nghiệm thực phân biệt A B C D Câu 131: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hai hàm số y f ( x) y g ( x) hàm xác định liên tục có đồ thị hình vẽ bên Có số nguyên m để phương trình f 1 g (2 x 1) m 5 có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 Tài liệu nội 382 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D Câu 132: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x xác định liên tục , có đồ thị hình vẽ Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình f 408 x 392 x 34 m có nghiệm phân biệt? y -6 -5 -3 2 O x -2 -3 A B C D Câu 133: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x x 3x 4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f f x m x m có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 ? A 15 B 16 C 17 D 18 Câu 134: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f x ; 2 A Tài liệu nội B C f cos x m có nghiệm D 383 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1.B 11.D 21.C 31.A 41.C 51.C 61.C 71.A 81.A 91.C 101.B 111.C 121.D 131.D 2.C 12.C 22 32.C 42.A 52.C 62.D 72.A 82.D 92.B 102 112.B 122.A 132.B 3.B 13.A 23.D 33.B 43.B 53.D 63.A 73.A 83.C 93.A 103.B 113.D 123.C 133.B BẢNG ĐÁP ÁN 5.A 6.C 7.D 15.A 16.B 17.C 25.C 26.B 27.C 35.D 36.B 37.A 45.D 46.C 47.C 55.C 56.C 57.A 65.D 66.A 67.C 75.A 76.D 77.A 85.B 86.B 87.C 95.D 96.D 97.A 105.C 106.B 107.C 115.B 116.C 117.B 125.C 126.D 127.A 135.A 4.B 14.C 24.D 34.A 44.C 54.C 64.D 74.A 84.B 94.C 104.A 114.B 124.D 134.B 8.B 18.B 28 38.C 48.B 58.A 68.A 78.D 88.D 98.A 108.B 118.B 128.A 9.A 19.D 29.C 39.A 49.A 59.A 69.D 79.A 89.B 99.A 109.D 119.B 129.C 10.D 20.A 30.C 40.B 50.A 60 70.C 80.B 90.B 100.A 110.D 120.C 130.B ĐÁP ÁN A Bài tốn tương giao khơng chứa tham số A 11 A 21 A C 12 B 22 D B 13 B C 14 D D 15 C B 16 A A 17 A B 18 D D 19 C 10 B 20 C D 15 C 25 D 35 A 45 C 55 65 A A 16 C 26 D 36 C 46 A 56 B 66 D C 17 C 27 B 37 D 47 C 57 A 67 D A 18 C 28 B 38 B 48 C 58 A 68 C A 19 A 29 C 39 D 49 A 59 C 69 C 10 C 20 C 30 D 40 D 50 C 60 B 70 D B Bài toán tương giao chứa tham số B 11 A 21 B 31 B 41 D 51 D 61 C 71 C D 12 C 22 A 32 D 42 C 52 C 62 D Tài liệu nội D 13 C 23 D 33 A 43 A 53 C 63 A B 14 D 24 C 34 D 44 D 54 C 64 D 384 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 PHẦN : TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho hàm số y f x có đồ thị C Tìm toạ độ điểm M C thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp chung: Bước 1: Giả sử M x0 ; y0 C với y0 f x0 Bước 2: Từ điều kiện cho trước thiết lập phương trình theo x0 Bước 3: Giải phương trình theo x0 (đối chiếu điều kiện có) từ tìm y0 , suy điểm M x0 ; y0 cần tìm II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng Tìm điểm cố định họ đường cong: Bài toán tổng quát: Cho họ đồ thị Cm : y f x, m , với f hàm đa thức theo biến x, m tham số thực cho bậc m khơng q Tìm điểm cố định Cm m thay đổi ta làm theo bước sau a Phương pháp: Gọi M x0 ; y0 điểm cố định Cm qua Điểm M x0 ; y0 thuộc Cm y0 f x0 , m , m (*) Biến đổi phương trình (*) dạng A x0 ; y0 m B x0 ; y0 A x0 ; y0 m B x0 ; y0 m C x0 ; y0 1 2 Họ Cm qua điểm M với m x0 ; y0 nghiệm (1) (2) với m A x0 ; y0 A x0 ; y0 B x0 ; y0 Giải hệ phương trình ta tìm M x0 ; y0 B x0 ; y0 C x0 ; y0 Chú ý: - Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong Cm khơng có điểm cố định Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định Cm b Ví dụ minh hoạ: - Ví dụ Cho hàm số y x3 – m 1 x – 2m – 3m x 2m m –1 Cm Điểm cố định mà họ Cm qua với m là? A M 1; 2 B M 0;0 C M 0; D M 2;0 Giải Gọi M x; y điểm cố định mà họ đường cong Cm qua Ta có M x; y Cm , m y x3 – m 1 x – 2m2 – 3m x m 2m –1 , m x – m x – x m y – x x x 0, m 2 x – x x – 3x y y – x3 x x Vậy Cm qua điểm M 2;0 với m Chọn đáp án D Tài liệu nội 385 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Nhận xét: Điểm cố định điểm mà họ đường cong Cm qua với m nên ta dùng máy tính để kiểm tra kết sau Vì đáp án cho số cụ Calc Nhập X – M 1 X – 2M – 3M X 2M 2M –1 0 D X 2; M 1 X 2; M 10 Ví dụ Số điểm cố định họ đường cong Cm : y mx3 3mx m 1 x 1 qua là? A B C Giải: Gọi M x0 ; y0 điểm cố định mà họ đường cong Cm qua D Ta có M x0 ; y0 Cm , m (1) y0 mx03 3mx02 m 1 x0 1, m x03 x02 x0 m x0 y0 0, m x0 x0 x0 x0 x0 x0 y0 y0 1 y0 3 y0 x0 Vậy có điểm cố định Chọn đáp án C x x0 x0 1 x0 y0 Dạng Tìm điểm cho tọa độ chúng số nguyên Bài toán tổng quát: Cho đường cong C có phương trình y f x (thường hàm phân thức mà bậc tử bậc mẫu) Tìm điểm có toạ độ nguyên đường cong C Điểm có toạ độ ngun điểm có hồnh độ tung độ nguyên a Phương pháp: Thực phép chia đa thức tử thức cho mẫu thức đưa dạng y a k mx n Để điểm có toạ độ ngun k mx n hay mx n ước k k mx n y ax b mx n 1 Giải hệ x y M mx n b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ (Trường THPT Chuyên Hà Giang năm 2017) Cho hàm số y x 1 x2 có đồ thị (C) Hỏi (C) có điểm có tọa độ số nguyên? A B C D Giải x 1 x 9 Ta có y 3 9 x hay x ước x2 x2 x2 x 1 x 1; 3; 9 x 3 x 9 Vậy (C) có tất điểm có tọa độ số nguyên x; y 3;12 , 1; 6 , 5; , 1; , 11; , 7; Chọn đáp án A Tài liệu nội 386 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ Có điểm thuộc đồ thị C : y nguyên? A Giải: B x x 15 cho tọa độ chúng số x3 C D 9 x 3 hay x ước x3 x 1 x 1; 3; 9 x 3 x 9 Vậy (C) có tất điểm có tọa độ số nguyên x; y 4; 11 , 2;9 , 6; 7 , 0;5 , 12; 11 , 6;9 Ta có y x Chọn đáp án A Dạng Tìm điểm liên quan tới đối xứng Bài tốn tổng quát 1: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị C : y f x đối xứng qua điểm I a; b a Phương pháp: Lấy A xA ; y A , B xB ; yB thuộc (C) ta có y A f xA , yB f xB x xB a Hai điểm A, B đối xứng qua I A tọa độ A, B y A yB 2b Trường hợp đặc biệt: I a; b O 0; ta làm tương tự Lấy A xA ; y A , B xB ; yB thuộc (C) ta có y A f xA , yB f xB x x Hai điểm A, B đối xứng qua O A B tọa độ A, B y A yB Bài tốn tổng qt 2: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị C : y f x cho chúng đối xứng với qua đường thẳng d : y ax b a cho trước a Phương pháp: Cách 1 x m giả sử cắt đồ thị C hai a điểm phân biệt A, B Khi hồnh độ A, B nghiệm phương trình: f x x m (1) a Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x A , xB sử dụng hệ thức Vi-et để tính x A xB ?, xA xB ? (theo m ) Tính tọa độ trung điểm I AB lý luận I thuộc d ta tìm m Từ suy tọa độ A, B Cách Gọi hai điểm cần tìm A a; f a , B b; f b Gọi đường thẳng vng góc với d , ta có : y I Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng (Với I trung điểm AB , AB.u u vecto phương đường thẳng Giải hệ ta tìm hai điểm AB c Ví dụ minh hoạ: Tài liệu nội 387 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2x Ví dụ Cho hàm số y Tìm đồ thị (C), hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN, biết x 1 M 3; N 1; 1 A 0; A 2; 4 A 0; A B C B –4; B 0;0 B –4; Giải Cách 1: Phương trình đường thẳng MN : x y A 2; D B 0; –4 Gọi I a; b MN a 2b (1) Phương trình đường thẳng d qua I vng góc với MN y 2( x a) b Hoành độ giao điểm A, B (C) d nghiệm phương trình 2x x a b x 2a b x 2a b x –1 x 1 Hai điểm A, B đối xứng qua MN I trung điểm AB x x 2a b Khi xI A B a (2) a 2b a Từ (1) (2) ta được: thay vào phương trình hồnh độ ta hai điểm cần 2a b b a tìm A 2; , B 0; –4 Chọn đáp án D Cách 2: Gọi điểm cần tìm A, B có A a; ; B b; ; a , b 1 a 1 b 1 ab a2 b2 Trung điểm I AB I ; a 1 b 1 Phương trình đường thẳng MN : x y a A 0; 4 AB.MN Hai điểm A, B đối xứng qua MN I MN b B 2;0 Nhẫn xét: Bài toán cho cụ thể điểm AB nên ta kiểm tra cách xét điều kiện AB.MN Hai điểm A, B đối xứng qua MN Từ đáp án D I MN Ví dụ Cho hàm số y x3 x (C) Tính tổng hoành độ hai điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M –1;3 A B C 2 D Giải Gọi A x0 ; y0 C , B điểm đối xứng với A qua điểm M 1;3 hay M trung điểm AB nên B 2 x0 ;6 y0 y0 x03 x0 Vì A, B (C ) 6 y0 2 x0 2 x0 x0 y0 x03 x0 2 x0 2 x0 x02 12 x0 x0 2 y0 Vậy điểm cần tìm 0; 2; nên tổng hoành độ 2 Chọn đáp án C Tài liệu nội 388 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ (Trường THPT Chuyên Hưng Yên lần năm 2017) Tìm đồ thị C hàm số y x x hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với qua trục tung A Không tồn B A 2; B 2; C A 1; 1 B 1; 1 D A 3; 13 B 3; 13 Giải Gọi hai điểm A, B C đối xứng qua trục Oy A x A ; y A xA xB xA B xB ; yB y A yB Khi ta có x A x A xA x A xA 4 xA x A (loại) Suy không tồn hai điểm thỏa mãn đề Nhận xét: Bài toán cho cụ thể điểm AB nên ta thử đáp án cách xét điều kiện A, B C AB đối xứng qua Oy Nhìn nhanh đáp án ta thấy thoả mãn điều kiện đối xứng, cần kiểm tra điều kiện thuộc C Calc Nhập X X không tung độ nên chọn đáp án A X 1; X 2;X 3 - Ngoài giải bằng máy tính ta kiểm tra nhanh cách vẽ đồ thị hàm bậc hai sau: Đồ thị C hàm số y x x hình vẽ bên Quan sát đồ thị ta thấy Đồ thị C nhận đường thẳng x làm trục đối xứng khơng có cặp điểm đối xứng qua trục Oy nên chọn đáp án A Dạng Tìm điểm liên quan tới khoảng cách Bài tốn tổng quát: Tìm M C cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy a Phương pháp: Giả sử M x0 ; y0 C với y0 f x0 Theo đầu ta có g x0 ; k y0 kx0 d M , Ox d M , Oy y0 k x0 y0 kx0 h x0 ; k Giải hai trường hợp ta x0 y0 Tọa độ điểm cần tìm Đặc biệt: Khi k điểm M cách hai trục toạ độ Chú ý: Khi thay hai trục tọa độ hai tiệm cận (đứng ngang) làm tương tự nhớ nhanh kết ax b d a sau: Với hàm y c 0; ad bc có đồ thị C TCĐ x ; TCN y cx d c c - Khoảng cách từ M C đến TCĐ d1 x d cx d c c - Khoảng cách từ M C đến TCN d y a ad bc c c cx d Tài liệu nội 389 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 - Tích khoảng cách từ M C đến hai đường tiệm cận số: d1.d cx d ad bc c c cx d ad bc 0 c2 Một số công thức tính nhanh thường gặp: ax b CT1: Cho hàm số y C Tìm đồ thị C điểm M cho khoảng cách từ M tới tiệm cận cx d đứng k lần khoảng cách từ M tới tiệm cận ngang d1 kd x0 d k k với c ad bc 0 c2 d ad bc với 0 c c2 ax b CT2: Cho hàm số y C Tìm đồ thị C điểm M cho tổng khoảng cách từ M tới cx d đường tiệm cận nhỏ Đặc biệt: d1 d x0 d d1 d 2 x0 d với c ad bc 0 c2 ax b C Tìm đồ thị C điểm M cho khoảng cách từ M tới I nhỏ cx d nhất, với I giao điểm hai đường tiệm cận CT3: Cho hàm số y d ad bc với 0 c c2 ax b CT4: Cho hàm số y C Tìm đồ thị C điểm M cho tổng khoảng cách từ M tới cx d đường tiệm cận k d c 2 x0 c k k 4 ad bc d1 d k với 0 c2 x d c k k 4 c ax b CT5: Cho hàm số y C Tìm đồ thị C điểm M cho tiếp tuyến M vng góc với cx d đường thẳng IM với I giao điểm hai đường tiệm cận Giải ax b ad bc Giả sử M x0 ; C Tiếp tuyến M có hệ số góc k y ' x0 cx0 d cx0 d MI x0 ax0 b a yM yI cx0 d c ad bc d a Điểm I ; Đường thẳng IM có hệ số góc k1 d xM x I c c cx0 d x0 c Để tiếp tuyến M đường thẳng IM vng góc ad bc ad bc k k1 1 1 2 cx0 d cx0 d ad bc cx0 d x0 Tài liệu nội d c ad bc d với c c ad bc 0 c2 390 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Nhận xét: CT4 CT3 để tiếp tuyến M vng góc với IM IM ax b CT6: Cho hàm số y C Khoảng cách ngắn hai điểm AB nằm hai nhanh cx d khác đồ thị xác định công thức AB 2 b Ví dụ minh hoạ: x 3 Ví dụ (Trường THPT Chu Văn An – Gia Lai lần năm 2017) Cho đồ thị C : y Biết rằng, x 1 có hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) cách hai trục tọa độ Giả sử điểm M N Tìm độ dài đoạn thẳng MN A MN B MN 2 C MN D MN Giải Gọi M x0 ; y0 điểm thuộc (C) cách hai trục tọa độ x y0 x0 y0 x0 y0 x0 x0 x0 1 x0 x02 3 (vô nghiệm) x0 x 3 + Nếu x0 y0 ta có x0 x02 x0 x0 + Nếu x0 y0 ta có x0 x y0 1 M 1; 1 2 MN 3 1 1 x0 3 y0 N 3;3 Chọn đáp án A x2 Ví dụ Cho hàm số y (C ) Trên đồ thị (C) có điểm M cho khoảng cách từ điểm x 3 M đến đường tiệm cận đứng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang A Một điểm B Hai điểm C Ba điểm D Bốn điểm Giải: Gọi đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang d1 , d x2 x2 Điểm M C nên M x; với y x3 x3 x2 Ta có d M , d1 x , d M , d 1 x3 x3 x Theo ta có x x 3 x3 x Vậy có điểm thỏa mãn M 4;6 M 2; 4 Chọn đáp án B Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta làm sau d Áp dụng công thức d1 d x0 với c Chọn đáp án B ad bc 0 c2 Ví dụ 10 (Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế lần năm 2017) Trên đồ thị hàm số y nhiêu điểm cách hai đường tiệm cận A B C Giải Tài liệu nội x 1 có bao x2 D 391 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 1 Gọi M m; C m m2 m 1 Khoảng cách từ M đến đường tiệm cận x y d1 m ; d 1 m2 m2 Theo giả thiết hai khoảng cách d1 d m m2 m 2 m2 Vậy có điểm thỏa mãn toán M 3;1 , M 2 3;1 Chọn đáp án D Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta làm sau - Áp dụng công thức d1 d x0 d với c ad bc 30 c2 Chọn đáp án D - Điểm cách hai đường tiệm cận điểm thuộc đường phân giác hai đường tiệm cận Từ đồ thị hàm số dễ thấy số giao điểm đường phân giác hai tiệm cận đồ thị hàm số Chọn đáp án D (hình minh họa) Dạng Tìm điểm liên quan tới max – Bài toán tổng quát 1: Cho hàm số y f x có đồ thị (C) Hãy tìm (C) hai điểm A B thuộc hai nhánh khác cho khoảng cách AB ngắn a Phương pháp giải: Giả sử (C) có tiệm cận đứng x a Do tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía tiệm cận đứng Cho nên gọi hai số , hai số dương Nếu A thuộc nhánh trái x A a x A a a (C ) B thuộc nhánh phải x B a x B a a (C ) Tính y A f x A ; yB f xB Sau tính AB xB xA yB y A b a yB y A Khi AB có dạng AB g a b ; ; Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có kết cần 2 2 tìm Bài tốn tổng qt 2: Cho đồ thị (C) có phương trình y f x Tìm (C) điểm M cho * Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ * Khoảng cách từ M đến I (là giao hai tiệm cận) nhỏ b Phương pháp giải: Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Gọi M x; y với y f x tổng khoảng cách từ M đến hai trục d d x y Xét khoảng cách từ M đến hai trục M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hồnh, trục tung Sau xét tổng quát, điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hồnh độ tung độ M nằm hai trục, để suy cách tìm GTLN – GTNN d Chú ý: Khi thay hai trục tọa độ bằng hai tiệm cận sử dụng BĐT cosi Khoảng cách từ M đến I (là giao hai tiệm cận) nhỏ Tài liệu nội 392 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Gọi M x; y với y f x Tìm tọa độ hai tiệm cận I a; b 2 Tính khoảng cách IM cách: IM x a; y b IM x a y b g x; a , b Sử dụng phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số ta có kết Bài tốn tổng qt 3: Cho đường cong (C) đường thẳng d : Ax By C Tìm điểm I (C) cho khoảng cách từ I đến d ngắn c Phương pháp giải Gọi I thuộc (C) I x0 ; y0 với y0 f x0 Tính khoảng cách từ I đến d: g x0 h I ; d Ax0 By0 C A2 B Khảo sát hàm số y g x0 , để tìm Tương tự: Khi thay đường thẳng d tiếp tuyến (C) điểm M làm tương tự Chú ý: - Các toán khác liên quan tới Max – làm tương tự (bằng cách biến đổi biểu thức chứa hoành độ, từ dùng BĐT cosi khảo sát kiến thức điểm đường thẳng hình học giải tích mặt phẳng) ax b - Các toán liên quan tới giao điểm hai đường tiệm cận ta xét với hàm y cx d d a c 0; ad bc I ; cịn hàm phân thức khác khơng xét nằm c c chương trình giảm tải d Ví dụ minh hoạ x3 Ví dụ 11 Cho hàm số y 1 C Tìm (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác x 3 x 3 cho AB ngắn Tính tổng hoành độ điểm A, B A B C D Giải x3 Viết lại C ta có y 1 x 3 x3 Gọi A thuộc nhánh trái x A với số 6 Đặt x A y A 1 1 1 xA 3 Tương tự B thuộc nhánh phải xB với số 6 Đặt xB ; yB 1 1 2 xB 3 2 Vậy AB xB xA yB y A 2 6 1 1 2 1 1 36 36 2 36 48 ABmin Dấu đẳng thức xảy 24 2 Tài liệu nội 393 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Do ta tìm hai điểm A 6;1 ; B 6;1 6 6 Vậy tổng hoành độ điểm AB Chọn đáp án D Chú ý: Nếu câu hỏi độ dài ABmin ta sử dụng cơng thức tính nhanh ad bc c2 Nhận xét: Ta giải tốn theo hình học sau Hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác đồ thị hàm số thỏa mãn AB ngắn A, B giao điểm đồ thị hàm số đường phân giác góc tạo hai đường tiệm cận (hình minh họa) Phương trình hai đường phân giác góc tạo hai tiệm cận đồ thị hàm số d1 : y x d : y x Hoành độ giao điểm d1 đồ thị AB 2 với hàm số C nghiệm phương trình x2 x x3 x2 6x x 3 x Dễ thấy d C giao điểm Vậy tổng hồnh độ giao điểm Chọn đáp án D Ví dụ 12 (Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu lần năm 2017) Cho (C) đồ thị hàm số x 1 y Tìm điểm (C) cho tổng khoảng cách từ điểm đến tiệm cận nhỏ nhất: x2 A 1;1 B 3;1 3;1 C 3;1 D 1 3;1 3 Giải x 1 TCN : y 1; TCĐ : x x2 x 1 Gọi điểm M x0 ; y0 C , với y0 x0 Theo ta có tổng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận cos i d x0 y0 x0 2 x0 Từ đồ thị y x0 Dấu xảy x0 nên chọn đáp án B x0 Chú ý: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta làm sau: Cách 1: Tự luận kết hợp máy tính Nhập nhanh x 1 9 9 Calc d1 d x 4; ; ; 3; D x 1; x 1 3; x 1 3; x 3; x x2 2 Cách 2: Áp dụng cơng thức tính nhanh Tài liệu nội 394 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 d ad bc d d d1 d min 2 x0 với D c c2 x0 Cách 3: Áp dụng phương pháp hình học tương tự ví dụ 11 Phương trình hai đường phân giác góc tạo hai tiệm cận d1 : y x d : y x Hoành độ giao điểm d1 đồ thị C nghiệm phương trình x 1 x x 1 nên chọn đáp án B x2 4x x2 x Dễ thấy d khơng cắt đồ thị 2x 1 có đồ thị (C) Tính tích tung độ điểm M (C) cho khoảng x 1 cách từ điểm I 1; tới tiếp tuyến (C) M lớn Ví dụ 13 Cho hàm số y A Giải: C 1 B D Giả sử M x0 ; (C ) tiếp tuyến M có phương trình: x0 3 y x x0 x x0 x0 1 y x0 1 x0 x0 1 Khoảng cách từ I –1; tới tiếp tuyến d 1 x0 x0 1 x0 1 x0 x0 1 x0 1 Theo bất đẳng thức Côsi x0 1 2 x0 1 x0 1 , d Khoảng cách d lớn 2 x0 1 x0 1 x0 1 x0 1 Vậy có hai điểm thỏa mãn M 1 ; M 1 ; Nên tích tung độ Chọn đáp án B Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta làm sau Áp dụng công thức x0 d 1 y0 với c ad bc 30 c2 Chọn đáp án B C Tìm tổng hồnh độ điểm M thuộc đồ thị (C) cho x 1 khoảng cách từ M đến đường thẳng : x – y có giá trị nhỏ A 2 B C D 3 Giải: Giả sử điểm M m; C , với m 1 m 1 Ví dụ 14 Cho hàm số y Tài liệu nội 395 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 m 1 m 4 m 1 m cos i m 1 m 1 Khi d M , 17 17 17 17 3 m M 1; Dấu “ =” xảy m m 1 m 1 5 m 3 M 3; 2 5 3 Vậy có hai điểm M thỏa mãn M 1; M 3; 2 2 Vậy tổng hoành độ điểm M 2 Chọn đáp án A Dạng Bài toán liên quan đến tiếp tuyến a Phương pháp: Bài toán liên quan đến tiếp tuyến phong phú đa dạng chủ yếu xoay quanh phương trình tiếp tuyến, hệ số góc tiếp tuyến Do em cần phải xem lại kiến thức phần tiếp tuyến b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 15 (Trường THPT Chuyên Hà Giang năm 2017) Cho hàm số y x3 x x có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) mà tiếp tuyến (C) M có hệ số góc nhỏ 5 5 5 A M 2; B M 2; C M ; D M ; 3 3 3 Giải Hệ số góc tiếp tuyến (C) điểm M x; y k y ' x x x x 1 kmin 1 x y 5 M 2; 3 Nhận xét: - Tiếp tuyến hàm bậc ba có hệ số góc lớn a nhỏ a có hồnh độ b y y 3a b Đây cơng thức tính nhanh x 3a k y ' b 3a - Có thể thử đáp án cách kiểm tra điểm M C hệ số góc cách nhập 1 d X X X 1 x X Calc k 1 X dx Ví dụ 16 (Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế lần năm 2017) Tìm tọa độ tất điểm M x 1 đồ thị (C) hàm số y cho tiếp tuyến (C) M song song với đường thẳng x 1 d : y x 2 A 0;1 2; 3 B 1; 3; C 3; D 1; Giải Cách Tự luận x 1 Giả sử M x0 ; C Tiếp tiếp tuyến M có hệ số góc k y ' x0 x0 x0 1 Tài liệu nội 396 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Đường thẳng d có hệ số góc k ' Để tiếp tuyến M song song với đường thẳng d x0 y0 2 k k' x0 1 Chọn đáp án B x0 1 x0 y0 Cách Thử đáp án X 1 M C d y 0; y X X Cacl Vì : B Nhập X 1; X 3 k x X X dx k 2x 1 Ví dụ 17 (Trường THPT Chun Thái Bình lần năm 2017) Cho hàm số y có đồ thị (C) Tìm x 1 điểm M đồ thị (C) cho khoảng cách từ hai điểm A 2; B 4; 2 đến tiếp tuyến (C) M 3 M 1; B 5 M 2; 3 A M 0;1 M 0;1 ; M 2;3 D M 1; 3 C M 1; 2 Giải Giả sử M x0 ; y0 C với y0 x0 x0 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm M x0 ; y0 y k x x0 y0 d: x x0 1 x0 1 x x0 x0 x0 x0 1 2 x0 x0 y0 Theo ta có khoảng cách từ điểm A 2; B 4; 2 đến đường thẳng d x02 x0 x0 1 x0 1 x02 x0 4 1 x0 1 x0 1 2 1 x02 x0 x0 1 4 x02 x0 x0 1 2 Giải phương trình ta có x0 0, x0 2, x0 Chọn đáp án D 2x 1 có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Trên đồ thị (C) x2 có điểm M cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng IM A B C D Giải Viết lại hàm số cho y , với I 2; giao điểm hai đường tiệm cận x2 Xét M a; b C b ; a 2 a2 Hệ số góc tiếp tuyến với (C) M k1 y ' a a 2 Ví dụ 18 Cho hàm số y Tài liệu nội 397 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 3 b2 a2 3 Hệ số góc IM k2 a a a 2 Theo đề k1 k2 1 a 1 a a 2 b a 2 b Vậy điểm phải tìm 2 3; , 2 3; Chọn đáp án C Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta làm sau Áp dụng công thức x0 d 2 với c ad bc 30 c2 Chọn đáp án C Tài liệu nội 398 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 III BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu (Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu lần năm 2017) Tìm điểm M thuộc đồ thị C : y x3 3x biết hệ số góc tiếp tuyến M 9: A M 1; , M 3; B M 1; 6 , M 3; 2 C M 1; 6 , M 3; 2 D M 1; 6 , M 3; 2 Câu (Trường THPT Chuyên Hưng Yên lần năm 2017) Cho hàm số y x x Tìm tất điểm M thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến trục tung A M 1; M 1; B M 1;0 C M 2; 1 D M 0;1 M 2; 1 Câu (Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần năm 2017) Tìm tất điểm thuộc trục hoành cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x A M 1;0 B M 1; ; O 0;0 C M 2; D M 1; x2 có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc (C) cho x2 tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ A M 2; B M 0; 1 C M 1; 3 D M 4;3 Câu Cho hàm số y Câu Hàm số y x2 x có đồ thị C Trên C có điểm có tọa độ số nguyên x 1 dương A điểm B điểm C điểm D điểm Câu Cho hàm số y x x 1 có đồ thị (C) Trên (C) có hai điểm M , N phân biệt cho MN tiếp tuyến với (C) hai tiếp điểm M , N song song với Mệnh đề sau A xM xN B xM xN C xM xN D xM xN 2x 1 Câu Hàm số y có đồ thị C Tìm điểm C có tổng khoảng cách tiệm cận đến x 1 C A 2;5 , 0; 1 , 4;3 , 2;1 B 2;5 , 0; 1 C 4;3 , 2;1 D 2;5 , 4;3 x có đồ thị (C) Có điểm đồ thị (C) cho hệ x2 số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm giá trị lớn hàm số g x x 1 A B C D 2x Câu Cho hàm số y có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến gốc tọa x2 độ ngắn M 3; 1 13 M 1;5 M 3; 1 M 3; A B C D M 4; M 3; 1 M 1;3 M 1;3 2x Câu 10 Cho hàm số y C Tìm tọa độ điểm M thuộc C , biết tiếp tuyến M cắt hai trục Ox, x 1 Oy hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích Câu Cho hàm số y f x x3 Tài liệu nội 399 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 1 A M 1;1 ; M ; B M 1;1 ; M ; 2 2 1 C M 1; 1 ; M ; 2 D M 1;1 ; M ; 2 2 x2 Câu 11 Cho hàm số y có I giao điểm hai tiệm cận Giả sử điểm M thuộc đồ thị cho x2 tiếp tuyến M vng góc với IM Khi điểm M có tọa độ là: A M 0; 1 M 4;3 B M 1; 2 M 3;5 C M 0; 1 D M 0;1 M 4;3 2x có đồ thị C Điểm M thuộc C tiếp tuyến đồ thị C M x 1 vng góc với đường y x Tất điểm M có tọa độ thỏa mãn điều kiện là: 3 5 5 A M 1; M 3; B M 1; 2 2 2 3 5 3 C M 3; D M 1; M 3; 2 2 2 Câu 13 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ A M 1; 4 B M 1; C M 1; D Đáp số khác Câu 12 Cho hàm số y 2x 1 điểm M x 1 cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang đồ thị 7 A M 4;3 M 2;5 B M 4; M 2;5 5 7 C M 4;3 M 2;1 D M 4; M 2;1 5 2x 1 Câu 15 (Trường THPT Lê Quý Đôn – Hà Nội năm 2017) Cho hàm số y C Tổng khoảng x 1 cách từ điểm M (C) đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C D Câu 16 (Trường THPT Chuyên ĐHSP lần năm 2017) Tìm tất điểm thuộc đồ thị hàm số 2x 1 có khoảng cách đến trục hồnh y x 1 A M 0; 1 , N 2;1 B M 2;1 Câu 14 (Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Tìm đồ thị hàm số y C M 0; 1 , N 1; 1 D M 0; 1 2x Tính tổng hồnh độ điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) x 1 M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc 9 A 2 B C D Đáp số khác Câu 18 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Tính tổng tung độ hai điểm M , N thuộc đồ thị (C) Câu 17 Cho hàm số y cho độ dài đoạn MN 32 tiếp tuyến (C) M N song song với A B 2 C D 3 Câu 19 Cho hàm số y x x 1 đồ thị (C) Có điểm M (C) có hồnh độ số ngun dương cho tiếp tuyến M (C), cắt (C) hai điểm M N thoả mãn MN A B C D Tài liệu nội 400 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 20 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Có điểm M thuộc (C) (khác gốc tọa độ O) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng OM A B C D x 1 Câu 21 (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Cho hàm số y có đồ thị (C) Biết đồ thị x 1 (C) cắt Ox, Oy A, B Tìm M thuộc (C) cho diện tích tam giác MAB 1 1 1 A M 2; B M 3; , M ; 3 C M 2;3 , M 3; D M ; 3 2 3 Câu 22 (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Cho hàm số y x x x có đồ thị (C) Gọi A, B giao điểm (C) trục hoành Số điểm M C cho AMB 900 là: A B C D Câu 23 (Trường THPT Chun Lê Q Đơn – Bình Định năm 2017) Số điểm thuộc đồ thị (H) 2x 1 hàm số y có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (H) nhỏ x 1 A B C D x 1 Câu 24 (Trường THPT Chun Lê Q Đơn – Bình Định năm 2017) Cho hàm số y có đồ thị x 1 (C) Số điểm thuộc đồ thị (C) cách hai tiệm cận đồ thị (C) A B C D Câu 25 (Trường THPT Năng Khiếu HCM năm 2017) Các điểm cố định Cm : x3 m 3 x 2m 1 x 3m là: A 1; 6 B 1; 8 3; C 1; 6 3;1 D 0; 8 1;1 x 1 có đồ thị (C) Biết đồ thị x 1 (C) cắt Ox, Oy A, B Tìm M có tọa độ ngun thuộc (C) cho diện tích tam giác MAB 1 1 A M 2; B M 3; , M ; 3 3 2 1 C M 2;3 , M 3; D M ; 3 Câu 27 (Trường THPT Hồng Quang lần năm 2017) Có điểm thuộc đồ thị hàm số 2x thỏa mãn hoành độ tung độ điểm số nguyên? y x2 A B C D Câu 26 (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Cho hàm số y cho tiếp tuyến (C ) M x 1 với trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Khi A a.b B a.b C a.b D a.b Câu 28 Gọi M (a; b) điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x 1 có đồ thị C Gọi A , B x A xB điểm C có tiếp tuyến x 1 A , B song song với AB Hiệu x A xB Câu 29 Cho hàm số y A B C 2 D Câu 30 Cho đường cong C : y x x điểm A 0; m Tìm tất giá trị tham số m để qua A kẻ bốn tiếp tuyến với C Tài liệu nội 401 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 10 10 10 A m m B m C m D m 3 ; điểm M có hồnh độ xM thuộc C Biết tiếp tuyến x C M cắt Ox, Oy A, B Tính diện tích tam giác OAB Câu 31 Cho đồ thị hàm số C : y A S OAB B S OAB Câu 32 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y bằng: A C S OAB D S OAB 4x với tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích 2x 1 B D C xb ab 2 Biết a b giá trị thoả mãn tiếp tuyến đồ thị ax hàm số điểm M (1; 2) song song với đường thẳng d : x y Khi giá trị a b A B C -1 D Câu 33 Cho hàm số y ĐÁP ÁN D 11 A 21 C 28.A A 12 A 22 C 29.A Tài liệu nội D 13 A 23 B 30.C D 14 C 24 A 31.C B 15 A 25 B 32.C A 16 A 26 C 33.A B 17 A 27 A D 18 B 28 D 19 C 29 10 D 20 C 30 402 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 PHẦN - NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN A-BÀI TOÁN ĐỒ THỊ Trong kì thi Tốt nghiệp xét ĐH - CĐ Bài toán nhận dạng đồ thị, suy từ đồ thị hàm số, suy từ hàm số đồ thị, toán từ đồ thị đưa kết luận thường làm em tốn nhiều thời gian nhầm lẫn Để làm tốt dạng em cần lưu ý đặc trưng loại hàm, dấu hiệu nhân biết cực trị, tiệm cận, nhánh vô cùng, điểm đặc biệt, kỹ lấy đối xứng qua Ox, Oy… Dưới dạng đồ thị hàm số câu hỏi khai thác liên quan Dạng 1: Đồ thị hàm số bậc Dạng 2: Đồ thị hàm số trùng phương Dạng 3: Đồ thị hàm số nhị thức Dạng 4: Đồ thị hàm số mũ – logarit Dạng 5: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 6: Các dạng đồ thị hàm số y f ' x Dạng 7: Bài toán liên quan đến bảng biến thiên Đặc biệt em cần nhớ phép biến đổi đồ thị DẠNG I : HÀM SỐ BẬC BA y ax3 bx cx d (a 0) Đạo hàm y ' 3ax 2bx c ; ' b 3ac a Cần nhớ Đạo hàm y ' 3ax 2bx c ; y '' 6ax 2b Số cực trị hàm bậc ba phụ thuộc vào số nghiệm phương trình y ' Nếu ' b 3ac phương trình y ' vơ nghiệm có nghiệm kép hàm số ln đơn điệu nên khơng có cực trị Nếu ' b 3ac phương trình y ' có hai nghiệm phân biệt x1; x2 hàm số 2b x1 x2 3a có hai cực trị Theo vi – et ta có x x c 3a Hoành độ điểm uốn nghiệm phương trình y '' hay xU b b yU y 3a 3a CÁC DẠNG ĐỒ THỊ a0 a0 cực trị cực trị a Điều kiện b 3ac a Điều kiện b 3ac y y O O Tài liệu nội x x 403 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Khơng có cực trị a Điều kiện b 3ac Khơng có cực trị a Điều kiện b 3ac y y O x O x Trong toán nhận dạng đồ thị hàm số bậc em nên quan sát đặc điểm sau + Nhánh phải đồ thị hàm số (hướng lên hay xuống dưới) + Giao điểm với trục Oy + Vị trí tương đối cực trị với trục Oy (cùng phía hay khác phía) + Số lượng cực trị + Khoảng cách cực trị, khoảng cách cực trị với gốc tọa độ + Vị trí điểm uốn + Nhánh phải đồ thị hàm số: Hướng lên a ; hướng xuống a + Giao điểm với trục Oy: x y d hay điểm 0; d tức xem d nằm phía chiều dương Oy d ; chiều âm d + Vị trí tương đối cực trị với trục Oy: Nếu phía x1 x2 c ; khác phía 3a c 0 3a + Số lượng cực trị: Nếu hai cực trị b 3ac ; khơng có cực trị b 3ac + Khoảng cách cực trị, khoảng cách cực trị với gốc tọa độ: x1 x1 2b 2b Nếu x2 x1 x2 ; x2 x1 x2 3a 3a x x x x 1 b b + Vị trí điểm uốn: Toạ độ điểm uốn U ; y tức xem điểm uốn nằm phía 3a 3a b b dương Ox ; phía âm 3a 3a b Phương pháp chung: - Bước 1: Xem đồ thị hướng lên hay hướng xuống để xác định a - Bước 2: Xem giao điểm đồ thị với trục Oy để xác định d - Bước 3: Xác định c dựa vào vị trí hai cực trị so với Oy số lượng cực trị - Bước 4: Xác định b dựa vào khoảng cách hai cực trị so vơi trục Ox vị trị điểm uốn so với trục Ox Chú ý: Với dạng toán cho đồ thị tìm hàm số bước thoả mãn mà chưa tìm hàm số ta đạo hàm hàm số để xem hàm số có cực trị hay khơng, hồnh độ điểm cực trị gì? Ngồi với dạng tốn ta sử dụng máy tính sau: Tìm toạ độ điểm mà đồ thị qua (Giao điểm, điểm cực trị, điểm uốn) sau nhập hàm số bấm calc thử đáp án 404 Tài liệu nội x1 x2 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 c Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x) có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau A y x3 B y x3 C y x3 D y x3 y O x Giải Nhận thấy nhánh cuối đồ thị hướng lên a (Loại C,D) Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm x nên x nghiệm phương trình f ( x) (Loại B) Đáp án A Ví dụ (Đề minh họa Bộ lần 1): Đường y cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A,B,C,D Hỏi hàm số hàm số nào? A y x x B y x3 3x C y x x D y x 3x O Giải Nhận thấy đồ thị hàm bậc nên ta loại phương án A,C Nhánh phải đồ thị hàm số hướng lên a (Loại B) Vậy đáp án D Ví dụ (Đề minh họa Bộ lần 2) : Cho hàm y số y ax bx cx d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đung ? O A a 0, b 0, c 0, d B a 0, b 0, c 0, d C a 0, b 0, c 0, d D a 0, b 0, c 0, d x x Giải Nhánh phải đồ thị hướng xuống a (Loại C) Giao điểm đồ thị hàm số với trục Oy điểm phía O d Hai điểm cực trị nằm hai phía trục Oy a x1 x2 a.c c (Loại D) ( x1 , x2 nghiệm y’) Dựa vào khoảng cách hai điểm cực trị ta suy b b a x1 x2 b (Loại B) a a Vậy đáp án A Tài liệu nội 405 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ (THPT Phạm Văn Đồng – PHÚ YÊN) Cho hàm số y ax3 bx cx d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A a 0, b 0, c 0, d B a 0, b 0, c 0, d C a 0, b 0, c 0, d D a 0, b 0, c 0, d y O x Giải Nhận thấy nhánh phải đồ thị hướng lên a (Loại A) Đồ thị hàm số giao với trục tung điểm phía Ox d (Loại C) 2 Hàm số khơng có cực trị b 3ac 3ac b Vậy a,c dấu c b Do a Hoành độ điểm uốn giá trị x b (Loại B) 3a Vậy đáp án D Ví dụ (Thi thử Vinastudy.vn Lần 4): Cho hàm y số y ax3 bx cx d (a 0) Có đồ thị hình vẽ Khẳng định a a d d A B c c b R b a d C c b R a d D c b R O x Giải Nhận thấy nhánh phải đồ thị hàm số hướng xuống a (Loại A) Đồ thị hàm số cắt trục tung giao điểm có tung độ dương d Hàm số đạt cực trị x1 , x2 nghiệm y '( x) 3ax 2bx c Do a Hai điểm cực trị nằm hai phía oy nên x1.x2 ac c (Loại B) Tổng hoành độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số dương 2b Do a x1 x2 ab b 3a Vậy đáp án C Tài liệu nội 406 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 DẠNG 2: HÀM TRÙNG PHƯƠNG y ax bx c (a 0) Đạo hàm y ' 4ax3 2bx x(2ax b) a Phương pháp: - Hàm y ax bx c (a 0) có điểm cực trị có điểm cực trị - Hàm số có điểm cực trị ab (a,b trái dấu) - Hàm số có điểm cực trị ab ĐỒ THỊ HÀM SỐ a0 a0 cực đại + cực tiểu a b cực tiểu + cực đại a b y y O O Chỉ có cực đại a b Chỉ có cực tiểu a b y O x x y x O x Trường hợp đặc biệt a = hàm số trở thành y bx c + Nếu b hàm số ln có cực trị + Nếu b hàm số trở thành hàm hằng: y = c Trong việc xác định hàm trùng phương đồ thị ta nên quan sát nhánh phải, cực trị, giao điểm với trục Oy, nhánh phải hướng lên hay xuống b Ví dụ minh hoạ: Tài liệu nội 407 Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ (Đề thi thử Sở GD HN - 2017): Hình bên đồ thị bốn hàm số cho phương án A,B,C,D Hỏi hàm số ? A y x x B y x3 x C y 2 x x y O x D y x x Giải Nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số trùng phương nên ta loại phương án B,D Nhánh phải đồ thị hướng lên nên a > (Loại A) Vậy đáp án C Ví dụ (Thi thử THPT Lương Đắc Bằng Thanh Hóa -2017 ): Đồ thị sau đồ thị hàm số ? A y x x B y x x C y x x D y x x y -1 O x -1 Giải Nhận thấy nhánh phải đồ thị hàm số hướng lên nên hàm số có a > (Loại C,D) Tại x = y = loại A Đáp án B Ví Dụ (THPT TUY PHƯỚC – BÌNH ĐỊNH) y Cho đồ thị hàm số y ax bx c có đồ thị sau Xác định dấu a; b; c O A a 0, b 0, c B a 0, b 0, c C a 0, b 0, c D a 0, b 0, c x Giải Nhánh phải đồ thị hướng lên nên a Do a Hàm số có cực trị a.b b0 Đồ thị hàm số cắt Oy điểm có tung độ âm c Vậy đáp án A Tài liệu nội 408 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ (THPT NGƠ SĨ LIÊN) Hàm số y ax bx c có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A a 0; b 0; c B a 0; b 0; c C a 0; b 0; c D a 0; b 0; c y O x Giải Nhánh phải đồ thị hướng xuống a Do a Hàm số có cực trị a.b b Đồ thị hàm số cắt Oy điểm có tung độ dương c Vậy đáp án D Ví dụ (Thi thử Vinastudy.vn lần 3) Biết hàm số y ax bx c (a 0, b 0) Vậy đồ thị hàm số cho phù hợp với hình ? Giải Nhận thấy a,b trái dấu hàm số cho có cực trị (Loại C,D) a nhánh phải đồ thị hàm số phải hướng xuống (Loại A) Đáp án B y y O y y x O O x x A B Ví dụ (Thi thử Vinasutudy.vn - Lần 7): Đồ thị sau hàm số nào? A y x 3x 4 B y x 2x C D y -1 C y x 3x O x O x -3 D y x 2x -4 Giải Nhánh phải đồ thị hàm số hướng lên a (Loại A) Do a Hàm số có cực trị a.b b (Loại B) Hàm số đạt cực tiểu x = nên x = nghiệm y ' (Loại C) Vậy đáp án D Tài liệu nội 409 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ (Đề thi THPT 2017) Đường cong hình bên đồ thị hàm số y ax bx c với a, b, c số thực Mệnh đề ? A Phương trình y có ba nghiệm thực phân biệt B Phương trình y có nghiệm thực C Phương trình y có hai nghiệm thực phân biệt D Phương trình y vơ nghiệm tập số thực y O x Giải Nhận thấy hàm số có cực trị nên Phương trình y có ba nghiệm thực phân biệt Đáp án A ax b cx d ad bc DẠNG 3: HÀM BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT y Đạo hàm y ' cx d a Phương pháp: Hàm bậc bậc khơng có cực trị đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng xác định ĐỒ THỊ ad bc y ' ad bc y ' y O y x O x Nhánh bên trái hướng lên Nhánh bên trái hướng xuống Đồng biến khoảng xác định Nghịch biến khoảng xác định Khi làm toán nhận dạng đồ thị ta cần quan sát đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (vị trí chúng so với trục Ox, Oy), giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox, Oy, hướng nhánh ax b Lưu ý: Đồ thị hàm số y cx d b + Giao với Ox điểm có hồnh độ x a Tài liệu nội 410 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 + Giao với Oy điểm có tung độ y b d a c d + Tiệm cận đứng (nếu có) đường thằng x c b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ (Trích đề thi thức kỳ thi THPT Quốc Gia 2017) Đường cong hình bên ax b hàm số y với a,b,c,d hệ số thực cx d Mệnh đề sau A y ' 0, x B y ' 0, x C y ' 0, x D y ' 0, x + Tiệm cận ngang (nếu có) đường thằng y y O Giải Nhận thấy nhánh trái đồ thị hàm số hướng lên nên y' Đồ thị nhân đường thẳng x làm tiệm cận đứng điều kiện x Vậy đáp án A Ví dụ (Trích đề thi thức kỳ thi THPT Quốc Gia 2017) Đường cong hình bên ax b hàm số y với a,b,c,d hệ số thực cx d Mệnh đề sau A y ' 0, x B y ' 0, x C y ' 0, x D y ' 0, x x y O x Giải Nhận thấy nhánh trái đồ thị hàm số hướng xuống nên ta có y ' Đồ thị nhân đường thẳng x làm tiệm cận đứng điều kiện x Đáp án D Ví dụ (Trích đề thi thử Sở GD Hà Nội 2017) y ax b Cho hàm số y có đồ thị hình vẽ cx d Khẳng định sau ad A bc ad C bc ad B bc ad D bc O x Giải Đồ thị cắt Ox điểm có hồnh độ dương nên ta có Tài liệu nội b a.b (1) a 411 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Tiệm cận ngang đồ thị nằm phía trục ox nên ta có a ac (2) c Nhân (1) với (2) theo vế ta có a 2bc bc Tiệm cận đứng đồ thị nằm phía bên trái oy nên ta có d dc (3) c Nhân (2) với (3) theo vế ta có c 2ad ad ad Vậy đáp án (C) bc Ví dụ (Trích đề thi thử lần – Bộ GD - 2017) Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số ? 2x 2x 1 A y B y x 1 x 1 2x 2x 1 C y D y x 1 x 1 y -1 x O Giải Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 nên x 1 phải nghiệm mẫu (Loại C,D) Đồ thị hàm số cắt ox điểm có hồnh độ dương nên nghiệm tử phải dương (Loại A) Vậy đáp án B Ví dụ (Trích đề thi thử THPT Chun Lam Sơn – Thanh Hóa)Trong hình vẽ sau (Hình 1, x 1 Hình 2, Hình 3, Hình 4), hình biểu diễn đồ thị hàm số y x 1 y y y y 1 -1 O x -1 A.Hình Giải -1 -1 x O -1 O -1 x x O -1 -1 B.Hình C.Hình D.Hình x 1 có x 1 Tiệm cận đứng x (Loại hình 4, hình 2) Tiệm cận ngang y 1 (Loại hình 1) Vậy đáp án hình (C) Đồ thị hàm số y Tài liệu nội 412 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ (Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 1) ax b Cho hàm số y với a có đồ thị cx d hình vẽ bên Mệnh đề ? A b 0, c 0, d B b 0, c 0, d C b 0, c 0, d D b 0, c 0, d y x Giải Giao với Ox x b Do a ab b0 a b b0 Giao với Oy y d d a a Tiệm cận ngang y c c Vậy đáp án B DẠNG 4: ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ – LOGARIT a Phương pháp: x ĐỒ THỊ HÀM SỐ y a a 1 a 1 a 1 y y = ax (a1) 1 O x x O 1 a b y a b 1 y = bx y y = ax y = ax y = bx O x O x Khi làm toán nhận dạng đồ thị hàm số mũ em cần lưu ý Tài liệu nội 413 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 + Nhánh đồ thị lên hay xuống + Vị trí tương đối đồ thị so với trục Oy + Đồ thị hàm số mũ nhận trục Ox làm tiệm cận ngang + Đồ thị hàm số mũ tiệm cận đứng + Đồ thị hàm số mũ không cắt trục Ox ĐỒ THỊ HÀM SỐ y log a x (0 a 1) a 1 a 1 y y y = logax (a>1) O x O x y = logax (a (Loại A) Vậy đáp án la D Ví dụ (Trích đề thi thử Chuyên Bình Long – y -1 2017) : Cho hàm số y f x có đồ thị hình O x bên Xác định tất giá trị tham số m để phương trình f x 2m2 m có nghiệm thực phân biệt A m C m -3 B m D m -4 Giải Tài liệu nội 427 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Từ đồ thị hàm số y f x C ta suy đồ thị hàm số y f x sau y Giữ nguyên phần đồ thị C ứng với phía trục Ox Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị C ứng với phía trục Ox Bỏ phần đồ thị C phía trục Ox y=2m2-m+3 -1 Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số y f x x Số nghiệm phương trình f x 2m m số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường -3 thằng y 2m m Từ đồ thị hàm số ta suy để phương trình f x 2m2 m có nghiệm phân biệt -4 2m m m m 2m2 m 2 2m m m m m So sánh đáp án ta chọn đáp án D Ví dụ (Trích đề thi thử lần – Bộ GD – 2017) Hàm số y f x ( x 2)( x 1) C có y đồ thị hình vẽ bên Hình đồ thị hàm số y x ( x 1)? O y y O x y y x O x O A B C O x x D Giải Tài liệu nội 428 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x x 1 x Ta có y x x 1 x x 1 x f x x Hay y Từ ta suy cách vẽ đồ thị hàm số y x x 1 sau f x x 2 Giữ nguyên phần đồ thị hàm số C x Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số C x Bỏ phần đồ thị hàm số C x Từ hình vẽ ta suy đáp án A DẠNG 6: ĐỒ THỊ HÀM y f ' x a Phương pháp: Để làm tốt dạng đồ thị hàm số y f ' x ta cần nắm rõ dấu hiệu cực trị, khoảng đồng biến nghịch biến, vị trí tương đối cực trị, diện tích hình phẳng (liên quan đến tích phân) nhiều kỹ tổng hợp khác Dấu hiệu cực trị điểm làm cho f ' x f ' x không tồn mà qua điểm f ' đổi dấu y y y = f '(x) y = f '(x) O x O Điểm cực trị x Không phải điểm cực trị Dấu hiệu đồng biến – nghịch biến ta quan sát khoảng mà đồ thị hàm số y f ' x phía trục Ox, phía trục Ox y y = f '(x) Đồng biến Đồng biến a b O c Nghịch biến x Nghịch biến Tài liệu nội 429 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Trong hình minh họa ta có - Hàm số đồng biến khoảng a; b c; - Hàm số nghịch biến khoảng ; a b; c b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ; a y a b c O x B Hàm số nghịch biến khoảng ;b c; C Đồ thị hàm số có điểm cực trị D Đồ thị hàm số khơng có cực trị Giải Khoảng đồng biến hàm số y f x khoảng mà đồ thị hàm số y f ' x nằm phía trục Ox Khoảng nghịch biến hàm số y f x khoảng mà đồ thị hàm số y f ' x nằm phía trục Ox Số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x điểm mà đồ thị hàm số y f ' x cắt xuyên qua trục Ox Quan sát đồ thị ta thấy khoảng ; a đồ thị hàm số y f ' x nằm phía trục Ox Vậy hàm số y f x đồng biến khoảng ; a (Đáp án A) Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục y có đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x A B C D O x Giải Từ đồ thị hàm số y f ' x ta thấy đồ thị hàm số y f ' x có điểm chung với trục Ox phương trình f ' x có nghiệm phân biệt Trong có điểm làm cho f ' đổi dấu Vậy Số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x Đáp án C Tài liệu nội 430 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị y hàm số y f ' x hình vẽ Đặt g x f x x Số điểm cực trị đồ thị hàm số y g x A B C D O x Giải Ta có g ' x f ' x Như đồ thị hàm số y g ' x đồ thị hàm số y f ' x tịnh tiến xuống phía đơn vị.(hình minh họa) Quan sát đồ thị hàm số y g ' x có điểm làm g ' đổi dấu qua Vậy số điểm cực trị đồ thị hàm số y g x Đáp án C Ví dụ (Trích đề thi thử Chuyên KHTN 2017) Biết đồ thị hàm số y x3 3x (C ) có dạng hình bên Hỏi đồ thị hàm số y x3 x có điểm cực trị ? A B C D Giải Ta vẽ đồ thị hàm số y x 3x Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (C) phía trục Ox Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía Ox qua trục Ox Bỏ phần đồ thị (C) phía trục Ox Vậy số điểm cực trị đồ thị hàm số Lưu ý: Điểm cực trị đồ thị hàm số ta hiểu đơn giản gồm đỉnh điểm vị trí gấp khúc Tài liệu nội 431 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ (Trích đề thi thử Chun Bình Long 2017) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Chọn khẳng định ? A f b f a f c B f b f c f a C f c f a f b D f c f b f a Giải b - Xét f '( x)dx Theo đồ thị hàm số f ' x đề cho ta có phần diện tích giới hạn đồ thị hàm số a y f '( x) , trục Ox đường thẳng x a, x b nằm phía trục Ox b f '( x)dx f (b) f ( a ) f (b) f ( a ) a c - Xét f '( x)dx Theo đồ thị hàm số f ' x đề cho ta có phần diện tích giới hạn đồ thị hàm số b y f '( x) , trục Ox đường thẳng x b, x c nằm phía trục Ox c f '( x)dx f (c ) f (b) f (c) f (b) b c - Xét f '( x)dx Theo đồ thị hàm số f ' x đề cho ta có phần diện tích giới hạn đồ thị hàm số b y f '( x) , trục Ox đường thẳng x a, x c c b c f '( x)dx f '( x)dx f '( x)dx a a b Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Đặt g x f x x Số điểm cực trị đồ thị hàm số y g x ? A B C D Giải Ta có g ' x f ' x Khi g ' x f ' x f ' x (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y f ' x đường thẳng y Từ đồ thị hàm số y f ' x ta có phương trình (*) có hai nghiệm đơn phân biệt Do g ' x có nghiệm đơn phân biệt Do nghiệm đơn nên g ' x đổi dấu qua nghiệm Vậy đồ thị hàm số y g x có điểm cực trị Tài liệu nội 432 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Đặt 13 x Số điểm cực trị đồ thị hàm số y g x ? A.0 B.1 C.2 D.3 g x f x Giải Ta có g ' x f ' x 13 13 13 g ' x f ' x f ' x 1 2 13 13 Theo đồ thị hàm số y f ' x ta thấy phương trình 1 có nghiệm bội chẵn (Đường thẳng y tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ' x ) Số nghiệm phương trình 1 số giao điểm đồ thị hàm số y f ' x đường thằng y Do g ' x có nghiệm bội chẵn, không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn Đồ thị hàm số y g x khơng có cực trị Ví dụ (Trích đề thi thức Bộ GD – 2017) Cho hàm số y f ( x) Đồ thị hàm số y f ( x) hình bên Đặt g ( x) f ( x) ( x 1) Mệnh đề ? A g (3) g (3) g (1) B g (1) g (3) g (3) C g (3) g (3) g (1) D g (1) g (3) g (3) Giải g 1 f 1 Ta có g f 3 16 g 3 f 3 g g 1 f f 1 12 f ' x dx 12 g g 3 f f 3 f ' x dx 12 3 Trong f ' x dx diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , trục Ox đường thẳng x 1, x 3 f ' x dx diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , trục Ox đường thẳng 3 x 3, x * Theo hình vẽ (mỗi vng có diện tích 1) ta có Tài liệu nội 433 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 f / ( x)dx S g 3 g 1 2.6 12 g g 1 * Theo hình vẽ ta có 3 f / ( x) dx S1 g 3 g 3 2.6 12 g g 3 Do ta g (1) g (3) g (3) (Đáp án D) Ví dụ (Thi thử lần – Thầy Lương Văn Huy - 2017) Cho hàm số y f x liên tục xác định , có đạo hàm f ' x , x Hàm số y f ' x có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x A.2 B.3 C.4 D.5 Nhận xét: - Dạng khiến nhiều em lúng túng hay nhầm lẫn cực trị hàm số y f ' x số cực trị hàm số y f x - Ta lưu ý cực trị hàm số điểm làm cho đạo hàm f ' x khơng xác định (Theo đề khơng có điểm làm cho đạo hàm khơng xác định) đổi dấu qua điểm Do quan sát đồ thị, điểm mà đồ thị hàm số y f ' x cắt xuyên qua trục Ox điểm cực trị (Vì đạo hàm đổi dấu qua điểm đó) Giải Điểm cực trị hàm số y f x điểm mà đồ thị hàm số y f ' x cắt qua trục Ox (Loại điểm tiếp xúc).Quan sát đồ thị hàm số y f ' x ta có đồ thị hàm số cắt qua trục Ox điểm (Hình minh họa) Vậy số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x (Đáp án C) Ví dụ (Trích đề thi thử lần – Thầy Lương Văn Huy – 2017) Cho hàm số y f x liên tục xác định , có đạo hàm f ' x , x Hàm số y f ' x có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có điểm cực trị C Hàm số đồng biến khoảng ; c d ; D Hàm số nghịch biến khoảng a; b c; d Giải Số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x số điểm mà đồ thị hàm số y f ' x cắt xuyên qua trục Ox.Quan sát đồ thị hàm số y f ' x đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị Khoảng đồng biền khoảng mà đồ thị hàm số y f ' x nằm phía Ox ( f ' x ) hàm số đồng biến khoảng ; a b; c d ; Khoảng nghịch biến khoảng mà đồ thị hàm số y f ' x nằm phía Ox ( f ' x ) hàm số nghịch biến khoảng a; b c; d Vậy đáp án D Tài liệu nội 434 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B- BÀI TOÁN BẢNG BIẾN THIÊN a Phương pháp: Để làm tốt dạng liên quan đến bảng biến thiên hàm số Các em cần nhận biết đặc điểm bảng biến thiên như; dấu hiệu tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, dấu hiệu cực trị, dấu hiệu đồng biến nghịch biến Ngoài nên kết hợp với suy từ bảng biến thiên đồ thị hàm số để có nhìn tồn diện dễ hiểu Cần lưu ý: Dấu hiệu nhận biết tiệm cận - Tại vị trí x ; x Nếu y nhận giá trị cụ thể a, b y a, y b đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số - Tại x a x a mà y nhận giá trị đường thẳng x a tiệm cận đứng đồ thị hàm số x a y TCN TCĐ TCĐ TCN Dấu hiệu nhận biết cực trị x y' x0 x x0 y' y y Trái dấu Trái dấu x x0 x y' Cực trị x0 y' y y Cực trị Lưu ý: Nếu x0 điểm cực trị hàm số y f x f ' x0 (Hoặc đạo hàm = đạo hàm khơng tồn tại) f ' x0 Dấu hiệu nhận biết đồng biến nghịch biến: Ta dựa vào dấu y ' chiều mũi tên y bảng biến thiên Tài liệu nội 435 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x x y' y' y y Đồng biến Nghịch biến b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ (Trích đề thi thử Vinastudy.vn – 2017) Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x , x Dấu f ' x cho x 2 f ' x Số điểm cực trị hàm số y f x A.1 B.2 C.3 D.4 Giải Phương trình f ( x) có ba nghiệm phân biệt Tuy nhiên x 0, x 2 f ' x đổi dấu Do hàm số y f x có hai điểm cực trị (Đáp án B) Ví dụ (Trích đề thi thử Chuyên KHTN – 2017) Biết hàm số y x x có bảng biến thiên sau: x 2 y' + 0 + y -1 -1 Tìm m để phương trình x x m có nghiệm thực phân biệt A m B m C m D m (1; 3) {0} Giải Từ đồ thị hàm số y x x Ta suy đồ thị hàm số y x x (Xem lại đồ thị hàm số y f x ) Số nghiệm phương trình x x m số giao điểm đồ thị hàm số y x x đường thẳng y m m Quan sát đồ thị ta có để phương trình có nghiệm phân biệt (Đáp án D) 1 m Ví dụ (Trích đề minh họa lần – BGD – 2017) Tài liệu nội 436 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Cho hàm số y f x xác định, liên tục có bảng biến thiên : x y’ y 1 Khẳng định sau khẳng định ? A Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 1 D Hàm số đạt cực đại x đạt cực tiểu x Giải Do hàm số y f x xác định, liên tục mà - Tại x đạo hàm không xác định đổi dấu từ + sang – nên hàm số đạt cực đại x - Tại x hàm số có đạo hàm đổi dấu từ - sang + nên hàm số đạt cực tiểu x Vậy đáp án D Ví dụ (Trích đề thi thử sở GD Quảng Nam – 2017) Cho hàm số y f ( x) liên tục R có bảng xét dấu f '( x) sau: x – –2 + f '( x) + – – + Mệnh đề sau sai? A Hàm số y f ( x) có điểm cực trị B Hàm số y f ( x) đạt cực đại x = –2 C Hàm số y f ( x) đạt cực tiểu x = D Hàm số y f ( x) đạt cực tiểu x = Giải Nhận thấy phương trình f ' x có nghiệm phân biệt x 2, x 1, x Nhưng x 2, x f ' x đổi dấu, qua x f ' x khơng đổi dấu nên hàm số đạt cực trị x 2, x Tại x 2 f ' x đổi dấu từ + sang – nên hàm số đạt cực đại x 2 Tại x f ' x đổi dấu từ - sang + nên hàm số đạt cực tiểu x Vậy đáp án sai C Ví dụ (Trích đề minh họa lần – Bộ GD – 2017) Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên x hình vẽ bên Mệnh đề ? y ' A yCD B yCT C y D max y y Giải Nhận thấy giá trị y nhận giá trị ; nên hàm số khơng có Max, Min (Loại C,D) Lại có yCD 5, y CT nên đáp án A Tài liệu nội 437 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ (Trích đề minh họa lần – BGD – 2017) Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận ? A B C D x 2 y' y Giải lim f x Ta có x 2 nên x 2, x tiệm cận đứng đồ thị hàm số f x xlim 0 Lại có lim f x nên y tiệm cận ngang đồ thị hàm số x Vậy tổng số tiệm cận đồ thị hàm số Ví dụ (Trích đề thi 2017 – BGD – Mã đề 104) Cho hàm số y f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau Mệnh đề ? A Hàm số đồng biến khoảng (2; 0) B Hàm số đồng biến khoảng (; 0) C Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) D Hàm số nghịch biến khoảng (; 2) Giải Dự vào dấu f ' x ta có 2 x y' + 0 - - + Hàm số đồng biến khoảng ; 2 2; Hàm số nghịch biến khoảng 2; 0; Vậy đáp án C Ví dụ (Trích đề minh họa lần – Bộ GD – 2017) Cho hàm số y f ( x) xác định R \ 0 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau Tìm tập hợp tất giá trị tham số m cho phương trình f ( x) m có ba nghiệm thực phân biệt? A 1; B 1; C (1; 2] D (; 2] Giải Do hàm số y f ( x) xác định R \ 0 , giá trị 1 y vị trí x lim y x0 (Chứ y 1 ) Số nghiệm phương trình f ( x) m số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng y m Quan sát bảng biến thiên ta có Tài liệu nội 438 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Phương trình f ( x) m có ba nghiệm 1 m (Đáp án B) x y Ví dụ Cho hàm số y f x xác định \ 0; 2 có bảng biến thiên hình bên Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y f x 4 ? Giải Quan sát bảng biến thiên ta thấy lim y ; lim y 5 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y y 5 x 5 x lim y ; lim y 1; lim y 4; lim y đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x x 0 x x 2 x 2 Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Đáp án B BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? x 1 A y 2x 1 2x 1 B y x 1 x 1 C y x 1 x D y 2x 1 Câu 2: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? x 1 A y x 1 2x B y x 1 x2 C y x 1 x 1 D y x2 Câu 3: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? A y x4 x2 Tài liệu nội 439 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B C y x 3x y x4 2x D y x4 x2 Câu 4: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? A y x4 4x B y x4 x2 C y x4 4x2 D y x4 x2 Câu 5: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số A y x4 x2 B y x4 x2 C D y x4 x2 y x4 2x2 Câu 6: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? x3 A y x2 x x3 B y 2x2 x x3 C y x2 2x x3 D y x2 x Câu 7: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? x3 A y x2 2x x3 B y x2 x x3 C y 4x2 x y x3 D y x2 x Câu 8: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? Tài liệu nội 440 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 x3 x2 x x3 B y x2 2x 1 x3 C y x2 2x x3 D y x2 x Câu 9: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? x3 A y x 3x 3 x B y x 3x x3 C y x 3x x3 D y x 3x Câu 10: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y 2x B y x A y C y 2 x D y 2 x Câu 11: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y x e B y ex C y e x D y x e Câu 12: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y 3x B y 3 x C y x D y x Tài liệu nội 441 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 13: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y x B y x C y log x D y log 0,5 x Câu 14: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? A y log x B y log x C y log x D y log x Câu 15: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? A y log3 x B y log x C y log3 x D y log x Câu 16: Cho hàm số y ax3 bx cx d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A a 0, b 0, c 0, d B a 0, b 0, c 0, d C a 0, b 0, c 0, d D a 0, b 0, c 0, d Câu 17: Cho hàm số y ax3 bx cx d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề ? A a 0, b 0, c 0, d B a 0, b 0, c 0, d C a 0, b 0, c 0, d D a 0, b 0, c 0, d Câu 18: Cho hàm số y ax3 bx cx d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề ? A a 0, b 0, c 0, d Tài liệu nội 442 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B C D a 0, b 0, c 0, d a 0, b 0, c 0, d a 0, b 0, c 0, d Câu 19: Cho hàm số y ax bx c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề ? A y a 0, b 0, c B y a 0, b 0, c C y a 0, b 0, c D y a 0, b 0, c y Câu 20: Cho hàm số y ax bx c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề ? A y a 0, b 0, c B y a 0, b 0, c C y a 0, b 0, c D y a 0, b 0, c Câu 21: Cho hàm số y ax bx c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề ? A y a 0, b 0, c B y a 0, b 0, c C y a 0, b 0, c D y a 0, b 0, c y Câu 22: Cho hàm số y ax bx c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề ? A a 0, b 0, c B a 0, b 0, c C a 0, b 0, c D a 0, b 0, c Câu 23: Hình bên đồ thị hàm số x x y a , y b , y c x ( a, b, c 1) Kết luận sau ? A c a b B c a b C c a b D c a b Câu 24: Hình bên đồ thị hàm số x x y a , y b , y c x ( a, b, c 1) Kết luận sau ? A c a b B c b a Tài liệu nội 443 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 C D a c 1 b c 1 b a Câu 25: Hình bên đồ thị hàm số y log a x, y log b x , y log c x ( a, b, c 1) Kết luận sau ? A a b c B a b c C c a b D c b a Câu 26: Hình bên đồ thị hàm số y log a x, y logb x , y log c x ( a, b, c 1) Kết luận sau ? A a b c B a b c 1 C c a b D b a c x4 Câu 27: Cho hàm số y f x x3 x x 2017 Khi đồ thị hàm số y f ' x tương ứng với hình ? A B C D Cho hàm số y f x x x 1 Khi đồ thị hàm số y f ' x tương ứng với hình ? Câu 28: Tài liệu nội 444 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B A C D ax b Câu 29: Hình vẽ bên đồ thị hàm số y Khẳng định sau ? cx d A ab 0, cd B ac 0, cd C ad 0, bc D ad 0, bc Câu 30: Hình vẽ bên đồ thị hàm số y ax b Khẳng cx d định sau ? A ac 0, cd 0, ab B ac 0, cd 0, ab C ad 0, bd 0, ac D bd 0, cd 0, ac Câu 31: Cho hàm số y ax bx c có bảng biến thiên hình vẽ bên Khẳng định sau ? A a 0, b 0, c B a 0, b 0, c C a 0, b 0, c D a 0, b 0, c Tài liệu nội x f ' x + + f x 2 445 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 32: Cho hàm số y ax bx c có bảng biến thiên hình vẽ bên Khẳng định sau ? A a 0, b 0, c B a 0, b 0, c C a 0, b 0, c D a 0, b 0, c Câu 33: Cho hàm số y ax3 bx cx d d có bảng biến x f ' x thiên hình vẽ bên Khẳng định sau ? A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận B Hàm số có cực trị C Hàm số có cực trị D Hàm số không đạt cực trị x 2 Tài liệu nội + f x 3 x f ' x + -2 d c 2 1 2 3 2 x y' y 3 2 thiên hình vẽ bên Khẳng định sau f x ? A a 0, b 0, c B a 0, b 0, c C a 0, b 0, c D a 0, b 0, c x ax b Câu 34: Cho hàm số y có bảng cx d biến thiên hình vẽ bên Khẳng định y' sau ? y A Hàm số có giá trị lớn y B ad bc C ad bc D Đồ thị hàm số có tiệm cận x Câu 35: Cho hàm số y f x có bảng biến y ' thiên hình vẽ bên Khẳng định sau y ? A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận B Hàm số có giá trị lớn y C Hàm số có giá trị nhỏ y 3 D Đồ thị hàm số không cắt tiệm cận ngang y 2 Câu 36: Cho hàm số y f x có bảng biến 0 + 4 2 4 446 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau ? A Hàm số có cực trị B Hàm số có cực trị C Hàm số y f x x có cực trị Câu 37: y x D Hàm số y f x có cực trị Câu 38: Cho hàm số y f ( x) Đồ thị hàm số y f ( x) hình bên Đặt h( x) f ( x) x Mệnh đề ? A h(4) h(2) h(2) B h(4) h(2) h(2) C h(2) h(4) h( 2) D h(2) h(2) h(4) Cho hàm số y f ( x) Đồ thị y f ( x) hình bên Đặt g ( x) f ( x) x Mệnh đề ? A g (3) g (3) g (1) B g (1) g (3) g (3) C g (1) g (3) g (3) D g (3) g (3) g (1) Câu 39: hàm số Cho hàm số y f ( x) Đồ thị y f '( x) hình bên Đặt g ( x) f ( x) ( x 1) Mệnh đề ? A g (1) g (3) g (3) B g (1) g ( 3) g (3) C g (3) g (3) g (1) D g (3) g (3) g (1) Câu 40: hàm số Tài liệu nội 447 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 41: Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Tìm m để phương trình f x 2m có nghiệm phân biệt ? 11 1 A m 2 B 12 m 12 1 C m 2 11 1 D m 2 Câu 42: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ bên Phương trình f x 2m có nghiệm phân biệt A 2 m 1 B 1 m C 1 m D m Câu 43: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ bên Phương trình f x m có nghiệm ? x y' y 1 2 4 A m 1;1 \ 0 2 B m 1;1 3 1 2 x y' y 4 C m 2; \ 0 D m 1; \ 0 Cho hàm số y f ' x có bảng biến thiên hình vẽ bên Số cực trị hàm số y f x ? Câu 44: A B C Câu 45: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ bên Phương trình f x có số nghiệm là? A B C D Tài liệu nội x y' y 1 1 2 2 x y' y 3 3 448 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Cho hàm số y f ' x có bảng biến thiên hình vẽ bên Số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x là? Câu 46: A B C D Câu 47: x y' y 1 3 Cho hàm số y f ' x có bảng biến thiên hình vẽ bên Số điểm cực trị đồ thị x3 hàm số y f x ? A B C D Câu 48: Cho hàm số y f ' x có bảng biến thiên hình vẽ bên Số điểm cực trị đồ thị x2 hàm số y f x ? A B C x y' y 1 4 3 4 x y' y 0 2 3 Câu 49: (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Cho hàm số y f x xác định, liên tục đoạn 2; ; f x 3, x 0;1 có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A Nếu x 0;1 f ' x B Nếu x 2; f ' x C Nếu x 2; f ' x D Nếu x 0; f ' x Câu 50: (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Cho hàm số y f x xác định liên tục đoạn 2; có đồ thị đường cong hình vẽ bên Tất giá trị tham số m để phương trình f x m có nghiệm phân biệt là: Tài liệu nội 449 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B m 2; A m 2; C m 2;3 D m 2; Câu 51: (Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh năm 2017) Cho hàm số y f x liên tục đoạn 2; có đồ thị đoạn 2; sau A max f x f 2;2 B f x f 1 2;2 C f x f 2;2 D max f x f 2 2;2 Câu 52: (Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh năm 2017) Cho hàm số y f x 4ax bx cx d có bảng biến thiên sau x y' y + 0 0 - + x4 1 A m B m C m D m 2 Câu 53: (Trường THPT Đức Thọ năm 2017) Cho hàm số y f x xác định liên tục tập Khi phương trình f x m có bốn nghiệm x1 x2 x3 D \ 1 có bảng biến thiên: x -1 y' + y -2 Dựa vào bảng biến thiên hàm số y f x Khẳng định sau khẳng định sai? A Giá trị nhỏ hàm số đoạn 1;8 -2 B Phương trình f x m có nghiệm thực phân biệt m 2 Tài liệu nội 450 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 C Hàm số đạt cực tiểu x D Hàm số nghịch biến khoảng ;3 (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Cho hàm số y f x xác định Câu 54: 0; , liên tục khoảng 0; có bảng biến thiên sau x y' + y - - -3 -4 Tìm tập hợp tất giá trị tham số m cho phương trình f x m có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 0; x2 2; A 4; 3 B 3; C 3; 2 D 4; Câu 55: (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Tìm tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số y f x m có điểm cực trị A m C m 1 B m 1 D m Câu 56: (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Cho hàm số y f x xác định, liên tục đoạn 3;3 có đồ thị đường cong hình vẽ bên Mệnh đề đoạn 3;3 ? A Hàm số y f x đạt giá trị lớn x B Hàm số y f x đạt cực tiểu điểm x 2 C Hàm số y f x nghịch biến khoảng 1; D Hàm số y f x nghịch biến khoảng 1;3 Tài liệu nội 451 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu BT LÀM THÊM (THAM KHẢO STRONG VD – VDC) Cho hàm số f ( x ) ax bx cx a có bảng biến thiên sau: x f ' x + + 85 27 f x Xác định dấu hệ số a, b, c ? A a 0, b 0, c C a 0.b 0, c Câu B a 0, b 0, c D a 0, b 0, c Cho hàm số y f x ax bx cx d a có bảng biến thiên sau: x f ' x 2 + + 2c f x a Tìm S a b c d A B C 1 Câu Cho hàm số y ax bx cx d a có bảng biến thiên sau: Tính S a b A S Câu S 1 B S 2 D C S D Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị hình vẽ Tài liệu nội 452 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Mệnh đề sau đúng? A a 0, b 0, c 0, d C a 0, b 0, c 0, d Câu B a 0, b 0, c 0, d D a 0, b 0, c 0, d Cho hàm số y ax bx cx d a, b, c, d R có đồ thị hình Tính tổng S a2 b2 c2 d A 16 B 25 C 10 D 26 Câu Cho hàm số f x ax bx cx d a, b, c, d R có bảng biến thiên sau Xác định dấu a, b, d A a 0, b 0, d C a 0, b 0, d Tài liệu nội B a 0, b 0, d D a 0, b 0, d 453 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu Cho hàm số y ax3 bx cx d (a 0) đồng biến Giá trị nhỏ biểu thức P a c b 3 3 B C D 4 8 Cho hàm số y ax bx Tìm điều kiện a; b để hàm số có bảng biến thiên sau: A Câu a 0; b C a 0; b Câu Cho hàm số y ax bx cx d có bảng biến thiên sau A a 0; b B a 0; b Mệnh đề đúng? A b 0, c B b 0, c C b 0, c D a 0; b D b 0, c Câu 10 Cho hàm số y 2 x bx cx d có đồ thị hình y O Khẳng định sau đúng? A bcd 144 B c b d x C b c d D b d c Câu 11: Cho hàm số y ax bx cx d có đồ thị đường cong hình vẽ Mệnh đề đúng? Tài liệu nội 454 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A a 0, b 0, c 0, d C a 0, b 0, c 0, d B a 0, b 0, c 0, d D a 0, b 0, c 0, d Câu 12 Cho hàm số y ax3 bx cx d có đồ thị hình Trong giá trị a , b , c , d có giá trị âm? A B Câu 13 Hàm số y f x Biết f 1 A C D x ax bx c có đồ thị cho hình vẽ f x , x Hỏi hệ số a , b , c có số dương? B C D Câu 14 Hàm số y f x x3 ax bx c có bảng biến thiên cho hình vẽ Hỏi có số âm hệ số a , b , c ? A B C D Câu 15 Cho hàm số y ax x cx d có đồ thị C với a, c, d có bảng biến thiên hình vẽ Biết C cắt trục tung điểm có tung độ a 3a 6a Hỏi có giá trị a thỏa mãn Tài liệu nội 455 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A Câu 16 Cho hàm số f x ax cx g x f x có đồ thị hình vẽ Biết diện tích miền tơ đậm 2, với a c số nguyên Tính giá trị a c ? A B C D Câu 17 Cho hàm số f x ax bx cx d a Biết đồ thị hàm số y f x hình vẽ Khẳng định sau sai? A 3a 2b c B a b D 9a c C 3b 2c Câu 18 Cho hàm số f x ax bx c a có bảng biến thiên hình vẽ Tính giá trị T 2a b 3c x f x f x 2 0 Tài liệu nội 3 A B 3 C D 456 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 2 Câu 19 Cho hàm số f x m 1 x mx m 1 m 1 có bảng biến thiên hình vẽ Tính giá trị T m 2a x 1 f x f x 0 a A 6 a B C D Câu 20 Cho hàm số y ax bx c a có bảng biến thiên sau: x y 1 0 y Mệnh đề sau A ac B ac C ab D abc Câu 21 Cho hàm số y ax bx c a có đồ thị hình vẽ Trong số a, b, c có số âm? A.0 B C.2 Câu 22 Cho hàm số y ax bx c a có đồ thị hình vẽ Trong số a , b c có số dương? A B C Tài liệu nội D D 457 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 23 Cho hàm số f ( x ) ax bx a b 2020c a có đồ thị C có bảng biến thiên sau: Biết đồ thị C cắt đường thẳng y hai điểm phân biệt có hồnh độ x Trong số a , b c có số dương? B A C D Câu 24 Cho hàm số f x ax bx c a, b, c có bảng biến thiên sau: Trong số a, b c có số dương? A C B D Câu 25 Cho hàm số f x ax bx c a, b, c có bảng biến thiên sau: Trong số a, b c có số dương? A C B D Câu 26 Cho hàm số y f x ax bx c 2b có bảng biến thiên hình vẽ sau Giá trị lớn hàm f x đoạn 0;1 Khẳng định với giá trị 3a b c ? A 3a b c Tài liệu nội B 3a b c C 3a b c 1 458 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 D 3a b c Câu 27 Cho hàm số y ax bx a 2020b 2021c có đồ thị hình vẽ Trong số a, b, c có số dương ? A B C D Câu 28 Cho hàm số y ax bx c có đồ thị hình vẽ Tìm giá trị nhỏ biểu thức M a2 b2 c A M 18 B M C M 20 D M 24 Câu 29 Đồ thị hàm số C : y ax bx c a 0 cắt trục hoành điểm A, B, C , D phân biệt hình vẽ Biết AB BC CD , mệnh đề sau đúng? A a 0, b 0, c 0,100b 9ac B a 0, b 0, c 0, 9b 100ac C a 0, b 0, c 0,9b2 100ac Tài liệu nội D a 0, b 0, c 0,100b 9ac 459 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 30 Biết hàm số y f x ax bx c có đồ thị đường cong hình vẽ Giá trị f a b c A B C D Câu 31 Cho hàm số y f x ax bx c có bảng biến thiên hình vẽ: Số nghiệm phương trình f x 3a 2b c A B C D Câu 32 Cho hàm số f x mx m m x m m có bảng biến thiên sau: Hỏi có giá trị nguyên m ? A B C D Câu 33 Cho hàm số y ax bx 1 a, b có đồ thị hình vẽ bên AB CD BC Gọi M a; b quỹ tích M Tài liệu nội 460 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 y A B C D O A Parabol P : x 25 y (Trừ gốc tọa độ) C Đồ thị C : y Câu 34 Cho hàm số y x (Trừ gốc tọa độ) P : y D Đồ thị C : y x (Trừ gốc tọa độ) 25 x (Trừ gốc tọa độ) a x 1 có bảng biến thiên sau b x c Mệnh đề đúng? A a 0, b 0, c B a 0, b 0, c a x b Câu 35 Cho hàm số y có bảng biến thiên sau x c Mệnh đề đúng? A a 0, b 0, c Câu 36 Cho hàm số f x Tài liệu nội B Parabol x B a 0, b 0, c C a 0, b 0, c D a 0, b 0, c C a 0, b 0, c D a 0, b 0, c ax a, b, c có bảng biến thiên sau: bx c 461 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Trong số a , b c có số âm? B A C Câu 37 Hình vẽ đồ thị hàm số y D ax +b ad bc Mệnh đề sau đúng? cx d y O ac A bd x ac B bc ad ab C D bc cd xa Câu 38 Đường cong hình đồ thị hàm số y , ( a , b, c ) Trong số bx c c có số dương? A B Câu 39 Cho hàm số y Tài liệu nội D ax (a, b, c ) có bảng biến thiên sau: bx c Trong số A C a, b c có số âm? B C a, b D 462 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 40 Cho hàm số y T b3 ax b có bảng biến thiên hình vẽ Giá trị lớn biểu thức x c 9ab2 c c A Câu 41 Cho hàm số y B 29 C D ax b có bảng biến thiên hình vẽ Trong số a, b, c, d có cx d số dương? A Câu 42 Cho hàm số f x Tài liệu nội B C D ax 2020 a , b, c có bảng biến thiên sau: bx c 463 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Gọi T tập hợp số nguyên b 2020; 2020 thỏa mãn hàm số cho Khi tổng phần tử tập hợp T có giá trị bằng: A B 1 Câu 43 Cho hàm số y C 2019 D ax b ( c ad bc ) có đồ thị hình vẽ cx d Tìm khẳng định khẳng định sau: A ad 0, ab Câu 44 Cho hàm số y B bd 0, ad C ad 0, ab D ab 0, ad 8x b ( b, d số nguyên, b ) có đồ thị hình vẽ đây: 4x d Biết m 3b d Khi đó: A m 2;10 Câu 45 Cho hàm số f x Tài liệu nội B m 20; 10 C m 30; 20 D m 9; 20 ax b a, b, c có đồ thị hình vẽ cx 464 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Gọi S tập nghiệm phương trình a t 2abt b ac t bc Số phần tử tập S thuộc khoảng 2; ? A B C D ax b Câu 46 Cho hàm số f x , a, b, c có đồ thị hình vẽ cx Giá trị biểu thức sau S log abc 2b log bc abc f 1 thuộc khoảng nào? A 3;5 Câu 47 Cho hàm số f x B 4;5 C 6;7 D 5;6 ax b , a, b, c có bảng biến thiên sau cx Trong số a, b c có số dương? Tài liệu nội 465 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A B C D ax b Câu 48 Cho hàm số y f x a, b, c, d có bảng biến thiên sau: cx d Biết f f 1 số nguyên dương Tính f 2020 ? A 4036 2019 Câu 49 Cho hàm số f x B 4044 2019 C 4039 2019 D 4041 2019 ax b có đồ thị hình vẽ cx d Biết f 1 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f f x điểm có hồnh độ x là? x 51 x x 31 x 15 A y B y C y D y 64 32 64 32 ax b Câu 50 Cho hàm số f x a , d , b * , c * có đồ thị hình vẽ cx d Biết f 1 f 3 đạt giá trị nhỏ Tài liệu nội b tối giản Tính f 2020 ? c 466 Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A f 2020 6737 3364 B f 2020 6735 3364 C f 2020 6736 6738 D f 2020 3365 3365 BẢNG ĐÁP ÁN – BT LÀM THÊM B 11 D 21 C 31 B 41 C A 11 A 21 C 31.C 41.A 51.B B 12 A 22 C 32 C 42 B C 12 A 22B 32.A 42.B 52.A Tài liệu nội B 13 C 23 C 33 D 43 C A 13 C 23 A 33.A 43.A 53.D A 14 A 24 C 34 C 44 D D 15 C 25 B 35 B 45 C D 16 B 26 B 36 A 46 D D 17 C 27 A 37 B 47 B C 18 A 28 A 38 B 48 A ĐÁP ÁN 56 CÂU RÈN LUYỆN A D A B 14 C 15 C 16 A 17 B 24 B 25 C 26 B 27 A 34.B 35.A 36.B 37.C 44.D 45.D 46.A 47.B 54.C 55.C 56.B C 19 B 29 C 39 A 49 D A 18 B 28.A 38.C 48.B 10 C 20 A 30 C 40 D 50 D C 19 A 29.A 39.B 49 10 A 20 B 30.A 40.A 50.D 467