Chuyên đề tính đơn điệu của đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ § TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ   Từ đồ thị hình hình bên dưới, khoảng tăng, giảm hàm số y = cos x  π 3π  đoạn  − ;  hàm số y = x khoảng ( −∞; +∞) ?  2  y π − O −1 y (Hình π y= x y = cos x π (Hình 3π x −1 O x Định nghĩa • Hàm số y = f ( x) gọi đồng biến miền D ⇔ ∀x1 , x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến miền D ⇔ ∀x1 , x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Định lý Giả sử y = f ( x) có đạo hàm khoảng ( a; b), thì: • Nếu f ′( x) > 0, ∀x ∈ ( a; b) ⇒ hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( a; b) Nếu f ′( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b) ⇒ hàm số f ( x) nghịch biến khoảng ( a; b) • Nếu f ( x) đồng biến khoảng ( a; b) ⇒ f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b) Nếu f ( x) nghịch biến khoảng ( a; b) ⇒ f ′( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( a; b) Khoảng ( a; b) gọi chung khoảng đơn điệu hàm số • Lưu ý: + Nếu f ′( x)= 0, ∀x ∈ ( a; b) f ( x) khơng đổi ( a; b) + Nếu thay đổi khoảng ( a; b) đoạn nửa khoảng phải bổ sung thêm giả thiết hàm số xác định liên tục đoạn nửa khoảng BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x +1 Khẳng định khẳng đinh đúng? Câu Cho hàm số y = 1− x A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) Câu − x3 + x − x + Khẳng định sau khẳng định đúng? Cho hàm số y = A Hàm số nghịch biến  B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; +∞ ) Câu D Hàm số đồng biến  Cho hàm số y = − x + x + 10 khoảng sau: Trang 1/16 (I): Câu ( −∞; − ) ; (II): (− ) 2;0 ; (III): ( 0; ) ; Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? A Chỉ (I) B (I) (II) C (II) (III) D (I) (III) 3x − Khẳng định sau khẳng định đúng? Cho hàm số y = −4 + x A Hàm số nghịch biến  B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) ( 2; +∞ ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − ) ( −2; +∞ ) Câu Câu Hỏi hàm số sau nghịch biến  ? A h( x) =x − x + B g ( x) =x3 + x + 10 x + 4 C f ( x) = D k ( x) =x3 + 10 x − cos x − x5 + x3 − x x − 3x + Hỏi hàm số y = nghịch biến khoảng ? x +1 A (−∞; −4) (2; +∞) B ( −4; ) C ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) Câu Hỏi hàm số y = A (5; +∞) Câu Câu D ( −4; −1) ( −1; ) x3 − x + x − nghịch biến khoảng nào? B ( 2;3) C ( −∞;1) D (1;5 ) x − x + x3 − đồng biến khoảng nào? A (−∞;0) B  C (0; 2) D (2; +∞) Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d Hỏi hàm số đồng biến  nào? Hỏi hàm số y =  a= b= 0, c >  a= b= 0, c > A  B  2  a > 0; b − 3ac ≥  a > 0; b − 3ac ≤  a= b= 0, c >  a= b= c= C  D  2  a < 0; b − 3ac ≤  a < 0; b − 3ac < Câu 10 Cho hàm số y = x3 + x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) B Hàm số đồng biến  C Hàm số đồng biến ( −9; −5 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) = y Câu 11 Cho hàm số x − x Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến khoảng ( 0;2 ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;3) x Câu 12 Cho hàm số y = + sin x, x ∈ [0; π ] Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào?  7π   11π  A  0; ;π     12   12   7π 11π B  ;  12 12    Trang 2/16  7π 11π   11π   7π   7π 11π  C  0; D  ; ; ;π        12   12 12   12 12   12  Câu 13 Cho hàm số y= x + cos x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến  π π    B Hàm số đồng biến  + kπ ; +∞  nghịch biến khoảng  −∞; + kπ  4    π π    C Hàm số nghịch biến  + kπ ; +∞  đồng biến khoảng  −∞; + kπ    4  D Hàm số nghịch biến  Câu 14 Cho hàm số sau: x −1 (III)= :y x2 + ; (I) : y = x − x + 3x + ; (II) : y = x +1 (V) : y = x + x + (IV) : y = x + x − sin x ; Có hàm số đồng biến khoảng mà xác định? A B C D Câu 15 Cho hàm số sau: (II)= : y sin x − x ; (I) : y = − x3 + 3x − 3x + ; x−2 (III) : y = − x3 + ; (IV) : y = 1− x Hỏi hàm số nghịch biến toàn trục số? A (I), (II) B (I), (II) (III) C (I), (II) (IV) D (II), (III) Câu 16 Xét mệnh đề sau: −( x − 1)3 nghịch biến  (I) Hàm số y = x (II) Hàm số y= ln( x − 1) − đồng biến tập xác định x −1 x (III) Hàm số y = đồng biến  x2 + Hỏi có mệnh đề đúng? A B C D Câu 17 Cho hàm số y =x + ( x − ) Khẳng định sau khẳng định sai? 1  A Hàm số nghịch biến khoảng  −1;   2 B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) 1  C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1)  ; +∞  2  1  1  D Hàm số nghịch biến khoảng  −1;  đồng biến khoảng  ; +∞   2 2  Câu 18 Cho hàm số y = x + + 2 − x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) đồng biến khoảng ( −2; ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) nghịch biến khoảng ( −2; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) đồng biến khoảng (1; )  π π Câu 19 Cho hàm số= y cos x + sin x.tan x, ∀x ∈  − ;  Khẳng định sau khẳng định  2 đúng? Trang 3/16  π π A Hàm số giảm  − ;   2  π π B Hàm số tăng  − ;   2  π π C Hàm số không đổi  − ;   2 D Hàm số giảm Câu 20 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x−m+2 giảm khoảng x +1 mà xác định ? B m ≤ −3 C m ≤ D m < A m < −3 Câu 21 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sau nghịch biến y= − x − mx + (2m − 3) x − m + A −3 ≤ m ≤ B m ≤ C −3 < m < Câu 22 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = ? D m ≤ −3; m ≥ x − (m + 1) + 2m − tăng x−m khoảng xác định nó? A m > B m ≤ C m < D m ≥ Câu 23 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y= f ( x)= x + m cos x đồng biến  ? C m ≥ D m < 2 Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = (m − 3) x − (2m + 1) cos x A m ≤ B m > nghịch biến  ? m > B m ≥ C  D m ≤ m ≠ Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sau đồng biến  ? A −4 ≤ m ≤ y = x3 − 3(m + 2) x + 6(m + 1) x − 3m + A B –1 C Câu 26 Tìm giá trị nhỏ tham số m cho hàm số y = ? A m = −5 D x + mx − mx − m đồng biến B m = C m = −1 D m = −6 (m + 3) x − Câu 27 Tìm số nguyên m nhỏ cho hàm số y = nghịch biến khoảng x+m xác định nó? A m = −1 B m = −2 C m = D Khơng có m mx + Câu 28 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = giảm khoảng x+m ( −∞;1) ? A −2 < m < B −2 ≤ m ≤ −1 C −2 < m ≤ −1 D −2 ≤ m ≤ Câu 29 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x − x + mx + đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ? A m ≤ B m ≤ 12 C m ≥ D m ≥ 12 Trang 4/16 Câu 30 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x − 2(m − 1) x + m − đồng biến khoảng (1;3) ? A m ∈ [ −5; ) B m ∈ ( −∞; 2] C m ∈ ( 2, +∞ ) Câu 31 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = nghịch biến đoạn có độ dài 3? A m = B m = −1 −1; m = D m ∈ ( −∞; −5 ) x − mx + mx − 3m + C m = D m = 1; m = −9 tan x − Câu 32 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = đồng biến khoảng tan x − m  π  0;  ?   A ≤ m < B m ≤ 0;1 ≤ m < C m ≥ D m ≤ Câu 33 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y= f ( x)= mx3 + mx + 14 x − m + giảm nửa khoảng [1; +∞) ? 14  14  14      14  A  −∞; −  B  −∞; −  C  −2; −  D  − ; +∞  15  15  15      15  Câu 34 Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = − x + (2m − 3) x + m nghịch biến  p p khoảng (1; )  −∞;  , phân số tối giản q > Hỏi tổng p + q là? q q  A B C D x − 2mx + m + Câu 35 Hỏi có giá trị nguyên tham số m cho hàm số y = đồng x−m biến khoảng xác định nó? A Hai B Bốn C Vơ số D Khơng có Câu 36 Hỏi có giá trị nguyên dương tham số m cho hàm số x + (1 − m) x + + m đồng biến khoảng (1; +∞) ? x−m A B C D Câu 37 Tìm tất giá trị thực tham số α β y= y = f ( x) = π cho hàm số − x3 + (sin α + cosα )x − x sin α cosα − β − giảm  ? 2 π + kπ , k ∈  β ≥ π 5π B + kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈  β ≥ 12 12 A 12 + kπ ≤ α ≤ π + kπ , k ∈  β ≥ 5π D α ≥ + kπ , k ∈  β ≥ 12 Câu 38 Tìm mối liên hệ tham số a b cho hàm số y = f ( x) =+ x a sin x + bcosx C α ≤ tăng  ? A 1 + = a b B a + 2b = C a + b ≤ D a + 2b ≥ 1+ Trang 5/16 Câu 39 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x3 − x − x − m = có nghiệm? B m < −5 m > 27 A −27 ≤ m ≤ C m < −27 m > D −5 ≤ m ≤ 27 Câu 40 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + = x + m có nghiệm thực? A m ≥ B m ≤ C m ≥ D m ≤ Câu 41 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình nghiệm dương? x − x + = m + x − x có A ≤ m ≤ B −3 < m < C − < m < D −3 ≤ m < Câu 42 Tìm tất giá trị thực tham số m cho nghiệm bất phương trình: x − x + ≤ nghiệm bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ? A m ≤ −1 Câu 43 Tìm tất B m ≤ − giá trị thực C m ≥ − tham số D m ≥ −1 m cho phương trình: log 32 x + log 32 x + − 2m − =0 có nghiệm đoạn 1;3  ?   A −1 ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D −1 ≤ m ≤ Câu 44 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + mx + = x + có hai nghiệm thực? B m ≥ C m ≥ D ∀m ∈  A m ≥ − 2 Câu 45 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x − + m x += x − có hai nghiệm thực? 1 1 A ≤ m < B −1 ≤ m ≤ C −2 < m ≤ D ≤ m < 3 Câu 46 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình   (1 + x)(3 − x) > m + x − x − nghiệm với x ∈  − ;3 ?   A m > B m > C m < D m < Câu 47 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình ( ) + x + − x − (1 + x)(3 − x) ≥ m nghiệm với x ∈ [ − 1;3] ? A m ≤ Câu 48 Tìm tất B m ≥ giá trị thực C m ≥ − D m ≤ − tham số m cho bất phương trình + x + − x − 18 + x − x ≤ m − m + nghiệm ∀x ∈ [ −3, 6] ? A m ≥ −1 C ≤ m ≤ Câu 49 Tìm tất giá trị thực B −1 ≤ m ≤ D m ≤ −1 m ≥ tham số m cho bất phương trình m.4 x + ( m − 1) x + + m − > nghiệm ∀x ∈  ? A m ≤ B m ≥ C −1 ≤ m ≤ D m ≥ Câu 50 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: − x + 3mx − < − nghiệm ∀x ≥ ? 2 A m < B m ≥ 3 C m ≥ x3 D − ≤ m ≤ Trang 6/16 2 Câu 51 Tìm giá trị lớn tham số m cho bất phương trình 2cos x + 3sin x ≥ m.3cos nghiệm? B m = C m = 12 D m = 16 A m = x có x + x + x + 16 − − x ≥ có tập nghiệm [ a; b ] Hỏi tổng a + b Câu 52 Bất phương trình có giá trị bao nhiêu? A −2 B C D C D −1 x − x + − x − x + 11 > − x − x − có tập nghiệm ( a; b ] Hỏi hiệu Câu 53 Bất phương trình 2 b − a có giá trị bao nhiêu? A B A ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D B C D D B A B B A A C A A B C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B A A A C D C D B A B B C C D B C C B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 B C B C D D D D B A A C A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn D TXĐ: D =  \ {1} Ta có = y' > 0, ∀x ≠ (1 − x) Hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) (1; +∞) Câu Chọn A TXĐ: D =  Ta có y ' =−3 x + x − =−3( x − 1) ≤ , ∀x ∈  Câu Chọn D x = TXĐ: D =  y ' = −4 x + x = x(2 − x ) Giải y =' ⇔  x = ± ( ) ( ) Trên khoảng −∞; − 0; , y ' > nên hàm số đồng biến Câu Chọn B TXĐ: D =  \ {2} Ta có y ' =− 10 < 0, ∀x ∈ D (−4 + x) Câu Chọn C Câu Ta có: f '( x) =−4 x + x − =−(2 x − 1) ≤ 0, ∀x ∈  Chọn D x = x2 + 2x − Giải y ' = ⇒ x + x − = ⇒  ( x + 1)  x = −4 y ' không xác định x = −1 Bảng biến thiên: x −∞ −4 −1 +∞ 0 y′ – – + + −11 +∞ +∞ y TXĐ:= D  \ {−1} y ' = −∞ −∞ Trang 7/16 Hàm số nghịch biến khoảng ( −4; −1) ( −1; ) Câu Chọn D x = TXĐ: D =  y ' = x − x + = ⇔  x = Trên khoảng (1;5 ) , y ' < nên hàm số nghịch biến Câu Chọn B TXĐ: D =  y=' x − 12 x + 12 x= x ( x − 2) ≥ , ∀x ∈  Câu Chọn A  a= b= 0, c > = y ' 3ax + 2bx + c ≥ 0, ∀x ∈  ⇔   a > 0; b − 3ac ≤ Câu 10 Chọn B TXĐ: D =  Do y '= x + x − 9= 3( x − 1)( x + 3) nên hàm số không đồng biến  Câu 11 Chọn B HSXĐ: x − x3 ≥ ⇔ x ≤ suy D = (−∞;3] y ' = x = Giải y=' ⇒  y ' không xác định x = Bảng biến thiên: x −∞ y′ || + − +∞ y x − 3x 2 3x − x3 , ∀x ∈ ( −∞;3) x =  x = 2 − || Hàm số nghịch biến (−∞;0) (2;3) Hàm số đồng biến (0; 2) Câu 12 Chọn A π  x= − + kπ  1 12 TXĐ: D =  y=' , (k ∈ ) + sin x Giải y ' = ⇔ sin x = − ⇔ 7π 2 = x + kπ  12 11π 7π Vì x ∈ [ 0; π ] nên có giá trị x = x = thỏa mãn điều kiện 12 12 Bảng biến thiên: 7π 11π x π 12 12 y′ || 0 + + − || y  7π   11π  Hàm số đồng biến  0; ;π      12   12 Câu 13 Chọn A TXĐ: D =  ; y′ = − sin x ≥ ∀x ∈  suy hàm số đồng biến  Câu 14 Chọn C (I): y′ = x − x + 3= ( x − 1) + > 0, ∀x ∈  Trang 8/16 ′ x  x − ′ = y′  = > 0, ∀x ≠ −1 (II): (III): y′= x2 + =   x +  ( x + 1) x2 + (IV): y=′ x + − cos x > 0, ∀x ∈  (V): y′ = x3 + x = x(2 x + 1) Câu 15 Chọn A (I): y ' =(− x + x − x + 1) ' =−3 x + x − =−3( x − 1) ≤ 0, ∀x ∈  ; (II):= y ' (sin x − x= ) ' cos x − < 0, ∀x ∈  ; ) ( ( (III) y′ = − ) ′ 3x x +2 = − ( x +2  x − ′  x − ′ (IV) y ' = < 0, ∀x ≠  =  =− (1 − x)  1− x   −x +1 Câu 16 Chọn A ( ) ≤ 0, ∀x ∈ − 2; +∞ ; ) ′ (I) y′ =−( x − 1)3 = −3( x − 1) ≤ 0, ∀x ∈  x ′  (II) = y′  ln( x − 1) − =  x −1   x ( x − 1)2  x  x + − x    x +1   = x2 + ) ( ′ x + − x x + (III) y′ = = x2 + Câu 17 Chọn B  x − y′ =  −2 x + x ( ) x2 + x2 + > 0, ∀x ∈  x ≥ −1 ; y′ = ⇔ x = x < −1 −1 −∞ y′ > 0, ∀x > + || − +∞ + y Câu 18 Chọn C − x −1 , ∀x ∈ ( −∞; ) 2− x Giải y′ =0 ⇒ − x =1 ⇒ x =1 ; y ' không xác định x = Bảng biến thiên: x −∞ y′ + − y −∞ TXĐ: D = Ta có y′ ( −∞; 2] = || Câu 19 Chọn C  π π Xét khoảng  − ;   2 cos x.cos x + sin x.sin x Ta có: y =cos x + sin x.tan x = =1 ⇒ y′ =0 cos x Trang 9/16  π π Hàm số không đổi  − ;   2 Câu 20 Chọn D Tập xác định:= D  \ {−1} Ta có y′ = m −1 ( x + 1)2 Để hàm số giảm khoảng mà xác định ⇔ y′ < 0, ∀x ≠ −1 ⇔ m < Câu 21 Chọn A − x − 2mx + 2m − Để hàm số nghịch biến  Tập xác định: D =  Ta có y′ = −1 < (hn)  a y′ < ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ y′ ≤ 0, ∀x ∈  ⇔  ′ ∆ ≤ m + m − ≤    Câu 22 Chọn B x − 2mx + m − m + ( x − m) Để hàm số tăng khoảng xác định Tập xác định: D =  \ {m} Ta có y′ = 1 ≥ (hn) ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ x − 2mx + m − m + ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔  ⇔ m ≤1 m − ≤ Câu 23 Chọn A Tập xác định: D =  Ta có y′ = − m sin x Hàm số đồng biến  ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ m sin x ≤ 1, ∀x ∈  Trường hợp 1: m = ta có ≤ 1, ∀x ∈  Vậy hàm số đồng biến  1 Trường hợp 2: m > ta có sin x ≤ , ∀x ∈  ⇔ ≥ ⇔ m ≤ m m 1 Trường hợp 3: m < ta có sin x ≥ , ∀x ∈  ⇔ ≤ −1 ⇔ m ≥ −1 m m Vậy m ≤ Câu 24 Chọn A Tập xác định: D =  Ta có: y ' = m − + (2m + 1) sin x Hàm số nghịch biến  ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈  ⇔ (2m + 1) sin x ≤ − m, ∀x ∈  ta có Vậy hàm số ln nghịch biến  3− m 3− m Trường hợp 2: m < − ta có sin x ≥ ≤ −1 , ∀x ∈  ⇔ 2m + 2m + ⇔ − m ≥ −2m − ⇔ m ≥ −4 Trường hợp 3: m > − ta có: 2 3− m 3− m  sin x ≤ , ∀x ∈  ⇔ ≥ ⇔ − m ≥ 2m + ⇔ m ≤ Vậy m ∈  −4;  3 2m + 2m +  Câu 25 Chọn A x = Tính nhanh, ta có f ′( x) = ⇔ x − ( m + ) x + ( m + 1) = ⇔   x= m + Phương trình f ′( x) = có nghiệm kép m = , suy hàm số đồng biến  Trường hợp m ≠ , phương trình f ′( x) = có hai nghiệm phân biệt (khơng thỏa u cầu toán) Câu 26 Chọn C Tập xác định: D =  Ta có y′ =x + 2mx − m Trường hợp 1: m = − Trang 10/16 1 > (hn) ⇔ −1 ≤ m ≤ Hàm số đồng biến  ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈  ⇔  m + m ≤ Vậy giá trị nhỏ m để hàm số đồng biến  m = −1 Câu 27 Chọn D Tập xác định:= D  \ {−m} Ta có y′ = m + 3m + ( x + m )2 Yêu cầu đề ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m + 3m + < ⇔ −2 < m < −1 Vậy khơng có số ngun m thuộc khoảng ( −2; −1) Câu 28 Chọn C Tập xác định= D  \ {−m} Ta có y′ = m2 − ( x + m )2 Để hàm số giảm khoảng ( −∞;1) m − < ⇔ −2 < m ≤ −1 ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ ( −∞;1) ⇔  1 ≤ −m Câu 29 Chọn D Cách 1:Tập xác định: D =  Ta có y′ = x − 12 x + m • Trường hợp 1: 3 > (hn) Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈  ⇔  ⇔ m ≥ 12 36 − 3m ≤ • Trường hợp 2: Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ y′ = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 < x2 ≤ (*)  Trường hợp 2.1: y′ = có nghiệm x = suy m = Nghiệm lại y′ = x = (không thỏa (*))  Trường hợp 2.2: y′ = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa  36 − 3m >  ∆′ >   x1 < x2 < ⇔  S < ⇔ 4 < 0(vl ) ⇒ khơng có m Vậy m ≥ 12 m  P >  >0 3 x g ( x), ∀x ∈ (0; +∞) Cách 2:Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ m ≥ 12 x −= Lập bảng biến thiên g ( x) ( 0; +∞ ) x + g′ g +∞ – 12 –∞ Câu 30 Chọn B Tập xác định D =  Ta có y ' = x3 − 4(m − 1) x Hàm số đồng biến (1;3) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;3) ⇔ g ( x)= x + ≥ m, ∀x ∈ (1;3) Lập bảng biến thiên g ( x) (1;3) x + g′ Trang 11/16 10 g Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ g ( x) ⇔ m ≤ Câu 31 Chọn A Tập xác định: D =  Ta có y′ = x − mx + 2m Ta không xét trường hợp y′ ≤ 0, ∀x ∈  a = > 0 có nghiệm x1 , x2 thỏa Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ y′ = ∆ > ⇔ m − 8m > m > hay m <  m = −1 ⇔ ⇔ x1 − x2 =3 ⇔  2 m = m − 8m = ( x1 − x2 ) =9 ⇔ S − P =9 Câu 32 Chọn B +) Điều kiện Điều kiện cần để hàm số đồng biến +) +) Ta thấy: ≤ m < +) Để hs đồng biến Câu 33 Chọn B Tập xác định D =  , yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình −14 mx + 14mx + 14 ≤ 0, ∀x ≥ , tương đương với = g ( x) ≥ m (1) x + 14 x Dễ dàng có g ( x) hàm tăng ∀x ∈ [1; +∞ ) , suy g ( x) = g (1) = − x ≥1 Kết luận: (1) ⇔ g ( x) ≥ m ⇔ − x ≥1 Câu 34 Chọn C 14 ≥m 15 14 15 Tập xác định D =  Ta có y′ = −4 x3 + 2(2m − 3) x Hàm số nghịch biến (1; 2) ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ m ≤ x += g ( x), ∀x ∈ (1; 2) Lập bảng biến thiên g ( x) (1; 2) g ′( x) = x = ⇔ x = Bảng biến thiên x + g′ 11 g Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ g ( x) ⇔ m ≤ Câu 35 Chọn C Vậy p + q = + = x − 2mx + 2m − m − g ( x) = ( x − m) ( x − m) Hàm số đồng biến khoảng xác định g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ D Tập xác định = D =  \ {m} Ta có y′ Trang 12/16  m ≤ −1 Điều kiện tương đương ∆ g ( x ) =−m + m + ≤ ⇔  m ≥ Kết luận: Có vơ số giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán Câu 36 Chọn D g ( x) x − 4mx + m − 2m − = ( x − m) ( x − m) Hàm số đồng biến (1; +∞) g ( x) ≥ 0, ∀x > m ≤ (1) Tập xác định= D =  \ {m} Ta có y′ Vì ∆ g ′= 2(m + 1) ≥ 0, ∀m nên (1) ⇔ g ( x) = có hai nghiệm thỏa x1 ≤ x2 ≤ 2 g (1) = 2(m − 6m + 1) ≥  Điều kiện tương đương  S ⇔ m ≤ − 2 ≈ 0,  = m ≤1 2 Do khơng có giá trị ngun dương m thỏa u cầu toán Câu 37 Chọn B Điều kiện xác định: β ≥ Yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình ≤ sin 2α ≤ π 5π Kết luận: + kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈  β ≥ 12 12 Câu 38 Chọn C Tập xác định D =  Ta có: y′ = + acosx − b sin x Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có − a + b ≤ y′ ≤ + a + b Yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình y′ ≥ 0, ∀x ⇔ − a + b ≥ ⇔ a + b ≤ Câu 39 Chọn C (1) ⇔ m = x − x − x = f ( x) Bảng biến thiên x −∞ −1 y′ + − y −∞ Từ suy pt có nghiệm m < −27 Câu 40 Chọn B f ( x)  + +∞ +∞ −27 m>5 Đặt t = x + 1, t ≥ Phương trình thành: 2t =t − + m ⇔ m =−t + 2t + Xét hàm số f (t ) =−t + 2t + 1, t ≥ 0; f ′(t ) =−2t + Bảng biến thiên f ( t ) : t f ′ (t ) f (t ) + 1 +∞ − −∞ Từ suy phương trình có nghiệm m ≤ Câu 41 Chọn B x−2 x − x + Ta có f ′( x) = Đặt t = f ( x) = f ′( x) = ⇔ x = x2 − x + Xét x > ta có bảng biến thiên Trang 13/16 x f ′( x) f ( x) − +∞ + +∞ Khi phương trình cho trở thành m = t + t − ⇔ t + t − − m = (1) Nếu phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 t1 + t2 = −1 (1) có nhiều nghiệm t ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm dương phương trình (1) có nghiệm t ∈ 1; Đặt g (t ) = t + t − Ta tìm m để phương trình g (t ) = m có ( ) nghiệm t ∈ (1; ) Ta có g ′(t )= Bảng biến thiên: t g′ (t ) ( ) 2t + > 0, ∀t ∈ 1; + g (t ) −3 Từ bảng biến thiên suy −3 < m < giá trị cần tìm Câu 42 Chọn C Bất phương trình x − x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ⇔ m( x + x + 1) ≥ − x − ⇔ m ≥ −x − x + x +1 x + 4x + −x − ′ với Có ( ) = > 0, ∀x ∈ [1;2] f x ≤ x ≤ ( x + x + 1) x2 + x + Yêu cầu toán ⇔ m ≥ max f ( x) ⇔ m ≥ − [1;2] Câu 43 Chọn B Xét hàm số f ( x) = Đặt t = log 32 x + Điều kiện: t ≥ Phương trình thành: t + t − 2m − =0 (*) Khi x ∈ 1;3  ⇒ t ∈ [1; 2]   t +t −2 (*) ⇔ f (= t) = m Bảng biến thiên : t + f ′ (t ) f (t ) Từ bảng biến thiên ta có : ≤ m ≤ Câu 44 Chọn C Điều kiện: x ≥ − Phương trình x + mx + = x + ⇔ x + x − =mx (*) 3x + x − Vì x = khơng nghiệm nên (*) ⇔ m = x Trang 14/16 3x + 1 3x + x − Ta có = > ∀x ≥ − ; x ≠ f ′( x) x x Bảng biến thiên x − + + f ′( x) +∞ f ( x) Xét f ( x) = +∞ +∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm m ≥ Câu 45 Chọn D Điều kiện : x ≥ x −1 x −1 x −1 x −1 Pt ⇔ +m= ⇔3 +m= 24 x +1 x +1 x +1 ( x + 1) x −1 với x ≥ ta có ≤ t < Thay vào phương trình ta m =2t − 3t = f (t ) x +1 Ta có: f ′(t )= − 6t ta có: f ′(t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên: t f ′ (t ) + − f (t ) −1 t= Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm ≤ m < Câu 46 Chọn D  2   Đặt t = (1 + x)(3 − x) x ∈  − ;3 ⇒ t ∈ 0;      Thay vào bất phương trình ta f (t ) = t + t > m Bảng biến thiên t f ′ (t ) + f (t ) 49 + 14 Từ bảng biến thiên ta có : m < Câu 47 Chọn D Đặt t = + x + − x ⇒ t =4 + (1 + x)(3 − x) ⇔ (1 + x)(3 − x) =t − Với x ∈ [ − 1;3] = > t ∈ [2; 2] Thay vào bất phương trình ta được: m ≤ −t + 3t + Trang 15/16 Xét hàm số f (t ) =−t + 3t + 4; f ′(t ) =−2t + ; f ′(t ) = ⇔ t = t f ′ (t ) ⇒ t = ( + x + − x ) = + ( + x )( − x ) Đặt t = ⇒ ≤ t = + ( + x )( − x ) ≤ + ( + x ) + ( − x ) = 18 ⇒ 18 + x − x = ( + x )( − x ) = ( t − ) ; t ∈ 3;3  Xét f ( t ) =− t + t + ; f ′ ( t ) =1 − t < 0; ∀t ∈ 3;3  ⇒ max f ( t ) = f ( 3) =3 3;3  2 2 ycbt ⇔ max f ( t ) =3 ≤ m − m + ⇔ m − m − ≥ ⇔ m ≤ −1 m ≥ 3;3  Câu 49 Chọn B Đặt = t x > m.4 x + ( m − 1) x + + m − > , ∀x ∈  ⇔ m.t + ( m − 1) t + ( m − 1) > 0, ∀t > ⇔ m ( t + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > ⇔ = g ( t ) 4t + < m, ∀t > t + 4t + −4t − 2t < nên g ( t ) nghịch biến [ 0; +∞ ) Ta có g ′ ( t ) = ( t + 4t + 1) ycbt ⇔ max g ( t ) = g (0) = 1≤ m t ≥0 Câu 50 Chọn A f ( x ) , ∀x ≥ Bpt ⇔ 3mx < x − 13 + 2, ∀x ≥ ⇔ 3m < x − 14 += x (x ) x x Ta có f ′ ( x ) = x + 45 − 22 ≥ 2 x 45 − 22 = 22− > suy f ( x ) tăng x x x x Ycbt ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ ⇔ f ( x ) = f (1) = > 3m ⇔ > m Câu 51 Chọn A 2 (1) ⇔   3 x ≥1 cos x 1 + 3  9 t cos x ≥ m Đặt = t cos x, ≤ t ≤ t t t 2 1 2 1 (1) trở thành   +   ≥ m (2) Đặt = f (t )   +   3 9 3 9 Ta có (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0;1] ⇔ m ≤ Max f (t ) ⇔ m ≤ t∈[0;1] Câu 52 Chọn C Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Xét f ( x= ) Có f ′( x) = ( x + x + 1) + x3 + x + x + 16 − − x đoạn [ −2; 4] > 0, ∀x ∈ ( −2; ) 4− x x + x + x + 16 Do hàm số đồng biến [ −2; 4] , bpt ⇔ f ( x) ≥ f (1)= ⇔ x ≥ So với điều kiện, tập nghiệm bpt S= [1; 4] ⇒ a + b= Câu 53 Chọn A Trang 16/16 Điều kiện: ≤ x ≤ ; bpt ⇔ Xét f (t )= ( x − 1) + + x −1 > t + + t với t ≥ Có= f '(t ) t (3 − x ) + + 3− x > 0, ∀t > t2 + 2 t Do hàm số đồng biến [0; +∞) (1) ⇔ f ( x − 1) > f (3 − x) ⇔ x − > ⇔ x > So với điều kiện, bpt có tập nghiệm S = (2;3] + Trang 17/16