Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TỐN 41: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính đồng biến, nghịch biến hàm số  Định nghĩa: • Cho hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến K ( K khoảng, đoạn nửa khoảng) -Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến K ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) -Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến K ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )  Định lý: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm K a) Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số y = f ( x ) đồng biến K b) Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số y = f ( x ) nghịch biến K  Định lý mở rộng: a) Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K f ′ ( x ) = số hữu hạn điểm thuộc K hàm số đồng biến K b) Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K f ′( x) = số hữu hạn điểm thuộc K hàm số nghịch biến K II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm khoảng đơn điệu hàm số  Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định)  Sử dụng tính đơn điệu hàm số phương trình, hệ bất phương trình, bất phương trình để chứng minh phương trình có nghiệm  Tìm m để phương trình f ( x ) = m có n nghiệm … BÀI TẬP MẪU Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số f ( x ) = x + mx + x + đồng biến R ? A C B D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm m để hàm số đồng biến R HƯỚNG GIẢI: B1: Tính đạo hàm f ′( x) =x + 2mx + a > B2: f ( x) đồng biến  ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B TXĐ:  Ta có f '( x) =x + 2mx + Để f ( x) đồng biến  ⇔ f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ x + 2mx + ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ ∆=' m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Do m ∈  nên m {−2; −1;0;1; 2} Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hàm số y =x − x + Khẳng định sau hàm số này? A Hàm số đồng biến  B Hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) (1; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) Lời giải Chọn B Ta có: = y′ x3 − x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com x = −1 y′ = ⇔  x =  x = Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) (1; +∞ ) Câu Hàm số y = 2x +1 đồng biến khoảng nào? −3 x + 1    A ( −∞; ) ( 2; +∞ ) B  −∞; −   − ; +∞  C R \ {2} 2    1  2 D R \   Lời giải Chọn A Ta có: y = x + −3 x + TXĐ: D = R \ {2} = y′ 15 ( −3x + ) > , ∀x ≠ Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) ( 2; +∞ ) Câu Hàm số y = x3 − 3x − x + đồng biến khoảng khoảng sau? A ( −1;3) B ( 4;5 ) C ( 0;4 ) D ( −2; ) Lời giải Chọn A  Tập xác định: D =  Đạo hàm: y′ = 3x − x − y= −26  x =⇒ Xét y′ = ⇒ x − x − = ⇔   x =−1 ⇒ y =6 Bảng biến thiên: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com x f ( x) −∞ −1 + f ′( x) − +∞ + +∞ −∞ −26 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞ ; − 1) ( 3; + ∞ ) Do hàm số đồng biến khoảng ( 4;5 ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) đồng biến tập số thực  Khẳng định sau ? A Với x1; x2 ∈  ; x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) B Với x1, x2 ∈  ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) C Với x1; x2 ∈  ; x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) D Với x1, x2 ∈  ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Lời giải Chọn C Theo định nghĩa hàm số đồng biến  Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x −∞ + y′ − + +∞ y +∞ −1 −∞ Hàm số đồng biến khoảng đây? A ( −∞;1) B ( −1; +∞ ) C ( 0;1) D ( −∞;0 ) Lời giải: Chọn D Ta thấy khoảng ( −∞;0 ) bảng biến thiên thể hàm số đồng biến Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ sau Khẳng định sau đúng? Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com A Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) B Hàm số f ( x ) đồng biến  C Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) D Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞;2 ) ( 2;+∞ ) Lời giải: Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) Câu Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng đây? A ( −2; ) B ( −∞; ) C ( 0; ) D ( 2; + ∞ ) Lời giải: Chọn C Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng đây? A ( −∞; −1) B ( −1; +∞ ) C ( 0;1) D ( −1;0 ) Lời giải: Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến ( −1;0 ) Câu Tìm khoảng đồng biến hàm số A ( −2;0 ) y= − x3 + 3x − B ( 0; ) C ( 0;3) D ( −1;3) Lời giải: Chọn B TXĐ: D =  x=0 x =  y′ = −3x + x ; y′= ⇔  y′ > ⇔ < x < Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) y f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −3;5 ) Khẳng Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  và= định sau đúng? f ( 2) A f ( −2 ) = B f ( −3) > f ( ) C f ( −3) < f ( ) D f ( ) < f ( ) Lời giải: Chọn D Dễ thấy hàm số nghịch biến đoạn [ −3;5] −3 < nên suy f ( −3) > f ( )  Mức độ Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x= ) x + , ∀x ∈  Mệnh đề ? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) B Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) (1; +∞ ) Lời giải Chọn C Ta có f ′ ( x )= x + > 0, ∀x ∈  ⇒ Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) Câu Cho hàm số= y x − Mệnh đề đúng? Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com A Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) C Hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) D Hàm số đồng biến ( −∞; +∞ ) Lời giải Chọn C Hàm số có tập xác định D = Câu Cho hàm số y = ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) nên loại A,B,D x +1 , y = tan x , y = x3 + x + x − 2017 Số hàm số đồng biến  x+2 A B C D Lời giải Chọn C * Loại hai hàm số y = x +1 , y = tan x khơng xác định  x+2 * Với hàm số y = x3 + x + x − 2017 ta có y=' x + x + > 0, ∀x ∈  nên hàm số đồng biến  Vậy có hàm số đồng biến  Câu Hàm số sau đồng biến  ? A y = x – x –1 C y = B y = x −1 x+2 x − x + 3x + D y =x + x + x –1 Lời giải Chọn B  11  Hàm số y = x − x + x + có y′ = x − x + =  x −  + > 0, ∀x ∈  2  Câu Cho khẳng định: ( I ) : Hàm số y = đồng biến  ( II ) : Hàm số = y x3 − 12 x nghịch biến khoảng ( −1;2 ) ( III ) : Hàm số y= 2x − đồng biến khoảng ( −∞;2 ) ( 2;+∞ ) x−2 Trong khẳng định có khẳng định đúng? A B m = C m ∈ ∅ D m ∈  Lời giải Chọn A Ta có hàm số y = hàm nên khẳng định ( I ) khẳng định sai Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Hàm số = y′ x − 12 ⇒ y′ < ⇔ −2 < x < y x3 − 12 x có = Nên hàm số = y x3 − 12 x nghịch biến khoảng ( −1;2 ) Do khẳng định ( II ) khẳng định Hàm số y = 2x − = có y′ x−2 Nên hàm số y = ( x − )2 > 0, ∀x ≠ 2x − đồng biến khoảng ( −∞;2 ) ( 2;+∞ ) x−2 Do khẳng định ( III ) khẳng định 2x + có đồ thị ( C ) Hãy chọn mệnh đề sai: x+2 −3 A Có đạo hàm y′ = B Đồ thị cắt trục hoành điểm ( x + )2 Cho hàm số y = Câu  −7  A  ;0    D Hàm số có tập xác định là: C Hàm số nghịch biến  = D  \ {−2} Lời giải: Chọn C = Vì y′ −3 ( x + )2 < , ∀x ≠ −2 Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ; ( −2; +∞ ) Câu Hàm số y = A ( −∞,3) x − x + 12 đồng biến 3  C  , +∞  2  B ( 4, +∞ ) D  Lời giải: Chọn B x ≤ Điều kiện x − x + 12 ≥ ⇔  Hàm số có tập xác định D = x ≥ 2x − 7 Ta có y′ = , y′ = ⇔ x = ∉ D 2 x − x + 12 Bảng biến thiên Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( −∞,3] ∪ [ 4, +∞ ) Trang Website: tailieumontoan.com Dựa vào bảng biến thiên, hàm số cho đồng biến ( 4, +∞ ) Câu Cho hàm số f ( x ) = ax + b có đồ thị hình bên cx + d y O x Xét mệnh đề sau: (I) Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) (II) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) (1; +∞ ) (III) Hàm số đồng biến tập xác định Số mệnh đề là: A B C Lời giải D Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) Câu y f ′ ( x= Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm = ) x ( x − ) , ∀x ∈  Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng đây? A ( 2; +∞ ) B ( 0; +∞ ) C ( −∞;0 ) D ( 0; ) Lời giải: Chọn D x = Ta có f ′ ( x ) = ⇔  x = Bảng biến thiên Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến ( 0; ) Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( − x )( x + ) Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3; −1) ( 2; +∞ ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −3 ) ( 2; +∞ ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −3; ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −3; ) Lời giải: Chọn C  x = −1 f ′ ( x ) = ⇔  x =  x = −3 Bảng xét dấu f ′ ( x ) Dựa vào bảng ta thấy hàm số đồng biến khoảng ( −3; )  Mức độ Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y=  A m ≤ − B m < m x − ( m + 1) x + ( m − ) x + đồng biến C m > D −1 ≤ m < Lời giải: Chọn A TXĐ D =  y′ = mx − ( m + 1) x + ( m − ) TH1: m = ta có y′ = −2 x − (không thỏa mãn) TH2: m ≠ , hàm số nghịch biến  ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈  m < m < m < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m≤−  ∆′ ≤ 1 + 4m ≤ ( m + 1) − m ( m − ) ≤ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 10 Website: tailieumontoan.com Câu số Cho hàm số y = x − 3(m + 3m + 3) x + 3(m + 1) x + m + Gọi S tập giá trị tham m cho hàm số đồng biến [1; +∞ ) S tập hợp tập hợp sau đây? A (−1; +∞) B (−3; 2) D (−∞;0) C (−∞; −2) Lời giải Chọn D Ta có : y′=3x − ( m + 3m + 3) x + ( m + 1) Khi := ∆′ ( m + 3m + 3) − ( m + 1) = ( 3m + ) ( 2m + 3m + ) 2 TH1 : Nếu ∆′ ≤ ⇔ m ≤ − Khi ta có a= > nên y′ ≥ với x ∈  Do hàm số cho đồng biến [1; +∞ ) TH2: Nếu ∆′ > ⇔ m > − Khi y′ = có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Ta có y′ > ⇔ x ∈ ( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ ) y′ < ⇔ x ∈ ( x1 ; x2 ) Do để hàm số cho đồng biến [1; +∞ ) [1; +∞ ) ⊂ ( x2 ; +∞ )  x1 + x2 − ) Vậy hàm số cho đồng biến [1; +∞ ) m ≤ − Cho hàm số y = x3 + x + mx + m Gọi m0 giá trị tham số m để hàm số nghịch biến a a khoảng có độ dài Giả sử m0 = − ( với phân số tối giản) Khi biểu thức a + 2b có b b giá trị Câu A 23 B 34 C −34 D 20 Lời giải Chọn B y′ = x + x + m = có nghiệm x1 , x2 x1 − x2 = 36 − 12m > ∆ > 15  ⇔ ⇔m= − m  9 ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4 − = Tìm tất giá trị thực tham số m mx3 y= f ( x)= + mx + 14 x − m + nghịch biến nửa khoảng [1; +∞) ? Câu Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 cho hàm số Trang 11 Website: tailieumontoan.com 14   A  −2; −  15    14  B  − ; +∞   15  14   C  −∞; −  15   14   D  −∞; −  15   Lời giải Chọn D Tập xác định D =  , yêu cầu tốn đưa đến giải bất phương trình = g ( x) mx + 14mx + 14 ≤ 0, ∀x ≥ , tương đương với −14 ≥ m (1) x + 14 x Dễ dàng có g ( x) hàm tăng ∀x ∈ [1; +∞ ) , suy g ( x) = g (1) = − x ≥1 Kết luận: (1) ⇔ g ( x) ≥ m ⇔ − x ≥1 Câu 14 15 14 ≥m 15 mx + nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) x+m C ≤ m < D −2 < m < Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = A < m < B ≤ m ≤ Lời giải: Chọn C Tập xác định hàm số : D = ( −∞; − m ) ∪ ( −m; + ∞ ) Ta có y′ = m2 − ( x + m) −m ≤ ⇔0≤m − B m ≥ − C − < m < m > D − −2sin x − đồng biến khoảng sin x − m < m ≤ m ≥ Lời giải: Chọn D Đặt t = sin x −2sin x − −2t −  π đồng biến khoảng  0;  f (t ) = đồng biến sin x − m t −m  2 khoảng ( 0;1) Hàm số y = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 12 Website: tailieumontoan.com Ta có f ′(t ) = 2m + (t − m) −2t − đồng biến khoảng 0;1 t −m  m>−   2m + > − Từ bảng biến thiên, suy hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) ⇔ ( 0; ) ⊂ ( 0; m ) ⇔ m ≥ Kết hợp với m > , ta có m ≥ Trường hợp 2: Nếu m ≤ < m + ⇔ −4 < m ≤ Từ bảng biến thiên, suy hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) ⇔ ( 0; ) ⊂ ( 0; m + ) ⇔ m + ≥ ⇔ m ≥ −2 Kết hợp với −4 < m ≤ , ta có −2 ≤ m ≤ Trường hợp 3: Nếu m + ≤ ⇔ m ≤ −4 Từ bảng biến thiên, suy hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; + ∞ ) nên hàm số y = f ( x ) đồng biến Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 16 Website: tailieumontoan.com  m≥2 khoảng ( 0; ) với m ≤ −4 Vậy  −2 ≤ m ≤  m ≤ −4 Mà m nguyên thuộc khoảng [ −2019; 2019] nên có 4037 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y= cot x − m cot x + cot x +  π nghịch biến khoảng  0;  Tập S có chứa số nguyên dương?  2 A B D C Lời giải Chọn B Xét hàm số y= cot x − m cot x + cot x + khoảng (  π  0;   2 ) − cot x − 2m cot x + Ta có: y′ = sin x  π  π Hàm số cho nghịch biến  0;  ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈  0;  (dấu “ = ” xảy hữu  2  2  π  π hạn điểm  0;  ) ⇔ cot x − 2m cot x + ≥ 0, ∀x ∈  0;  (1)  2  2  π Đặt t = cot x Khi x ∈  0;  ta có: t ∈ ( 0; +∞ )  2  1 Khi (1) ⇔ t − 2mt + ≥ 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m ≤  t +  , ∀t ∈ ( 0; +∞ ) (*) 2 t  Xét f = (t ) 1  1 , dấu " = " xảy t =  t +  , t ∈ ( 0; +∞ ) Ta có: f ( t ) ≥ 2 t t = 2 t  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 17 Website: tailieumontoan.com Tập giá trị f ( t ) ( 0; +∞ ) [1; +∞ ) , đó: (*) ⇔ m ≤ Vậy S = ( −∞;1] nên S chứa số nguyên dương Câu Cho hàm số y = f (x) xác f ′( x) = (1 − x )( x + ).g ( x ) + 2018 định  có đạo f ′(x) hàm g ( x ) < 0, ∀x ∈  thỏa mãn Hàm số y = f (1 − x) + 2018 x + 2019 nghịch biến khoảng nào? A (0;3) B (− ∞;3) C (3;+∞ ) D (1;+∞ ) Lời giải Chọn C Từ f ′( x) = (1 − x )( x + ).g ( x ) + 2018 ⇒ f ′(1 − x) = x(3 − x ).g (1 − x ) + 2018 Nên đạo hàm hàm số y = f (1 − x) + 2018 x + 2019 y′ = − x ( − x ) g (1 − x ) − 2018 + 2018 = − x ( − x ) g (1 − x ) Xét bất phương trình y′ < ⇔ x ( − x ) < ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 3; +∞ ) , g ( x ) < 0, ∀x ∈  Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −2019; 2019] để hàm số = y f ( cos x + x + m ) đồng biến nửa khoảng [ 0; + ∞ ) ? A 2019 B 2020 C 4038 D 4040 Lời giải: Chọn A Ta có y ' =− ( sin x + ) f ' ( cos x + x + m ) y f ( cos x + x + m ) liên tục nửa khoảng [ 0; + ∞ ) , suy ra: Hàm số= y f ( cos x + x + m ) đồng biến [ 0; + ∞ ) Hàm số= ( − sin x + ) f ' ( cos x + x + m ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) (1) Do − sin x + > 0, ∀x ∈  nên (1) ⇔ f ' ( cos x + x + m ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( 2) Trang 18 Website: tailieumontoan.com Dựa vào đồ thị ta có cos x + x + m ≥ 2, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ( 2) ⇔  cos x + x + m ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) cos x + x ≥ − m, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ cos x + x ≤ −m, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ( 3a ) ( 3b ) Xét hàm g= ( x ) cos x + x [0; + ∞ ) có g ' ( x ) = − sin x + > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) nên g ( x ) đồng biến ( 0; + ∞ ) đồng thời g ( x ) liên tục [ 0; + ∞ ) suy g= ( x ) g= ( ) lim g ( x ) = +∞ Do đó, khơng có giá trị m thỏa ( 3b ) ; [0; +∞ ) x →+∞ g ( x ) ≥ − m ⇔ ≥ − m ⇔ m ≥ ( 3a ) ⇔ [min 0; +∞ ) Vậy có tất 2019 giá trị nguyên tham số m Câu Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d với a, b, c, d ; a ≠ số thực, có đồ thị hình bên Có số nguyên m thuộc khoảng (−2020; 2020) để hàm số g ( x)= f ( x − x + m ) nghịch khoảng ( 2; +∞ ) ? A 2020 B 2013 C 4040 D 4038 Lời giải: Chọn B Ta có g ′( x)= (3 x − x) f ′( x3 − x + m) Với x ∈ (2; +∞) ta có x − x > nên hàm số g ( x)= f ( x − x + m ) nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) ⇔ f ′( x3 − x + m) ≤ 0, ∀x ∈ (2; +∞) Dựa vào đồ thị ta có hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng (−∞;1) (3; +∞) nên f ′( x) ≤ với x ∈ ( −∞;1] ∪ [3; +∞ )  x − x + m ≤ 1, ∀x ∈ (2; +∞) Do đó: f ′( x3 − x + m) ≤ 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔   x − x + m ≥ 3, ∀x ∈ (2; +∞)  m ≤ − x + x + 1, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔  m ≥ − x + x + 3, ∀x ∈ (2; +∞) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 19 Website: tailieumontoan.com Nhận thấy lim (− x + x + 1) = −∞ nên trường hợp m ≤ − x3 + x + 1, ∀x ∈ (2; +∞) không x →+∞ xảy Trường hợp: m ≥ − x3 + x + 3, ∀x ∈ (2; +∞) Ta có hàm số h( x) = − x3 + x + liên tục [ 2; +∞ ) h′( x) = −3 x + x < 0, ∀x ∈ (2; +∞) nên h( x) nghịch biến [ 2; +∞ ) suy max h( x) = h(2) [ 2;+∞ ) h(2) ⇔ m ≥ Do m ≥ − x3 + x + 3, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ m ≥ max h( x) = [ 2;+∞ ) Do m nguyên thuộc khoảng (−2020; 2020) nên m ∈ {7;8;9; ; 2019} Vậy có 2013 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu Số giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (0; 2020) để hàm số y = x3 + ( m − 1) x + ( m − ) x + 2020 nghịch biến khoảng ( a; b ) cho b − a > A B 2019 C 2018 D 2013 Lời giải Chọn D Ta có: y ′ = x + ( m − 1) x + ( m − ) Hàm số nghịch biến khoảng ( a; b ) ⇔ x + ( m − 1) x + ( m − ) ≤ 0, ∀x ∈ ( a; b ) (rõ ràng dấu “=” xảy hữu hạn điểm) Có: ∆= m − 6m + 9= ( m − 3) TH1: ∆ ≤ ⇒ x + ( m − 1) x + ( m − ) ≥ ; ∀x ∈  (không thỏa mãn yêu cầu) TH2: ∆ > ⇔ m ≠ ⇒ y′ có hai nghiệm x1 , x2 ( x2 > x1 ) ⇒ Hàm số nghịch biến khoảng ( x1 ; x2 ) Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 − x1 > ⇔ ( x2 − x1 ) > ⇔ S − P > m > ⇔ ( m − 1) − ( m − ) > ⇔ m − 6m > ⇔  m < Do m nguyên thuộc khoảng (0; 2020) nên m ∈ {7;8;9; ; 2019} Vậy số giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (0; 2020) 2013 Câu ( ) x3 − 3mx + m − x đồng Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = biến khoảng ( 2; +∞ ) có dạng ( −∞; a ] ∪ [ b; +∞ ) Tính T= a + b A T = −1 B T = C T = D T = Lời giải: Chọn D Tập xác định hàm số:  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 20 Website: tailieumontoan.com ( ) y ' 3x − 6mx + m − ≥ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) Hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) ⇔ = ⇔ x − 2mx + ( m − ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ )   m ≤ −2  m − ( m − ) ≤ ∆ ' ≤   m ≤ −2  m ≥  m ≤  2  ⇔  ∆ ' > ⇔ ⇔  m − ( m − ) > ⇔ −2 < m < ⇔   m ≥  m≥2      x1 < x2 ≤  −2 < m ≤ m ≤  m + − m ≤  m ≥  2 Vậy a = 0; b = ⇒ T = Câu ( ) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) x + mx3 + với x ∈  Có số nguyên âm m để hàm số g ( x ) = f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ? A C B D Lời giải: Chọn B Ta có: g ′ ( x ) = xf ′ ( x= ) x.x ( x − 1) ( 3x8 + mx6 + 1) Hàm số g ( x) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ⇔ g ′ ( x ) ≥ , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ x8 + mx + ≥ , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ −m ≤ 3x + h ( x ) = 3x + , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) x6 1 Côsi 2 = x + x + x + ≥ , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Đẳng thức xảy khi: x = 6 x x x ⇔x= Vậy −m ≤ x + , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ −m ≤ ⇔ m ≥ −4 x6 Vậy có giá trị nguyên âm m thỏa mãn yêu cầu đề Câu m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình: + cos x + + 2sin x = có nghiệm thực? A B C D Lời giải: Chọn D Khơng tính tổng qt ta xét phương trình [ −π ; π ] 1 + 2sin x ≥  π 2π  Điều kiện  ⇔ x ∈ − ;    1 + cos x ≥ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 21 Website: tailieumontoan.com Phương trình cho tương đương với m2 + ( sin x + cos x ) + + cos x + 2sin x = (*) ( m > )  π 2π  = t sin x + cos x với x ∈  − ;  Đặt    −1  ⇔ t∈ ; 2   sin π 12 ≤= t sin x + cos= x π  sin  x +  ≤ 4  Mặt khác, ta lại có t = + 2sin x cos x m2 Do (*) ⇒ + 2t + 2t + 2t − =  −1  Xét hàm số f ( t ) = 2t + + 2t + 2t − 1, t ∈  ; 2   4t + f ′ (t ) = 2+ >0 2t + 2t − −1 t f ′ (t ) + f (t ) ( ) +1 +1 Từ bảng biến thiên, ta kết luận phương trình có nghiệm thực  m2 ≤4  +1 ≤  m >  ( ) +1 ⇔2 ( ) +1 ≤ m ≤ +1 Vậy có giá trị m Câu 10 Cho hàm số y= x + x − − ( m − ) x + 2019.m 2020 Số giá trị nguyên tham số m để 1  hàm số đồng biến nửa khoảng  ; +∞  2  A B C D Lời giải: Chọn D 1  Tập xác định = D  ; +∞  2  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 22 Website: tailieumontoan.com 1  - Nhận thấy: hàm số cho liên tục nửa khoảng  ; +∞  nên hàm số cho đồng 2  1  1  biến nửa khoảng  ; +∞  y′ ≥ 0, ∀x ∈  ; +∞  (dấu “=” xảy số hữu 2  2  hạn điểm) - Ta có: y′ = x + − m2 + 2x −1 1  Trên khoảng  ; +∞  , xét phương trình y′ = 2  ⇔ 8x + 1 − m2 + = ⇔ x + + = m (1) 2x −1 2x −1 + Xét hàm số g ( x ) = 8x + Có g ′ ( x )= − ( x − 1) 1  +  ; +∞  2x − 2  ⇒ g ′ ( x )= ⇔ x − 1= 1  ⇔ x= ∈  ; +∞  2  Bảng biến thiên 1  + Dựa vào BBT ta thấy: phương trình (1) có tối đa nghiệm khoảng  ; +∞  2  với giá trị tham số m hay y′ = số hữu hạn điểm thuộc khoảng 1   ; +∞  2  - Mặt khác: dựa vào BBT lại thấy: 1  1  y′ ≥ 0, ∀x ∈  ; +∞  ⇔ m ≤ g ( x ) , ∀x ∈  ; +∞  ⇔ m ≤ g ( x ) 1  2  2   ; +∞    ⇔ m ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ Do m nguyên nên m ∈ {−3; −2; −1;0;1; 2;3} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 23 Website: tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 24 ... DẠNG TỐN 41: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính đồng biến, nghịch biến hàm số  Định nghĩa: • Cho hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến K ( K khoảng, đoạn nửa khoảng) -Hàm số y = f (... K hàm số nghịch biến K II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm khoảng đơn điệu hàm số  Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định)  Sử dụng tính đơn điệu hàm. ..  Mức độ Câu Cho hàm số y =x − x + Khẳng định sau hàm số này? A Hàm số đồng biến  B Hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) (1; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) D Hàm số nghịch biến khoảng