Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số liên kết

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn khoảng y  f  x  hàm số xác định K Ta nói: + Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  + Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét a Nhận xét Nếu hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x   g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hiệu f  x   g  x  b Nhận xét Nếu hàm số f  x  g  x  hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số f  x  , g  x  không hàm số dương D c Nhận xét Cho hàm số u  u  x  , xác định với x   a; b  u  x    c; d  Hàm số f u  x   xác định với x   a; b  Ta có nhận xét sau: i Giả sử hàm số u  u  x  đồng biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u  x   đồng biến với x   a; b   f  u  đồng biến với u   c; d  ii Giả sử hàm số u  u  x  nghịch biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u  x   nghịch biến với x   a; b   f  u  nghịch biến với u   c; d  Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '  x   0, x  K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f '  x   0, x  K Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f nghịch biến K c) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f không đổi K Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó’ Chẳng hạn: Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Nếu hàm số f liên tục đoạn  a; b f '  x   0, x   a; b  hàm số f đồng biến đoạn  a; b Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên sau: Định lí 3.(mở rộng định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x   0, x  K f '  x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '  x   0, x  K f '  x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K  Nếu f '  x   với x  K f '  x   số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng  biến K Nếu f '  x   với x  K f '  x   số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K BÀI TẬP MẪU: (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hàm số f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f 1  x   x  x nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2  3 A  1;   2  1 B  0;   2 C  2; 1 D  2;3 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn dạng g  x   f u  x    v  x  biết đồ thị hàm số y  f   x  HƯỚNG GIẢI: Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Cách 1: B1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u   x  f  u  x    v  x  B2: Sử dụng đồ thị f   x  , lập bảng xét dấu g   x  B3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 2: B1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u   x  f  u  x    v  x  B2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   ; (Hàm số g  x  nghịch biến  g   x   ) (*) B3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 3: (Trắc nghiệm) B1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u   x  f  u  x    v  x  B3: Hàm số g  x  đồng biến K  g   x   0, x  K ; (Hàm số g  x  nghịch biến K  g   x   0, x  K ) (*) B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào g   x  để loại phương án sai Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: g  x   f 1  x   x  x  g   x   2 f  1  x   x  1 2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y  f   t  y   Hàm số nghịch biến  g   x    f  1  x     2  t  t Dựa vào đồ thị ta có: f   t      t  1 2  x   2   x  Khi đó: g '  x      1  x  x    Cách 2: Ta có: g  x   f 1  x   x  x  g   x   2 f  1  x   x  g   x    f ' 1  x     2x Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 t Xét tương giao đồ thị hàm số y  f   t  y    x  t  2 1  x  2  t   Từ đồ thị ta có: f '  t     t  Khi đó: g   x    1  x    x   2 1  x  t   x    Ta có bảng xét dấu: 3  1 3 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến khoảng   ;    ;  2  2 2 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN:Đây dạng tốn xét tính đơn điệu hàm liên kết h ( x )  f (u )  g ( x ) biết BBT,BXD, đồ thị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: - Cách tính đạo hàm hàm hợp - Các bước lập bảng biến thiên hàm số - Đồ thị tương giao hai đồ thị HƯỚNG GIẢI: Lời giải Chọn A Ta có : g  x   f 1  x   x  x  g '  x   2 f ' 1  x   x   g '  x    2 f ' 1  x   x   Đặt t   x   2 f '  t   t  f '  t    Vẽ đường thẳng y   t x đồ thị hàm số f '  x  hệ trục Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 y –2 O x –2 Dựa vào đồ thị f '  t    t  t  2, t  0, t  Hàm số g  x  nghịch biến  g '  x    f '  t     2  t  t  t  1 x   2   x   2x Như f  1  x     2 2 4   x  x3  3 1 3  Vậy hàm số g  x   f 1  x   x  x nghịch biến khoảng  ;   ;   2 2 2   3 1 3  3 Mà  1;    ;  nên hàm số g  x   f 1  x   x  x nghịch biến khoảng  1;   2 2 2  2 Bài tập tương tự phát triển: Câu 50.1: Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f  3x  1  3x  x đồng biến khoảng đây?  3 A 1;   2  2 B  0;   3 C  1;0  2  D  ;  3  Lời giải Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn B Ta có: g   x   f   3x  1   x  2  Hàm g ( x ) đồng biến khoảng K g   x   (dấu = xảy số hữu hạn điểm)  f   3x  1   x     (1) Đặt u  3x  ta được: h  u   f   u   2u  Ta có: (1)  f   u   2u    f   u   2u 1 Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có đồ thị hàm số y  f   u  y  2u  hình vẽ Để h  u   ta cần có đồ thị y  f   u  phải nằm bên đồ thị hàm y  2u 1   2 x   ;   0  u    3x    3 Từ ta có h  u         u  3  x   3  x      2 Cho nên ta chọn đáp án B  0;    ;     3 Câu 50.2: Cho hàm số f  x  Đồ thị y  f '  x  cho hình bên Hàm số g  x   f  x  1  x2 nghịch biến khoảng đây? Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  2;  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 C  2;1 B  0;1 D 1;3  Lời giải Chọn A Ta có: g  x   f  x  1  x2  g   x   f   x  1  x  g   x    f   x  1  x   f   x  1   x  1  Đặt t  x  f   t   t  Vẽ đường thẳng y  x  hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y  f   x  (như hình vẽ bên) Dựa vào đồ thị f '  t   t   t  3, t  1, t  Hàm số nghịch biến g   x   f   x  1  x   f   t   t  t  (; 3)  (1;3) Do x  (; 2)  (2; 4) g(x) nghịch biến  2;  Câu 50.3: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  Hàm số g  x   f x  x  x  x đồng biến khoảng đây?     A 1  2; 1 B 1  2; 1  C  1;   D 1;     Lời giải Chọn A   Ta có: g  x   f x  x  x  x  g   x    x   f   x  x   x    x  1  f   x  x   1  g   x     x  1  f   x  x   1   x  1, x  1  2, x  1    x      f   x  x   Xét g   x       x       f  x  x   I   II  Xét tương giao đồ thị hàm số y  f   x  y  Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020    Dựa vào đồ thị ta có: f  x  x   x  x  f  x  x   x2  x   x  1  x     x  1    x  1   x  1  Xét hệ (I):   2 x  2x   f   x  x      x  1   x    x  1  x  1 Xét hệ (II):     x  x   1   x  1   f   x  x    1   x  1     Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng 1  2; 1 1  2;  Câu 50.4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ bên Đặt y  g  x  f  x  x2 Khẳng định sau đúng? A Hàm số y  g  x  đồng biến khoảng 1;  B Đồ thị hàm số y  g  x  có điểm cực trị C Hàm số y  g  x  đạt cực tiểu x  1 D Hàm số y  g  x  đạt cực đại x  Lời giải Chọn D Ta có: g '  x   f '  x   x; g '  x    f '  x   x (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y  f '  x  đường thẳng y  x Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Dựa vào hình bên ta thấy giao điểm  1; 1 ; 1;1 ;  2;   x  1  (*)   x   x  Bảng xét dấu g '  x  : Từ bảng xét dấu g '  x  ta thấy hàm số y  g  x   f  x   x2 Đồng biến khoảng  ;1  2;   ; nghịch biến khoảng 1;  Hàm số y  g  x  đạt cực đại x  Câu 50.5: Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số f   x  hình vẽ Hỏi hàm số g  x   f 1  x   A  2;  x2  x nghịch biến khoảng đây? B 1;3 3  C  1;  2  D  3;1 Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Q   x4  5x3  6x   x2  x  2 x  3 Bảng xét dấu Q Từ hai BXD P, Q Ta có P  0, Q  với x   2;3 nên g '( x)  P  Q  với x   2;3 Câu 50.20: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Xét hàm số g  x   f  x   x3  x  3m  với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g  x   với x    5;  A m  f  5 B m  f 0 C m    f  D m  f  5 Lời giải Chọn A Ta có g  x   với x    5;   f  x   x3  x  3m   với x    5;   f  x   x3  x   3m với x    5;  Trang 25 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020   max f  x   x  x   3m với x    5;  *   5;    Đặt h  x   f  x   x3  x  x   Ta có h  x   f   x   x  , h  x    f   x   3x    x   x   Dựa vào đồ thị ta thấy f   x   3x  với x    5;   h  x  đồng biến   5;   max h  x   h     5;    Vậy *  f Câu 50.21:  5  f  5    3m  m  23 f   Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hàm số y  f ’( x ) hình vẽ: Hàm số y  f (2 x  1)  A  6; 3 x3  x  x nghịch biến khoảng sau đây? B  3;6 C  6; D  1;0 Lời giải Chọn D Ta có: y’  f ’(2 x  1)  x  x   f ’(2 x  1)   x  1  x  Nhận xét: Hàm số y  f ( x) có f ’( x )   3  x  f ’( x)     x  3 Do ta xét trường hợp: Với 6  x  3  13  x   7 suy y’  hàm số đồng biến (loại) Với  x    x   11 suy y’  hàm số đồng biến (loại) Với x   x   11 suy y’  hàm số đồng biến (loại) Với 1  x   3  x   1 nên f ’(2 x  1)  3   x  1   2 suy y’  hàm số nghịch biến (nhận) Câu 50.22: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau Trang 26 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Hàm số g  x   f  x    x3  3x đồng biến khoảng đây? A 1;    B  ;  1 C  1;0  D  0;  Lời giải Chọn C Ta có g   x    f   x     x  3  Với x   1;0   x   1;   f   x    lại có x    y  0, x   1;0  Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng  1;0  Chú ý: +) Ta xét x  1;   1;     x    3;   f   x    0; x   Suy hàm số nghịch biến 1;  nên loại hai phương án A, D +) Tương tự ta xét x   ;    x     ;   f   x    0; x    y  0, x   ;   Suy hàm số nghịch biến khoảng   ;   nên loại phương án B Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình Câu 50.23: sau x  3x đồng biến khoảng đây?  3 B  0;1 C  1;1 D  1;   2 Lời giải Hàm số g  x   f  x      A  3;  Chọn D     Ta có g   x   x f  x   x  x  x  f  x   x  1 x  g  x     2  f   x    x   Đặt t  x   f   x    x    f   t   t    f   t   t  Đồ thị hàm số y  f   t  y  t  hình vẽ sau Trang 27 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 t  1 ( t  1 nghiệm đơn t  nghiệm kép) Từ đồ thị, ta có f   t   t    t   x2   1  x  1  f   x2  2    x2  2     x   x    x   Suy g   x     x  1 ( x  0, x  1 nghiệm đơn x   nghiệm kép) x    Bảng xét dấu g   x     3 1 (vì g      f        ) 2    4 Vậy hàm số đồng biến khoảng  1;0  1;    Câu 50.24: Cho hàm số y  ax5  bx  cx3  dx  ex  f với a, b, c, d , e, f số thực, đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Hàm số y  f 1  2x   2x2  đồng biến khoảng sau đây? y O x Trang 28 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU   A   ; 1   50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  1 B   ;   2 C  1;0  D 1;3 Lời giải Chọn C y O x Cách 1: Ta có: g  x   f 1  x   x   g   x   2 f  1  x   x Có: g   x    2 f  1  x   x   f ' 1  x   2 x (1) Đặt t   x, bất phương trình 1 trở thành f   t   t 1 Vẽ đường thẳng y  x  Trên đồ thị, ta thấy đường thẳng y  x  nằm đồ thị hàm số f   x  khoảng 1;3  f   t   t    t     x   1  x  Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng  1;0  Cách 2: Ta có: g  x   f 1  x   x   g   x   2 f  1  x   x Có g   x    f ' 1  x   2 x  f ' 1  x   (1  x)  Xét tương giao đồ thị hàm số y  f '  t  y  t  1,  t   x  1  x  x  t   Từ đồ thị ta có f '  t   t    Khi g '  x     t  1  x   x  1 Ta có bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến khoảng  1;0  Cách 3: Cách trắc nghiệm Ta có: g  x   f 1  x   x   g   x   2 f  1  x   x Ta thử đáp án   Thử đáp án A: Chọn x  1, 25    ; 1  g '  1, 25  2 f '  3,5    Nhìn đồ thị f '  x  ta thấy f '  3,5    g '  1, 25    loại đáp án#A  1 Thử đáp án B: Chọn x  0, 25    ;   g '  0, 25  2 f '  0, 5   2 Nhìn đồ thị f '  x  ta thấy f '  0,5    g '  0, 25    loại đáp án B Trang 29 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Thử đáp án C: Chọn x  0,5   1;0   g '  0,5   2 f '    Nhìn đồ thị f '  x  ta thấy f '     2 f '     g '  0,5    Chọn đáp án C Thử đáp án D: Chọn x   1;3  g '    2 f '  3  Nhìn đồ thị f '  x  ta thấy f '  3   2 f '  3   g '     loại đáp án Câu 50.25: D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  có đồ thị hình Hàm số g  x   f  x  1  27 x  54 x  27 x  đồng biến khoảng đây?  2 A  0;   3 2  B  ;3  3  C  0;3 D  4;  Lời giải Chọn D Cách 1: 2 Ta có: g  x   f  3x  1   3x  1   3x  1  g '  x    f '  3x  1   3x  1   3x  1    Có g '  x    f '  x  1   x  1   x  1 (1) Đặt t  x  1, bất phương trình 1 trở thành f '  t   t  2t Vẽ Parabol y  x2  x Trên đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số f '  x  nằm đồ thị hàm số y  x2  x khoảng  ; 1  3;   x  t  1 3 x   1  Suy f '  t   t  2t     x  t  3 x   3  Trang 30 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 4  Vậy hàm số g  x  đông biến khoảng  ;   ;     Cách 2: 2 Ta có: g  x   f  3x  1   3x  1   3x  1  g '  x    f '  3x  1   3x  1   3x  1    Có: g '  x    f '  x  1   x  1   x  1 Xét tương giao đồ thị hàm số y  f '  t  y  t  t,  t  3x  1 t  1  Từ đồ thị ta có: f '  t   t  2t  t  1(nghiệm ké p) t   x   x   1   Khi g '  x    3 x     x  (nghiệm ké p)  3 x   x    Ta có bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến khoảng  ;   3;   Câu 50.26: Cho hàm số f ( x ) liên tục  có f ( 1)  có đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ Hàm số y  f ( x  1)  x đồng biến khoảng A  3;  B  1;  C  0;   D  0;3 Lời giải Chọn D Đặt g ( x)  f ( x  1)  x  g ( x)  2[ f ( x  1)  ( x  1)  1] Trang 31 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x ) đồ thị hàm số y  x  ta có: g ( x )   f ( x  1)  ( x  1)   1  x     x  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y  f ( x  1)  x đồng biến khoảng  0;3 Câu 50.27: Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình sau Hàm số g ( x)  f (1  x)  x  21x  x đồng biến khoảng đây? A 1;2 B  3;1 C 0;1 D  1;2 Lời giải Chọn A Ta có g ' ( x )  6 f ' (1  x )  24 x  42 x  g ' ( x)   f ' (1  x)  x  x  (*) Đặt  x  t  x  1 t 2 1 t 3 1 t  Ta có (*) trở thành f ' (t )  4.   f ' (t )  t  t    2   3 Ta vẽ parapol ( P ) : y  x  x  hệ trục Oxy với đồ thị y  f   x  hình vẽ 2 33 sau ( đường nét đứt), ta thấy (P ) có đỉnh I (  ; ) qua điểm  3;3,  1;2, 1;1 16 Trang 32 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 3 Từ đồ thị hàm số ta thấy khoảng  3;1 ta có f ' (t )  t  t   3  t  1 2  3   x  1   x  Vậy hàm số g (x ) nghịch biến khoảng (1;2) Câu 50.28: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đạo hàm f   x  thỏa mãn: f   x   1  x   x   Hàm số y  f  x  3  x3  12 x nghịch biến khoảng sau đây? A 1;5 B  2;    C  1;  D   ;  1 Lời giải Chọn B Ta có: f   x   1  x   x   suy f   x  3  1   x  3   x         x   x   x   Mặt khác: y  f   x  3  3x  12  3  x   x   x     x  4   3  x   x   x    5  x  2 Xét y   3  x   x   x      x  Vậy hàm số y  f  x  3  x3  12 x nghịch biến khoảng  5;    2;    Câu 50.29: Cho hàm số y  f  x  , hàm số f   x   x3  ax  bx  c  a, b, c    có đồ thị hình vẽ Hàm số g  x   f  f   x   nghịch biến khoảng đây? A 1;   B  ; 2  C  1;0   3 D    ;    Lời giải Chọn B Trang 33 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Vì điểm  1;0  ,  0;0  , 1;0  thuộc đồ thị hàm số y  f   x  nên ta có hệ:  1  a  b  c  a     b  1  f   x   x  x  f ''  x   x  c   c  1  a  b  c   Ta có: g  x   f  f   x    g   x   f   f   x   f ''  x   x3  x   x  x 1 Xét g   x    g   x   f   f '  x   f   x    f   x  x  x  1    x  x  1  3 x     x  1  x    x  1,325  x  1,325  x    Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên  g  x  nghịch biến  ; 2  Câu 50.30: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  3, x   Có giá trị   nguyên tham số m thuộc đoạn  10; 20  để hàm số g  x   f x  3x  m  m2  đồng biến  0;  ? A 16 B 17 C 18 Lời giải D 19 Chọn C  t  3 Ta có f '  t   t  2t     *  t   Có g '  x    x  3 f ' x  3x  m  Vì x   0, x   0;  nên g  x  đồng biến  0;   g '  x   0, x   0;2   f '  x2  3x  m   0, x   0;2   x  x  m  3, x   0;   x  x  m  3, x   0;    (**)  x  x  m  1, x   0;   x  x  m  1, x   0;   m   10  m  13 Có h  x   x  3x đồng biến  0;  nên từ (**)    m    m  1 m   10; 20  Có 18 giá trị tham số m Vì  m   Trang 34 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Vậy có 18 giá trị tham số m cần tìm Câu 50.31: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ  x  m  1  2019 với m tham số thực Gọi S tập giá trị nguyên dương m để hàm số y  g  x  đồng biến khoản  5;6  Tổng phần tử Đặt g  x   f  x  m   S bằng: A B 11 C 14 Lời giải D 20 Chọn C Ta có g '  x   f '  x  m    x  m  1 Đặt h  x   f '  x    x  1 Từ đồ thị y  f '  x  đồ thị y  x  hình vẽ ta suy  1  x  h  x    x   1  x  m   m   x  m  Ta có g '  x   h  x  m      x  m  x  m  Do hàm số y  g  x  đồng biến khoảng  m  1; m  1  m  3;    m   5  m   Do vậy, hàm số y  g  x  đồng biến khoảng  5;6     m     m   m   Do m nguyên dương nên m 1; 2;5;6 , tức S  1; 2;5;6 Tổng phần tử S 14 Trang 35 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Câu 50.32: Có giá trị nguyên tham số m , m  Z ,  2020  m  2020 để hàm số   g  x   f  x   mx  x  x   đồng biến khoảng  3;    A 2021 B 2020 C 2019 Lời giải Chọn B Ta có g   x   xf   x   mx  x  x   D 2022 Hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;  suy g   x   0, x   3;0  xf   x   mx  x  x    0,  x    3;   f   x   m   x  x    0,  x    3;    f   x   2m   x  x  3 , x   3;0   m   m  max  3;0  f   x2    x  x  3 f   x2    x2  x  3 , x   3;0  Ta có   x    x   f   x    dấu “  ” x   x  1   x  x     x  1     x  x   4,  x    3;  1  , dấu “  ” x  1  x  2x  f   x2  3 3 Suy   , x   3;0  , dấu “  ” x  1 2   x  x  3 2.4   max  3;0  f   x2    x  x  3 Vậy m   , mà m   , 2020  m  2020 nên có 2020 giá trị tham số m thỏa mãn toán Câu 50.33: Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình sau Trang 36 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Có tất giá trị nguyên dương tham số m đề hàm số g ( x)  f ( x  m)  x  2mx  2020 đồng biến khoảng (1;2) B A C Lời giải D Chọn A Ta có g ' ( x )  f ' ( x  m )  x  m g ' ( x )   f ' ( x  m)   xm (*) Đặt t  x  m (*)  f ' (t )   Vẽ đường thẳng y   t x hệ trục Oxy với đồ thị y  f   x  hình vẽ sau m   x  m   t  t   x  m  t  Hàm số g (x ) đồng biến khoảng (1;2)  g ' ( x)  x  1;2 Từ đồ thị ta có f ' (t )   2  m  m     m    m  3 m   Vì m nguyên dương nên m  2;3 Vậy có hai giá trị nguyên dương m đề hàm số g (x ) đồng biến khoảng (1;2) Câu 50.34: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  1 x   ; x   Có số  2 x   m  đồng biến  2;     1 x  C 2020 D 2021 nguyên m  2020 để hàm số g  x   f  A 2018 B 2019 Lời giải Chọn B Ta có: g   x     x  1 2 x   m f   1 x  Trang 37 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Hàm số g  x  đồng biến  2;     g   x   0; x   2;      x  1 2 x  f   m   0; x   2;     1 x  2 x   f   m   0; x   2;     1 x  Ta có: f   x     x  1 1  x   x  1 x  1 x  4    2  x   x  m  1; x   2;    2 x   Do đó: f   m   0; x   2;       1 x  1   x  m  4; x   2;      x 2 x Hàm số h  x    m ; x   2;    có bảng biến thiên: 1 x 1  2 Căn bảng biến thiên suy ra: Điều kiện   khơng có nghiệm m thỏa mãn Điều kiện 1  m  1  m  ,kết hợp điều kiện m  2020 suy có 2019 giá trị m thỏa mãn u cầu tốn Nhận xét: Có thể mở rộng toán nêu sau: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  1 x   ; x   Có số 2x   h  m   đồng biến  2;     1 x  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  1 e x , có giá trị nguyên nguyên m  2020 để hàm số g  x   f  Câu 50.35: tham số m đoạn  2019; 2019 để hàm số y  g  x   f  ln x   mx  mx  nghịch biến 1; e  A 2018 B 2019 C 2020 Lời giải D 2021 Chọn B Trên 1; e  ta có g '  x   f '  ln x   2mx  m  ln x    x  1 m x Để hàm số y  g  x  nghịch biến 1; e  g '  x   ln x    x  1 m  0, x  1; e   ln x    x  1 m  0, x  1; e2   ln x   m, x  1; e  2x  Trang 38 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 ln x  Xét hàm số h  x   1; e  , ta có h '  x   2x  1  ln x x  0, x  1; e  , từ suy  x  1  m  Vậy có 2019 giá trị nguyên m thỏa toán Trang 39