y x O CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ 0967453602 d Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Chuyên đề 1: HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU Phần I Kiến thức cần nhớ Tính đơn điệu hàm số cách gọi chung tính đồng biến nghịch biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) x1 , x2 ∈ (a; b) • Nếu x1 < x2 cho f (x1 ) < f (x2 ) hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) • Nếu x1 < x2 cho f (x1 ) > f (x2 ) hàm số f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Định lý Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) khoảng (a; b) • Nếu f (x) > với x ∈ (a; b) hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) • Nếu f (x) < với x ∈ (a; b) hàm số f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Định lý Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) khoảng (a; b) • Nếu f (x) ≥ với x ∈ (a; b) f (x) = số hữu hạn điểm hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) • Nếu f (x) ≤ với x ∈ (a; b) f (x) = số hữu hạn điểm hàm số f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Tìm tập xác định Tính đạo hàm f (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, ) mà đạo hàm không xác định Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên Kết luận khoảng đồng biến (f (x) mang dấu ” + ”) khoảng nghịch biến (f (x) mang dấu ” − ”) Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 Phần II CÁC DẠNG TỐN Dạng Loại Tìm khoảng đơn điệu hàm số Khi biết công thức hàm số Phương pháp giải Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm f (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, ) mà đạo hàm khơng xác định Bước 3: Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến (f (x) mang dấu ” + ”) khoảng nghịch biến (f (x) mang dấu ” − ”) Chú ý: Chỉ viết hàm số đơn điệu khoảng có khoảng trở lên ta dùng từ "và" để nối khoảng a Ví dụ minh hoạ Ví dụ √ Cho hàm số y = 2x2 + Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) C Hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0) Hướng dẫn giải Ví dụ x Mệnh đề sau sai? x2 + A Hàm số đồng biến khoảng (−1; 1) B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) C Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−1; 1) Cho hàm số y = Hướng dẫn giải Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG b Bài tập vận dụng Câu Hàm số hàm số sau đồng biến khoảng (−∞; +∞)? x−2 B y = x4 + 3x2 C y = 3x3 + 3x − D y = 2x3 − 5x + A y = x+1 Câu Hàm số hàm số sau nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A y = x3 − 3x + B y = x4 + 2x2 + C y = −x3 + 2x2 − 4x + D y = −x3 − 2x2 + 5x − Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x2 + 1, ∀x ∈ R Mệnh đề sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) B Hàm số nghịch biến khoảng (−1; 1) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0) nghịch biến khoảng đây? Câu Hàm số y = x +1 A (−∞; +∞) B (0; +∞) C (−∞; 0) D (−1; 1) Câu Cho hàm số f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) = (1 − x) (x + 1)3 (3 − x) Hàm số cho đồng biến khoảng nào? A (−∞; 1) B (−∞; −1) C (1; 3) D (3; +∞) √ Câu Hàm số f (x) = 2022x − x nghịch biến khoảng nào? A (1010; 2022) B (2022; +∞) C (0; 1011) D (1; 2022) Câu Cho hàm số f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) = x(x − 2)3 Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? A (1; 3) B (−1; 0) C (0; 1) D (−2; 0) √ Câu Cho hàm số f (x) = x − 6x + Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (5; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (3; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) Câu Hỏi hàm số f (x) = 2x + đồng biến khoảng nào? 1 A (−∞; 0) B (−∞; − ) C (0; +∞) D (− ; +∞) 2 x+1 Câu 10 Cho hàm số y = Số mệnh đề mệnh đề sau là: x−1 (1) Hàm số nghịch biến khoảng xác định (2) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞) (3) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) ∪ (1; +∞) (4) Hàm số nghịch biến khoảng R\{1} A B C D Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Loại Liên hệ: 0967453602 Khi biết bảng biến thiên hàm số Phương pháp giải •Nếu hàm số f (x) > 0, ∀ ∈ (a; b) hay f (x) mang dấu ” + ” khoảng (a; b) hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) •Nếu hàm số f (x) < 0, ∀ ∈ (a; b) hay f (x) mang dấu ” − ” khoảng (a; b) hàm số f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Minh hoạ: x −∞ f (x) a − c b + +∞ − +∞ + +∞ f (b) f (x) f (a) f (c) Từ bảng biến thiên ta thấy f (x) mang dấu ” + ” khoảng (a; b) (c; +∞) f (x) mang dấu ” − ” khoảng (−∞; a) (b; c) Nên hàm số đồng biến khoảng (a; b) (c; +∞) hàm số nghịch biến khoảng (−∞; a) (b; c) Chú ý: Chỉ quan tâm đến dòng f (x) để xác định f (x) mang dấu a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng biên thiên hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? x −∞ f (x) −1 − +∞ + +∞ − + +∞ f (x) A (−∞; −2) B (−1; 0) C (−1; 1) D (0; 2) Hướng dẫn giải Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 LỚP TỐN THẦY CƯỜNG Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng biên thiên hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? x −∞ f (x) −1 − + +∞ +∞ − + +∞ f (x) −1 A (−∞; −2) −1 B (−∞; 1) C (−1; 3) D (2; 3) Hướng dẫn giải b Bài tập vận dụng Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biên thiên hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? x −∞ f (x) −2 − 0 + +∞ +∞ − + +∞ f (x) 1 A (−∞; −2) B (0; +∞) C (−2; 0) D (0; 2) Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biên thiên hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? x −∞ f (x) −2 − +∞ +∞ + − f (x) Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội −∞ LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 A (−∞; −2) B (−2; +∞) C (−2; 3) D (−∞; 2) Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biên thiên hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? x −∞ +∞ f (x) − − +∞ f (x) −∞ A (−∞; −2) B (−2; +∞) C (−2; 3) D (−∞; 2) Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biên thiên hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? x −∞ f (x) −1 + +∞ + 0 +∞ − f (x) −∞ −∞ −∞ A Hàm số đồng biến khoảng (−1; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) C Hàm số nghịch biến khoảng (3; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−1; 3) Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biên thiên hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? x −∞ f (x) −1 + 0 − − 0 +∞ +∞ + +∞ f (x) −∞ A (−1; 1) −∞ B (0; 1) C (4; +∞) D (−∞; 2) Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 Loại LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Khi biết đồ thị hàm số Phương pháp giải •Nếu đồ thị hàm số f (x) lên từ trái qua phải khoảng (a; b) hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) (Hình 1) •Nếu đồ thị hàm số f (x) xuống từ trái qua phải khoảng (a; b) hàm số f (x) nghịch biến khoảng (a; b) (Hình 2) y y f (b) f (a) f (a) f (b) O a b x a O b x Hình Hình Chú ý: Chỉ quan tâm đến hướng lên hay xuống đồ thị a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? y −1 O x −1 −3 A (−∞; −2) B (−1; 0) C (−1; 1) D (0; +∞) Hướng dẫn giải Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? y −2 O x −1 −4 A (−1; 0) B (−2; 1) C (0; 1) D (1; 3) Hướng dẫn giải b Bài tập vận dụng Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? y −1 O x A (−∞; 0) B (−1; 0) C (−1; 1) D (2; +∞) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG y −1 O x −1 A (−∞; 0) B (−1; 0) C (0; 1) D (2; +∞) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau đúng? y O x A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) ∪ (1; +∞) B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞) C Hàm số nghịch biến R\{1} D Hàm số nghịch biến R Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? y −1 O x −2 A (1; 2) B (−1; 0) C (0; 3) D (−2; 3) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Chọn mệnh đề đúng? Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 y O x −2 A Hàm số đồng biến khoảng R B Hàm số nghịch biến khoảng R C Hàm số đồng biến R\{1} D Hàm số nghịch biến R\{1} 10 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 Loại LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Khi biết đồ thị đạo hàm Phương pháp giải •Nếu đồ thị hàm số f (x) nằm trục Ox khoảng (a; b) f (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) nên hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) •Nếu đồ thị hàm số f (x) nằm trục Ox khoảng (a; b) f (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) nên hàm số f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Từ đồ thị ta thấy đồ thị f (x) nằm trục Ox khoảng (−∞; b) nên f (x) < khoảng (−∞; b) đồ thị f (x) nằm trục Ox khoảng (b; +∞) nên f (x) < khoảng (b; +∞) Vậy hàm số đồng biến khoảng (b; +∞) nghịch biến khoảng (−∞; b) y a O b x Chú ý: Chỉ quan tâm đến giao điểm đồ thị f (x) với trục Ox xác định đồ thị f (x) nằm hay nằm trục Ox khoảng a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? y −1 O A (−∞; −1) B (−1; 1) x C (0; 1) D (0; +∞) Hướng dẫn giải Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 11 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? y −2 A (−∞; −1) −1 O B (−1; 1) x C (0; 1) D (1; +∞) Hướng dẫn giải b Bài tập vận dụng Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? y −2 −1 O x A (1; 2) B (−2; 1) C (0; 1) D (−1; 2) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? 12 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG y −2 −1 O x A (−∞; −2) B (−2; 1) C (0; 1) D (−1; +∞) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? y −2 −1 O x A (−∞; −2) B (−2; 1) C (−2; −1) D (−1; 1) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng nào? y −3 x O A (−∞; −2) B (−3; 0) C (0; +∞) D (−5; −4) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? y −1 O A (−∞; −1) B (1; 2) Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội x C (0; +∞) D (−1; 1) 13 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Dạng Loại Liên hệ: 0967453602 Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng cho trước Hàm số bậc ba Phương pháp giải Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d(a 6= 0) ( a>0 •Hàm số đồng biến R khoảng (−∞; +∞) ⇔ b2 − 3ac ≤ ( a a>0 Nên 3ax2 + 2bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔ (2b) − 4.3a.c ≤ b2 − 3ac ≤ Tương tự hỏi nghịch biến a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m − 1)x2 − x + Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D Hướng dẫn giải Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; +∞)? A Không tồn m B m 6= C m = D Vô số Hướng dẫn giải 14 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG b Bài tập vận dụng Câu Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + Có giá trị nguyên tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D Câu Cho hàm số y = (m − m)x3 + 2mx2 + 3x − Có giá trị nguyên tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D 2 Câu Cho hàm số y = mx + mx + (m − m)x + Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; +∞)? 4 4 A m ≤ m 6= B m ≥ m = C m ≤ D m ≥ 3 3 Câu Cho hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3x + Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; +∞)? A < m ≤ B < m < C ≤ m ≤ D ≤ m < 2 Câu Cho hàm số y = (m − 1)x + (m − 1)x − x + Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 15 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Loại Liên hệ: 0967453602 Hàm phân thức bậc bậc Phương pháp giải ax + b (c 6= 0, ad − bc 6= 0) cx + d •Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ ad − bc > •Hàm số nghịch biến khoảng xácđịnh ⇔ ad − bc < ad − bc > •Hàm số đồng biến khoảng (α; β) ⇔ d − ∈ / (α; β) c ad − bc < •Hàm số nghịch biến khoảng (α; β) ⇔ d − ∈ / (α; β) c Chứng minh công thức: d Tập xác định: D = R\{− } c ad − bc Có y = (cx + d)2 •Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ y > 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc > Tương tự hỏi nghịch biến •Hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (α; β) ⇔ y > 0, ∀x ∈ (α; β) ( ad − bc > y > 0, ∀x ∈ D Do ⇔ d − ∈ (α; β) ⊂ D / (α; β) c Tương tự hỏi nghịch biến ag(x) + b Chú ý: Khi hàm số có dạng y = đồng biến khoảng (α; β) ta đặt cg(x) + d t = g(x) ⇒ α < x < β ⇔ g(α) < g(x) < g(β) ⇔ t ∈ (g(α; g(β)) xét trường hợp sau: TH1: Nếu t0 = g (x) > 0, ∀x ∈ (α; β) hàm số g(x) đồng biến khoảng (a; b) Khi at + b đồng biến khoảng (g(α); g(β)) y = ct + d TH2: Nếu t0 = g (x) < 0, ∀x ∈ (α; β) hàm số g(x) nghịch biến khoảng (a; b) Khi at + b y = nghịch biến khoảng (g(α); g(β)) ct + d ag(x) + b Tương tự: Khi hàm số có dạng y = nghịch biến khoảng (α; β) cg(x) + d Xét hàm số bậc ba y = a Ví dụ minh hoạ Ví dụ x−2 Có tất giá trị nguyên dương tham số m để hàm x−m số cho đồng biến khoảng (1; +∞)? A B C D Cho hàm số y = Hướng dẫn giải 16 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Ví dụ tanx − Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến tanx − m khoảng (0; 1)? A m ≤ ≤ m < B m ≤ C ≤ m < D m ≥ Cho hàm số y = Hướng dẫn giải b Bài tập vận dụng Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = khoảng (6; +∞)? A B x+1 nghịch biến x + 3m C D Vơ số x+2 Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = đồng biến x + 5m khoảng (−∞; −10)? A B C D Vô số mx − 2m − Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = đồng biến x−m khoảng xác định? A B C D Vô số mx + 4m Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = nghịch biến x+m khoảng xác định? A B C D Vô số cosx − π Câu Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = nghịch biến khoảng (0; )? cosx − m A m > B m ≤ ≤ m < C m < D m ≤ cosx − π Câu Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = nghịch biến khoảng ( ; π)? cosx − m A ≤ m < m ≤ −1 B < m < m < −1 C m ≤ D m < √ (4 − m) − x Câu Có giá trị nguyên tham số m ∈ (−10; 10) để hàm số y = √ 6−x+m đồng biến khoảng (−8; 5)? A 14 B 13 C 12 D 15 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 17 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Loại Liên hệ: 0967453602 Cô lập tham số m Phương pháp giải Để hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) ⇔ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) (1) Ta biến đổi (1) hai dạng sau: • m ≥ g(x), ∀x ∈ (a; b) ⇔ m ≥ max g(x) (a;b) • m ≤ g(x), ∀x ∈ (a; b) ⇔ m ≤ g(x) (a;b) Tương tự hỏi nghịch biến Chứng minh công thức: y m y=m max g(x) A g(x) g(x) B m O y=m a b x Ta thấy để m ≥ g(x), ∀x ∈ (a; b) ⇔ m ≥ max g(x), tức đường thẳng y = m nằm (a;b) qua điểm A (là điểm cao đồ thị g(x) khoảng (a; b)) Tương tự hỏi m ≤ g(x), ∀x ∈ (a; b) Chú ý: Để tìm max hàm số g(x) khoảng (a; b) ta chọn hai cách sau: Cách 1: Tạm gọi Giải tay Tính g (x) Giải phương trình g (x) = khoảng (a; b) Sắp xếp nghiệm từ nhỏ đến lớn lập bảng biến thiên Kết luận giá trị lớn nhỏ khoảng (a; b) Cách 2: Tạm gọi Giải máy Bấm MODE (với casio 580) MODE (với casio 570) Nhập g(x) vào máy tương ứng F (X) Cho start = −9, end = step = (ưu tiên cho step = 0, trước) Giá trị lớn nhỏ nằm cột F (X) 18 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 a LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Ví dụ minh hoạ Ví dụ x3 − (m − 1)x2 + 3(m − 1)x + Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (1; +∞)? A B C D Cho hàm số y = Hướng dẫn giải Ví dụ Cho hàm số y = x3 − mx2 − (m − 6)x + Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (0; 4)? A (−∞; 6] B (−∞; 3) C (−∞; 3] D [3; 6] Hướng dẫn giải b Bài tập vận dụng Câu Cho hàm số y = x3 − 3x2 + (4 − m)x Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (2; +∞)? A (−∞; 2] B (−∞; 4] C (−∞; 1) D (−∞; 4) Câu Cho hàm số y = x − 3mx − m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0; 1)? 1 C m ≤ D m ≥ A m ≥ B m < 2 Câu Cho hàm số y = x3 − 3x2 − mx + 2021 Có giá trị nguyên tham số m ∈ (−2020; 2020) để hàm số cho đồng biến khoảng (0; +∞)? A 2018 B 2019 C 2020 D 2017 Câu Cho hàm số y = −x − 6x + (4m − 9)x + Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; −1)? 3 A (−∞; − ] B [0; +∞) C (−∞; 0] D [− ; +∞) 4√ Câu Cho hàm số y = 2x3 − mx2 + 2x + Với giá trị tham số m ≥ a b (a, b ∈ Z) đồng biến khoảng (−2; 0) a − b bằng: A B −2 C D −5 Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = 3x + 6x + 4, ∀x ∈ R Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g(x) = f (x)−(2m+4)x−5 nghịch biến khoảng (0; 2)? A 2008 B 2007 C 2018 D 2019 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 19 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 √ Câu Cho hàm số y = x2 + − mx − Có giá trị nguyên tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; +∞)? A 2017 B 2019 C 2020 D 2018 Câu Cho hàm số y = x4 − (m − 1)x2 − Có giá trị nguyên tham số m 4x để hàm số cho đồng biến khoảng (0; +∞)? A B C D 1−m Có giá trị nguyên tham số m để hàm Câu Cho hàm số y = x + + x−2 số cho đồng biến khoảng [5; +∞)? A B C 10 D 11 Câu 10 Cho hàm số y = x3 + mx − Có giá trị nguyên âm tham số m để 5x hàm số cho đồng biến khoảng (0; +∞)? A B C D 20 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 Loại LỚP TỐN THẦY CƯỜNG Khơng lập tham số m Phương pháp giải Xét hàm số f (x) có đạo hàm có dạng f (x) = ax2 + bx + c Khi biệt thức ∆ = b2 − 4ac > phương trình f (x) = có nghiệm phân biệt x1 , x2 với x1 < x2 Xét hệ số a > ta có bảng xét dấu x f (x) x1 −∞ + x2 − +∞ + (a; b) ⊂ (−∞; x1 ) x1 ≥ b •Để hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) ⇔ (a; b) ⊂ (x2 ; +∞) ( x2 ≤ a x1 ≤ a •Để hàm số f (x) nghịch biến khoảng (a; b) (a; b) ⊂ (x1 ; x2 ) ⇔ x2 ≥ b Tương tự xét hệ số a < Chú ý: b Khi hệ số b số chẵn ta dùng ∆0 = b02 − ac với b0 = Khi ∆0 > phương √ √ b0 − ∆0 b0 + ∆0 trình có nghiệm phân biệt x1 = x2 = a a ( √ √ A, khiA ≥ Nếu ∆0 = A2 = |A| = −A, < a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3mx2 − 9m2 x + 2021 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0; 1)? 1 B m ≥ A −1 < m < 3 C m ≥ m ≤ D m ≤ −1 Hướng dẫn giải Ví dụ Cho hàm số y = x3 − (2m + 1)x2 + (m2 + 2m)x + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (0; +∞)? A m ≤ B m ≤ −2 C m ≥ D m < Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 21 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 Hướng dẫn giải b Bài tập vận dụng Câu Cho hàm số y = x3 − 3(m + 2)x2 + 3(m2 + 4m)x + Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0; 1)? A B C D 2 Câu Cho hàm số y = x − (m + 1)x − (m − 2m)x + m Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (1; 2)? A m ≤ −4 B m ≥ C m ≤ −4 m ≥ D −4 ≤ m ≤ 2 Câu Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1)x + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; 2) (4; +∞)? A m ≤ B m ≥ C m = D m 6= 3 Câu Cho hàm số y = x − (m + 1)x2 + (m2 + 2m)x − Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (−1; 1)? A [−1; 0] B ∅ C −1 D 2 Câu Cho hàm số y = x − (m + 1)x − (2m − 3m + 2)x + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng [2; +∞)? 3 A [−2; ] B [−2; +∞) C (−∞; ] D (−2; ) 2 2 Câu Cho hàm số y = x − (m + 1)x2 + (3m − 15)x + 2021 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [−10; 10] để hàm số cho nghịch biến đoạn [1; 2]? A 20 B 10 C 18 D 22 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 Dạng LỚP TỐN THẦY CƯỜNG Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu khoảng có độ dài k Phương pháp giải Xét hàm số f (x) có đạo hàm có dạng f (x) = ax2 + bx + c Khi biệt thức ∆ = b2 − 4ac > phương trình f (x) = có nghiệm phân biệt x1 , x2 với x1 < x2 Xét hệ số a > ta có bảng xét dấu x x1 −∞ f (x) + x2 − +∞ + √ Để hàm số f (x) nghịch biến khoảng có độ dài k ⇔ ∆ = k |a| Tương tự hệ số a < 0: √ ∆ Để hàm số f (x) đồng biến khoảng có độ dài k ⇔ = k |a| Chứng minh công thức: Khi hệ số a > hàmpsố nghịch biếnptrên khoảng (x1 ; x2 ) Khi độ dài khoảng (x1 ; x2 ) |x1 − x2 | = (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 x + x = − b a Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 = c r √ b2 − 4ac ∆ b c = Nên |x1 − x2 | = (− ) − = a a a |a| Tương tự hệ số a < hàm số đồng biến khoảng (x1 ; x2 ) a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 2021 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng có độ dài 3? 15 15 15 15 A m = B m = − C m = D m = − 4 2 Hướng dẫn giải Địa chỉ: 54 Hồng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 23 LỚP TỐN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 Ví dụ Cho hàm số y = − x3 + (m − 1)x2 + (m − 3)x + m Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng có độ dài 4? A m = {2; 3} B m = {−2; 3} C m = {−3; −2} D m = {2; 3} Hướng dẫn giải b Bài tập vận dụng x + (m − 1)x2 + (2m − 3)x − Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng có độ dài 2? A m = {−3; 1} B m = {−1; 3} C m = {−3; −1} D m = {1; 3} Câu Cho hàm số y = 2x + 3(m − 1)x + 6(m − 2)x + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng có độ dài lớn 3? A m > B < m < C m < m > D m < Câu Cho hàm số y = −x + 3x + (m − 1)x + 2m − Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng có độ dài nhỏ 1? A m < −2 B −2 < m < − 5 C m < −2 m > − D m > − 4 Câu Cho hàm số y = (m + 1)x3 − 3(m + 1)x2 + 2mx + 2021 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng có độ dài không nhỏ 1? A m ≤ −9 B m > −1 m ≤ −9 C m > −1 D m ≥ −1 m ≤ −9 Câu Cho hàm số y = −2x + 3mx − Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng (a; b) cho b − a = 1? A m = − B m = ±2 C m ≤ D m = ±1 Câu Cho hàm số y = 24 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 Dạng Loại LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Hàm hợp Hàm hợp đơn Phương pháp giải Để tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x) = f (u(x)) ta làm sau: Bước 1: Tính đạo hàm g (x) = u0 (x).f (u(x)) u (x) = 0 Bước 2: Giải phương trình g (x) = ⇔ f (u(x)) = 0 0 Bước 3: Tìm điểm mà f (x) = x = a, b, nên f (a) = f (b) = = u(x) = a Khi đó: f (u(x)) = ⇔ u(x) = b Bước 4: Sắp xếp nghiệm phương trình g (x) = theo thứ tự từ nhỏ đến lớn lập bảng xét dấu theo mẫu sau: x1 −∞ x x2 xn +∞ u0 (x) f (u(x)) g (x) Bước 5: Xác định dấu g (x) khoảng để xác định khoảng đơn điệu ” + ” (đồng biến) ” − ” (nghịch biến) a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu f (x) sau: x f (x) −∞ −1 − +∞ − Hàm số g(x) = f (x2 − 2) nghịch biến khoảng sau đây? A (−2; −1) B (2; +∞) C (0; 2) + D (−1; 0) Hướng dẫn giải Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 25 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: y −6 −1 O Hàm số g(x) = f (3 − x2 ) đồng biến khoảng sau đây? A (0; 1) B (−1; 0) C (2; 3) x D (−2; 1) Hướng dẫn giải b Bài tập vận dụng Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu f (x) sau: x −∞ f (x) −3 − −1 + − Hàm số g(x) = f (3 − 2x) nghịch biến khoảng sau đây? A (−2; −1) B (2; 4) C (1; 2) Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu f (x) sau: x f (x) −∞ −2 − + + D (4; +∞) +∞ + Hàm số g(x) = f (x2 + 2x) nghịch biến khoảng sau đây? A (−2; 1) B (−4; −3) C (0; 1) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: 26 +∞ − D (−2; −1) Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG y O x Hàm số g(x) = f (x − x2 ) nghịch biến khoảng sau đây? 3 A (− ; +∞) B (−∞; ) C ( ; +∞) 2 Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: D (−∞; ) y −1 O x −2 −4 Xét hàm số g(x) = f (x2 − 2) Mệnh đề sau sai? A Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (0; 2) B Hàm số g(x) đồng biến khoảng (2; +∞) C Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (−1; 0) D Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (−∞; −2) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: y −1 O x Hàm số g(x) = f (|x − 3|) đồng biến khoảng đây? A (4; 6) B (−1; 2) C (−∞; −1) D (2; 3) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) = x(x − 1) (x − 2), ∀x ∈ R Hàm số 5x g(x) = f ( ) đồng biến khoảng đây? x +4 A (−∞; −2) B (−2; 1) C (0; 2) D (2; 4) Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 27 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Loại Liên hệ: 0967453602 Hàm hợp ghép Phương pháp giải Xét hàm số g(x) = f (ax + b) + u(x) có đạo hàm g (x) = a.f (ax + b) + v (x) TH1: Khi biết bảng xét dấu đạo hàm f( (x): a.f (ax + b) > •Để hàm số g(x) đồng biến g (x) > ⇔ u0 (x) > ( a.f (ax + b) < •Để hàm số g(x) nghịch biến g (x) > ⇔ u0 (x) < Giải hệ bất phương trình để tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x) TH2: Khi biết đồ thị đạo hàm f (x): u0 (x) Giải phương trình g (x) = ⇔ f (ax + b) = − a u (x) Đặt t = ax + b biến đổi − = v(t) với v(t) nhị thức bậc tam a thức bậc hàm số bậc hàm số trùng phương Khi g (x) = thành g (t) = ⇔ f (t) = v(t) hay g (t) = f (t) − v(t) Vẽ đồ thị f (t) v(t) đồ thị có sẵn (coi đồ thị f (x) đồ thị f (t) coi x t vẽ đồ thị) Tìm giao điểm f (t) v(t) lập bảng xét dấu theo mẫu sau: t −∞ g (t) t1 t2 0 tn +∞ Để xét dấu g (t) khoảng ta xét xem đồ thị f (t) nằm đồ thị v(t) (tức f (t) > v(t)) hay đồ thị f (t) nằm đồ thị v(t) (tức f (t) < v(t)) Ví dụ, đồ thị f (t) nằm đồ thị v(t) khoảng (t1 ; t2 ) f (t) > v(t) Nên g (t) = f (t) − v(t) > khoảng (t1 ; t2 ) hay g (t) > ⇔ t1 < t < t2 Do t = ax + b nên g (x) > ⇔ t1 < ax + b < t2 ⇔ c < x < d ⇔ Hàm số g(x) đồng biến khoảng (c; d) Làm tương tự, ta tìm khoảng đồng biến nghịch biến khác hàm số g(x) a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu f (x) sau: x f (x) −∞ − + + +∞ − + Hàm số g(x) = 3f (x + 2) − x3 + 3x đồng biến khoảng sau đây? A (−∞; −1) B (−1; 0) C (0; 2) D (1; +∞) Hướng dẫn giải 28 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: y −2 x O −2 Hàm số g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x nghịch biến khoảng sau đây? A (1; ) B (0; ) C (−2; −1) D (2; 3) 2 Hướng dẫn giải b Ví dụ minh hoạ Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu f (x) sau: x −∞ f (x) + − − +∞ + − Hàm số g(x) = f (x − 1) + x3 − 12x + 2021 nghịch biến khoảng sau đây? A (1; +∞) B (1; 2) C (−∞; 1) D (3; 4) Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu f (x) sau: x f (x) −∞ − + Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội + +∞ − + 29 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 √ Hàm số g(x) = 2f (1 − x) + x2 + − x nghịch biến khoảng sau đây? A (−∞; −2) B (−∞; 1) C (−2; 0) D (−3; −2) Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu f (x) sau: x −∞ f (x) −4 + −1 − − 0 +∞ + − Hàm số g(x) = f (2x + 1) + x3 − 8x + 2021 nghịch biến khoảng sau đây? A (−∞; −2) B (1; ∞) C (−1; 7) D (−1; ) Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu f (x) sau: x f (x) −∞ −1 + − − 0 +∞ + − Hàm số g(x) = 3f (2 − x) + x3 + 3x2 − 9x nghịch biến khoảng sau đây? A (−2; 1) B (−∞; −2) C (0; 2) D (2; +∞) Câu Cho hàm số y = f (x) có f (x) = (3 − x)(10 − 3x) (x − 2)2 , ∀x ∈ R Hàm số g(x) = f (3 − x) + (x2 − 1)3 đồng biến khoảng sau đây? A (−∞; 0) B (0; 1) C (1; +∞) D (−∞ − ) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: y −1 O x −2 Hàm số g(x) = f (3x + 1) + 9x3 + x2 đồng biến khoảng sau đây? A (−1; 1) B (−2; 0) C (−∞; 0) D (1; +∞) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: y −3 O x −1 −3 30 Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Hàm số g(x) = f (1 − x) + x2 − x nghịch biến khoảng sau đây? B (−2; 0) C (−3; 1) D (1; 3) A (−1; ) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: y −1 O x −2 Hàm số g(x) = −2f (2 − x) + x2 nghịch biến khoảng sau đây? A (−3; −2) B (−2; −1) C (−1; 0) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: D (0; 2) y −4 −2 O x −3 Hàm số g(x) = 3f (x) + x3 − 6x2 + 9x đồng biến khoảng sau đây? A (0; 2) B (−1; 1) C (1; +∞) D (−2; 0) Câu 10 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) sau: y −4 −2 O x −3 Hàm số g(x) = 3f (x) + x3 − 6x2 + 9x đồng biến khoảng sau đây? A (0; 2) B (−1; 1) C (1; +∞) D (−2; 0) Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 31