Chuyên đề 3 hệ thức viet

CHUN ĐỀ ƠN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN  TỐN CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI -ÉT VÀ ỨNG DỤNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình bậc hai a) Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax  bx  c 0 , x ẩn; a, b, c nhũng số cho truớc goi hệ số a 0 b ) Công thức nghiệm phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax  bx  c 0  a 0   Nhẩm nghiệm: c Nếu a  b  c 0 phương trình ax  bx  c 0  a 0  có hai nghiệm x1 1; x2  a c Nếu a  b  c 0 phương trình ax  bx  c 0  a 0  có hai nghiệm x1  1; x2  a  Giải với  : Tính  :  = b2 – 4ac  b Δ  b Δ  Nếu Δ  phương trình có nghiệm phân biệt x1  ; x2  2a  Nếu Δ 0 phương trình có nghiệm kép x1 x2  2a b 2a  Nếu Δ  thi phuơng trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình có a c trái dấu thi Δ  Khi phuơng trình có nghiệm phân biệt Giải phương trình quy phương trình bậc hai Phương trình trùng phương: Cho phương trình: ax  bx  c 0  a 0  Phương pháp: Đặt ẩn phụ: Đặt t  x  t 0  Ta phương trình: at  bt  c 0 (2) *) Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có nghiệm dương phương trình trùng phương có nghiệm *) Nếu phương trình trung gian có nghiệm dương, nghiệm âm có GV: Lưu Thị Thu Hà 101 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN nghiệm kép dương phương trình trùng phương có nghiệm *) Nếu phương trình trung gian có nghiệm âm vơ nghiệm phương trình trùng phương vô nghiệm Hệ thức Vi-ét Hệ thức Viet ứng dụng2 Hệ thức Viet ứn2 Hệ thức Viet ứng b  S  x1  x2    a a) Nếu x1 ; x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c 0  a 0  thì:   P  x x  c  a  c) Muốn tìm hai số u v , biết u  v S ; uv P , ta giải phương trình: x  Sx  P 0 (Điều kiện để có u v S  P 0 ) Sủ dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức cho suất tổng tích nghiệm tù tính đuợc giá trị biểu thức Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số) * Phương pháp giải:  Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm (  0 a.c < 0)  b   S x1  x2  a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình   P x x c  a Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S  P  Đó hệ thức độc lập với tham số Tìm hai số biết tổng tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó: * Phương pháp giải: u  v S  u, v hai nghiệm phương trình: x – u v  P  Nếu số u v c ó:   Sx + P = (*)  Giải pt (*):  + Nếu  > pt (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 u x1 u x2   v x2  v x1 Vậy  + Nếu  =  pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 =  GV: Lưu Thị Thu Hà 102 b' b' Vậy u = v =  a a CHUN ĐỀ ƠN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN + Nếu  <  pt (*) vô nghiệm Vậy khơng có số u, v thỏa đề Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức  Biến đổi  đưa dạng:  = (A  B)2 + c > 0,  m (với c số dương) Kết luận: Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với tham số m Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm với giá trị tham số m:    * Phương pháp giải:  Lập biệt thức   Biến đổi  đưa dạng:  = (A  B)2  0,  m  Kết luận: Vậy phương trình cho ln nghiệm với tham số m Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải:  Lập biệt thức   Biện luận: + Phương trình có nghiệm phân biệt khi:  >  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận + Phương trình có nghiệm kép  =  giải pt  tìm tham số m  kết luận + Phương trình vơ nghiệm  <  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận + Phương trình có nghiệm    giải bất pt  tìm tham số m  kết luận * Phương trình có nghiệm trái dấu khi: a.c <  giải bất pt  tìm tham số m Xác định giá trị nhỏ biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A  B)2 + c  P = (A  B)2 + c   c  Giá trị nhỏ P: P = c A  B =  giải pt  tìm tham số m  kết luận Xác định giá trị lớn biểu thức: * Phương pháp giải:  Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A  B)2  Q = c – (A  B)2  c Giá trị nhỏ Q: Qmax = c A  B =  giải pt  tìm tham số m  kết luận GV: Lưu Thị Thu Hà 103 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TOÁN Các hệ thức liên hệ hai nghiệm thường vận dụng để giải toán: 1) x12  x22  x1  x2   x1 x2 x12  x22  x1  x2   4) x1  x2   x1  x2   2  x1 x2 x1  x2  x1  x2    x1  x2   x1 x2     2) x13  x23  x1  x2   3x1 x2  x1  x2  3) x14  x24   x1  x2   x1.x2  x1  x2   x12 x22  x1.x2 5)  x1  x2   x1  x2   x1 x2  x1  x2  1 x1  x2 6) x  x  x x 2 x  x 1    x1 x2 x1 x2 7) x1 x2 x12  x22 ( x1  x2 )2  x1.x2    x2 x1 x1.x2 x1.x2 8) 1 x12  x22  x1  x2   x1.x2    x12 x22 x12 x22  x1.x2  2  x1  x2   x1.x2  x1  x2   x1 x2 x1 x2  x1  x2  x1 x2 x  x2    x2 x1 x1 x2  x1  x2   x1 x2 x1 x2 Một số phép biến đổi thường gặp • x1 – x 2 2 xét x1 – x   x1 – x    x1  x  – 4x1x 2 xét  x1  | x |  x1  x  x1 x • x1  x 2  x12  x12  x1x   x1  x  – 2x1x  x1x 2 Chú ý : A  A , A  B   A  B  , A B  A.B Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số: S = x1+ x2 = x1.x2 = b ; a P= c a  Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a  0) có: ① Có nghiệm (có hai nghiệm)    ② Vô nghiệm   < ③ Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau)   = GV: Lưu Thị Thu Hà 104 CHUN ĐỀ ƠN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN ④ Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > ⑤ Hai nghiệm dấu   P > ⑥ Hai nghiệm trái dấu   > P <  a.c < ⑦ Hai nghiệm dương(lớn 0)   P > S > ⑧ Hai nghiệm âm(nhỏ 0)   P > S < ⑨ Hai nghiệm đối   S = ⑩ Hai nghiệm nghịch đảo   P = B BÀI TẬP DẠNG : Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Lý Thuyết cần nhớ : Biểu thức đối xứng nghiệm x1 x2 phương trình ax  bx  c 0 biểu thức có giá trị khơng thay đổi ta hốn vị x1 x2 Ta biểu thị biểu thức đối xứng nghiệm x1 x2 theo S P , ví dụ Bài 1: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x   0 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: A 1  ; B x12  x2 ; C  x1  x2 ; D  x13  x2 x1 x2 Bài 2: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: 3x  x  0 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: A  3x1  x2   3x2  x1  B x2 x  x1  x2  C  x1  x2 D x1  x2   x1 x2 Bài 3: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x  0 Khơng giải phương trình a) Tính giá trị biểu thức sau: A 1  ; B  x1  x2 x1  x2  C  x1  x2 ; D  x1  x2 E x14  x2 ; F  x1  x2   3x2  x1  GV: Lưu Thị Thu Hà 105 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN 1 b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x  x  Bài 4: Cho phương trình x  12 x  0 có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức T  x12  x22 x1  x2 DẠNG 2: Tìm giá trị tham số m biết hệ thức đối xứng nghiệm Lý thuyết cần nhớ: Bài tốn thường gặp Tìm m để phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x thỏa mãn biểu thức đối xứng x1 , x Bước Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x ' • ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1 , x        ' • ax  bx  c   a   có hai nghiệm phân biệt x1 , x      >  Bước Biến đổi biểu thức đối xứng x1 , x tổng x1  x tích x1.x Bước Sử dụng định lý Viet, ta có x1  x  b c , x1x  thay vào biểu thức chứa a a tổng x1  x tích x1x Giải m , đối chiếu điều kiện bước  BÀI TẬP Bài Cho phương trình x  x  m 0 ( m tham số) a) Giải phương trình m 6 b) Tìm m dể phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 3 Bài Giải phương trình x   m  1 x  m  0 (1) (với m tham số) a) Giải phương trình với m  b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12  x22 10 2 Bài Tìm giá trị m để phương trình x   m  1 x  m  0 có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  x2 10 Bài Cho phương trình x  x  m  0 (1) (với m tham số) a) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) GV: Lưu Thị Thu Hà 106 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN Tìm tất 2 giá trị m để x  x  3x1 x2  0 Bài Cho phương trình x  x  m 0 ( m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12  x22 10 2 Bài Cho phương trình x   m  1 x  m  m  0(m tham số).Tìm m để phương 1 trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x  x 4 Bài Cho phương trình x  x  m  0 ( m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  Tính nghiệm cịn lại b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x13  x23 8 2 Bài Cho phương trình: x   m 1 x  m  0 Tìm tát giá trị tham số m để x x phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x  x 2 2 Bài Cho phương trình bậc hai với tham số m : x   m  1 x  2m  0 (1) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Tìm tất giá trị m thỏa mãn: x1  x2  x1 x2 1 2 Bài 10 Cho phương trình x   m  1 x  m  0 Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x1  3  x2  x2  3 6 Bài 11 Cho phương trình: x  2mx  0 (1) (với m tham số) a) Giải phương trình (1) với m 1 b) Tìm tất giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x12  x22  3x1 x2 1 Bài 12 Cho phương trình x  x  m  0 (1) ( x ẩn số, m tham số) Tìm m để 2 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn  x1     x   2 Bài 13 Cho phương trình bậc hai x  2mx  m  2m  0 , với m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x13  x23 108 Bài 14 Tìm giá trị tham số m cho phương trình x  2mx  m  2m  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  x1  x2  GV: Lưu Thị Thu Hà 107 CHUN ĐỀ ƠN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN Bài 15 Cho phương trình x   m  3 x   m  1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho biểu thức T x12  x22 đạt giá trị nhỏ 2 Bài 16 Cho phương trình x   m  1 x  4m  m 0 Tìm m dể phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho biểu thức A  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Bài 17 Cho phương trình x  mx  0 Tìm m đề phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 4 Bài 18 Cho phuong trình x  mx  2m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 3 Bài 19 Cho phương trình x  mx  m  0( x ẩn số m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phān biệt x1 x2 với m Tìm tất giá trị nguyên dương m để  x1  1  x2  1  Bài 20 Cho phương trình: x  mx  m  0 (có ẩn số x ) a Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x2 với m 2x x  b Cho biểu thức B  x  x    x x  Tìm giá trị m để B 1 2 DẠNG : Tìm giá trị tham số m hệ thức không đối xứng nghiệm Phương pháp : Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x2 ax  bx  c 0  a 0  có hai nghiệm x1 , x2   0   0  ax  bx  c 0  a 0  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2        TH1 : Nếu biểu thức D ( lẻ) ( khơng có dạng bình phương ) Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có x1  x2  Bước 3: Giải hệ x1  x2  b c , x1 x2  (*) a a b biểu thức cho để tìm x1 , x2 theo m a c Bước 4: Thay x1 , x2 vừa tìm vào x1 x2  để giải m a TH2: Nếu biểu thức D ( chẵn) ( có dạng bình phương ) Khi tính   ' mà bình phương biểu thức ta giải theo cách tìm hai nghiệm x1 , x2 GV: Lưu Thị Thu Hà 108 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TOÁN Giải theo cách cần ý phải xét hai trường hợp Trường hợp 1: Xét x1  b   b  ; x2  2a 2a Trường hợp 2: Xét x1  b  b  ; x2  2a 2a Sau thay giá trị x1; x2 vừa tìm vào hệ thức đề hỏi giải tìm m 2  BÀI trình x   m 1 x  m  2m 0 (với m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (với x1  x2 ) thỏa mãn: x1 3 x2 Bài Cho phương trình x   2m   x  2m 0 ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2 Bài Cho phương trình: x   m  1 x  2m  0 với m tham số a)Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b)Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2 2 Bài Cho phương trình x  x  m  0 (1) ( m tham số) a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm giá trị m cho x12  x1 x2  x2 7 2 Bài Cho phương trình x   m  1 x  m  m  1 1 a) Giải phương trình với m  b) Chứng minh với m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Giả sử hai nghiệm x1; x2  x1  x2  , tìm m để x2  x1 2 Bài Cho phương trình: x   m   x  2m 0 (1) với x ẩn số a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm giá trị m để hai nghiệm phương trình thỏa hệ thức x2  x1  x12 Bài Cho phương trình: x  x  2m 0 (1) với x ẩn số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m b) Tìm giá trị m để hai nghiệm phương trình thỏa hệ thức x12 4 x22 2 Bài Cho phương trình: x   2m  1  m  m  0  * a) Tìm m để phương trình  * có hai nghiệm GV: Lưu Thị Thu Hà 109 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN b) Tìm m để phương trình có nghiệm âm 3 c) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 50 Bài 10 Cho phương trình x  x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x2  x1 Bài 11 Cho phương trình x   k  1 x  4k 0 Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phân biệt thỏa mãn 3x1  x2 2 Bài 12 Cho phương trình x  x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x2  x12 Bài 13 Cho phương trình x  3x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x1  x2 3 Bài 14 Cho phương trình x   m  1 x  4m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  3x2 Bài 15 Cho phương trình x  x  4a  a 0 Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x1  x22  Bài 16 Cho phương trình x   2m   x  2m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x1  x2 7 Bài 17 Cho phương trình x  2mx  m  0 Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x  x 1 DẠNG 4: Tìm tham số m mà hệ thức xuất thêm ẩn m ( không thuộc dạng dạng 3) Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1, x2 + ax  bx1  c 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2   0 ( ' 0) + ax  bx  c 0 (a 0) có hai nghiêm phân biệt x1 , x2    ( '  0) Bước 2: Sử dụng x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c 0 nên GV: Lưu Thị Thu Hà 110 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TOÁN  ax12  bx1  c 0   ax  bx  c   2 ax12  bx1  c  ax2  bx2  c Và kết hợp định lý Vi- et : ìï -b ïï S = x1 + x2 = ï a í ïï c ïï P = x1 x2 = a ïỵ Bước : Thay Bước cách hợp lý để đưa hệ thức đề hỏi ban đầu dạng đơn giản ( Dạng )  BÀI TẬP Bài Cho phương trình: x  2mx  4m  0 (1) ( m tham số) a) Giải phương trình (1) m  b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m 33 c) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để: x12   m  1 x1  x2  2m  762019 2 2 Bài Cho phương trình x   2m  1 x  m  0 ( m tham số).Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x  2mx1  m   x2  1 1 Bài Cho phương trình x  2mx  2m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân x x 1 biệt x1, x2 cho P  x  2mx   2m đạt giá trị nhỏ 2 Bài Cho phương trình x  x  m  0  1 ( m tham số) a) Giải phương trình (1) m 2 b) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm x1 , x2 thóa mãn điều kiện x22  x1  m  11m  26 0 Bài Cho phương trình: x   m  1 x  2m 0(m tham số) Giả sứ x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhó biểu thức: P x1   m  1 x2  x1 x2 Bài Cho phương trình x  mx  0 Chứng minh với m , phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 giá trị biểu thức H  phụ thuộc vào m GV: Lưu Thị Thu Hà 111 x12  x1  16 x22  x2  16  không x1 3x2 CHUN ĐỀ ƠN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN Bài Cho phương trình x  x  m  0 Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x x 1 phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x  x   x  x   1 DẠNG : Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp: Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số: S = x1+ x2 = x1.x2 = b ; a P= c a  Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a  0) có: ① Có nghiệm (có hai nghiệm)    ② Vô nghiệm   < ③ Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau)   = ④ Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > ⑤ Hai nghiệm dấu   P > ⑥ Hai nghiệm trái dấu   > P <  a.c < ⑦ Hai nghiệm dương(lớn 0)   P > S > ⑧ Hai nghiệm âm(nhỏ 0)   P > S < ⑨ Hai nghiệm đối   S = ⑩ Hai nghiệm nghịch đảo   P =  BÀI TẬP Bài Cho phương trình x   m  1 x  m 0 ( 1) Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại Bài Cho phương trình với tham số a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với b) Gọi biểu thức hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị nguyên nhạ̄n giá trị số nguyên Bài Cho phương trình x   m  1 x  2m  0(m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m GV: Lưu Thị Thu Hà 112 để CHUN ĐỀ ƠN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Bài Cho phương trình bậc hai: x   m  1 x   m 1 0  1 a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm lớn nghiệm nhỏ b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm nhỏ 2 Bài Cho phương trình x   m   x  m  0 Tìm m đề phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Bài Cho phương trình x   m   x  m  0 Tìm m dể phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thóa mãn x1 0  x2 Bài Cho phương trình x  2mx  4m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoá mãn x1  2, x2  Bài Cho phương trình x   m  3 x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1    x2 Bài Tìm tất số tự nhiên m để phương trình x  m2 x  m 1 0(m tham số) có nghiệm nguyên Bài 10 Cho phương trình x   m  3 x  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 số nguyên Bài 11 Cho phương trình x  20 x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 số nguyên tố DẠNG 6: DẠNG TỐN CĨ THÊM ĐIỀU KIỆN PHỤ Phương pháp: Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ hai vế lớn Nếu có  x1  x2 0 x1 , x2 ta cần thêm diều kiện phụ x1 0; x2 0    x1 x2 0 Nếu x1 , x2 độ dài hai cạnh đa giác ta cần thêm diều kiện phụ là:  x  x2  x1  0, x2     x1 x2   BÀI TẬP GV: Lưu Thị Thu Hà 113 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN Bài Cho phương trình x  2mx  m  0 Tìm m dề phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 2 Bài Cho phương trình x   2m  5 x  2m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 mà biểu thức M  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x  x  m  0 Tìm m đề phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho 2x1  x2 Bài Cho phương trình x   m   x  3m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Bài Cho phương trình x   m   x  m  0 Tìm m đề phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 độ dài hai cạnh tam giác vng cân DẠNG : Tìm hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào tham số Phương pháp: Bước : Tìm điều kiện m dể phương trình có hai nghiệm x1 , x2 a 0  Δ 0 Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et, ta  x1  x2  f  m   ( I)  x1 x2  g  m  Bước : Khử m từ hệ (I) ta hệ thức cằn tìm  BÀI TẬP Bài Cho phương trình  m  1 x   m   x  m  0 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình khơng phụ thuộc m Bài Cho phương trình x   m  1 x  m  0 a) Giải phương trình với m  b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị m GV: Lưu Thị Thu Hà 114 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TOÁN DẠNG 8: Bài tập tổng hợp nhiều ý hỏi Bài Cho phương trình x   m  1 x  m  0(m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị nhỏ P  x12  x22 (với x1 , x2 nghiệm phương trình cho) Bài Cho phương trình x  2mx  m2  0 ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để hai nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối c) Tìm m để hai nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền 2 Bài Cho phương trình x   2m  3 x  m  3m  0 a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn   x1  x2  d) Xác định m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm Bài Cho phương trình mx   m   x  m  0 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào m d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x12  x22 2 Bài Cho phương trình: x   m  1 x  m  3m 0 (1) a) Giải phương trình m  b) Tìm m để pt (1) có nghiệm 1 c) Tìm m đề (1) có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn x  x  1 2 Bài Cho phương trình x   m  1 x  4m 0 a) Xác đinh m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại c) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) d) Với điều kiện cửa m phương trình có hai nghiệm dương (cùng âm) GV: Lưu Thị Thu Hà 115 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TOÁN e) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  g) Định m để PT có hai nghiệm x1 ; x2 cho A 2 x12  x22  x1 x2 nhận giá trị nhỏ Bài Cho phương trình bậc hai mx   5m   x  6m  0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo Bài Tìm giá trị m để phương trình: a) x  mx  m  0 có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương b) x   m  1 x  m  0 có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối 2 Bài Cho phương trình: x   m  1 x  m  3m 0  1 a) Giải phương trình m  b) Tìm m để pt (1) có nghiệm 1 c) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x  x  1 Bài 10 Cho phương trình x  2mx  2m  0 , với m tham số Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  3x2 6 Bài 10 Cho phương trình: x   m   x  m  0 (1) a) Chứng tỏ pt (1) ln có nghiệm với số thực m b) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền h  Bài 11 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  2(m  3) x  6m  0 với m tham số Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C ( x1  x2 )  x1 x2 Bài 12 Cho phương trình x   m  1 x  12 0  * , với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để phương trình  * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1   mx  x1  x2  x1 x2   Bài 13 Cho phương trình x  ( m  2)x  0 (1), với m tham số 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức Q  x1  1  x2  1 đạt giá trị lớn GV: Lưu Thị Thu Hà 116 CHUYÊN ĐỀ ÔN TUYỂN SINH CẤP TỐC TỐN Bài 14 Cho phương trình x  2( m  1)x  m  0 (1) ( x tham số, m tham số) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: x12  2( m  1)x2 12 m  Bài 15 Cho phương trình x - 2(m +1) x + m2 = ( m tham số) Tim giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x12 + x22 + = x1 x2 Bài 15 Cho phương trình: x  3x  m 0  1 ( x ẩn số) Tìm giá trị m để phương trình  1 có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn đẳng thức: x13 x2  x1 x23  x12 x22 5 Bài 16 Cho phương trình: x  x  m  0 ( x ẩn số, m tham số) Tìm m để 2 2 phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1  x  x1 x2  x1 x2  14 0 GV: Lưu Thị Thu Hà 117