Bài giảng Toán cao cấp (Vũ Khắc Bảy)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP BỘ MƠN TỐN VŨ KHẮC BẢY BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Dùng cho ngành:  Quản trị kinh doanh  Kế toán  Kinh tế  Quản lý đất đai Hà nội - 2011 Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM 1.1 Hàm số 1.1.1 Định nghĩa hàm số phương pháp cho hàm số 1.1.1.1 Các tập hợp số thực  Tập số tự nhiên (được ký hiệu N ) tập số { , , , }  Tập số nguyên (được ký hiệu Z ) tập số { , ± , ± , }  Tập số hữu tỷ ( ký hiệu Q ) tập số có dạng p với p, q (q ≠ ) q số nguyên Số hữu tỷ cịn định nghĩa theo cách khác : số hữu tỷ số thập phân thập phân vơ hạn tuần hồn Ví dụ : 2,3  23 ; 10 23  0,33333  0, (3) ; 0, 02323 = 0,0 (23) = 990 2,1(56)   21 21 56 2135  0, 0(56)    10 10 990 990 2,456 ( 567) = 2,456 + 0,000(567) = 2456 567  1000 999000  Số vô tỷ : số thập phân vơ hạn khơng hồn : số pi ; ; ,  Số thực : tập hợp tất số hữu tỷ vô tỷ, ký hiệu  Biểu diễn số thực trục số : ( | ) x  Khoảng số thực : Các khoảng hữu hạn : - Khoảng mở ( sau gọi khoảng ) : ( a , b ) cho a f 1   tức f 1 ( x )  y  [0, 2], x với tập xác định [ , 4] tập giá trị [0 , 2] Chú ý  Để có hàm số ngược ngồi quy luật f cịn cần phụ thuộc vào tập xác định tập giá trị Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) = x2 với tập xác định X  [ -1 , ] tập giá trị y  [0, 4] , y = 0,09 có giá trị x tương ứng x1 = -0,3 x2 = 0,3, x hàm y , quy luật hàm f (x) = x2 với tập xác định tập giá trị khơng có hàm ngược  Nếu hàm y = f(x) đồng biến nghịch biến (a , b) f(x) gọi đơn điệu (a , b)  Nếu y = f(x) đơn điệu (a, b) tồn f 1  Đồ thị hàm số y = f(x) y = f 1 (x ) đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ hệ tọa độ đề - 0xy Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Tốn cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ 1.2 Các hàm số sơ cấp 1.2.1 Các hàm số sơ cấp - Hàm luỹ thừa: y = x (  R) - Hàm số mũ: y = ax ( a> 0, a  1) - Hàm logarit: y = logax (a > 0, a  1) - Hàm lượng giác: y = sinx, cosx, tgx, cotgx - Hàm lượng giác ngược: y = arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx 1.2.1.1 Hàm luỹ thừa: y = x (R) Miền xác định hàm phụ thuộc vào số mũ , với  hàm số xác định với x > Ví dụ : y= y = x2 miền xác định với x thuộc R x miền xác định x  y = x 1 miền xác định  x  y = x miền xác định với x thuộc R Tính chất: Xét miền [0,+) X + y = x ,  > + y = x ,  < + Đồ thị số hàm lũy thừa: Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Tốn cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ 1.2.1.2 Hàm mũ: y = ax (a>0, a1) Miền xác định: R X Miền giá trị: R+ - + y = ax, a > + Đồng biến với a > + Nghịch biến với a < + + y = ax, a < Đồ thị hàm mũ 1.2.1.3 Hàm số logarit: y = logax (a>0, a1) Miền xác định: R+ , Miền giá trị: R y = logax ; a >1 + Đồng biến với a > + Nghịch biến với a < + + - y = logax ; a ( nhỏ tùy ý)   > x a x :  x  a   có f (x)  L   Nhận xét: Nếu hàm sơ cấp f(x) xác định a lân cận a lim f ( x)  f (a ) x a  3  x sin x  Ví dụ : cho hàm f (x)   x  Chứng minh lim f (x)  x 0 x   Theo định nghĩa cho trước  > ta phải tìm số  > để  x :  x  a   có f (x)    phát từ điều kiện phải thỏa mãn (1) tức  x sin (1) Để thực điều ta xuất f (x)    | + x sin 1   x sin   cho trước ,   =  >  x :0  x    thỏa mãn (2) thỏa mãn (1) Do theo định nghĩa lim f (x)  x0 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Tốn cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ Ví dụ  1,97  Tính arctg   1  1,02  Giải :  1,97  - Chọn hàm số : Ta nhận xét arctg    giá trị hàm  1,02  x y  Z = f(x,y) = arctg   1 điểm M(1,97 ; 1,02)  -Chọn điểm Mo(2, 1) x = 1,97 - = - 0,03 y =1,02 -1= 0,02 -Tính f x'  y   x / y  1  y y  x  y x f y'  y  x  y 2 Vậy f x'  M o   f x'  2,1  1    1 2  0, ; f y'  f y'  2,1  1 ; f (M o )  f (2,1)  arctg1=  -Áp dụng cơng thức tính gần :  1,97  arctg   1  f (M o )  f (M o )  f x' (M o ).x  f y' (M o ).y 1,02     /   0,5   0, 03   0, 02   0, 75 Bài tập tương tự : 3) (,)   (,)  , chọn f(x, y) = x  y3 , x o  1, y o  4, x  0, 02, y  0, 03 4) sin620 arctg1,02, chọn f(x, y) = sinx.arctgy, x o   / 3, y o  1, x   / 90, y  0, 02 5) ln( 1,02  0,92  1) , chọn f(x, y) = ln   x  y  , x o 1, y o  1, x  0, 02, y  0, 08 5.4 Cực trị hàm hai biến 5.4.1 Định nghĩa điểm cực trị Cho hàm hai biến z = f( x, y ) xác định miền D M( x0, y0) điểm D 121 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Tốn cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ  Hàm z = f( x, y ) gọi đạt cực đại (CĐ) M0 tồn lân cận U M0 cho f( x, y ) ≤ f( x0, y0) với  ( x, y )U Điểm M0 gọi điểm cực đại hàm z = f( x, y )  Hàm z = f( x, y ) gọi đạt cực tiểu (CT) M0 tồn lân cận U M0 cho f( x, y )  f( x0, y0) với  ( x, y ) U Điểm M0 gọi điểm cực tiểu hàm z = f( x, y )  Hàm z = f( x, y ) đạt cực đại hay cực tiểu M0 gọi hàm đạt cực trị M0 Điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung điểm cực trị 5.4.2 Định lí 1( Điều kiện cần cực trị) Nếu hàm số z = f( x, y ) đạt cực trị M0 M0 tồn đạo hàm riêng hữu hạn đạo hàm riêng bị triệt tiêu, tức là: fx’(M0) = fy’(M0) = Nhận xét: Từ định lý ta thấy để xét cực trị cần xét điểm đạo hàm riêng bị triệt tiêu điểm không tồn đạo hàm Những điểm gọi chung điểm tới hạn hay điểm dừng hàm số 5.4.3 Định lí (Điều kiện đủ cực trị) Giả sử hàm z = f( x, y ) xác định miền D, M0( x0, y0) điểm D Nếu hàm z = f( x, y ) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai lân cận M0 fx’(M0) = fy’(M0) = thì: Đặt fxx’’(M0) = A; fxy’’(M0) = B ; fyy’’(M0) = C, B2 - AC - Khi đó: Kết luận điểm M0 A - M0 điểm cực đại + M0 điểm cực tiểu + M0 không điểm cực trị Chưa kết luận điểm M0 Điểm Mo gọi điểm nghi ngờ 5.4.4 Qui tắc tìm cực trị địa phương Quy tắc tìm cực trị Bước 1: Tính zx’ ; zy’, Tính zxx’’=A, zxy’’= B, zyy’’= C,   B  AC Bước 2:Tìm điểm tới hạn hay điểm dừng : 122 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ z x '  Giải hệ  Được nghiệm Mi( xi, yi) z y '  Bước : Tại điểm Mi tính giá trị : zxx’’(Mi) = Ai; zxy’’(Mi) = Bi; zyy’’(Mi) = Ci, i = Bi2 – AiCi kết luận điểm Mi dựa vào định lí Chú ý: trường hợp có nhiều điểm dừng ta lập bảng sau: Điểm A B C B2 - AC Mi ( xi , yi) Ai Bi Ci Bi2 – AiCi Kết luận Mi Ví dụ: Tìm cực trị địa phương hàm số sau: 1) z  x  y  xe y 2) z  x  y3  3xy 3) z  x  3xy  30x  18y  4) z  x  2y  14x  y  24x  5) z  x  8xy  4y  10y  6) z  2y3  3xy  2x  3x 7) z  x  2y2  3xy  x  7y  8) z  x  y2  2xy  x  2y  Giải: 1) z  x  y  xe y => z 'x   e y ; z 'y   xe y ; z ''xx   A, z ''xy  e y  B, z ''yy   xe y  C  z 'x   e y   y  Vậy hàm số có điểm dừng M(1, 0) y  z ' y   xe   x  -Giải hệ:  -Tính A = 0, B = -1, C = -1,    Vậy M(1, 0) không điểm cực trị 2) z  x  y3  3xy z 'x  3x  3y; z'y  3y  3x ; z ''xx  6x  A; z ''xy  3  B; z ''yy  6y  C, B2  AC   36xy '  z x  x  y  ta hai điểm dừng M1(0, 0); M2(1, 1) '    z y x  y -Giải hệ:  123 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ -Lập bảng: B2  AC Điểm A = 6x M1(0, 0) M2(1, 1) 6>0 Kết luận (  36 xy ) M1không điểm cực trị – 36.36 < M2 điểm cực tiểu z CT  1 Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu M2(1, 1) zCT  1 3) z  x  3xy  30x  18y  z 'x  3x  3y  30; z'y  6xy  18  z ''xx  6x  A; z''xy  6y  B; z ''yy  6x  C; B2  AC  36 y  x  ' 2 2  z x  3x  3y  30   x  y  10   '  z y  6xy  18   xy  -Giải hệ:  Hàm số có điểm dừng M1(1, 3); M2(3, 1); M3(-1, -3); M4(-3, -1) Lập bảng:  Điểm A = 6x B2  AC  36 y  x M1(1, 3) 6>0 + M2(3, 1) 18 > - -6 < + -18 < - M3(-1, -3) M4(-3, -1)  Kết luận M1 không điểm cực trị M2 điểm cực tiểu zCT  71 Không đạt cực trị M4 điểm cực đại zCĐ= 73 Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm M2(3, 1) đạt cực đại M4(-3, -1) - Cách làm tương tự cho phần lại 124 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ 5.5 Phương pháp bình phương bé ( tối thiểu) Trong khoa học kĩ thuật, ta thường gặp tốn: tìm mối liên hệ hai đại lượng biến thiên x y Mối quan hệ biểu diễn dạng hàm số thơng qua loạt thí nghiệm đo đạc Hàm số gọi hàm thực nghiệm chẳng hạn : mối liên hệ chiều cao h tuổi cây, mối liên hệ thể tích với đường kính thân độ cao 1,3 mét Có nhiều phương pháp xây dựng hàm hàm số từ số liệu thực nghiệm phương pháp phương pháp bình phương bé 5.5.1 Nội dung phương pháp bình phương bé 5.5.1.1 Bài toán: Hai đại lượng x, y qua thực nghiệm có mối quan hệ số theo bảng: x x1 x2 x3 … ………xn y y1 y2 y3 ………… yn Giả sử mặt lí thuyết, x y có mối quan hệ dạng y = F(x), quy luật F ta chưa biết cụ thể Ta biết rằng, F(x) có đạo hàm đến bậc n x xấp xỉ F(x) đa thức dạng Tay – lo Mắc- lo –ranh : F(x)  f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn xấp xỉ f(x) tổng có dạng chuỗi Fourier : F(x)  f(x) = a0 + a1cosx + b1sinx + a2cos2 x + b2sin2x + + ancosnx + b nsinnx Như dạng xấp xỉ hàm f(x) có chứa tham số a1 , a2 , , b , b2 , chưa biết Đặt i  f (x i )  yi gọi độ lệch điểm lí thuyết Ni(xi, f(xi)) điểm thực nghiệm Mi(xi, yi) n Thiết lập U =  f (x1 )  y1    f (x )  y2     f (x n )  y n     f (x i )  y i  2 2 (5- 1) i 1 U gọi tổng bình phương độ lệch Yêu cầu đặt ra: xác định tham số y = f(x) cho tổng bình phương độ lệch U nhỏ Ta mô tả phương pháp cách sau: 125 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ Trong mặt phẳng Oxy , có điểm thực nghiệm Mi(xi , yi ) Hình 5.6 Cần xác định hệ số f(x) tổng bình phương khoảng cách từ điểm thực nghiệm M(xi , yi ) đến đường cong y = f(x) nhỏ , với điều kiện ta thay tổng bình phương độ lệch tung độ hàm f(x) lý thuyết thực nghiệm điểm M(xi , yi ) nhỏ Phương pháp tìm hàm thực nghiệm gọi phương pháp bình phương bé 5.5.1.2 Phương pháp bình phương bé  Đa thức suy rộng - nội dung phương pháp bình phương bé Cho hệ hàm số {  1(x) ,  2(x), ,  m(x) } hàm số  k(x) biết m Hàm m (x)   a ii (x) gọi đa thức suy rộng hệ hàm sở i 1 {  k(x)} , k = 1,m Hai đại lượng x, y qua thực nghiệm có mối quan hệ số theo bảng: Thay giá trị  1 (x) =   (x) = x x1 x2 x3 … ………xn y y1 y2 y3 ………… yn  xi vào hàm  k(x) ta véc tơ k (x) : (  1(x1) ,  1(x2) ,  1(x3) , ,  1(xn) ) (  2(x1) ,  2(x2) ,  2(x3) , ,  2(xn) )   m (x) = (  m(x1) ,  m(x2) ,  m(x3) , ,  m(xn) ) 126 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN (5.2) Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ Theo (5.1) cần xác định ak m     y i   a k k (x i )   i 1  k 1  n U = (5.3) thay (5.2) vào (5.3) ak phải thỏa mãn hệ phương trình  U  a   U  a   U  a      U   a m   (5.4)     phương trình B.A = C , với  b11 b B  (b r s )   21     b m1 b12 b 22  bm  c1   a1  b1m  c  a      2 b 2m  , C  ; A              b mm  cm  a m  gọi  y1  y     y       y n  n n     b rs  r , s   r (x i )s (x i ) , c r  y, r   yi r (x i ) i 1 i 1     ( ký hiệu r , s tích vơ hướng hai véc tơ r s ) Như việc xác định ak đưa giải hệ phương trình đại số tuyến tính với ma trận hệ số B – ma trận đối xứng , vế phải C Trong thực tế người ta thường sử dụng hệ hàm {  k(x)} đa thức đại số, tức : {  k(x)} = {1,x, x2, x3, , xq} , f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + amxm hệ số ak nghiệm hệ : n n n n  m a n a x a x a x yi          i i m i  i 1 i 1 i 1 i 1  n n n n a  a m  x im 1   x i y i   x i  a1  x i  i 1 i 1 i 1  i1   n n n n m m 1 2m a     x a x a x x im y i     i m i  i1 i i 1 i 1 i 1 127 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN (5.6) Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ 5.5.1.3 Các trường hợp cụ thể  f(x) = a0 + a1x Trường hợp này, công thức (5.6) ứng với m = 1(x) = ; 2(x) = x n   a n a 1 xi  i 1  n n a  x i  a1  x i2  i 1 i 1 n y  i 1 i (5.7) n x y  i 1 i i Khi đường thẳng y = a0 + a1x tìm đường thẳng tốt theo phương pháp bình phương tối thiểu Ví dụ 1: Giả sử y = a0 + a1x Hãy xác định a b theo phương pháp bình phương bé biết kết thực nghiệm cho bảng sau: x -2 y 0,5 1,5 Giải: n = Để xác định hệ trên, ta lập bảng sau: i xi yi xi xi yi -2 0,5 -1 0 1,5 1,5 2 4 5 25 15 Tổng 34 19,5  5a  6a1 Vậy ta có hệ  6a  34a1   19,5 Do hàm thực nghiệm cần tìm y ≈ 155 99 ; a1 = 134 268 => a0 = 99 155 x+ 268 134 Ví dụ 2: Câu hỏi tương tự với bảng số sau: Giải: x -1 y 1 2 n = Lập bảng 128 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế tốn QLĐĐ Vậy ta có hệ: i xi yi xi2 x i yi -1 1 -1 0 2 4 6 16 12 Tổng 10 31 21 12  a  a b   31 21  12 121  35  Vậy y ≈ x   35 105 9a  6b  10 b  121  105  f(x) = a0 + a 1x + a2x2 Trường hợp ta có  1(x) = ;  2(x) = x ,  3(x) = x2 Lập bảng: TT  x  y   1(x)   2(x)   3(x) ( 1) ( x) ( x2 ) x3 x4 ( y) x.y x2.y x1 x1 x 12 x13 x 14 y1 x1 y1 x12 y1 x2 x2 x 22 x 32 x 42 y2 x2 y2 x 22 y n xn xn x 2n x 3n x 4n yn xn yn x n2 y n n tổng n  xi i 1 n  x 2i i 1 n n  x 3i  x 4i i 1 i 1 Giải hệ phương trình sau để xác định a0 , a1 , a2 n n    a n a x a x 2i   i  i 1 i 1  n n n    a x a x a  0 i 1 i 2x i i 1 i 1 i 1  n n  n a x a x a   1 i 2x i  0 i i 1 i 1  i 1  n y i 1  n x y i 1  i i i n x i 1 129 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN i yi n  yi i 1 n  x i yi i 1 n x i 1 i yi Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ Ví dụ : Xác định hàm số dạng y = f(x) = a0 + a1x + a2x2 theo phương pháp bình phương bé dựa theo số liệu thực nghiệm sau : x y 1 10 52 80 100 13 300 Lập bảng x2 x x3 x4 TT 1 Tổng 1 1 1 13 36 49 64 169 27 216 343 512 2197 38 328 3296 y x.y x2.y 81 1296 2401 4096 28561 10 52 80 100 300 30 312 560 800 3900 90 1872 3920 6400 50700 36436 543 5603 62983 Giải hệ : 6a0 + 38 a1 + 328 a2 = Tính a0  3,292 543 38a0 + 328a1 + 3296 a2 = 5603 a1  - 4,08 328a0 + 3296 a1 + 36436 a2 = 62983 a2  2,07 Vậy quan hệ x y theo dạng y = 3,292 - 4,08x + 2,07.x2 Nhận xét  Phương pháp bình phương bé áp dụng đại lượng y biểu diễn tuyến k tính qua đại lượng x dạng: y   a i i (x) , với i (x) hàm số cho i 1 Ví dụ dạng : y  ax  bx y  ax  b y  ax  bx  c y  asinx + bcosx + Khi việc tìm hệ số theo phương pháp bình phương bé ln dẫn hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn Hệ hệ Cramer nên ln có nghiệm  Một số dạng quan hệ đưa dạng tuyến tính để áp dụng phương pháp 130 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế tốn QLĐĐ bình phương bé  y  ax   ln y   ln x  ln a Đặt Y = lny, X= lnx, B = lna => đưa dạng Y  X  B  y  ae  bx đưa dạng Y  AX  B Y = lny, X = x, A = -b, B = lna… Ví dụ 3: ( sinh viên tự giải) Giả sử y = ax2 + b Hãy lập hệ phương trình xác định a b theo phương pháp bình phương bé xác định a, b biết kết thực nghiệm cho bảng sau: x y 1.3 9.8 25.1 45.5 73.2 Ví dụ 4: ( sinh viên tự giải) Giả sử y = ax2 + bx Hãy lập hệ phương trình xác định a b theo phương pháp bình phương bé xác định a, b biết kết thực nghiệm cho bảng sau: x -2 -1 y 6,5 0,5 0,2 3,5 9,5 21,1 Bài tập tương tự: y = ax + b với bảng 1) X -1 y -7.7 2.3 6.8 12.5 17.1 21.9 56a  14b  239 14a  6b  52.9 Đáp số: hệ  suy a = 4.95, b = -2.74 y = ax2 + b với bảng 2) X -1 -2 Y 5.1 2.5 4.5 13.8 14.2 29.5 115a  19b  387.1 a  3.04  19a  6b  69.6  b  1.97 ĐS: hệ:  131 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Tốn cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ y = ax2 + bx với bảng 3) X -2 -1 Y -1.8 15.5 6.3 6.2 29.5 47.7  2020a  360b  2577.8 a  1.965  360a  76b  413.6  b  3.86 ĐS: hệ:  BÀI TẬP CHƯƠNG : HÀM HAI BIẾN Bài 1: Tìm miền xác định biểu diễn chúng lên mặt phẳng Oxy  x2 a  y2 1) z  5) z   xy 2) z  arcsin 3) z  R  x  y2 4) z  1   x y x2  y 7) z  ln xy 6) z   x  y  x  y  xy 8) z  x  y   y 1 x 2x  x  y Bài 2: Biểu diễn miền phẳng sau lên mặt phẳng tọa độ 0xy : 3) D   x, y  :1  x  2, 2x  y  2x  3  4) D   x, y  :0  x  2, 5) D   x, y  :0  x  1, x  y  2x 6) D   x, y  :x  y2  2ax, x  y2  a   1) D   x, y  :0  x  1, x  y  x   2) D   x, y  :0  x  1,  2x  x  y  2x  x  y  2x  7) D   x, y  : x  y  2x, x  y  2y Bài 3: Tính đạo hàm riêng hàm số sau theo biến: 1) z  x  y3 x2  y2 2) z  ln(x  x  y ) 6) z  x x 5) z  (1  xy) y x  x  3x y3 16) z = arctg y x+2y  10) z  ln  sin 13) z  y x 4) z  x y 7) z  x y  3y x  e x  3y 8) u  x  y  z y    9) z   2x  3sin xy  e 3x  2y  12) z  a  3) z  arctg e 11) z   x  sin y  3x x x3  y x  e arctgy yx 17) z  arcsin x a   y  14) z = tg  x+y  e y x x y 132 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN  ln xy  15) z  xy.ln  xy  18) z   x  2y  y3  x  0 Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ Bài 4: Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau: 1) z  (x  y )3 4) z  x y 2 7) z  ln  x  y  xy xy 2) z  ln(x  x  y2 ) 3) z  5) z   x  y  6) z  ex  y  cos  x + 3y  2 8) z  x  y e x  y  9) z  arctg x+y 1-xy Bài 5: Tìm vi phân tồn phần hàm số sau: 1) z  sin  x  y  2) z  ex  cosy + xsiny  3) z  ln tg y x 4) z  arctg x+y x-y Bài 7: Tính gần giá trị biểu thức sau: 1) ln 4)   1, 03  0,98  1, 02    0, 05 3) 5.e0,02  (2, 03) 2) (1, 04) 2,03  1,97  5) arctg   1  1,02  6) 1, 04  1,99  ln(1, 02 Bài 8: Tìm cực trị địa phương hàm hai biến sau: 1) z = 4(x - y) – x2 – y2 2) z = x2 + xy + y2 + x – y + 3) z = x + y – xey 4) z = 2x + y – x2 - 2y2 5) z  x  3y x  15x  12y 6) z  x  y3  9xy  20 7) z  2y  4xy  2x  2x 8) z  x  3y x  39x  36y 9) z  x  y3  3xy 10) z  x  y   x  y   11) z  3y  4x y  24xy  12) z  x  8x  y3  13y  8xy  13) z  x  y  2x  4xy  2y 14) z 1  6x  x  xy  y 15) z  x y2   x  y  , x  0, y  16) z  x y  xy  y 2 Bài 8: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc với y = ax + b có bảng giá trị tương ứng sau: x y 4.9 7.9 11.1 14.1 17 Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé 133 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ Bài 9: Câu hỏi tương tự với bảng số x y 2.9 6.1 9.2 11.8 16 Bài 10: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc hai với y = ax2 + b có bảng giá trị tương ứng sau: x y 0.1 8.1 14.9 23.9 Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé Bài 11: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc hai với y = ax2 + bx + c có bảng giá trị tương ứng sau: x y 2.9 8.9 19.1 33.2 50.8 Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé Bài 12: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc hai với y = ax2 + bx có bảng giá trị tương ứng sau: x y 4,9 16,5 33 55,5 84 119 Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé 134 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bài giảng Tốn cao cấp - Dùng cho ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán QLĐĐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Trí nhiều tác giả Toán cao cấp tập I, II, III NXB ĐH THCN, 2001 G.N.Phichtengon Cơ sở giải tích toán học Tập I, II III NXB Giáo dục, 1977 Ngơ Thúc Lanh Đại số tuyến tính NXB ĐH THCN, 1970 135 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ mơn Tốn ĐHLN