Lý thuyết đầy đủ và tất cả các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Gồm các ví dụ hướng dẫn giải rõ ràng, dễ hiểu và các bài tập rèn luyện. Phù hợp cho các bạn muốn XPS, học hè trước để ôn thi tốt nghiệp
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập hợp D ( D Ì ¡ ) x0 Ỵ D a) x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng ( a;b) chứa điểm x0 cho ( a;b) Ì D f ( x) < f ( x0 ) với x Ỵ ( a;b) \ { x0 } Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f b) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng ( a;b) chứa điểm x0 cho ( a;b) Ì D f ( x) > f ( x0 ) với x Ỵ ( a;b) \ { x0 } Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị CHÚ Ý · Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) hàm số f nói chung giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D ; f ( x0 ) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng ( a;b) chứa điểm chứa x0 · Nếu x0 điểm cực trị hàm số f người ta nói hàm số f đạt cực trị điểm x0 điểm có tọa độ ( x0; f ( x0 ) ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f · Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng ( a;b) đạt cực đại cực tiểu x0 f ¢( x0 ) = Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ĐỊNH LÍ Giả sử hàm số đạt cực trị điểm Khi đó, có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị ĐỊNH LÍ Giả sử hàm số liên tục khoảng chứa điểm có đạo hàm khoảng Khi a) Nếu với với hàm số đạt cực tiểu điểm b) Nếu với với hàm số đạt cực đại điểm ĐỊNH LÍ Giả sử hàm số có đạo hàm cấp khoảng chứa điểm có đạo hàm cấp hai khác điểm a) Nếu hàm số đạt cực đại điểm b) Nếu hàm số đạt cực tiểu điểm Quy tắc tìm cực trị QUY TẮC 1 Tìm tập xác định Tính f ¢( x) Tìm điểm f ¢( x) f ¢( x) khơng xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Ví dụ: Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số f ( x) = x3 - x2 - 3x + 3 Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có f ¢( x) = x - 2x - 3; f ¢( x) = Û x = - x = Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực đại điểm x = - 1, giá trị cực đại hàm số f ( - 1) = 3; hàm số đạt cực tiểu điểm x = 3, giá trị cực tiểu hàm số f ( 3) = - 23 QUY TẮC Tìm tập xác định Tính f ¢( x) Tìm nghiệm xi ( i = 1,2,3 ) phương trình f ¢( x) = Tìm f ¢¢( x) tính f ¢¢( xi ) Nếu f ¢¢( xi ) < hàm số đạt cực đại điểm xi Nếu f ¢¢( xi ) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi Ví dụ: Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số f ( x) = x3 - x2 - 3x + 3 Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có f ¢( x) = x - 2x - 3; f ¢( x) = Û x = - x = 3; f ¢¢( x) = 2x - Vì f ¢¢( - 1) = - < nên hàm số đạt cực đại điểm x = - 1, f ( - 1) = Vì f ¢¢( 3) = > nên hàm số đạt cực tiểu điểm x = 3, f ( 3) = - 23 Dạng CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục có đạo hàm khoảng ( a;b) Mệnh đề sau sai? A Nếu f ( x) đồng biến ( a;b) hàm số khơng có cực trị ( a;b) B Nếu f ( x) nghịch biến ( a;b) hàm số khơng có cực trị ( a;b) C Nếu f ( x) đạt cực trị điểm x0 Ỵ ( a;b) tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) song song trùng với trục hoành D Nếu f ( x) đạt cực đại x0 Ỵ ( a;b) f ( x) đồng biến ( a; x0 ) nghịch biến ( x0 ;b) Lời giải Các mệnh đề A, B, C theo định nghĩa SGK Xét mệnh đề D Vì mệnh đề chưa rõ ngồi x0 Ỵ ( a;b) cực đại f ( x) cịn có cực trị khác hay khơng Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác) tính đơn điệu hàm bị thay đổi theo Ví dụ: Xét hàm số f ( x) = x - 2x Ta có f ( x) đạt cực đại x0 = Ỵ ( - 2;2) , f ( x) không đồng biến ( - 2;0) không nghịch biến ( 0;2) Chọn D Câu Cho khoảng ( a;b) chứa điểm x0, hàm số f ( x) có đạo hàm khoảng ( a;b) (có thể trừ điểm x0 ) Mệnh đề sau đúng? A Nếu f ( x) đạo hàm x0 f ( x) khơng đạt cực trị x0 B Nếu f ¢( x0 ) = f ( x) đạt cực trị điểm x0 C Nếu f ¢( x0 ) = f ¢¢( x0 ) = f ( x) không đạt cực trị điểm x0 D Nếu f ¢( x0 ) = f ¢¢( x0 ) ¹ f ( x) đạt cực trị điểm x0 Lời giải Chọn D A sai, ví dụ hàm x = B thiếu điều kiện (theo định lí SGK) Các mệnh đề cịn lại sai vì: y = x khơng có đạo hàm x = đạt cực tiểu f ¢( x) đổi dấu qua x0 ïìï f ¢( 0) = C sai, ví dụ hàm y = x4 có í x = điểm cực tiểu ca hm s ùù f ÂÂ( 0) = ợ Câu Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp khoảng K x0 Î K Mệnh đề sau đúng? A Nếu x0 điểm cực đại hàm số y = f ( x) f ¢¢( x0 ) < B Nếu f ¢¢( x0 ) = x0 điểm cực trị hàm số y = f ( x) C Nếu x0 điểm cực trị hàm số y = f ( x) f ¢( x0 ) = D Nếu x0 điểm cực trị hàm số y = f ( x) thỡ f ÂÂ( x0 ) Li gii Chọn C Các mệnh đề cịn lại sai vì: A sai, theo định lí SGK khơng có chiều ngược lại Có thể lấy ví dụ cho hàm y = x4 B sai, lấy phản ví dụ Cụ thể hàm y = x3 ìï f ¢( 0) = ï D sai, ví dụ hàm y = x4 có í x = điểm cực tiểu hàm s ùù f ÂÂ( 0) = ợ Cõu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai ¡ Trong mệnh đề sau đây, có mệnh đề sai? i) Nếu f ¢( x0 ) = f ¢¢( x0 ) > x0 điểm cực tiểu hàm số ii) Nếu f ¢( x0 ) = f ¢¢( x0 ) < x0 điểm cực đại hàm số iii) Nếu f ¢( x0 ) = f ¢¢( x0 ) = x0 khơng điểm cực trị hàm số iv) Nếu f ¢( x0 ) = f ¢¢( x0 ) = chưa kết luận x0 có điểm cực trị hàm số A B C D Lời giải Các khẳng định i), ii) iv) đúng; khẳng định iii) sai Chọn B Câu (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai ¡ Trong mệnh đề sau có mệnh đề đúng? ïìï f ¢( x0 ) = i) Nếu hàm số f ( x) đạt cực tiểu x = x0 í ïï f ¢¢( x0 ) > ỵ ïìï f ¢( x0 ) = ii) Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại x = x0 í ïï f ¢¢( x0 ) < ợ iii) Nu f ÂÂ( x0 ) = hàm số f ( x) khơng đạt cực trị x = x0 A B Lời giải Xét hàm số C D f ( x) = x4 TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: f ¢( x) = 4x3 f ¢¢( x) = 12x2 ìï f ¢( x) < x < Ta có f ¢( x) = Û x = ïí nên hàm số f ( x) = x đạt cực ïï f ¢( x) > x > ỵ tiểu x = f ¢¢( 0) = Do i) iii) sai ® ii) sai Chọn A Tương tự, xét hàm số f ( x) = - x ¾¾ Dạng ĐỒ THỊ HÀM f ( x) Câu [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a, b, c, d Ỵ ¡ ) có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Lời giải Chọn C Câu [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục đoạn [- 2;2] có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f ( x) đạt cực đại điểm đây? A x = - C x = B x = - D x = Lời giải Chọn B Câu Cho hàm số bậc ba f ( x) có đồ thị hình vẽ Mệnh đề đúng? A Giá trị cực tiểu hàm số - B Điểm cực tiểu hàm số - C Điểm cực đại hàm số D Giá trị cực đại hàm số Lời giải Chọn A Câu [ĐHSP Hà Nội lần 3, năm 2018-2019] Cho hàm số f ( x) liên tục có đồ thị hình bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đạt cực tiểu x = - 1, yCT = B Hàm số khơng có điểm cực tiểu C Hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT = D Hàm số đạt cực đại x = 0, yCÑ = Lời giải Chọn A Câu 10 Cho hàm số f ( x) liên tục [- 1;3] có đồ thị hàm số hình bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đạt cực tiểu x = 0, cực đại x = B Hàm số có hai điểm cực tiểu x = 0, x = C Hàm số đạt cực tiểu x = 0, cực đại x = - D Hàm số có hai điểm cực đại x = - 1, x = Lời giải Chọn A Câu 11 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Cho hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình bên Phương trình y¢= có nghiệm tập số thực? A B C D Lời giải Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ắắ đ Â phng trỡnh y = cú ỳng ba nghiệm thực phân biệt Chọn D 10 Câu 12 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Dễ nhận thấy hàm số có điểm cực trị điểm cực tiểu x = ỉ 1ư - ; ÷ ữ Xột hm s f ( x) trờn khong ỗ ç ÷, ta có f ( x) < f ( 0) vi mi ỗ ố 2ứ ổ1 ử 1ữ ữẩ ổ ỗ xẻ ỗ - ;0ữ 0; ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ứ ố ỗ 2ø è Suy x = điểm cực đại hàm số Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn C Chú ý: Tại x = hàm số khơng có đạo hàm đạt cực đại Câu 13 [Đại học Vinh lần 3, năm 20182019] Cho hàm số f ( x) có đồ thị hình vẽ Trên đoạn [- 1;3] hàm số cho có điểm cực trị? A B C D Lời giải Hàm số có điểm cực đại x = 0, điểm cực tiểu x = Chọn B Câu 14 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn D Câu 15 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có giá trị cực trị? A B C D Lời giải Hàm số có giá trị cực trị là: - 2, - 1, Chọn B 11 Câu 16 Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số y = f ( x) có giá trị cực trị? A C B D Lời giải ĐTHS y = f ( x) suy từ ĐTHS y = f ( x) cách: · Giữ nguyên đồ thị hàm số y = f ( x) phần phía trục hồnh; · Đồ thị hàm số y = f ( x) phần phía trục hoành ta lấy đối xứng qua trục hoành Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) , ta thấy có giá trị cực trị Chọn B Chú ý: Nếu đề hỏi điểm cực trị ta kết luận có điểm cực trị Câu 17 Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục đoạn [- 6;6] có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hỏi đoạn [- 6;6] hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A C B D Lời giải ĐTHS y = f ( x ) suy từ ĐTHS y = f ( x) cách: · Giữ nguyên đồ thị hàm số y = f ( x) phần bên phải trục tung (xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung); · Lấy đối xứng phần vừa giữ qua trục tung Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta thấy có điểm cực trị Chọn A Dạng BẢNG BIẾN THIÊN Câu 18 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đạt cực tiểu điểm 12 A x = - B x = - Lời giải Chọn B C x = D x = Câu 19 [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đạt cực đại điểm A x = B x = Lời giải Chọn C C x = D x = Câu 20 [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Giá trị cực đại hàm số cho A B C Lời giải Chọn D D Câu 21 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau sai? A Hàm số có hai điểm cực tiểu C Hàm số có ba điểm cực trị Lời giải Chọn B B Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số có giá trị cực đại Câu 22 Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: 13 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có ba giá trị cực trị B Hàm số có ba điểm cực trị C Hàm số có hai điểm cực trị D Hàm số đạt cực đại điểm x = Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị hàm số, ta có nhận xét sau: · Hàm số có ba điểm cực trị, gồm điểm x = - 1, x = 1, x = đạo hàm y¢ đổi dấu qua điểm · Hàm số đạt cực đại x = 0, đạt cực tiểu x = ±1 (đáp án A sai hàm số có hai giá trị cực trị yCD = - yCT = - Nếu nói đến đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0;- 3) , B ( - 1;4) , C ( 1;- 4) ) Câu 23 [Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019] Cho hàm số f ( x) có tập xác định ( - ¥ ;2] bảng biến thiên hình sau: Mệnh đề sau sai? A Hàm số có hai điểm cực tiểu C Giá trị cực tiểu - Lời giải Chọn A B Hàm số có hai điểm cực đại D Giá trị cực đại Câu 24 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ sau: có bảng xét dấu đạo hàm Hỏi hàm số f ( x) có điểm cực trị? A B C D ¢ f x ( ) đổi dấu qua x = - x = nên hàm số có Lời giải Nhận thấy điểm cực trị ( x = khơng điểm cực trị f ¢( x) không đổi dấu qua x = 1) Chọn C 14