Chương I Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyết đầy đủ và tất cả các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Gồm các ví dụ hướng dẫn giải rõ ràng, dễ hiểu và các bài tập rèn luyện. Phù hợp cho các bạn muốn XPS, học hè trước để ôn thi tốt nghiệp

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x) xác định tập D Kí a) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y = f ( x) tập D f ( x) £ M với x thuộc D tồn x0 Ỵ D cho f ( x0 ) = M f ( x) hiệu: M = max D Kí b) Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f ( x) tập D f ( x) ³ m với x thuộc D tồn x0 Ỵ D cho f ( x0 ) = m f ( x) hiệu: m= D Định lý Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Quy tắc tìm GTLN - GTNN hàm số liên tục đoạn [ a;b] Tìm điểm x1, x2 , , xn ( a;b) mà f ¢( x) = f ¢( x) khơng xác định Tính f ( a) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( b) Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có M = max f ( x) m= f ( x) [ a;b] [ a;b] Dạng BẢNG BIẾN THIÊN Câu Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau đúng? A Giá trị lớn hàm số B Giá trị nhỏ hàm số - C Giá trị nhỏ hàm số D Giá trị nhỏ hàm số - Lời giải Chọn A Câu Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau sai? A f ( x) = - [1;3] f ( x) = C max [- 2;3] f ( x) = - B ¡ f ( x) = D max ¡ Lời giải Xét ¡ , hàm số giá trị lớn Vậy D sai Chọn D Câu (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đạt cực đại điểm x = B Hàm số đạt cực tiểu điểm x = - 1 C Hàm số đạt cực đại điểm x = D Hàm số có giá trị lớn Lời giải Chọn D Câu [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ - D Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = Lời giải Chọn D A sai hàm số có điểm cực trị B sai hàm số có giá trị cực tiểu  C sai hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ ¡ Câu Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số có giá trị nhỏ - C Hàm số có giá trị lớn - D Hàm số có điểm cực tiểu Lời giải Chọn B A sai hàm số có ba điểm cực trị x = - 1; x = 0; x = C sai hàm số khơng có giá trị lớn D sai hàm số có hai điểm cực tiểu x = - x = Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ \ { 0} có bảng biên thiên sau: Mệnh đề sau đúng? A ff( - 5) > ( - 4) B Hàm số nghịch biến khoảng ( - ¥ ;2) C Hàm số có giá trị nhỏ D Hàm số có giá trị lớn Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng ( - ¥ ;0) nên ff( - 5) > ( - 4) Chọn A Câu Cho hàm số f ( x) xác định liên tục [- 5;7) , có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau đúng? f ( x) = hàm số không đạt giá trị lớn [- 5;7) A [- 5;7) f ( x) = f ( x) = B max [- 5;7) [- 5;7) f ( x) = f ( x) = C max [- 5;7) [- 5;7) f ( x) = f ( x) = D max [- 5;7) [- 5;7) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy: · Hàm số có giá trị nhỏ 2, đạt x = 1Ỵ [- 5;7) ìï f ( x) £ 9, " x Ỵ [- 5;7) ï · Ta có ïí Mà Ỵ/ [- 5;7) nên khơng tồn x0 Ỵ [- 5;7) cho ïï lim- f ( x) = ùợ xđ7 f ( x0 ) = Do hàm số khơng đạt GTLN [- 5;7) f ( x) = hàm số không đạt giá trị lớn [- 5;7) Chọn A Vậy [- 5;7) Dạng ĐỒ THỊ Câu Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số đoạn [- 2;2] A - B - - C - D - Lời giải Nhận thấy đoạn [- 2;2] · Đồ thị hàm số có điểm thấp có tọa độ ( - 2;- 5) v ( 1;- 5) ắắ đ giỏ tr nh nht hàm số đoạn [- 2;2] - · Đồ thị hàm số có điểm cao có tọa độ ( - 1;- 1) ( 2;- 1) ắắ đ giỏ tr ln nht ca hm s đoạn [- 2;2] - Chọn B Câu Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Giá trị nhỏ lớn hàm số é 5ù đoạn ê- 1; ú ê ë 2ú û C - Lời giải Chọn C A - B - D Câu 10 Cho hàm số f ( x) có đồ thị hình bên Giá trị lớn hàm số f ( x) đoạn [- 2;3] A C B D Lời giải Nhận thấy đoạn [- 2;3] đồ thị hàm số có im cao nht cú ta ( 3;4) ắắ đ giá trị lớn hàm số đoạn [- 2;3] Chọn C Câu 11 [Đề THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [- 1;3] có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho [- 1;3] Giá trị M + m A B C D Lời giải Dựa vào đồ thị ta có M = 3, m= - Khi M + m= Chọn B Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị đoạn [- 2;4] hình vẽ Giá trị lớn hàm số y = f ( x) đoạn [- 2;4] A C B D f ( 0) Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f ( x) đoạn [- 2;4] ta suy đồ thị hàm số y = f ( x) [- 2;4] hình vẽ f ( x) = x = - Do max [- 2;4] Chọn C Câu 13 Cho hàm số bậc ba f ( x) có đồ thị hình bên Trong mệnh đề sau, có mệnh đề sai? i) Hàm số có hai điểm cực trị ii) Hàm số có GTLN GTNN - iii) Hàm số đồng biến ( - ¥ ;0) ( 2;+¥ ) iv) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: ( 0;2) ( 2;- 2) A B C D Lời giải Dựa vào đồ thị suy hàm số giá trị lớn giá trị nhỏ Tức mệnh đề ii) sai Các mệnh đề lại Chọn B Câu 14 Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [- 2;2] có đồ thị hình vẽ bên Trong mệnh đề sau, có mệnh đề đúng? i) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) ii) Hàm số đồng biến khoảng ( - 1;2) iii) Trên đoạn [- 2;2] hàm số có ba điểm cực trị iv) Trên đoạn [- 2;2] hàm số có giá trị lớn A B C D Lời giải Chọn B Khẳng định ii) iv) sai Khẳng định i) iii) Câu 15* Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Gọi M , m GTLN – GTNN hàm số 4 é ù g( x) = f ê2( sin x + cos x) ú Tổng M + m ë û A B C D 10 " xẻ Ă sin 2x ắắ ắ đ1Ê 2( sin4 x + cos4 x) £ 2 ìï M = max g( x) = f ( 1) = ï ¾¾ ® M + m= Chọn B Dựa vào đồ thị, suy ïí ïï m= g( x) = f ( 2) = ïỵ Lời giải Ta có sin4 x + cos4 x = 1- Dạng TÌM GTLN – GTNN TRÊN ĐOẠN Câu 16 Tìm giá trị lớn hàm số f ( x) = x - 2x - 4x +1 đoạn [1;3] f ( x) = - f ( x) = - A max B max [1;3] [1;3] 67 27 ộx = ẻ [1;3] ờ Â ¢ f x = x x ¾¾ ® f x = Û ( ) ( ) Lời giải Đạo hàm: êx = - Ï [1;3] ê ë f ( x) = - C max [1;3] Ta có Cách Bước Bước D max f ( x) = [1;3] ìï f ( 1) = - ïï ï ff( 2) = - ¾¾ ® max x( ) = f ( 3) = - Chọn C í [1;3] ïï ïï f ( 3) = - ỵ 2: Sử dụng cơng cụ TABLE (MODE 7) 1: Bấm tổ hợp phím MODE 2: Nhập f ( X ) = X - 2X - 4X +1 Sau ấn phím = (nếu có g( X ) ấn tiếp phím = ) Tiếp theo nhập ìï Start = ïï ïí End = ïï ïïỵ Step = 0.2 End - Start ) 10 Bước 3: Tra bảng nhận tìm GTLN: (Chú ý: Thường ta chọn Step = 11 X f ( X) 1.2 1.4 1.6 1.8 2.2 2.4 2.6 2.8 - 4.952 5.776 6.424 6.848 6.832 6.296 5.344 3.928 f ( x) = f ( 3) = - Dựa vào bảng giá trị trên, ta thấy max [1;3] Câu 17 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x3 - 7x2 +11x - đoạn [ 0;2] A - B C D 11 é 11 êx = Ï [ 0;2] Â Â đ f ( x) = Û ê Lời giải Đạo hàm: f ( x) = 3x - 14x +11¾¾ ê ê x = Ỵ 0; [ ] ë ìï f ( 0) =- ïï ï ® f ( x) = f ( 0) = - Chọn A Ta có í f ( 1) = ¾¾ [ 0;2] ïï ïï f ( 2) = ỵ Câu 18 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ hàm số y = x3 + 2x2 - 7x đoạn [ 0;4] A - 259 B - C D 68 éx = 1Ỵ [ 0;4] ê ê ¢ ¢ f x = x + x ắắ đ f x = ( ) ( ) Lời giải Đạo hàm: êx = - Ï [ 0;4] ê ë ìï f ( 0) = ïï ï ® f ( x) = f ( 1) = - Chọn B Ta có í f ( 1) = - ¾¾ [ 0;4] ïï ïï f ( 4) = 68 î Câu 19 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = 2x + 3x - é 1ù đoạn ê- 2;- ú ê 2ú ë û A - 11 B - C - D é é 1ù êx = Ï ê- 2;- ú ê ê 2ú ë û ® f ¢( x) = Û ê Lời giải o hm: f Â( x) = 6x + 6x ắắ ê é êx = - 1Ỵ ê- 2;- ù ú ê ê ú 2û ë ë 12 ìï ïï ïï ïï Ta có í ïï ïï ïï ïỵ ïìï f ( x) =- ïï éêê- 2;- 1ùúú 2ỷ ff( - 1) = ắắ đ ùớ ¾¾ ® x( ) + max f x( ) =- Chọn B é é 1ù 1ù ïï max f ( x) = ê- 2;- ú ê- 2;- ú ê ú ê ú 2û 2û ë ïï éê- 2;- 1ựỳ ổ 1ử ữ fỗ - ữ =ùợ ởờ 2ỷỳ ữ ỗ ỗ ố 2ứ f ( - 2) = - Câu 20 Biết hàm số f ( x) = x - 3x - 9x + 28 đạt giá trị nhỏ đoạn [ 0;4] x0 Tính P = x0 + 2020 A P = B P = 2017 C P = 2021 D P = 2023 éx = - 1ẽ [ 0;4] đ f Â( x) = Û ê Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = 3x - 6x - ắắ ờx = 3ẻ 0;4 [ ] ê ë ìï f ( 0) = 28 ïï ï ® x( ) = x = = x0 ắắ đ P = 2023 Chọn D Ta có í ff( 3) = ¾¾ [ 0;4] ïï ïï f ( 4) = î Câu 21 Xét hàm f ( x) = - ] Mệnh đề sau x - 2x2 - x - [- 1;1 đúng? A Hàm số có giá trị nhỏ x = - giá trị lớn x = B Hàm số có giá trị nhỏ x = giá trị lớn x = - C Hàm số có giá trị nhỏ x = - khơng có giá trị lớn D Hàm số khơng có giá trị nhỏ có giá trị lớn x = Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = - 4x2 - 4x - 1=- ( 2x +1) £ 0, " x Ỵ ¡ Suy hàm số f ( x) nghịch biến đoạn [- 1;1] nên có giá trị nhỏ x = giá trị lớn x = - Chọn B Câu 22 [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Giá trị lớn hàm số f ( x) = x4 - 4x2 + đoạn [- 2;3] B A C 50 D 122 éx = ẻ [- 2;3] đ f Â( x) = Û ê Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = 4x - 8x ¾¾ ê x = ± Ỵ 2;3 [ ] ê ë ìï f ( 0) = ïï ïï ï f ± =1 ¾¾ ® max f ( x) = 50 Chọn C Ta có ïí [- 2;3] ïï f ( - 2) = ïï ïï f ( 3) = 50 ïỵ ( ) Câu 23 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x4 - x2 +13 đoạn [- 2;3] 13 A 49 B 51 C 51 D 13 éx = Ỵ [- 2;3] ê ® f ¢( x) = Û ê Lời giải o hm: f Â( x) = 4x - 2x ắắ êx = ± Ỵ [- 2;3] ê ë ìï f ( - 2) = 25 ïï ïï f ( 3) = 85 ùù 51 ắắ đ f ( x) = Chọn B Ta có ïí f ( 0) = 13 [- 2;3] ïï ïï æ 51 ữ ùù f ỗ = ỗ ữ ùùợ ỗ ố 2ữ ứ Cõu 24 Tng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = - 2x4 + 4x2 +10 đoạn [ 0;2] A B C D éx = Ỵ [ 0;2] đ f Â( x) = Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = - 8x + 8x ắắ ờx = 1ẻ [ 0;2] ê ëx = - 1Ï [ 0;2] ìï f ( 0) = 10 ïìï M = max f ( x) = 12 ùù [ 0;2] ù đ ớù ắắ đ M + m= Chọn C Ta có í f ( 1) = 12 ¾¾ ïï ïï m= f ( x) = - [ 0;2] ïï f ( 2) = - ïỵ ỵ Câu 25 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = 3x - x- đoạn [ 0;2] A - 16 B - 14 Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = C - ( x - 3) 14 D 16 < 0, " x Ỵ ( 0;2) ìï ïï M = max f ( x) = f ( 0) = [ 0;2] Suy hàm số f ( x) nghịch biến đoạn [ 0;2] nên ïí ïï m= f x = f = - ( ) ( ) ïïỵ [ 0;2] 14 Chọn B Khi M + m= Câu 26 Hàm số sau khơng có GTLN GTNN đoạn [- 2;2] ? A y = x3 + B y = x4 + x2 Lời giải Nhận thấy hàm số y = C y = x- x +1 D y = - x +1 x- không xác định x = - 1Ỵ [- 2;2] x +1 14 Dựa vào BBT, ta thấy [- 1;2] hàm số khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn Chọn D Câu 44 Biết hàm số f ( x) = - x + 2019tại x0 Tính P = x0 + 2020 A P = 2017 B P = 2018 đạt giá trị lớn ( 0;4) x C P = 2021 D P = 4037 é x = 1Ỵ ( 0;4) - x +1 ¢( x) = Û ê f Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = - 1+ = ; ê x = Ï 0;4 x x2 ( ) ê ë ® P = 2021 Chọn Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đạt GTLN ( 0;4) x0 = 1¾¾ C Câu 45 Gọi yCT giá trị cực tiểu hàm số y = f ( x) = x2 + Mệnh đề sau đúng? A yCT > y B yCT = 1+ y ( 0;+¥ ) Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = 2x - ( 0;+¥ ) y C yCT = (min 0;+¥ ) ( 0;+¥ ) x y D yCT < (min 0;+¥ ) 2x3 - = ắắ đ f Â( x) = x = x2 x2 21 Dựa vào BBT, ta thấy khoảng ( 0;+¥ ) hàm số có cực trị giá y trị cực tiểu nên giá trị nhỏ hàm số Vậy yCT = (min 0;+¥ ) Chọn C Câu 46 [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = 3x + khoảng ( 0;+¥ ) x 33 A 23 B 33 C D 8 8 Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = 3- ; f ¢( x) = Û = Û x3 = Û x = x x 3 ỉ 8ư ÷= 33 ữ ỗ f ( x) = f ỗ Da vo BBT, ta thy ị Chn B ữ ỗ ữ ( 0;+Ơ ) ỗ ố 3ứ Cõu 47 Giỏ tr nhỏ hàm số f ( x) = x + A B C ( 0;+¥ ) x D 2 1- 2 x = x - ; ¢ ¢ f x = ( ) f ( x) = Û Lời giải Đạo hàm: 1 x+ 2x2 x + x x éx = - 1Ï ( 0;+¥ ) ê ờx = 1ẻ 0;+Ơ ( ) f ( x) = f ( 1) = Chọn C Dựa vào BBT, ta thấy (min 0;+¥ ) Dạng BÀI TỐN CHỨA THAM SỐ Câu 48 Tìm giá trị thực tham số a để hàm số f ( x) = - x - 3x + a có giá trị nhỏ đoạn [- 1;1] A a= B a= C a= 22 D a= éx = Ỵ [- 1;1] đ f Â( x) = Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = - 3x - 6x ¾¾ êx =- Ï - 1;1 [ ] ê ë ìï f ( - 1) = a- ùù ù ắắ đ f ( x) = f ( 1) = a- Ta có í f ( 0) = a [- 1;1] ïï ïï f ( 1) = a- ỵ Theo ra: f ( x) = Û a- = Û a = Chọn C [- 1;1] 2 Câu 49 Cho hàm số f ( x) = x +( m +1) x + m - với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có giá trị nhỏ đoạn [ 0;2] A m= ±1 B m= ± C m= ± 2 Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = 3x + m +1> 0, " x Ỵ ¡ D m= ±3 ® f ( x) = f ( 0) = m2 - Suy hàm số f ( x) đồng biến [ 0;2] ¾¾ [ 0;2] f ( x) = Û m2 - = Û m= ±3 Chọn D Theo ra: [ 0;2] x - m2 đoạn [ 0;1] x +1 1- m2 1+ m2 C D 2 Câu 50 Giá trị lớn hàm số f ( x) = A - m2 B m2 Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = 1+ m2 ( x +1) > 0, " x Ỵ [ 0;1 ] 1- m2 Suy hàm số f ( x) ng bin trờn [ 0;1] ắắ đ max f ( x) = f ( 1) = Chọn C [ 0;1] Câu 51 Gọi S tập tất phần tử tham số m để hàm số x - m2 có giá trị nhỏ đoạn [ 0;3] - Tổng phần tử f ( x) = x +8 tập S A - 16 B - C D 2 8+ m > 0, " x Ỵ [ 0;3] Lời giải Đạo hàm: y¢= ( x + 8) Suy hàm số f ( x) đồng biến đoạn [ 0;3] ắắ đ f ( x) = f ( 0) = [ 0;3] Thao ra: f ( x) = - Û [ 0;3] m = - Û m= ±4 Chọn C 23 m2 Câu 52 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số f ( x) = x+m (với m x +1 16 Mệnh đề sau đúng? C < m£ D m> tham số thực) thỏa mãn f ( x) + max f ( x) = [1;2] [1;2] A m£ B < m£ 1- m Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = ( x +1) Suy hàm số f ( x) hàm số đơn điệu đoạn [1;2] với m¹ m+1 m+ 16 5m 25 + = Û = Û 3 6 Vậy m= giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện m> Chọn D Khi f ( x) + max f ( x) = ff( 1) + m( 2) = [1;2] [1;2] = Câu 53 Cho hàm số f ( x) = m x - ( m tham số khác 0) Gọi m1, m2 hai f ( x) + max f ( x) = m2 - 10 Tổng m1 + m2 giá trị m thỏa mãn [ 2;5] [ 2;5] A C B Lời giải Đạo hàm: f ¢( x) = D 10 m không đổi dấu [ 2;5] x- f ( x) + max f ( x) = m2 - 10 Û ff( 2) + m( 5) = -m 10 Û m - - 10 = Do [ 2;5] [ 2;5] Khi theo định lí Viet, ta có m1 + m2 = Chọn B Câu 54* [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số f ( x) = x+m (với m x- f ( x) = Mệnh đề sau đúng? tham số thực) thỏa mãn [ 2;4] A m- suy f ¢( x) = - C < m£ m+1 ( x - 1) D m> < 0; " x ¹ nên hàm số f ( x) nghịch biến khoảng xác định Khi f ( x) = f ( 4) = [ 2;4] m+ = Û m= (chọn) TH2 Với m 0; " x ¹ nên hàm số f ( x) đồng biến f ( x) = f ( 2) = m+ = Û m= (loại) khoảng xác định Khi [ 2;4] Vậy m= giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện m> Chọn D 24