Chương I Bài 4: Đường tiệm cận

Lý thuyết đầy đủ và tất cả các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Gồm các ví dụ hướng dẫn giải rõ ràng, dễ hiểu và các bài tập rèn luyện. Phù hợp cho các bạn muốn XPS, học hè trước để ôn thi tốt nghiệp

ĐƯỜNG TIỆM CẬN Khái niệm Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C ) Điểm M Ỵ ( C ) , MH khoảng cách từ M đến đường thẳng d Đường thẳng d gọi tiệm cận đồ thị hàm số khoảng cách MH dần x ® +Ơ hoc x đ x0 Tim cn ngang Cho hàm số y = f ( x) xác định khoảng vơ hạn (là khoảng dạng ( a;+¥ ) , ( - ¥ ;b) ( - ¥ ;+¥ ) ) Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thỏa mãn lim f ( x) = y0 ; xđ+Ơ ng thng y = y0 tiệm ngang đồ thị (khi x đ +Ơ ) lim f ( x) = y0 xđ- Ơ ng thng y = y0 l tim cn ngang ca th (khi x đ - Ơ ) cận Tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thỏa mãn lim+ f ( x) = +¥ , lim- f ( x) = - Ơ , xđ x0 xđ x0 lim f ( x) = - Ơ , lim f ( x) = +Ơ xđ x0+ xđ x0- Đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng đồ thị (khi x ® x0+ ) đồ thị (khi x ® x ) Dạng BẢNG BIẾN THIÊN Câu [ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có đạo ì 1ü hàm ¡ \ ïí ïý cú bng bin thiờn nh sau: ùợù 2ùỵ ù Tng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 1 ® x = TCĐ · lim f ( x) = - ¾¾ · lim1 f ( x) = Ơ ắắ l TCN đ y=2 xđƠ x đ 2 Vy th hàm số có tất đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ \ { - 1} có bảng biến thiên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ® y = TCN ® y = TCN; · lim f ( x) = ¾¾ · lim f ( x) = ¾¾ xđ+Ơ xđ- Ơ f ( x) = Ơ ắắ ® x = - TCĐ · xlim ®- Vậy đồ thị hàm số có tất đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn C Câu [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ® x = TCĐ ® y = TCN; · lim f ( x) = ¾¾ à lim+ f ( x) = +Ơ ắắ xđ xđ- Ơ Vy th hm s cú tt c đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn B Câu [KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x) xác định ¡ \ { 0} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau: Trong mệnh đề sau có mệnh đề đúng? i) Giá trị lớn hàm số ii) Trên khoảng ( 0;+¥ ) , hàm số có giá trị lớn iii) Hàm số có điểm cực trị iv) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang đường tiệm cận đứng A B C D Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta có: f ( x) = nên không tồn x0 để f ( x0 ) = Do ú i) sai à xlim đ- Ơ à Dễ thấy ii) · Tại x = hàm số không xác định nên x = không điểm cực trị Do iii) sai f ( x) = - Ơ ắắ đ x = l TC f ( x) = ắắ đ y = l TCN; à xlim à lim xđ đ- Ơ Do iv) Vậy có tất mệnh đề Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải Chọn C Câu [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải Từ bảng biến thiên, ta có: y = ắắ đ y = l TCN à xlim đ+Ơ à lim + y = - Ơ ¾¾ ® x = - TCĐ; x® ( - 2) y = +Ơ ắắ đ x = TCĐ · xlim ® 0- Vậy đồ thị hàm số có tất đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn C Câu Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải Từ bảng biến thiên, ta có: ® đồ thị hàm số khơng có tim cn ngang à lim y = +Ơ ắắ xđ+Ơ à lim + y = +Ơ ắắ đ x = - TCĐ; x® ( - 2) y = - Ơ ắắ đ x = l TC à xlim ® 1+ Vậy đồ thị hàm số có tất đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải Từ bảng biến thiên, ta có: f ( x) = 1ắắ đ y = l TCN f ( x) = ắắ đ y = l TCN; à xlim à xlim đ+Ơ đ- Ơ đ x = TCĐ; · lim+ f ( x) = +Ơ ắắ xđ1 à lim- f ( x) = ắắ đ x = - khụnglTC xđ( - 1) Vậy đồ thị hàm số có tất đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn C Câu 10 [ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số g( x) = A B Lời giải Dựa vào BBT, ta có: C D f ( x) - · f ( x) - 1= Û f ( x) = TCĐ có hai nghiệm phân biệt Suy ĐTHS g( x) có 2 ỡù ùù lim f ( x) = 1ắắ đ lim =1 xđ- Ơ f ( x) - ùù xđ- Ơ à Li cú ắắ đ y = TCN ĐTHS g( x) ïï f ( x) = 1ắắ đ lim =1 ùù xlim xđ+Ơ f ( x) - ùùợ đ+Ơ Vậy đồ thị hàm số g( x) có tất đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn D Câu 11 Hàm số y = f ( x) xác định có đạo hàm ¡ \ { - 1;1} , có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số g( x) = f ( x) - C D éx = ® ĐTHS g( x) có hai Lời giải Dựa vào BBT, có f ( x) = Û ê êx = a ẻ ( - Ơ ;- 1) ắắ TC ỡù ùù lim f ( x) = - Ơ ắắ ® lim = ¾¾ ® y = TCN xđ- Ơ f ( x) - ùù xđ- Ơ Lại có í ïï f ( x) = ắắ đ lim = - 1ắắ đ y = - TCN ùù xlim xđ+Ơ f ( x) - ùùợ đ+Ơ Vy th hm s g( x) có tất đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn C A B Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ \ { - 1} có bảng biến thiên Đồ thị hàm số g( x) = A có đường tiệm cận đứng? f ( x) - B C 10 D éf ( x) = ( 1) Lời giải Xét phương trình f ( x) - = Û ê êf x = - Dựa vào BBT, ta thấy ( ) ê ë( ) phương trình ( 1) ( 2) có nghim (hai nghim ny khỏc nhau) ắắ đ th hàm số g( x) có đường TCĐ Chọn C Câu 13* Cho hàm số y = f ( x) = x + bx + cx + d có bảng biến thiên hình vẽ: Đồ thị hàm số g( x) = x2 - 2x 21 có đường tiệm cận đứng? A B C D é êf ( x) = ( 1) 21 ê 2 Dựa vào BBT, ta thấy: Lời giải Xét f ( x) - f ( x) + = Û ê ê ( 2) êf ( x) = ê ë · ( 1) có nghiệm x = f ( x) - f ( x) + = x.h( x) với h( x) hàm bậc hai h( x) = vô nghiệm · ( 2) có nghiệm x = (nghiệm kép) x = a ẻ ( 0;1) ắắ đ f ( x) - = ( x - a) ( x - 2) x( x - 2) = Do g( x) = x a x ) ( - 2) h( x) ( x - a) ( x - 2) xh( x) ( ắắ đ f ( x) - Suy đồ thị hàm số g( x) có đường tiệm cận đứng x = a x = Chọn B Dạng ĐỒ THỊ 11 Câu 14 (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hàm trùng phương y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số g( x) = f ( x) +1 A B C D Lời giải ĐTHS g( x) có số đường tiệm cận đứng số nghiệm phương trình f ( x) +1= Û f ( x) =- Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình f ( x) = - có nghiệm phân biệt Vậy đồ thị hàm số g( x) có đường tiệm cận đứng Chọn C Câu 15 Cho hàm trùng phương y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận x đứng đồ thị hàm số g( x) = é f ( x) ëf ( x) - 1ù û A C B D 10 éf ( x) = ù= Û ê f x ( ) Lời giải Xét f ( x) é êf x = Dựa vào ë û ê ë( ) ù đồ thị, ta thấy phương trình f ( x) é ëf ( x) - 1û= có nghiệm phân biệt khơng có nghiệm bng ( l nghim ca t) ắắ đ đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Lại có g( x) hàm phân thức hữu tỷ với bậc tử nhỏ bậc mẫu ¾¾ ® đồ thị hàm số g( x) có tiệm cận ngang y = Vậy đồ thị hàm số g( x) có tất đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn C Câu 16 Cho hàm trùng phương y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ 2019 + 2020 thị hàm số g( x) = f ( x) A B C D 2019+ 2020 f ( x) Dựa vào đồ thị, ta thấy Lời giải Ta có g( x) = f ( x) · f ( x) 0, " x ẻ Ă ắắ đ 2019+ 2020 f ( x) > 0, " x Ỵ ¡ (nghĩa tử khơng có nghiệm) 12 · éx = - f ( x) = Û ê ¾¾ ® Đồ thị hàm số có TCĐ: x = - x = ê ëx = f ( x) = +Ơ ắắ đ lim g( x) = 2020 ắắ Ta cú xlim đ th hm s cú TCN: y = 2020 đƠ xđƠ Vy thị hàm g( x) số có tất đường tiệm cận (ngang đứng) Chọn C Câu 17* Cho hàm số bậc ba y = f ( x) = x + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số g( x) = đường tiệm cận đứng? A x2 - có f ( x) - f ( x) B C D éf ( x) = ( 1) Lời giải Xét f ( x) - f ( x) = Û ê êf x = Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy ( ) ê ë( ) · ( 1) có nghiệm x = x1 Ỵ ( - ¥ ;- 1) (nghiệm đơn) x = (nghim kộp) ắắ đ f ( x) = ( x - x1 ) ( x - 1) · ( 2) có nghiệm x = - (nghiệm kộp) v x = x2 ẻ ( 1;+Ơ ) (nghim n) ắắ đ f ( x) - = ( x +1) ( x - x2 ) ( x - 1) ( x +1) = 2 x x x ( x +1) ( x - x2 ) ( ) ( ) x x x x + x x ( ) ( ) ( 1) ( 2) ắắ đ th hm số g( x) có đường TCĐ Chọn D Do g( x) = Câu 18* Cho hàm bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số g( x) = f ( x) ( x +1) ( x2 - 4x + 3) A C Lời B D giải Từ giả thiết suy f ( x) = ( x +1) ( x - 2) Khi ( x +1) ( x - 2) g( x) = ( x +1) ( x - 1) ( x - 3) Vì f ( x) có TXĐ: D = { - 1} È [ 2;+¥ ) nên x = - 1, x = khơng đường TCĐ 13 ¾¾ ® đồ thị hàm số g( x) có đường tiệm cận đứng x = Chọn A Nhận xét: Học sinh dễ nhầm lẫn x = - đường TCĐ Dạng TÌM TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ Câu 19 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số y = nhiêu đường tiệm cận? A B Lời giải TXĐ: D = ¡ \ { ±2} Ta có: · C x- có bao x2 - D lim y = ắắ đ y = l TCN xđƠ x- = Ơ ắắ đ x = - l TCĐ; x2 - x- 1 lim y = lim = lim = ắắ đ x = khơng TCĐ x® x® x - x® x + Vậy đồ thị hàm số có đường TCN đường TCĐ Chọn C · lim y = lim x®- x®- Câu 20 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số y = nhiêu đường tiệm cận đứng? A B D = ¡ \ { ±4} Ta có: Lời giải TXĐ: C x2 - 3x - có bao x2 - 16 D ( x +1) ( x - 4) x2 - 3x - x +1 = lim = lim = Ơ ắắ đ x = - TCĐ; x®- x®- ( x + 4) ( x - 4) x®- x + x - 16 · lim y = lim x®- ( x +1) ( x - 4) x2 - 3x - x +1 = lim = lim = ắắ đ x = khụng TCĐ x® x® ( x + 4) ( x - 4) x® x + x - 16 · lim y = lim x® Vậy đồ thị hàm số có đường TCĐ Chọn B Câu 21 (Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019) Đồ thị hàm số x3 - 4x có đường tiệm cận? y= x - 3x - A B C D Lời giải TXĐ: D = ¡ \ { - 1;2} Ta cú: à lim y = 1ắắ đ y = l TCN xđƠ y = lim à xlim đ- x®- x( x - 2) ( x + 2) = Ơ ắắ đ x = - TCĐ; ( x - 2) ( x +1) x( x - 2) ( x + 2) x( x + 2) lim y = lim = lim = ¾¾ ® x = không TCĐ 2 x® x® x® ( x - 2) ( x +1) ( x +1) Vậy đồ thị hàm số có đường TCN đường TCĐ Chọn B 3x + Câu 22 Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận? x +1 A B C 14 D ® Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Lời gii TX: D = Ă ắắ Ta cú xlim đ- Ơ lim xđ+Ơ 3x + = - ắắ ® y = - TCN; x +1 3x + = ắắ đ y = l TCN x +1 Vậy đồ thị hàm số có đường TCN khơng có đường TCĐ Chọn B Câu 23 Đồ thị hàm số y = x2 +1 có đường tiệm cận? x2 - x - A B Lời giải TXĐ: D = ¡ \ { - 2;2} Ta có · lim y = lim xđƠ xđƠ C D x2 +1 = ắắ đ y = l TCN x - x- 2 y = Ơ ắắ đ x = - l TC; lim y = Ơ ắắ ® x = TCĐ · xlim ®- x® Vậy đồ thị hàm số có đường TCN đường TCĐ Chọn C x2 + 2x +1 có đường tiệm cận? x2 - A B C D ìï ï x >- 1, x ¹ x2 + 2x +1 x +1 ïïï x - y = = = Lời giải Ta có í x2 - x2 - ïï x ïïï êm ïí Û í Û Û Chọn C íë ïï ( - 1) - 2m.( - 1) + ùùợ 2m+ ùù ùợ ùù mạ ùợ Li gii Ta cú lim xđƠ Cõu 46 Cú bao nhiờu giỏ tr nguyên tham số thực m thuộc đoạn x+2 [- 2020;2020] để đồ thị hàm số y = có hai tiệm cận đứng? x - 4x + m A 2020 B 2022 C 2023 D 2024 Lời giải Ycbt Û x - 4x + m= có hai nghiệm phân biệt khác - ïì D ¢> ïì 4- m> ïì m< Û ïí Û ïí Û ïí ïï ( - 2) - 4.( - 2) + mạ ùợù m+12 ùợù mạ - 12 ùợ mẻ  ắắ ắ ắ ắđ mỴ { - 2020; ;0;1;2;3} \ { - 12} mỴ [- 2020;2020] Vậy có tất 2023 giá trị nguyên thỏa mãn Chọn C x+2 với m tham số Có giá trị x - 4x + m nguyên m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A B C D Vụ s x+2 = ắắ đ y = TCN với m Lời giải Ta có lim xđƠ x - 4x + m Do ú YCBT Û đồ thị hàm số có TCĐ Û phương trình x2 - 4x + m= có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt có nghiệm - éD ¢= 4- m= ê ém= ê Û êìïï D ¢= 4- m> Û ê êm= - 12 Chọn C êí ïêï ( - 2) - 4( - 2) + m= ë ëïỵ Câu 47 Cho hàm số y = Câu 48 Có giá trị nguyên tham số m thuộc [- 12;12] để đồ thị hàm số y = A x+2 có tiệm cận ngang mà khơng có tiệm cận đứng? x2 - 4x + m B C 10 D 11 22 x+2 = ắắ đ y = l TCN vi mi m x2 - 4x + m Do YCBT Û x2 - 4x + m= vô nghiệm Û D ¢< Û m> Chọn A Nhận xét Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức ® m= - 12 Điều sai, với m= - 12 x2 - 4x + m= có nghiệm x = - ¾¾ Đồ thị cịn TCĐ x = hàm số trở thành y = x- Lời giải Ta cú lim xđƠ Cõu 49 [ MINH HA 2016-2017] Cho hàm số y = x +1 với m tham mx2 +1 số thực Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang A ( - ¥ ;0) B { 0} C ( 0;+Ơ ) D ặ Lời giải Với m< hàm số có TXĐ khoảng khơng chứa ±¥ nên đồ thị hàm số khơng có TCN ® đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Với m= suy y = x +1¾¾ Khi m> 0, ta có: 1+ x +1 x = ắắ = lim đ y= à xlim l TCN; đ+Ơ xđ+Ơ m m mx +1 m+ x ổ 1ữ xỗ 1+ ữ - 1ỗ ỗ ố xữ ứ x = - ắắ à lim y = lim = đ y=l TCN xđ- Ơ xđ- Ơ 1 m m x m+ m+ x x Vậy với m> đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Chọn C Câu 50 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số x2 + y= có đường tiệm cận ngang mx4 + A m= B m< C m> D m ổ ỗ- - ; - ÷ ÷ Lời giải · Với m< 0, hàm số có TXĐ: D = ỗ ữ ỗ ữ l mt khong ỗ m mø è khơng chứa ±¥ nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang 2 y = +¥ , suy đồ thị khơng có · Với m= ắắ đ y= x + Khi ú xlim đƠ 3 TCN à m> 0, Vi hàm số có TXĐ: D=¡ ỉ 2 x2 ỗ 1+ ữ ữ 1+ ỗ ữ ç è x2 ø x lim = lim = xđƠ xđƠ 3 m x2 m+ m+ x x 23 ắắ đ y= m l TCN Chọn C Câu 51 Biết đồ thị hàm số y = 2x + ax2 + bx + có đường tiệm cận ngang y = - Giá trị biểu thức P = 2a- b2 A - 72 B - C D 72 Lời giải Ta có: · · ( ) lim y = lim 2x + ax2 + bx + = +Ơ xđ+Ơ xđ+Ơ ( ) lim y = lim 2x + ax2 + bx + = lim x®- ¥ x®- ¥ x®- ¥ ( 4- a) x2 - bx - ax2 + bx + 2x - Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang l y = - nờn xlim đ- Ơ ùỡù 4- a = ï Û í -b Û ïï =- ïïỵ 2+ a ( 4- a) x2 - bx - 2x - ax2 + bx + =- ùớùỡ a = ắắ đ P = 2a- b2 = - Chọn B ïỵï b = Câu 52 Có giá trị thực tham số a để đồ thị hàm số y = ax + 4x2 +1 có tiệm cận ngang? A B C D Vô số ( a2 - 4) x2 - Lời giải Ta có lim y = lim ax + 4x +1 = lim xđƠ xđƠ xđƠ ax - 4x2 +1 ( à Vi a2 - ta cú lim xđƠ ) ( a2 - 4) x2 ax - 4x2 +1 · Với a2 - = Û a = ta cú lim = Ơ ắắ đ th hàm số khơng có TCN ( a2 - 4) x2 = lim - ax - 4x +1 ax - 4x2 +1 hàm số có TCN y = Vy a= tha Chn C xđƠ xđƠ = ắắ đ th m l tham số Tập hợp Câu 53* Cho hàm số y = é ù x - m với êx - ( 2m+1) x + 2mû ú ë giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ïì 1ïü ïì 1ïü ] A ( 0;1) B [ 0;1 C ( 0;1) \ í ý D ( - ¥ ;1) \ ý ùợù 2ùỵ ùợù 2ùỵ ù ù Li gii TXĐ: D = ( m;+¥ ) Xét phương trình éx2 - ( 2m+1) x + 2m= éx2 - ( 2m+1) x + 2mù x - m = Û ê Û ê ú ê ë û ê x- m = y = ắắ đ thị hàm số có TCN: y = Ta có xlim đ+Ơ 24 ộx = 1, x = 2m ê ëx = m