123 hsg 12v2 cẩm thủy thay trung

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG CẨM THỦY (V2) NĂM HỌC 2011-2012 Câu 1: P Cho biểu thức: x x x  x2  x  x ( x  1)( x  x ) a Rút gọn P b Tính P x 3  2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu 2: Giải phương trình: a x  10 x  27   x  x  b x  x  x x  x  0 Câu 3: a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y  xy  x  0  x  1   2x 1     3  ( x  1) y y x  x  1; y     b Cho , chứng minh: 2012  n 2002 1 số nguyên tố c Tìm số tự nhiên n để: A n x  y Câu 4: Cho hình vng ABCD , có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1  AF không đổi a Chứng minh: AE · · · · · b Chứng minh: cos AKE sin EKF cos EFK  sin EFK cos EKF c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Câu 5: Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I, K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH  CI  DK có giá trị lớn ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG CẨM THÙY (V2) NĂM HỌC 20112012 Câu 1: P Cho biểu thức: x x x  x2  x  x ( x  1)( x  x ) a Rút gọn P b Tính P x 3  2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Lời giải a P x x2   x ( x  1) x ( x  2) x ( x  1)( x  2)  x( x  2)  2( x  1)  x  x x  x  x   x   x ( x  1)( x  2) x ( x  1)( x  2)  x x  2x  x  x x ( x  1)( x  2) ( x  1)   x ( x  1)( x  2) x ( x  1)( x  2) ( x  1) b x 3  2  x   2   (  1)   ( x  1) 1 1 2   1  ( x  1) 1  c ĐK: x  0; x 1 P P ( x  1) x  1 2  1  ( x  1) x1 x1 P¢  Với x  ¢ , x  , x 1 ta có x    1, 2  x   4,9 Câu 2: Giải phương trình: a x  10 x  27   x  x  b x  x  x x  x  0 Lời giải a ĐK:  x 6 : VT  x  10 x  27 ( x  5)2  2 , dấu “=” xảy  x 5 VP   x  x   (12  12 )((  x )  ( x  4) )  VP 2 , Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  dấu “=” xảy 1    x  x   x 5 6 x x VT VP  x 5 (TMĐK) Vậy nghiệm phương trình: x 5 b ĐK: x 0 Nhận thấy: x 0 nghiệm phương trình, chia hai vế cho x , ta có: x  x  x x  x  0  x   x Đặt x 4  0  ( x  )  ( x  )  0 x x x x 4 t   t  x    x  t  x x x , từ ta có:  t 3 (t  4)  t  0  t  t  0  (t  3)(t  2) 0    t  Đối chiếu ĐK t  t 3 Ta có x 3  x  x  0  ( x  2)( x  1) 0  x Vậy tập nghiệm phương trình S  4,1  x 4  x 1  Câu 3: a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y  xy  x  0  x  1   2x 1     3  ( x  1) y y x  x  1; y     b Cho , chứng minh: 2012  n 2002 1 số nguyên tố c Tìm số tự nhiên n để: A n x  y Lời giải 2 2 a y  xy  x  0  x  xy  y x  x   ( x  y ) ( x  1)( x  2) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên  x  0   tiếp nên phải có số Ta có  x  0  x   y 1  x   y 2  Vậy có cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu toán: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( x; y ) (  1;1) ( x; y ) (  2; 2) x 1  x   0; y    0;  0;  x  1; y  ( x  1) y y b Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1   3 1.1    (1) 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) x 3  x  1  x  1  x   3( x  1)  (2)     3   1.1     y  y   y   y  1   3 3 1.1    (3) y y y y Từ (1); (2); (3), ta suy  x  1 1 3( x  1)   6    3 ( x  1)  y  y x y y  x  1 1  x  3x  2x x    3(  )   3 ( x  1)  y  y x y x y c Xét n 0 A 1 khơng phải ngun tố; n 1 A 3 nguyên tố Xét n  : A n 2012 – n  n 2002 – n  n  n  n 670 n  670 n  Mà –1   –  n  n3   –1   n  n  1 670 chia hết cho n 667 Tương tự: 667 n  –1 n  -1, suy –1 chia hết cho n  n  chia hết cho n  n  2 Vậy A chia hết cho n  n   A  n  n  nên A hợp số Vậy số tự nhiên cần tìm n 1 Câu 4: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho hình vng ABCD , có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1  AF không đổi a Chứng minh: AE · · · · · b Chứng minh: cos AKE sin EKF cos EFK  sin EFK cos EKF c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Lời giải B A M M' N N' P D K E Q H C F a Cmđ: ABF ADK (g.c.g), suy AF  AK Trong tam giác vng KAE có AD đường cao nên: 1 1 1      2 2 2 AK AE AD hay AF AE AD a (không đổi) 1 · S KEF  KE.EF sin ·AEK  KE.EF cos AKE 2 b 1 S KEF  EH KF  EH ( KH  HF ) 2 Mặt khác: Do EH KH  EH HF · · KE.EF cos AKE EH ( KH  HF )  cos AKE  KE.EF EH KH EH HF · K cos EKF · · · K  cos ·AKE   sin EF  sin EKF cosEF EF EK KE EF c Giả sử dựng điểm N thỏa mãn: NP  NQ MN Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy tam giác NN ' M cân · ' N  MN’ phân giác DMM  Cách dựng điểm N: - Dựng M’ đối xứng M qua AD · ' - Dựng phân giác DMM cắt DM’ N’ - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 5: Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I, K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH  CI  DK có giá trị lớn Lời giải d H I A P B K O D C Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc d P Ta có BH  CI  DK 4OP ( OP đường trung bình ACI hình thang KDBH Max  BH  CI  DK  4 AO Mà OP  AO nên BH  CI  DK 4 AO Vậy Dấu “=” xảy P  A hay d vng góc AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC