Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN VŨ QUANG (V2) NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: a) Cho x, y số thực thỏa mãn A = x + y + 12 xy Tính giá trị b) Cho biểu thức c) Cho x + y =1 x + y − ( x + y ) + 13 ( x + y ) − 20 = x2 − x −1 = xy ≠ Q= Tính giá trị x − 3x + 3x − x3 + 2017 x − x − x − x + 2017 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 Chứng minh Câu 2: a) Cho biểu thức a2 a2 − b2 b a − ab + b B = − + − ÷: a a − ab ab b − ab a −b Rút gọn tính giá trị b) Cho Biết Tính P ( x) B 2a − = với b +1 = đa thức bậc với hệ số cao P ( 2015 ) = 2016 ; P ( 2016 ) = 2017 P ( 2014 ) + P ( 2018 ) ; P ( 2017 ) = 2018 Câu 3: 1 + + = x + x + x + 11x + 28 x + 17 x + 70 x − 2 a) Giải phương trình x − xy + y = b) Giải phương trình nghiệm nguyên Câu 4: x, y a) Tìm để biểu thức F = x + y − xy − x + y + b) Tìm số nguyên dương phương n cho đạt giá trị nhỏ n + 3n + n số Câu 5: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ABCD a) Cho hình bình hành AB AM = BMN , I , N ABC b) Cho tam giác đoạn thẳng F , CE · EOF AG AD cắt DB , DC ABCD CD BC G AG GI A EB Chứng minh IB IC BC cắt lấy điểm BE.BF AB = CE.CF AC cho trọng tâm tam giác E F D , cho có cạnh đường chéo O , Tính lấy điểm E Đường thẳng AF AB điểm cạnh , phân giác góc Chứng minh c) Cho hình thoi tia M trung điểm giao điểm · · EAD = FAD Gọi AC , tia đối cắt đường thẳng ∆AEC # ∆CAF DC , tính số đo ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN VŨ QUANG (V2) NĂM HỌC 20182019 Câu 1: a) Cho x, y số thực thỏa mãn A = x + y + 12 xy Tính giá trị b) Cho biểu thức x + y =1 xy ≠ Tính giá trị x − 3x + 3x − x3 + 2017 Q= x − x − x − x + 2017 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 Chứng minh x3 − x + 12 x − + y − y + 12 y − + x + y − = ⇔ ( x − 2) + ( y − 2) + x + y − = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn x2 − x −1 = c) Cho Lời giải a) Từ giả thiết ta có: x + y − ( x + y ) + 13 ( x + y ) − 20 = tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 ⇔ ( x + y − ) ( x − ) − ( x − ) ( y − ) + ( y − ) + 1 = y − ( y − 2) +1 > ( x − ) − ( x − ) ( y − ) + ( y − ) + = x − − ÷ + Vì Do 2 2 x + y − = ⇒ A = ( x + y ) ( x + y ) − 3xy + 12 xy = ( 16 − xy ) + 12 xy = 64 A = 64 Vậy b) Ta có x − x5 + x − x3 + 2017 = ( x − x − x ) + ( −2 x + x + x ) + ( x − x3 − x ) + ( − x + x + x ) + ( x − x − 1) + 2018 = ( x − x − 1) ( x − x3 − x − x + 1) + 2018 = 2018 x − x3 − x − x + 2017 = ( x − x − x ) + ( x5 − x − x ) + ( x − x3 − x ) + ( x − x − x ) + ( x − x − 1) + 2018 = ( x − x − 1) ( x + x3 + x + x + 1) + 2018 = 2018 Do c) Từ Q =1 x + y = ⇒ x = − y; y = − x x y 1− y 1− x − = − y − x − y − x3 − Khi = = = −1 − x2 − x − + y + y + + = y + y + x + x + ( x + x + 1) ( y + y + 1) x y ( y − x ) ( y + x + 1) + xy ( x + y ) + x + y + xy + x + y + 2( y − x) 2( y − x) = x y + xy + x + y + ⇒ x2 y2 + 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 Câu 2: B= a) Cho biểu thức a2 a2 − b2 b a − ab + b − + − ÷: a a − ab ab b − ab a −b Rút gọn tính giá trị Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn B tốn: với 2a − = b +1 = TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Cho P ( x) đa thức bậc với hệ số cao P ( 2015 ) = 2016 Biết ; P ( 2016 ) = 2017 P ( 2014 ) + P ( 2018 ) Tính Lời giải a) ĐKXĐ: Ta có a, b ≠ 0; a ≠ b ; P ( 2017 ) = 2018 2a − = a = 2a − = ⇔ ⇔ 2a − = −1 a = Vì a≠0 nên a =1 1 b +1 = b=− ⇔ b +1 = ⇔ b + = − b = − 2 Do 1 − b2 b − b + b2 B = 2− + + ÷: b 1− b 1− b 1− b ( + b ) b + ( − b2 ) ( − b ) − b = 2− b ( 1− b) − b + b2 = 2− Với Với + b3 + b b −1 = 2− = b b b ( 1− b + b ) b=− ⇒ B =3 b=− ⇒B= b) Gọi đa thức Vì Q ( x ) = P ( x ) − ( x + 1) P ( x) ta có Q ( 2015 ) = Q ( 2016 ) = Q ( 2017 ) = có hệ số bậc cao nên Do Suy Ta có Q ( x) có dạng Q ( x) có hệ số cao Q ( x ) = ( x − 2015 ) ( x − 2016 ) ( x − 2017 ) ( x − a ) P ( x ) = ( x − 2015 ) ( x − 2016 ) ( x − 2017 ) ( x − a ) + ( x + 1) P ( 2014 ) + P ( 2018) = ( −1) ( −2 ) ( −3) ( 2014 − a ) + 2015 + 3.2.1 ( 2018 − a ) + 2019 = ( −6 ) 2014 + a + 6.2018 − 6a + 4034 = 4058 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 3: 1 + + = x + x + x + 11x + 28 x + 17 x + 70 x − 2 a) Giải phương trình x − xy + y = b) Giải phương trình nghiệm nguyên Lời giải x ≠ −1; x ≠ −4 x ≠ −7 x ≠ −10 a) ĐKXĐ: ; ; Phương trình ban đầu trở thành: 3 + + ( x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) = 4x − 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 10 x − 1 ⇔ = ( x + 1) ( x + 10 ) x − ⇔ ⇔ ( x + 1) ( x + 10 ) = x − ⇔ x + x + 12 = ⇔ ( x + 3) ( x + ) = x = −3 ( n ) ⇔ x = −4 ( l ) Vậy tập nghiệm phương trình cho b) Ta có S = { −3} x − xy + y = ⇔ x − xy + y = 12 ⇔ ( 2x − y ) = 3( − y2 ) ≥ ⇒ y2 ≤ ⇔ −2 ≤ y ≤ • Với • Với x = −1 y = ⇒ x − x − = ⇔ ( x + 1) ( x − ) = ⇔ x = x =1 y = −1 ⇒ x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + ) = ⇔ x = −2 y = ⇒ x − x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = • Với y = −2 ⇒ x + x + = ⇔ ( x + 1) = ⇔ x = −1 • Với Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com y = ⇒ x2 = ( l ) • Với ( x, y ) ∈ { ( −2, −1) ; ( 1, −1) ; ( −1,1) ; ( 2,1) ; ( −1, −2 ) ; ( 1, ) } Vậy Câu 4: x, y a) Tìm F = x + y − xy − x + y + để biểu thức b) Tìm số nguyên dương phương Lời giải a) Ta có n cho đạt giá trị nhỏ n + 3n + n số F = x + y − xy − x + y + = y + x + − xy − x + y + x + y + xy + = ( y − x + 1) + ( x + y ) + 2 F ≥2 Do "=" Dấu xảy F = Vậy A = 2n + 3n + 4n b) Đặt n >1 Xét n≥2 hay n Ta có chia chia n A Do dư Vậy dư chẵn: n =1 n chia chia +4 n dư Suy n =1 Nếu dư phương chia Với 1 1 ⇔ ( x; y ) = ; − ÷ 3 3 dư với n A=9 (thỏa mãn) n n chia hết cho chẵn hoặc nên A −1 với n phải chia lẻ Mà số dư nên 3n phải chẵn 4n dư , chia n dư , chia hết cho (vơ lí, số phương chia có số ) Câu 5: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ABCD a) Cho hình bình hành AM = BMN AB , I , N ABC b) Cho tam giác đoạn thẳng F , CE AG AD cắt DB , DC ABCD CD BC , G O AG GI A Chứng minh BC cắt E F D , cho có cạnh đường chéo EB IB IC lấy điểm BE.BF AB = CE.CF AC cho trọng tâm tam giác Tính lấy điểm E Đường thẳng AF AB điểm cạnh , phân giác góc Chứng minh c) Cho hình thoi tia M trung điểm giao điểm · · EAD = FAD Gọi AC , tia đối cắt đường thẳng ∆AEC # ∆CAF DC , tính số đo · EOF Lời giải P a) Gọi giao điểm tia Áp dụng định lí Thales, ta có: AI tia DC AE GE = = ⇒ NP = AE ⇒ NC + CP = AB NP GN ⇒ AB + CP = AB ⇒ CP = AB Suy Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 IB AB = = IC CP AG GE = = PA EN liệu word ; IA IB = = IP IC mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ IA IA = ⇒ = IP + IA + PA 11 ⇒ GI IA AG = − = − = PA PA PA 11 33 Do b) Kẻ Vì AG AG PA 33 11 = = = GI PA GI 7 EH ⊥ AB · · EAD = FAD · · ⇒ BAE = CAF H ⇒ N , FM ⊥ AB M FK ⊥ AC K AE HE = AF KF S ABE BE HE AB AE AB = = = S ACF CF KF AC AF AC BE AE AB = ( 1) CF AF AC ⇒ Chứng minh tương tự Từ c) · · BAF = CAE ⇒ ∆HAE # ∆KAF ⇒ Lại có EN ⊥ AC · · BAD = CAD và , ( 1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu ( 2) BF AF AB = ( 2) CE AE AC BE.BF AB ⇒ = CE.CF AC word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì AC = AD = BC = CD Ta có ·ABE = CFB · ⇒ ∆ABE # ∆CFB ⇒ nên ∆ACD · · BAE = FCB = 60° ∆ABC AE AB AE AC = ⇒ = BC CF AC CF ⇒ ∆AEC # ∆CAF · · ⇒ CFA = ACE · ⇒ ·ACE = FAB Do mà · · FAB = CFA ( AB / / DF ) · · · CAF + FAB = CAB = 60° · · ⇒ CAF + ·ACE = 60° ⇒ EOF = 120° …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN VŨ QUANG (V2) NĂM HỌC 20182 019 Câu 1: a) Cho x, y số thực thỏa mãn A = x + y + 12 xy Tính giá trị b) Cho... Tính lấy điểm E Đường thẳng AF AB điểm cạnh , phân giác góc Chứng minh c) Cho hình thoi tia M trung điểm giao điểm · · EAD = FAD Gọi AC , tia đối cắt đường thẳng ∆AEC # ∆CAF DC , tính số đo... 1) P ( 2014 ) + P ( 2018) = ( −1) ( −2 ) ( −3) ( 2014 − a ) + 2015 + 3.2.1 ( 2018 − a ) + 2 019 = ( −6 ) 2014 + a + 6.2018 − 6a + 4034 = 4058 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI