Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012-2013 Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a b 2c b c a 2c a b abc y 1 y y 1 x 3 y 2) Cho x , y thỏa mãn Tính giá trị biểu thức A x x y 3x xy y Câu 2: (2,0 điểm) 1)Giải phương trình x x 11 x x 21 35 x x 2012 y y 2012 2012 x z y z 0 2)Giải hệ phương trình Câu 3: (2,0 điểm) n n 1 n 1) Chứng minh với số ngun khơng chia hết cho 2 2) Xét phương trình x – m x 2m 0 1 (ẩn x ) Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình có nghiệm ngun Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB AC ngoại tiếp đường tròn O tâm O Gọi D , E , F tiếp điểm với cạnh AB , AC , BC ; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE · 1) Tính BIF 2) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM AB tứ giác ABHI nội tiếp O 3) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF , P Q hình chiếu N đường thẳng DE , DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn Câu 5: (1,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho số a , b , c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn 1 B a b c 3 a 1 b 1 c 1 biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012-2013 Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a b 2c b c a 2c a b abc y 1 y y 1 x 3 y 2) Cho x , y thỏa mãn Tính giá trị biểu thức A x x y 3x xy y Lời giải 1) a b 2c b c a 2c a b abc 2c a b ab a b c a b ac a b a b 2c 2ac ab bc a b 2c c a b a c a b a c b 2c 2) Ta có: x 3 y y 1 y y 1 x3 2 y 3 y y 1 y y y y y y x3 3x y 0 A x x y 3x xy 3xy y x 3x xy x y 3xy y A x x 3x y y x 3x y 1 Câu 2: (2,0 điểm) 1)Giải phương trình x x 11 x x 21 35 x x 2012 y y 2012 2012 x z y z 0 2)Giải hệ phương trình Lời giải 1) Phương trình cho tương đương với x x 5 35 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn (1) tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do ( x 2) 7x 2 ( x 4) 5x ( x 2) ( x 4) 5 35 x ( x 2) 7 1 2 ( x 4) 5 x 2 2) x x 2012 y y 2012 2012 1 x z y z 0 2 (1) x x 2012 y y 2012 y 2012 y 2012 y 2012 y y 2012 y y 2012 y 0 , y ) (Do x x 2012 2012 2012 x x 2012 y 2012 y x y y 2012 x y x y x y x 2012 y 2012 x 2012 Thay y 2012 x 2012 y 2012 x 2012 y x2 y 2012 x 2012 y 2012 y x 2012 x y 2012 x 2012 y 2012 y y y x 2012 x x x Do 0 y 2012 y x 2012 x y x vào x z x z 0 ( x 2) ( z 2) 0 ( x 2)2 0 x y x 2 ( z 2) 0 z 2 Vậy hệ có nghiệm x; y; z 2; 2; Câu 3: (2,0 điểm) n n 1 3) Chứng minh với số ngun n khơng chia hết cho Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 4) Xét phương trình x – m x 2m 0 1 (ẩn x ) Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình có nghiệm ngun Lời giải 1) Đặt A n n n ¢ n 3k ; n 3k ; n 3k ( k ¢ ) * n 3k A khơng chia hết cho (vì A khơng chia hết cho 3) * n 3k A 9k 9k không chia hết cho * n 3k A 9k 9k không chia hết cho Vậy với số nguyên n A n n không chia hết cho * 2) Giả sử tồn m ¥ để phương trình có nghiệm x1 , x2 Theo Vi-et: x1 x2 m x1 x2 2m x1 1 x2 1 m 2m * Với m ¥ Ta có x1 x2 4 vµ x1 x2 1 mà x1 x2 nguyên x1 x2 m ¥ * x1 , x2 ¥ * ( x1 1)( x2 1) 0 m 2m 0 (m 1)(m 3) 0 m 3 m 1; 2;3 Với m 1 ; m 2 thay vào ta thấy phương trình cho vơ nghiệm Với m 3 thay vào phương trình ta nghiệm phương trình cho x 1 ; x 8 thỏa mãn Vậy m 3 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB AC ngoại tiếp đường tròn O tâm O Gọi D , E , F tiếp điểm với cạnh AB , AC , BC ; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE · 1) Tính BIF 2) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM AB tứ giác ABHI nội tiếp Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com O 3) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF , P Q hình chiếu N đường thẳng DE , DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn Lời giải 1) B F K H D O I A E C M Gọi K giao điểm BO với DF IKF vuông K 1· · DFE DOE 45 Có · BIF 45 · · Khi AM AB ABM vng cân A DBH 45 Có DFH 45 Tứ giác BDHF nội tiếp điểm B , D , O , H , F thuộc đường tròn · · BFO BHO 90 OH BM , mà OA BM A , O , H thẳng hàng · · BAH BIH 45 Tứ giác ABHI nội tiếp 2) B F P D O N A E M C Q Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · · Có tứ giác PNQD nội tiếp QPN QDN EFN · · · Tương tự có NQP NDP FEN NEF NQP đồng dạng PQ NQ 1 PQ EF EF NE Dấu " " xảy P F ; Q E DN đường kính O PQ lớn EF O Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN , BN cắt AC M PQ lớn Câu 5: (1,0 điểm) Cho số a , b , c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn 1 B a b c 3 a 1 b 1 c 1 biểu thức Lời giải Đặt x 1 c , y 1 b , z 1 a Do a b c 1 z y x 2 Khi 1 1 x x y y z z A x y z 3 y z x z x y x y z x y x y x y x y x 0 0 y z y z y.z y z z z y z y z y 0 0 y x y x y.x x y z y x z x x y 2 y z y x z x y z x z y z 1 y x x y z z x z 2 z x y z x x t t 2 Đặt z x z t 2t 5t (2t 1)(t 2) t z x t t 2t 2t (2t 1)(t 2) x z 0 z x 2t Do t 2 A 3 10 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta thấy a b 0 c 1 A 10 nên giá trị lớn A 10 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC