Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012-2013 Câu 1: (2,0 điểm) 1) 2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ( b − 2c ) + b ( c − a ) + 2c ( a − b ) + abc Cho x , y x = y − y2 +1 + y + y2 + thỏa mãn Tính giá trị biểu thức (2,0 điểm) Giải phương trình (x Câu 3: 2 − x + 11) ( x − x + 21) = 35 ( Giải hệ phương trình )( ) x + x + 2012 y + y + 2012 = 2012 x + z − ( y + z ) + = (2,0 điểm) A = x + x y + x + xy − y + Câu 2: Chứng minh với số nguyên n (n + n + 1) khơng chia hết cho Xét phương trình nguyên dương Câu 4: x – m x + 2m + = m ( 1) để phương trình x (ẩn ) Tìm giá trị ( 1) có nghiệm nguyên (3,0 điểm) Cho tam giác O tâm Gọi AC BC , Tính Gọi ; · BIF H BO , E cắt , F EF vng A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tiếp điểm I M ( O) với cạnh điểm di chuyển đoạn CE AB , giao điểm tứ giác Liên hệ tài 039.373.2038 D ABC liệu ABHI word BM EF Chứng minh AM = AB nội tiếp mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi N giao điểm lượt hình chiếu M vị trí điểm Câu 5: để N PQ BM với cung nhỏ EF đường thẳng ( O) DE , , P DF Q lần Xác định lớn (1,0 điểm) Cho số biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu a , b , c thỏa mãn ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 Tìm giá trị lớn 1 B = ( a + b + c + 3) + + ÷ a +1 b +1 c +1 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012-2013 Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ( b − 2c ) + b ( c − a ) + 2c ( a − b ) + abc 2) Cho x , y thỏa mãn x = y − y2 +1 + y + y2 +1 Tính giá trị biểu thức A = x + x y + x + xy − y + 2 Lời giải 1) a ( b − 2c ) + b ( c − a ) + 2c ( a − b ) + abc = 2c ( a − b ) + ab ( a − b ) − c ( a − b ) − ac ( a − b ) = ( a − b ) 2c − 2ac + ab − bc = ( a − b ) 2c ( c − a ) + b ( a − c ) = ( a − b ) ( a − c ) ( b − 2c ) 2) x= Ta có: y − y2 +1 + y + y2 + ⇒ x3 = y + 3 y − y + y + y + y − y + + y + y + ÷ ⇒ x3 + 3x − y = A = x + x y + 3x − xy + 3xy − y + = ( x + 3x − xy ) + ( x y + 3xy − y ) + A = x ( x + x − y ) + y ( x + 3x − y ) + = Câu 2: (2,0 điểm) 1) Giải phương trình (x 2) Giải hệ phương trình − x + 11) ( x − x + 21) = 35 ( )( ) x + x + 2012 y + y + 2012 = 2012 x + z − ( y + z ) + = Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Phương trình cho tương đương với ( x − ) + ( x − ) + = 35 (1) ( x − 2) + ≥ 7∀x 2 ( x − 4)2 + ≥ 5∀x ⇒ ( x − 2) + ( x − 4) + ≥ 35 ∀x Do ( x − 2) + = ( 1) ⇔ 2 ( x − 4) + = ⇔ x=2 2) ( )( ) x + x + 2012 y + y + 2012 = 2012 ( 1) x + z − ( y + z ) + = ( 2) ( (1) ⇔ x + x + 2012 )( y+ y + 2012 ) ( ⇔ x + x + 2012 2012 = 2012 ⇔ x + x + 2012 = ⇔ x+ y = ( ⇔ x+ y = ⇔ x+ y = ⇔ ( x + y) ( y + 2012 − y ) y + 2012 − y ≠ ∀y (Do , y + 2012 − x + 2012 y + 2012 − x + 2012 )( y + 2012 + x + 2012 ) y + 2012 + x + 2012 y2 − x2 y + 2012 + x + 2012 y + 2012 − y + x + 2012 + x y = −x liệu ) ( y + 2012 − y y + 2012 + x + 2012 Do Liên hệ tài 039.373.2038 ) y + 2012 − y = 2012 y + 2012 − y y + 2012 > y ≥ y ∀y x + 2012 > x ≥ − x ∀x ⇒ Thay )( vào word ( 2) =0 y + 2012 − y + x + 2012 + x > ⇒ x + z + x − z + = ⇔ ( x + 2) + ( z − 2) = mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ) Website:tailieumontoan.com ( x + 2) = x = −2 ⇔ ⇔ ⇒ y = −x = ( z − 2) = z = Vậy hệ có nghiệm Câu 3: ( x; y; z ) = ( −2; 2; ) (2,0 điểm) n Chứng minh với số nguyên (n + n + 1) khơng chia hết cho Xét phương trình m nguyên dương để phương trình A = n2 + n + Đặt * * n = 3k ⇒ A n ∈ ¢ ⇒ n = 3k ( 1) có nghiệm nguyên Vậy với số nguyên 2) Giả sử tồn m∈¥* n = 3k + n = 3k + k  ; mƠ* A ( ) không chia hết cho 3) không chia hết cho n = 3k + ⇒ A = k + 9k + Theo Vi-et: ; không chia hết cho (vì n = 3k + ⇒ A = 9k + 9k + Với x (ẩn ) Tìm giá trị Lời giải 1) * ( 1) x – m x + 2m + = n không chia hết cho A = n2 + n + khơng chia hết cho để phương trình có nghiệm x1 , x2 x1 + x2 = m x1 x2 = 2m + ⇒ ( x1 − 1) ( x2 − 1) = − m + 2m + Ta có x1 x2 ≥ vµ x1 + x2 ≥ mà x1 x2 nguyên x1 + x2 = m2 ∈ ¥ * ⇒ x1 , x2 ∈ ¥ * ⇒ ( x1 − 1)( x2 − 1) ≥ ⇔ − m + 2m + ≥ ⇔ (m + 1)(m − 3) ≤ ⇔ m ≤ ⇒ m ∈ { 1; 2;3} Với m =1 ; m=2 thay vào ta thấy phương trình cho vơ nghiệm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com m=3 Với thay vào phương trình ta nghiệm phương trình x =1 x = cho Câu 4: ; thỏa mãn Vậy m=3 (3,0 điểm) Cho tam giác O tâm Gọi AC BC , 1) Tính 2) Gọi ; · BIF H Gọi N , E , F EF cắt A vng có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tiếp điểm I M ( O) với cạnh điểm di chuyển đoạn CE AB tứ giác ABHI vị trí điểm M để BM N PQ BM EF Chứng minh nội tiếp giao điểm lượt hình chiếu với cung nhỏ EF đường thẳng ( O) DE , , P DF Q lần Xác định lớn Lời giải 1) B F K D H O I A Gọi Liên hệ tài 039.373.2038 K , giao điểm AM = AB 3) BO D ABC E giao điểm liệu word môn M BO với tốn: DF ⇒ ∆IKF C vng K TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1· · DFE = DOE = 45° · ⇒ BIF = 45° Có Khi ⇒ AM = AB Tứ giác ⇒ BDHF B điểm ∆ABM , D , vuông cân Có · DFH = 45° nội tiếp O H , , F thuộc đường tròn · · ⇒ BFO = BHO = 90° ⇒ OH ⊥ BM · · BAH = BIH = 45° ⇒ · = 45° A ⇒ DBH Tứ giác , mà ABHI OA ⊥ BM ⇒ A O , , H thẳng hàng nội tiếp 2) B F P D O N A E M C Q Có tứ giác PNQD Tương tự có ⇒ nội tiếp · · · NQP = NDP = FEN ⇒ ∆NEF ( O) "=" xảy ⇒ PQ lớn Cách xác định điểm Câu 5: ∆NQP đồng dạng PQ NQ = ≤ ⇒ PQ ≤ EF EF NE Dấu M · · · ⇒ QPN = QDN = EFN PQ M EF P ≡ F ; Q ≡ E ⇒ DN đường kính : Kẻ đường kính DN ( O) , BN cắt AC lớn (1,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a Cho số biểu thức , b , c thỏa mãn ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 Tìm giá trị lớn 1 B = ( a + b + c + 3) + + ÷ a +1 b +1 c +1 Lời giải Đặt x = 1+ c , y = 1+ b , z = 1+ a ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 ⇒1≤ z ≤ y ≤ x ≤ Do Khi 1 1 x x y y z z A = ( x + y + z ) + + ÷= + + + + + + + y z x z x y x y z x y x y x y x y x ≥ ⇔ + ≤ +1 − ÷1 − ÷ ≥ ⇔ − − + y z y z y z z y z z − ÷1 − y ⇒ y z y z y z y z ≥ ⇔ + ≤ +1 ÷≥ ⇔ − − + x y x y x y x x x y z y x z x x y y z z x z + + + ≤ + + ⇒ + + + + + ≤ + ÷+ y z y x z x y z x z x y z x Đặt x =t ⇒1≤ t ≤ z x z t + 2t − 5t + (2t − 1)(t − 2) + =t+ = = + = + z x t t 2t 2t Do (2t − 1)(t − 2) x z + ≤ 1≤ t ≤ ⇒ ≤0 ⇒ z x 2t ⇒ A ≤ + + = 10 Ta thấy 10 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu a =b=0 word mơn c =1 tốn: A = 10 nên giá trị lớn A TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012-2 013 Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ( b − 2c ) + b (... { 1; 2;3} Với m =1 ; m=2 thay vào ta thấy phương trình cho vơ nghiệm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com m=3 Với thay vào phương trình ta nghiệm... 039.373.2038 ) y + 2012 − y = 2012 y + 2012 − y y + 2012 > y ≥ y ∀y x + 2012 > x ≥ − x ∀x ⇒ Thay )( vào word ( 2) =0 y + 2012 − y + x + 2012 + x > ⇒ x + z + x − z + = ⇔ ( x + 2) + ( z − 2)