Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG CẨM THỦY (V2) NĂM HỌC 2011-2012 Câu 1: P Cho biểu thức: x x2 x x x x ( x 1)( x x ) a Rút gọn P b Tính P x 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu 2: Giải phương trình: a x 10 x 27 x x b x2 2x x x x Câu 3: a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy x x 1 2x x 1 3 ( x 1) y y x y x 1; y b Cho , chứng minh: 2012 n 2002 số nguyên tố c Tìm số tự nhiên n để: A n Câu 4: Cho hình vng ABCD , có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1 AF không đổi a Chứng minh: AE · · · · · b Chứng minh: cos AKE sin EKF cos EFK sin EFK cos EKF c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Câu 5: Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I, K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH CI DK có giá trị lớn ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG CẨM THÙY (V2) NĂM HỌC 20112012 Câu 1: P Cho biểu thức: x x2 x x x x ( x 1)( x x ) a Rút gọn P b Tính P x 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Lời giải a P x x2 x ( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) x( x 2) 2( x 1) x x x x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) x x 2x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) ( x 1) x ( x 1)( x 2) ( x 1) b x 2 x 2 ( 1) ( x 1) 1 1 2 1 ( x 1) 1 1 c ĐK: x 0; x P P ( x 1) ( x 1) x 1 2 1 x 1 x 1 P ¢ x 1, 2 x 4,9 Với x ¢ , x , x ta có Câu 2: Giải phương trình: a x 10 x 27 x x b x2 2x x x x Lời giải a ĐK: x : VT x 10 x 27 ( x 5)2 , dấu “=” xảy x VP x x (12 12 )(( x )2 ( x 4) ) VP , Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com dấu “=” xảy 6 x 6 x x4 x x4 VT VP x (TMĐK) Vậy nghiệm phương trình: x b ĐK: x Nhận thấy: x nghiệm phương trình, chia hai vế cho x , ta có: x2 x x x x x x Đặt x 4 (x ) ( x )2 x x x x 4 t t2 x x t2 x x x , từ ta có: t (t 4) t t t (t 3)(t 2) t 2 Đối chiếu ĐK t t Ta có x x x x ( x 2)( x 1) x x Vậy tập nghiệm phương trình S 4,1 Câu 3: a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy x x 1 2x x 1 3 ( x 1) y y x y x 1; y b Cho , chứng minh: 2012 n 2002 số nguyên tố c Tìm số tự nhiên n để: A n Lời giải 2 2 a y xy x x xy y x x ( x y ) ( x 1)( x 2) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên x 1 x 1 y x 2 y tiếp nên phải có số Ta có x Vậy có cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu toán: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( x; y ) ( 1;1) ( x; y ) ( 2; 2) x 1 x 0; y 0; 0; x 1; y ( x 1) y y b Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 3 1.1 (1) 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) x 1 3 x 1 x 1 x 3( x 1) (2) 11 33 1.1 y y y y 1 3 1.1 (3) y y y y Từ (1); (2); (3), ta suy x 1 1 3( x 1) 6 3 ( x 1) y y x 1 y y x 1 1 x 3x 2x x 3( ) 3 ( x 1) y y x 1 y x 1 y c Xét n A khơng phải ngun tố; n A nguyên tố Xét n : A n 2012 – n n2002 – n n n n n3 n Mà 670 670 –1 – n n3 –1 n n 1 n -1, suy 670 chia hết cho n n 667 Tương tự: 667 –1 –1 chia hết cho n n chia hết cho n n 2 Vậy A chia hết cho n n A n n nên A hợp số Vậy số tự nhiên cần tìm n Câu 4: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho hình vng ABCD , có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1 AF không đổi a Chứng minh: AE · · · · · b Chứng minh: cos AKE sin EKF cos EFK sin EFK cos EKF c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Lời giải B A M M' N N' P D K E Q H C F a Cmđ: ABF ADK (g.c.g), suy AF AK Trong tam giác vng KAE có AD đường cao nên: 1 1 1 2 2 2 AK AE AD hay AF AE AD a (không đổi) 1 · S KEF KE.EF sin ·AEK KE.EF cos AKE 2 b 1 S KEF EH KF EH ( KH HF ) 2 Mặt khác: Do EH KH EH HF · KE.EF cos ·AKE EH ( KH HF ) cos AKE KE.EF EH KH EH HF · K cos EKF · · · K cos ·AKE sin EF sin EKF cosEF EF EK KE EF c Giả sử dựng điểm N thỏa mãn: NP NQ MN Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy tam giác NN ' M cân · ' N MN’ phân giác DMM Cách dựng điểm N: - Dựng M’ đối xứng M qua AD · ' - Dựng phân giác DMM cắt DM’ N’ - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 5: Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I, K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH CI DK có giá trị lớn Lời giải d H I A P B K O D C Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc d P Ta có BH CI DK 4OP ( OP đường trung bình ACI hình thang KDBH Max BH CI DK AO Mà OP AO nên BH CI DK 4 AO Vậy Dấu “=” xảy P A hay d vng góc AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG CẨM THÙY (V2) NĂM HỌC 20112012 Câu 1: P Cho biểu thức: x x2 x x x x ( x 1)( x x... Chứng minh: AE · · · · · b Chứng minh: cos AKE sin EKF cos EFK sin EFK cos EKF c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ... Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc d P Ta có BH CI DK 4OP ( OP đường trung bình ACI hình thang KDBH Max BH CI DK AO Mà OP AO nên BH CI DK 4 AO Vậy