Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2016-2017 Câu 1: (7,0 điểm) a)Chứng minh A n 4n 6n 4n n chia hết cho 16 với n số nguyên B x 2 3 12 x x x 2 8x b)Cho biểu thức Rút gọn biểu thức x B tìm giá trị ngun để B có giá trị ngun c) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: y x x y x y xy Câu 2: (3,0 điểm) D Cho hàm số y 2 x x x có đồ thị a)Vẽ đồ thị D hàm số b)Với giá trị m phương trình x x x m vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị D , tìm tập nghiệm bất phương trình: x x x Câu 3: (2,0 điểm) y2 x xy 2017 y2 1009 z x xz z 1008 ( x 0, z 0, x z ) Cho x, y, z số thực thỏa: 2z y z Chứng minh x x z Câu 4: (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A điểm B O O cho AE BE Vẽ đường tròn đường kính AE đường trịn đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN hai đường tròn O O với M tiếp điểm thuộc N tiếp điểm thuộc a)Gọi F giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh đường thẳng EF vng góc với đường thẳng AB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com O b)Với AB 18 cm AE 6 cm, Vẽ đường tròn đường kính AB O Đường thẳng MN cắt đường trịn C D cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Câu 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A , có góc A nhỏ 90 Từ B kẻ BM vng góc với AC M (điểm M thuộc AC ) Chứng minh AM AB 2 MC BC ……………….HẾT…………… LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (7,0 điểm) a)Chứng minh A n 4n 6n 4n n chia hết cho 16 với n số nguyên B x 2 3 12 x x x 2 8x b)Cho biểu thức Rút gọn biểu thức x B tìm giá trị nguyên để B có giá trị ngun c) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: y x x y x y xy Lời giải a) A n8 4n 6n 4n n n n 4n3 6n 4n 1 n(n 1) Vì n n 1 tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n 1)M2 n n 1 M24 16 16 với n thuộc ¢ Do AM B x 2 3 12 x x2 b) x 2 8x x 3 x2 x 2 x2 x x Điều kiện xác định x 0 +) Xét x : B x2 x2 x 3 x 2 x x x x x ¢ x Với x ¢ , B có giá trị nguyên Ư(3), mà x < nên x x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com +) Xét x 2 : B x2 2x 3 x2 2 x x x ¢ x Với x ¢ , B có giá trị nguyên x Ư(3) mà x 2 x 1 +) Xét x : B x2 x2 x 3 x 2 2 x x x x ¢ x Với x ¢ , B có giá trị nguyên x Ư(3) mà x nên x 3 Kết luận 2x2 x x x 2x B x 2 x x2 x x x x 1; 3 Với x ¢ , B có giá trị ngun c) y x x y x y xy x 1 x y y 1 x 1 x y y 1 x x y y x 2 2 y y 0 x 0 2 y y 0 x 2 y 1 x 0 y 1 Vậy phương trình có hai nghiệm ngun 2;1 0;1 Câu 2: (3,0 điểm) D Cho hàm số y 2 x x x có đồ thị a)Vẽ đồ thị D hàm số b)Với giá trị m phương trình x x x m vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị D , tìm tập nghiệm bất phương trình: x x x Lời giải x , x 3 y 2 x x x 2 x x 3x 4, x a) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b)Phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị sau: D : y 2 x2 6x x (1) D ' : y m Trong đó, D ' đường thẳng song song trùng với trục Ox cắt trục Oy điểm có tung độ m Phương trình (*) vơ nghiệm Dựa vào đồ thị , ta có: D D ' không giao D D ' không giao m Vậy phương trình cho vơ nghiệm m x x x x x x c) Các nghiệm bất phương trình hồnh độ điểm thuộc (D) mà có tung độ y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dựa vào đồ thị ta suy ra: x 6 x 2 1 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho x¡ x 6 x 2 Câu 3: (2,0 điểm) y2 x xy 2017 (1) y2 1009 (2) ( x 0, z 0, x z ) z x xz z 1008 (3) Cho x, y, z số thực thỏa: 2z y z Chứng minh x x z Lời giải y2 x xy 2017 (1) y2 1009 (2) ( x 0, z 0, x z ) z x xz z 1008 (3) 1 trừ , vế theo vế, ta có: x xy 3 trừ , vế theo vế, ta có: z 1008 (4) xz xy z 0 xz z xy xz z xy xz z ( x z ) x ( y z ) 2z y z x xz 2z y z Vậy x x z Câu 4: (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A điểm B O O cho AE BE Vẽ đường trịn đường kính AE đường trịn đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN hai đường trịn O O với M tiếp điểm thuộc N tiếp điểm thuộc Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a)Gọi F giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh đường thẳng EF vng góc với đường thẳng AB O b)Với AB 18 cm AE 6 cm , Vẽ đường trịn đường kính AB O Đường thẳng MN cắt đường tròn C D cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Lời giải F M C A I K O1 D N EO O2 B Hình vẽ điểm N chưa xáchình kéo theo điểm F chưa xác a) MN tiếp tuyến chung O1 O2 nên · E NO · E 180 MN O1M ; MN O2 N O1M //O2 N MO · E 2O · AM O1 AM cân O1 suy MO 1 · E 2O · BN O BN O NO cân nên · E NO · E 2 O · AM O · BN MO 2 · AM O · BN 900 MFN · O 900 · · Mặt khác AME BNE 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · · · · EMF ENF 90 suy MENF hình chữ nhật MEF NME · · · · Mà O1EM O1ME ( O1ME cân O1 ) NME O1ME 90 ( MN tiếp tuyến) · · EM 90 MEF O hay EF AB E b) Ta có AB 18 cm, AE 6 cm EB 12 cm, OF 9 cm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AFB vng F có đường cao EF nên EF AE.EB 6.12 72 EF 6 cm MN EF 6 cm Gọi K , I giao điểm EF , OF với MN F A I K M C O1 N EO O2 D B · · · · Tứ giác MENF hình chữ nhật nên có NMF NEF mà NEF ABF · · (cùng phụ góc BEM ) NMF ABF (1) FNM ∽ FAB · · OAF OFA 2 Ta lại có OAF cân O suy · · Và OAF ABF 90 (3) Từ · · 1 , 3 ta suy NMF OFA 90 · MIF 90 FNM đồng dạng FAB có FI , FE hai đường cao tương ứng nên FI MN FI FI 4 EF AB 18 cm OI OF FI 9 5 cm 2 2 OID vuông I nên ID OD OI 9 56 ID 2 14 cm Vì OF CD I nên CD 2.ID 4 14 cm Câu 5: (3,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC cân A , có góc A nhỏ 90 Từ B kẻ BM vng góc với AC M (điểm M thuộc AC ) Chứng minh AM AB 2 MC BC Lời giải A M B C ABC cân A nên AB AC Ta có AM AM MC AC AC AC AB 2 BC 2 AC.MC 2 MC BC MC BC MC BC Như vây, ta cần chứng minh: BC 2 AC.MC Thật vậy, ta có BC BM MC AB AM AC AM AC AM AC AC AM AM 2 AC AC AM 2 AC.( AC AM ) 2 AC.MC …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC