Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2016-2017 Câu 1: (7,0 điểm) a) Chứng minh n A = n8 + n + n + n + n chia hết cho 16 với số nguyên (x B= − 3) + 12 x 2 x b) Cho biểu thức + ( x + 2) − 8x Rút gọn biểu thức x B B tìm giá trị ngun để có giá trị nguyên c) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: y x + x + y + = x + y + xy Câu 2: (3,0 điểm) Cho hàm số a) Vẽ đồ thị y = x2 − x + − x − ( D) c) Dựa vào đồ thị x2 − x + ≥ x ( D) m phương trình x2 − x + − x − = m vơ , tìm tập nghiệm bất phương trình: (2,0 điểm) Cho x, y , z số thực thỏa: Chứng minh Câu 4: có đồ thị ( D) hàm số b) Với giá trị nghiệm Câu 3: 2z y + z = x x+ z y2 x + xy + = 2017 y2 = 1009 z + x + xz + z = 1008 ( x ≠ 0, z ≠ 0, x ≠ − z ) (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng cho Liên hệ tài 039.373.2038 AE < BE liệu AB điểm Vẽ đường trịn word mơn tốn: E ( O1 ) nằm điểm đường kính AE A điểm B đường trịn ( O2 ) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com BE đường kính với M a) Gọi ( O1 ) tiếp điểm thuộc F AB = 18 cm MN Đường thẳng C Câu 5: N hai đường tròn tiếp điểm thuộc AM giao điểm đường thẳng minh đường thẳng b) Với MN Vẽ tiếp tuyến chung AE = AD ABC cm, Vẽ đường tròn ( O) ( O) C Tính độ dài đoạn thẳng cân A BN vng góc với đường thẳng cắt đường tròn thuộc cung nhỏ (3,0 điểm) Cho tam giác EF ( O2 ) , có góc A nhỏ Chứng AB đường kính D CD 90° AB cho điểm Từ B kẻ BM vng góc với AC M AC M (điểm thuộc ) Chứng minh ……………….HẾT…………… AM AB +1 = 2 ÷ MC BC LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (7,0 điểm) a) Chứng minh n A = n + n + 6n + n + n chia hết cho 16 với số nguyên B= (x − 3) + 12 x 2 x b) Cho biểu thức + ( x + 2) − 8x Rút gọn biểu thức x B B tìm giá trị nguyên để có giá trị ngun c) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: y x + x + y + = x + y + xy Lời giải a) A = n8 + 4n + 6n + 4n + n = n ( n + 4n3 + 6n + 4n + 1) = [ n(n + 1) ] Vì n ( n + 1) tích ⇒ n ( n + 1) M24 = 16 hai số nguyên liên tiếp nên n(n + 1)M2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do B= (x AM 16 n với − 3) + 12 x thuộc ¢ x2 ( x + 2) − 8x = + b) x≠0 Điều kiện xác định (x + 3) x2 + ( x − 2) = x2 + + x−2 x −x − −2 x + x − 3 B= − x+2= = −2 x + − x x x +) Xét Với x2 x∈¢ , B x2 + x2 − x + 3 B= + x−2 = = 2x − + x x x : có giá trị nguyên ∈¢ ⇔ x∈ x Ư(3) mà x>2 nên x=3 Kết luận −2 x + x − x < x 2x + B= < x ≤ x x2 − x + x > x Với x∈¢ , B có giá trị nguyên y x + x + y + = x + y + xy ⇔ ( x − 1) ( x − y + y ) = c) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn x ∈ { ±1; ±3} tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x − = x = x = y = x − y + y = 2 y − y − = ⇔ ⇔ ⇔ x = x − = −1 x=0 x − y + y = −1 y − y − = y = Vậy phương trình có hai nghiệm ngun Câu 2: ( 2;1) ( 0;1) (3,0 điểm) Cho hàm số a) Vẽ đồ thị y = x2 − x + − x − ( D) hàm số b) Với giá trị nghiệm c) Dựa vào đồ thị x2 − x + ≥ x có đồ thị ( D) ( D) m phương trình x2 − x + − x − = m vô , tìm tập nghiệm bất phương trình: Lời giải a) x − , x ≥ y = x2 − 6x + − x − = x − − x − = −3x + 4, x < Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị sau: ( D) : y = x2 − x + − x − ( D ') : y = m Trong đó, ( D ') cắt trục Oy (1) đường thẳng song song trùng với trục điểm có tung độ m Phương trình (*) vơ nghiệm Dựa vào đồ thị , ta có: ( D) ( D ') không giao ⇔ m < −5 ( D) Vậy phương trình cho vô nghiệm không giao m < −5 x − x + ≥ x ⇔ x − x + − x − ≥ −2 ( 1) c) ( D ') Ox Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Các nghiệm bất phương trình hồnh độ điểm thuộc (D) mà có tung độ y ≥ −2 x ≥ x ≤ ( 1) ⇔ Dựa vào đồ thị ta suy ra: Vậy tập nghiệm bất phương trình cho Câu 3: { x∈¡ x ≥ ∨ x ≤ 2} (2,0 điểm) x, y , z Cho số thực thỏa: Chứng minh 2z y + z = x x+ z y2 x + xy + = 2017 (1) y2 = 1009 (2) ( x ≠ 0, z ≠ 0, x ≠ − z ) z + x + xz + z = 1008 (3) Lời giải y2 x + xy + = 2017 (1) y2 = 1009 (2) ( x ≠ 0, z ≠ 0, x ≠ − z) z + x + xz + z = 1008 (3) ( 1) ( 3) ( 2) trừ trừ , vế theo vế, ta có: ( 4) x + xy − z = 1008 (4) , vế theo vế, ta có: xz − xy + z = ⇔ xz + z = xy ⇔ xz + z = xy + xz ⇔ z ( x + z ) = x( y + z ) 2z y + z ⇔ = x x+ z Vậy Câu 4: 2z y + z = x x+ z (5,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AB Cho đoạn thẳng AE < BE cho đường kính với M điểm F ( O1 ) AB = 18 cm Đường thẳng C AE đường kính N MN EF AE = cm MN , Vẽ đường tròn AD ( O) ( O2 ) hai đường tròn AM ( O) C B đường trịn ( O2 ) BN vng góc với đường thẳng cắt đường tròn thuộc cung nhỏ điểm tiếp điểm thuộc giao điểm đường thẳng minh đường thẳng b) Với A nằm điểm Vẽ tiếp tuyến chung tiếp điểm thuộc a) Gọi ( O1 ) Vẽ đường trịn BE E Tính độ dài đoạn thẳng Chứng AB đường kính D CD AB cho điểm Lời giải Hình vẽ điểm N chưa xáchình kéo theo điểm F chưa xác a) MN tiếp tuyến chung ( O1 ) ( O2 ) nên · E + NO · E = 180° MN ⊥ O1M ; MN ⊥ O2 N ⇒ O1M //O2 N ⇒ MO ∆O1 AM ∆O2 BN Liên hệ tài 039.373.2038 liệu cân cân word O1 O2 suy nên môn · E = 2O · AM MO 1 · E = 2O · BN NO 2 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( · E + NO · E=2 O · AM + O · BN ⇒ MO 2 Mặt khác ·AME = BNE · = 90 · · ⇒ EMF = ENF = 90° · EM = O · ME O 1 Mà tiếp tuyến) ∆O1ME · · EM = 90° ⇒ MEF +O b) Ta có AB = 18 ∆AFB cm, hay AE = vuông Gọi K, I Tứ giác MENF cân EF ⊥ AB cm Và Liên hệ tài 039.373.2038 ∆OAF O1 ) E ⇒ EB = 12 F cm, có · · ⇒ MEF = NME · · ME = 90° NME +O OF = ( MN cm đường cao EF nên cm cm EF , OF hình chữ nhật nên có (cùng phụ góc Ta lại có hình chữ nhật giao điểm MENF (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) EF = AE.EB = 6.12 = 72 ⇒ EF = ⇒ MN = EF = · AM + O · BN = 900 ⇒ MFN · ⇒O = 900 suy ( ) với MN · · NMF = NEF mà · NEF = ·ABF · · BEM ⇒ NMF = ABF (1) ⇒ ∆FNM ∽ ∆FAB ) cân O suy · · OAF = OFA ( 2) · OAF + ·ABF = 90° (3) liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ ( 1) , ( ) ( 3) ta suy ∆FNM đồng dạng ứng nên · · · NMF + OFA = 90° ⇒ MIF = 90° ∆FAB có FI MN FI = ⇒ = ⇒ FI = EF AB 18 ⇒ OI = OF − FI = − = ∆OID Vì Câu 5: vuông OF ⊥ CD I I hai đường cao tương cm cm nên nên FI , FE ID = OD − OI = 92 − 52 = 56 ⇒ ID = 14 CD = 2.ID = 14 cm cm (3,0 điểm) ABC Cho tam giác vng góc với A 900 A B BM cân , có góc nhỏ Từ kẻ AC AC M M (điểm thuộc ) Chứng minh AM AB +1 = 2 ÷ MC BC Lời giải ∆ABC cân A nên AB = AC Ta có AM AM + MC AC AC AC AB + = = ⇔ = ⇔ BC = AC.MC ÷ ⇔ 2 MC MC BC MC BC BC Như vây, ta cần chứng minh: Thật vậy, ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: BC = AC.MC TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com BC = BM + MC = AB − AM + ( AC − AM ) = AC − AM + AC − AC AM + AM = AC − AC AM = AC ( AC − AM ) = AC MC …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... thuộc ) Chứng minh ……………….HẾT…………… AM AB +1 = 2 ÷ MC BC LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (7,0 điểm) a) Chứng minh n A = n + n + 6n + n + n chia hết... 2z y + z = x x+ z y2 x + xy + = 2 017 (1) y2 = 1009 (2) ( x ≠ 0, z ≠ 0, x ≠ − z ) z + x + xz + z = 1008 (3) Lời giải y2 x + xy + = 2 017 (1) y2 = 1009 (2) ( x ≠ 0, z ≠